%!TEX root=main.tex
\newpage
\section{Pearson Analsysis 1}
\subsection{Begriffe}
\subsubsection{Definitionsbereich}

Seien $\mathbb{D}$ und $\mathbb{W}$ Teilmengen von $\mathbb{R}$. Unter einer reellen Funktion   an eine Vorschrift, die jedem Element $x$ aus $\mathbb{D}$ genau ein Element $y=f\left(x\right)$ aus $\mathbb{W}$ zuordnet. Man schreibt 
\begin{equation*}
	f:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{W}
\end{equation*}

\begin{center}
	\input{pearsonDW.pgf}
\end{center}



Der Definitionsbereich einer Funktion ist diejenige Menge ans $x$-Werten, die man ohne Probleme in die Funktion einsetzen kann, d.h. für die die Funktion definiert ist. Die nicht zulässigen Werte werden Problemstellen genannt und kann man in den nachfolgenden Fällen finden:

\begin{enumerate}
	\item bei Brüchen, indem man dort Nullstellen des Nenners berechnet, denn durch $0$ ist nicht definiert
	\item negative Zahl innerhalb einer Wurzel
	\item eine Zahl kleiner gleich $0$ im Logarithmus
\end{enumerate}


\paragraph{Beispiel 1} Die Funktion $f(x) = e ^ { \frac { 1 } {x}}$ ist für $x=0$ nicht definiert, daher lautet der Definitionsbereich $D=\mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}$


\paragraph{Beispiel 2} Der Sinus ist zwar für alle $x\in \mathbb{R}$ definiert:

$\sin \left( \frac { 2 x } { 3 x ^ { 2 } - 4 } \right)$

Allerdings gibt es für $x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}$ eine Null im Quotienten, daher ist der Definitionsbereich $D = \mathbb { R } \backslash \pm \left\{ \sqrt { \frac { 4 } { 3 } } \right\}$.

\paragraph{Beispiel 3} Im Logarithmus dürfen nur positive Werte stehen. Bei der Funktion $\ln \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } \right)$ muss man überlegen, wann  

\subsubsection{Wertebereich}
\subsection{Funktionen und ihre Graphen}
\subsubsection{Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich einer Funktion}

\textbf{Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion}
$f(x)=-x^2+2x-8$


Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge $D$ aller möglichen Eingabewerte.

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
	%\centering
	%\resizebox{!}{.2\paperheight}{\input{gnuplot05.gp}}
	\includegraphics[scale=0.4]{plot05a.pdf}
	%\caption*{$f(x)=-x^2+2x-8$}%
\end{wrapfigure}

Da der Definitionsbereich von $f(x)$ durch den Kontext nicht explizit angegeben oder eingeschränkt ist, bildet der Definitionsbereich von $f(x)$ die größtmögliche Menge reeller $x$-Werte,  mit der die Funktion auf reelle $y$-Werte führt. Daher lautet der Definitionsbereich von $f(x)$ $(-\infty,\infty)$
Der Wertebereich der Funktion ist die Menge aller Werte von $f(x)$, während $x$ durch den Definitionsbereich läuft.
Da der Graph der gegebenen Funktion f(x) eine nach unten geöffnete Parabel darstellt, ist das Maximum von $f(x)$ die Spitze der Parabel bei $\left(1,-7\right)$. Diese Funktion hat kein Minimum. Daher beträgt der Wertebereich von $f(x)$ $\left(-\infty,-7\right]$.


\textbf{Rechenweg:}

Es ist eine nach unten geöffnete Parabel, da $a<0$ \marginpar{$ax^2+bx+c$} ist.
Somit besitzt diese Funktion einen Hochpunkt. Man kann diesen entweder in der Funktionszeichnung ablesen oder aber durch die Umwandlung in die Scheitelpunktform\ref{lbl:Scheitelpunktform} bestimmen.
\begin{itemize}
	\item Bestimmen des Scheitelpunktes
	\begin{itemize}
		\item $f\left(x\right)=-\left(x^2-2x\right)-8$
		\item Quadratische Ergänzung:
		
		$f\left(x\right)=-\left(x^2-2x\textcolor{red}{+\left(\frac 2  2 \right)^2-\left(\frac {2} {2}\right)^2}\right)-8$
		
		\item  $f\left(x\right)=-\left(x^2-2x+1-1\right)-8$
		
		\item Ausklammern der $-1$ $\rightarrow $ muß hier mit $-1$ multipliziert werden
		
		
		$f\left(x\right)=-\left(x^2-2x+1\right)-8+1\rightarrow -\left(\tikz[na]\node [coordinate,yshift=2mm,xshift=1mm] (pm01) {};x^2-2x+\tikz[na]\node [coordinate,yshift=2mm,xshift=1mm] (pm02) {};1\right)-7$
		
		
		\item Binomische Formel auf die Klammer anwenden {\textcolor{red}{!! Auf das Vorzeichen des mittleren Terms achten!!}}
		
		
		$\sqrt{x^2}\tikz[na]\node [coordinate,yshift=2mm,xshift=-1mm] (pm03) {};=x\;\cup\; \sqrt{\tikz[na]\node [coordinate,yshift=2mm,xshift=1mm] (pm04) {};1}=1\Rightarrow \left(x-1\right)^2\rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-7$
		
		
		
		Somit ist der Scheitelpunkt $\left(1, -7\right)$.
		Der  \marginpar{Die eckige Klammer bedeutet das der Wert im Bereich enthalten ist.}Definitionsbereich hat hier keinen Einschränkungen $\left(-0,0\right)$. Da die Parabel eine nach unten geöffnete Parabel darstellt, beträgt der Wertebereich: $\left(-0,7\right)$
		
		
		
		
	\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{tikzpicture}[overlay]
	\path[color=green!40!black, line width=0.5mm, opacity=0.3] (pm01) edge [bend left=-40] (pm03);
	\path[color=red!40!black, line width=0.5mm, opacity=0.3] (pm02) edge [bend left=-40] (pm04);
	
	
\end{tikzpicture}
\vfill

\newpage

\textbf{Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion}
$g ( x ) = \sqrt { 64-x^2  }$

Die Menge $D$ aller möglichen Eingabewerte wird als Definitionsbereich der Funktion
\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth}
	\centering
	%\resizebox{!}{.2\paperheight}{\input{gnuplot05.gp}}
	%\includegraphics[scale=0.45]{gnuplot06a.png}
	\includegraphics[scale=0.49]{plot06a.pdf}
	%\caption*{$g(x)=\sqrt{64-x^2}$}%
\end{wrapfigure}
bezeichnet. Alle nicht negativen reellen Zahlen $\left[ 0,\infty \right) $ sind mögliche Eingabewerte für $\sqrt{x}$.

Weil der Definitionsbereich von $ \sqrt { x }$ $\left[ 0 , \infty \right) $ ist, darf der Wert unter der Wurzel nicht negativ sein. Daher darf auch $ 64 - x ^ 2$ nicht negativ sein. Daher ist der Definitionsbereich von $g ( x ) = \sqrt { 64 - x ^  2  }$  $\left[ - 8,8 \right] $.


Die Menge aller Werte von $ g(x)$, für die $x$ innerhalb von $D$ liegt, wird als Wertebereich der Funktion bezeichnet.

Innerhalb des Definitionsbereichs $\left[-8,8\right]$ liefert die Funktion einen reellen Wert für $g(x)$ für jedes $x$ innerhalb des geschlossenen Intervalls. Außerhalb dieses Definitionsbereichs ist der Ausdruck $64-x^2$ negativ und die Quadratwurzel ist keine reelle Zahl. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, müssen Sie untersuchen, wie sich $64-x^2$ zwischen $0$ und $64$ verhält. Daher verändert sich $\sqrt{64-x^2}$ von $0$ bis $8$.
Der Wertebereich der Funktion $g\left(x\right)=\sqrt{64 -x^2}$ sind alle möglichen Werte von $g(x)$ mit $-8\le x \le 8$. Daher beträgt der Wertebereich von $g\left(x\right)=\sqrt{64-x^2}$ $\left[0,8\right]$.

{\textbf{\color{red}xyxyxyxyxyxy}}

\vfill
\pagebreak


\textbf{Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion}$f\left(t\right)=\frac{7}{9-t}$

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
	\centering
	%\resizebox{!}{.2\paperheight}{\input{gnuplot05.gp}}
	\includegraphics[scale=0.45]{gnuplot07a.png}
	\caption*{$f(t)=\frac{7}{9-t}$}%
\end{wrapfigure}

Eine rationale Funktion ist ein Quotient oder Verhältnis $f(t)=\frac{p(t)}{q(t)}$, bei dem $p$ und $q$ Polynome sind.

Für die gegebene Funktion ist $p(t)=7$ und $q(t)9-t$.

Der Definitionsbereich einer rationalen Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen $t$ mit $q(t)\neq 0$.
Um zu bestimmen, welche Eingabewerte den Nenner zu null werden lassen, setzen Sie den Ausdruck im Nenner gleich null und lösen Sie nach $t$ auf.

$9-t=0$


$t=9$

Entfernen Sie bitte alle Werte von $t$ die den Nenner null werden lassen, aus der Menge reeller Zahlen. Der Definitionsbereich der Funktion $f(t)$ wird dann durch das Intervall $\left(-\infty,9\right)\cup\left(9,\infty\right)$ gegeben.

Die Menge aller Werte von $f(t)$ für die $t$ im Definitionsbereich liegt, wird als Wertebereich der Funktion bezeichnet. 

Wegen $f(t)=\frac{7}{9-t}$ ist $t=9-\frac{7}{f(t)}$ der Eingangswert für das Ergebnis $f(t)$. Der Eingangswert ist nur definiert, wenn $f(t)\neq 0$.

Daher beträgt der Wertebereich der Funktion $f(t)$  $\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\infty\right)$.

\subsection{Bestimmen ob ein Graph eine Funktion ist}


\input{pearson0201.pgf}

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\section{Pearson Brückenkurs Mathematik}
\subsection{Beispiele zu Mengen}
\subsubsection{Mengenoperationen}
\paragraph{1.}\mbox{}\\
Gegeben sind die Mengen $M_1=\{26 ; 13 ; 5 ; 32\}, M_2=\{4 ; 5 ; 32 ; 35\}$ und $M_3=\{4 ; 1 ; 8 ; 19 ; 23 ; 5 ; 26\}$.

Bestimmen Sie die Menge $\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3$.


Man liest die Formel $\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3$ von links nach rechts und bestimmt zuerst die Schnittmenge der Mengen $M_1$ und $M_2$:

$$
M_1 \cap M_2=\{26 ; 13 ; \mathbf{5} ; \mathbf{32}\} \cap\{4 ; \mathbf{5} ; \mathbf{32} ; 35\}=\{5 ; 32\}
$$

Nun vereinigt man die eben bestimmte Menge $M_1 \cap M_2$ mit der Menge $M_3=\{4 ; 1 ; 8 ; 19 ; 23 ; 5 ; 26\}$, um die gesuchte Menge zu erhalten:

$$
\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3=\{\mathbf{5} ; \mathbf{32}\} \cup\{\mathbf{4} ; \mathbf{1} ; \mathbf{8} ; \mathbf{19} ; \mathbf{23} ; 5 ; \mathbf{26}\}=\{1 ; 4 ; 5 ; 8 ; 19 ; 23 ; 26 ; 32\}
$$

\paragraph{2.}\mbox{}\\
Bestimmen Sie die Schnittmenge der Menge $M=\{8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; \ldots\}$ und der Menge der ungeraden natürlichen Zahlen.


Man betrachtet zuerst die Menge $M$ . Sie enthält unendlich viele Zahlen, von denen die ersten fünf in aufzählender Mengenschreibweise angegeben sind. Da sich zwei aufeinanderfolgende Elemente immer um 3 unterscheiden, liegt ein Bildungsgesetz vor, mit dessen Hilfe man weitere Elemente der Menge M angeben kann.
$$
M=\{8 ; \textcolor{red}{11} ; 14 ; \textcolor{red}{17} ; 20 ; \textcolor{red}{23} ; 26 ; \textcolor{red}{29} ; 32 ; \textcolor{red}{35}; \ldots\}
$$

Die Menge $\mathbb{N}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\}$ der natürlichen Zahlen ist bekannt.
Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen besteht aus allen natürlichen Zahlen, die sich nicht durch 2 teilen lassen.
$$
\text { \{ungerade natürliche Zahlen }\}=\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; \textcolor{red}{11} ; 13 ; 15 ; \textcolor{red}{17} ; 19 ; \ldots\}
$$

Schließlich schneidet man die Menge M mit den ungeraden natürlichen Zahlen, d.h. man bestimmt alle Zahlen in M, die ungerade sind. Da diese Schnittmenge wieder unendlich groß ist, genügt es, die ersten Elemente in aufzählender Mengenschreibweise anzugeben.
$$
M \cap\{\text { ungerade natürliche Zahlen }\}=\{11 ; 17 ; 23 ; 29 ; 35 ; \ldots\}
$$

\paragraph{3.}\mbox{}\\
Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen.
Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen.
Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.

\paragraph{4.}\mbox{}\\
Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cup$ kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.
Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen.
Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist $10$.

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\textbf{Schreiben} Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cup$ kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.

Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen.

Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen. Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist $10$ .

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.

\begin{figure}[h]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			hide axis,
			xmin=-10, xmax=12,
			ymin=-1, ymax=1,
			width=15cm,
			height=3cm,
			axis x line=middle,
			xtick=\empty,
			ytick=\empty,
			enlargelimits
			]
			% Das Intervall (-∞, 6)
			\addplot[domain=-10:5.9, samples=2, thick, blue] {0};
			
			% Das Intervall [6, 10)
			\addplot[domain=6:9.9, samples=2, thick, red] {0};
			
			% Offene Kreise bei x=6 und x=10
			\node[draw, fill=white, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 6, 0) {};
			\node[draw, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 10, 0) {};
			
			% Punkt x=6 als geschlossener Kreis
			\node[fill, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 6, 0) {};
			
			% Beschriftungen
			\node[below] at (axis cs: 0, 0) {0};
			\node[below] at (axis cs: 6, 0) {6};
			\node[below] at (axis cs: 10, 0) {10};
			
			% Pfeile am Ende des Intervalls
			\draw[thick,-latex] (axis cs: -10,0) -- (axis cs: -10.5,0);
			\draw[thick,-latex] (axis cs: 10,0) -- (axis cs: 10.5,0);
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}    
	%\caption{Caption}
	%\label{fig:enter-label}
\end{figure}




\newpage

3333

Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen. Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.




44444

Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen.
Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.
Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.


55555


Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols U kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.
Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen. Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist 10 .

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.


6666666


Sei $\Omega=\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k\}$
$$
\begin{aligned}
	& X=\{a, d, e, h, i, k\} \\
	& Y=\{a, c, f, h, i\} \\
	& Z=\{a, d, e, i, k\}
\end{aligned}
$$

Bestimmen Sie $\mathrm{X} \cup(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$.

Um $\mathrm{X} \cup(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$ zu bestimmen, bestimmen Sie zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern.
Bestimmen Sie $Z \cap Y$.
Der Durchschnitt besteht aus allen Elementen, die in beiden Mengen $Z$ und $Y$ sind.
Die Elemente 'a' und 'i' sind in der Menge $\mathrm{Z}$ und auch in der Menge $\mathrm{Y}$.
Somit sind sie in $\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y}$.
$$
Z \cap Y=\{a, i\}
$$

Bestimmen Sie jetzt das Komplement von $\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y}$, symbolisiert durch $(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$.
Diese Menge enthaelt alle Elemente aus $\boldsymbol{\Omega}$ die nicht $\mathbf{z u}\{\mathrm{a}, \mathrm{i}\}$ gehoeren.
Die Menge $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$ repraesentiert $(Z \cap Y)$ '.
Finden Sie jetzt die Vereinigung der Mengen $X$ und $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$.
Mit anderen Worten: Fuegen Sie zu der Liste der Elemente in $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$ diejenigen Elemente hinzu, die Sie noch nicht benannt haben und die in $X$ enthalten sind. Zum Beispiel ist, 'i' in der Menge $\mathrm{X}$, aber nicht in $(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})$ '.
$$
X \cup(Z \cap Y)^{\prime}=\{e, f, h, g, i, k, j, b, c, d, a\} \text {. }
$$

Dies ist die Menge $\Omega$.


8888888888
Bestimmen Sie die Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$, wenn folgendes gegeben ist.
$$
\begin{aligned}
	& \Omega=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<13\} \\
	& A=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist ungerade und } x<13\} \\
	& B=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist gerade und } x<13\} \\
	& C=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<8\}
\end{aligned}
$$

Um $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ zu bestimmen, beginnen Sie damit die Menge innerhalb der Klammern, $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$, zu finden.
Zuerst muessen Sie A' bestimmen, das Komplement von A, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in $\mathrm{A}$ sind.
$$
A^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12\}
$$

Als Naechstes muessen Sie $\mathrm{B}^{\prime}$ bestimmen, das Komplement von $\mathrm{B}$, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in $\mathrm{B}$ sind.
$$
B^{\prime}=\{1,3,5,7,9,11\}
$$

Identifizieren Sie jetzt die Elemente der Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right.$ ) indem Sie alle Elemente in der Menge $A^{\prime}$ auflisten und dann die Elemente in der Menge $B^{\prime}$ hinzufuegen.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) & =\{2,4,6,8,10,12\} \cup\{1,3,5,7,9,11\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
\end{aligned}
$$

Beenden Sie jetzt das Problem, indem Sie $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ bestimmen.
Der Durchschnitt ist diejenige Menge, die alle Elemente enthaelt, die den beiden Mengen $A^{\prime} \cup B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ gemeinsam sind.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C= & \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \cap\{1,2,3,4,5,6,7\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7\}
\end{aligned}
$$


999999999999

Bestimmen Sie die Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$, wenn folgendes gegeben ist.
$$
\begin{aligned}
	& \Omega=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<13\} \\
	& A=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist ungerade und } x<13\} \\
	& B=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist gerade und } x<13\} \\
	& C=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<8\}
\end{aligned}
$$

Um $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ zu bestimmen, beginnen Sie damit die Menge innerhalb der Klammern, ( $\left.A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$, zu finden.
Zuerst muessen Sie A' bestimmen, das Komplement von A, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in A sind.
$$
A^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12\}
$$

Als Naechstes muessen Sie B' bestimmen, das Komplement von B, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in B sind.
$$
B^{\prime}=\{1,3,5,7,9,11\}
$$

Identifizieren Sie jetzt die Elemente der Menge ( $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ ) indem Sie alle Elemente in der Menge $\mathrm{A}^{\prime}$ auflisten und dann die Elemente in der Menge $\mathrm{B}^{\prime}$ hinzufuegen.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) & =\{2,4,6,8,10,12\} \cup\{1,3,5,7,9,11\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
\end{aligned}
$$

Beenden Sie jetzt das Problem, indem Sie ( $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ ) $\cap \mathrm{C}$ bestimmen.
Der Durchschnitt ist diejenige Menge, die alle Elemente enthaelt, die den beiden Mengen $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ und $\mathrm{C}^{\prime}$ gemeinsam sind.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C & =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \cap\{1,2,3,4,5,6,7\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7\}
\end{aligned}
$$

1010101010101010

Von den Achtklaesslern der Paxton-Schule spielten 16 Basketball, 9 Volleyball, 10 Fussball, 1 spielte nur Basketball und Fussball, 2 spielten nur Volleyball und Fussball, 1 spielte nur Basketball und Volleyball und 2 spielten Volleyball, Basketball und Fussball.

Wieviele spielten eine oder mehrere der drei Sportarten?

Zeichnen Sie ein leeres Diagramm, markieren Sie einen Kreis mit $B$ für Basketball, einen mit $F$ für Fussball und einen mit $V$ für Volleyball.
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_1.png}
	%\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Tragen Sie als erstes die Anzahl der Schueler in den Durchschnitt aller drei Kreise ein, die alle drei Sportarten betreiben. $2$ spielten alle drei Sportarten.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_2.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Tragen Sie jetzt ein, wie viele Spieler zwei Sportarten betreiben. In der Aufgabe war gegeben, dass 2 nur Volleyball und Fussball spielen.
Diese Zahl muss in den Bereich geschrieben werden, der der Durchschnitt von V und F ist, aber nicht die 2 schon frueher Erwaehnten enthaelt.
Der Grund ist: Die Aufgabe spricht hier nur von Volleyball und Fussball, d.h. Basketball ist ausgeschlossen

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_3.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Machen Sie dasselbe fuer die anderen Sportarten. 1 spielt nur Basketball und Fussball.
1 spielt nur Basketball und Volleyball.
Diese Werte muessen im Diagramm platziert werden

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_4.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Die Aufgabe sagt, dass zehn Fussball spielen.
Es gibt bereits 5 in dem Fussball-Kreis.
Deshalb muss eine 5 dort in den Kreis mit F geschrieben werden, wo keine anderen Werte sind.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_5.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Neun spielen Volleyball. 5 sind bereits im Diagramm.
Es bleiben 4 uebrig.
Eine 4 ist in dem Bereich platziert worden, der Nur-Volleyball repraesentiert.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_6.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}


Die Aufgabe besagt, dass 16 Basketball spielen.
Es sind bereits 4 Basketballspieler eingetragen.
Somit bleiben 16 - 4 oder 12 uebrig, die nur Basketball spielen.

\newpage

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_7..png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Um zu bestimmen, wie viele der Achtklaessler eine oder mehrere der drei Sportarten spielen, addieren Sie alle Eintraege aus dem Diagramm.
Es sind insgesamt 27 Spieler.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{1.11}
Nutzen Sie \textbf{Venn-Diagramme}, um zu bestimmen, ob die folgenden Mengen gleich sind fuer alle Mengen A, B und C.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{11}
	\caption{}
	\label{fig:11}
\end{figure}


$$
\begin{array}{l}
	A \cap(B \cup C) \\
   (A \cap B) \cup C^{\prime}	
\end{array}
$$ 
 
 Wenn Sie das \textcolor{red}{Venn-Diagramm} auf der rechten Seite als Referenz verwenden, so besteht die Menge $A \cap(B \cup C)$ aus den Regionen II, IV, V.



Wenn Sie das \textcolor{red}{Venn-Diagramm} auf der rechten Seite als Referenz verwenden, so besteht die Menge $(A \cap B) \cup C^{\prime}$ aus den Regionen I, II, III, V, VIII.
Daher sind die folgenden Mengen nicht für alle Mengen $A, B$ und $C$ gleich.


$A \cap(B \cup C)$
$(A \cap B) \cup C^{\prime}$




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Lineare Algebra}
\section{Lineare Abhängigkeit}
\subsection{Definition}
Linear abhängig sein ist etwas, was alle Elemente eines Vektorraums können, also natürlich Vektoren, aber eben auch Matrizen. Ebenso können sie natürlich linear unabhängig sein.

Was man machen kann, um auf Unabhängigkeit zu prüfen steht weiter unten im Abschnitt "Wie kann man Unabhängigkeit noch bestimmen?"

Wenn man über lineare Abhängigkeit spricht, muss immer klar sein, welche Vektoren genau man betrachtet.
Wir nehmen uns also einen Vektorraum $V$ und ein paar Vektoren aus $V$, etwa $v_1, \ldots, v_n \in V$. Dann heißen diese Vektoren linear abhängig, wenn es eine Linearkombination von ihnen gibt, die 0 ergibt.

Anders ausgedrückt: Es gibt Zahlen $a_1$ bis $a_n$, so dass gilt:

$$
a_1 v_1+a_2 v_2+\ldots+a_n v_n=0
$$


Dabei ist die 0 auf der rechten Seite die 0 des Vektorraums, also der Nullvektor.
Klar, wenn wir alle $a_i=0$ wählen, dann kommt 0 heraus. Das wollen wir aber ausschließen.
Vektoren sind also nur linear abhängig, wenn es Koeffizienten gibt, nicht alle 0 , so dass trotzdem die Linearkombination 0 ist.
Andersherum heißen die Vektoren linear unabhängig, wenn es nicht möglich ist, solche Koeffizienten zu finden, wenn also (außer für alle Koeffizienten $=0$ ) immer gilt

$$
a_1 v_1+a_2 v_2+\ldots+a_n v_n \neq 0
$$


Veranschaulichung
Bezogen auf die Pfeile in der Ebene $\mathbb{R}^2$, die du vielleicht noch aus der Schule kennst, bedeutet lineare Unabhängigkeit von zwei Vektoren, dass sie in unterschiedliche Richtungen zeigen, etwa so:
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{LA01.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Linear abhāngig sind sie stattdessen, wenn sie in die gleiche oder die genau entgegengesetzte Richtung zeigen.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{LA02.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Wer es gern noch geometrisch anschaulicher beschrieben hätte - hier erklăren wir es noch einmal genauer.
Beispiel 1
Schauen wir uns das alles mal an einem Beispiel an. Wir nehmen den Vektorraum $\underline{\mathbb{R}^2}$, also die Spaltenvektoren mit 2 Einträgen, und die beiden Vektoren

$$
v_1=\binom{1}{0}, v_2=\binom{2}{0}
$$


Diese beiden sind linear abhängig! Es gilt nämlich

$$
2\binom{1}{0}-\binom{2}{0}=\binom{2 \cdot 1-2}{0}=\binom{0}{0}
$$

und damit haben wir zwei Koeffizienten ( $a_1=2$ und $a_2=-1$ ) gefunden, so dass

$$
a_1 v_1+a_2 v_2=0
$$

gilt. Es kommt bei der Linearkombination also 0 heraus, obwohl nicht alle Koeffizienten 0 sind. Das war genau die Definition von linear abhăngig.

Beispiel 2
Jetzt noch ein Paar Vektoren, die linear unabhängig sind. Nehmen wir

$$
v_1=\binom{1}{0}, v_2=\binom{0}{1}
$$

und außerdem zwei Koeffizienten $a_1$ und $a_2$. Wenn jetzt die Linearkombination 0 ergibt, also

$$
a_1 v_1+a_2 v_2=0
$$

dann schauen wir mal, was das bedeutet:

$$
\begin{aligned}
	a_1 v_1+a_2 v_2 & =a_1\binom{1}{0}+a_2\binom{0}{1} \\
	& =\binom{a_1}{a_2} \\
	& \stackrel{!}{=}\binom{0}{0}
\end{aligned}
$$


Das Ausrufezeichen bedeutet, dass diese Gleichheit die wichtige ist. Daraus folgt nămlich, dass $a_1=0$ und $a_2=0$ sein muss.

Die einzigen Koeffizienten, so dass die Linearkombination 0 wird, sind also beide 0 . Und wenn beide 0 sind, dann ist das in Ordnung, denn das woliten wir für lineare Unabhăngigkeit noch gelten lassen.

Koeffizienten $\neq 0$ kann man hingegen nicht finden.
Wie kann man Unabhängigkeit noch bestimmen?
Die gute Nachricht ist, dass man die Gleichung mit den Koeffzienten nicht immer extra aufschreiben muss. Denn es handelt sich ja jedes Mal um ein homogenes Gleichungssystem.

Um zu schauen, ob es mehr, als nur die Nulllösung gibt, berechnet man einfach den Rang der Koeffizientenmatrix - diese ergibt sich hier durch die Einträge der Vektoren.

Im Endeffekt schreibt man die Vektoren nebeneinander auf und bekommt so eine Matrix. Der Rang dieser Matrix gibt dann an, wieviele der Vektoren linear unabhängig sind.

Ist diese Zahl kleiner als die Anzahl der Vektoren gibt es also linear abhängige Vektoren und man sagt: die Vektoren (insgesamt) sind linear abhängig.

Wenn man nur zwei Vektoren gegeben hat (egal welche Dimension), so kann schneller sein und schauen, ob die Vektoren Vielfache voneinander sind.

Wie das geht zeigen wir hier in diesem Theorieblock.
Beispiel Vektoren
Um die Unabhăngigkeit von

$$
v_1=\left(\begin{array}{l}
	2 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{l}
	3 \\
	3 \\
	3
\end{array}\right) \text { und } v_3=\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)
$$

zu prüfen schreiben wir alle drei Vektoren nebeneinander und erhalten diese Matrix:

$$
\left(\begin{array}{ccc}
	\frac{v_1}{2} & \frac{v_2}{3} & \frac{v_3}{-1} \\
	0 & 3 & 1 \\
	1 & 3 & 0
\end{array}\right)
$$


Mit den normalen Zeilenumformungen können wir nun den Rang bestimmen:

$$
\begin{array}{r}
	\text { (III) : } \cdot(-2)+\text { (I) }) \\
	\text { (III) } \left.:+ \text { (II) } \xrightarrow[\rightarrow]{\left(\begin{array}{ccc}
			2 & 3 & -1 \\
			0 & 3 & 1 \\
			1 & 3 & 0
		\end{array}\right)} \begin{array}{ccc}
		\left(\begin{array}{ccc}
			2 & 3 & -1 \\
			0 & 3 & 1 \\
			0 & -3 & -1
		\end{array}\right) \\
		\left(\begin{array}{ccc}
			2 & 3 & -1 \\
			0 & 3 & 1 \\
			0 & 0 & 0
		\end{array}\right)
	\end{array}\right)
\end{array}
$$


Eine Nullzeile in der Matrix macht Rang 2. Diese Zahl sagt nun genau, wieviele Vektoren unabhăngig sind: 2 Stück! Damit sind alle drei zusammen abhängig, denn nur wenn der Rang drei wäre, hätten wir Unabhängigkeit.

Wenn du eine quadratische Matrix hast (gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten), kannst du auch die Determinante heranziehen. Ist diese Null, so sind die Vektoren abhăngig. Allerdings sagt die Determinante nicht aus, wie viele dann unabhăngig sind.

\subsection{Beispiel Matrizen}
Auch für Unabhängigkeit von Matrizen muss man nicht erst die Gleichung mit den Koeffizienten und der Nullmatrix aus der Definition aufschreiben. Für die Unabhängigkeit der Matrizen

$$
A=\left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\
	0 & 3
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}
	-1 & 0 \\
	1 & 1
\end{array}\right) \text { und } C=\left(\begin{array}{cc}
	3 & -3 \\
	0 & 0
\end{array}\right)
$$

schreibt man diese so in eine Matrix, (das geht so) dass jede Spalte alle Elemente der jeweiligen Matrizen in derselben Reihenfolge beinhaltet. Gemeint ist:

$$
\left(\begin{array}{ccc}
	A & \overbrace{-1}^B & \frac{C}{3} \\
	2 & 0 & -3 \\
	0 & 1 & 0 \\
	3 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

$$
\begin{aligned}
	& \text { (II) : }+(-2) \cdot(\mathrm{I}) \text { und } \\
	& \text { (IV) : }+(-3) \cdot \text { (I) } \leadsto \\
	& \left(\begin{array}{ccc}
		1 & -1 & 3 \\
		0 & 2 & -9 \\
		0 & 1 & 0 \\
		0 & 4 & -9
	\end{array}\right) \\
	& \text { (III) : } \cdot \text { (2) }- \text { (II) und } \\
	& \text { (IV) : }+(-2) \cdot \text { (II) } \rightarrow \\
	& \left(\begin{array}{ccc}
		1 & -1 & 3 \\
		0 & 2 & -9 \\
		0 & 0 & 9 \\
		0 & 0 & 9
	\end{array}\right) \\
	& \text { (IV) : }+ \text { (III) } \\
	& \left(\begin{array}{ccc}
		1 & -1 & 3 \\
		0 & 2 & -9 \\
		0 & 0 & 9 \\
		0 & 0 & 0
	\end{array}\right)
\end{aligned}
$$


Eine Nullzeile heißt der Rang ist drei und damit sind alle drei Matrizen linear unabhängig.
Noch ein paar Fakten
Nullvektor und lineare Abhängigkeit
Wenn in der betrachteten Menge von Vektoren schon der Nullvektor vorkommt, dann ist die Menge immer linear abhängig.
Wenn also beispielsweise $v_1, \ldots, v_n \in V$ und $v_n=0$ gilt, dann kann man nămlich für alle Vektoren den Koeffizient 0 nehmen, außer für den Nullivektor, da kann man zum Beispiel 1 nehmen. Dann gilt

$$
a_1 v_1+\ldots+a_n v_n=0 \cdot v_1+\ldots+0 \cdot v_{n-1}+1 \cdot 0=0
$$


Also kommt 0 heraus, obwohl nicht alle Koeffizienten 0 sind. Das sieht getrickst aus, funktioniert aber. Und damit sind die Vektoren linear abhängig.

\subsection{Beispiel}
Die Menge der zwei Vektoren

$$
\left\{\binom{0}{0},\binom{1}{2}\right\}
$$

enthält den Nullvektor, die beiden Vektoren sind deshalb linear abhängig. Es gilt nämlich zum Beispiel

$$
2 \cdot\binom{0}{0}+0 \cdot\binom{1}{2}=\binom{0}{0}
$$

und in dieser Linearkombination ist der erste Koeffizient 2 , nicht 0.

\subsection{Einzelne Vektoren}
Ein einzelner Vektor (außer der Nullvektor) ist immer linear unabhängig.
Anzahl der Vektoren und Dimension
Wenn du die Dimension des Vektorraums kennst, dann gibt es einen weiteren nützlichen Fakt.
Eine Menge von Vektoren, die mehr Vektoren enthält als die Dimension, ist immer linear abhängig.
Das liegt daran, dass eine Basis des Vektorraums genau so viele Elemente enthălt wie die Dimension, aber ein maximales linear unabhängiges System ist.

\subsubsection{Beispiel}
Schauen wir uns mal wieder den $\mathbb{R}^2$ an, also die Spaltenvektoren mit 2 Einträgen. Dieser Vektorraum hat anschaulicherweise die Dimension 2.

Außerdem werfen wir einen Blick auf die folgende Menge von Vektoren:

$$
\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1},\binom{0}{1}\right\}
$$


Da sind drei Vektoren drin, und das ist mehr als die Dimension. Deshalb müssen wir gar nicht lange fackeln und wissen sofort, dass die Vektoren linear abhängig sind.

\subsection{Lineare Abhängigkeit und Determinante}
Hat man $n$ Vektoren mit jeweils $n$ Einträgen hat, so wird die Matrix aus diesen Vektoren ja quadratisch.
Dann kann uns auch die Determinante helfen.
Öber die Beziehung zwischen Determinante und Linearer Abhängigkeit kannst du hier nachlesen.

\newpage

\section{Vektorräume}\label{Vektorraeume}

Einleitende Bemerkung: Wir betrachten hier nur reelle Vektorräume. Mit Anderen kommst du vermutlich sowieso nicht in Kontakt und dann kannst du diese Bemerkung getrost ignorieren.

\subsection{Was ist ein Vektorraum?}
Ein Vektorraum $V$ ist zunächst erstmal eine Menge. Diese Menge hat (wenn sie nicht leer ist) natürlich Elemente. Diese Elemente des Vektorraums heißen Vektoren.

So weit, so gut. Einfach nur eine Menge ist aber ein Vektorraum dann doch nicht. Die Elemente (also die Vektoren) des Vektorraums erfüllen bestimmte Eigenschaften.

Es gibt verschiedenste Schreibweisen für Vektorräume - eine Übersicht findest du hier.
\subsubsection{Addition}
Zuerst einmal muss man die Vektoren irgendwie addieren können. Sind also $x$ und $y$ Vektoren aus $V$, also $x, y \in V$, dann soll es irgendwie möglich sein, ihre Summe

$$
x+y
$$

zu bilden. Diese Summe soll wieder ein Vektor aus $V$ sein, also muss $x+y \in V$ gelten.
\subsubsection{Skalarmultiplikation}
Außerdem muss man wissen, wie man einen Vektor $x$ mit einer reellen Zahl, nennen wir sie $c \in \mathbb{R}$, multiplizieren soll (die Zahl nennt man in diesem Zusammenhang auch Skalar). Das Produkt

$$
c x
$$

muss wieder ein Vektor aus $V$ sein, also $c x \in V$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Rechenregeln
Es müssen dann die ganzen Rechenregeln gelten, so wie man sie kennt. Wenn $x, y \in V$ Vektoren sind und $b, c \in \mathbb{R}$ reelle Zahlen, dann kann man Dinge tun wie
- $x+y=y+x$
- $c(x+y)=c x+c y$
- $b(c x)=(b c) x$
- $(b+c) x=b x+c x$
- $1 \cdot x=x$

Eine Multiplikation von zwei Vektoren, so dass wieder ein Vektor herauskommt, gibt es hingegen im Normalfall nicht.
Nullvektor und Negative
Weiterhin enthält jeder Vektorraum einen ganz speziellen Vektor, den man 0 oder $0_V$ nennt, den Nullvektor. Dieser verhält sich für Vektoren so wie die (gleich aussehende) 0 aus den Zahlen. Es gilt

$$
x+0=x
$$

für alle Vektoren $x$. Außerdem gibt es immer auch das Negative eines Vektors, genannt $-x$, so dass

$$
x+(-x)=0
$$

gilt (Fachleute sprechen auch vom additiv Inversen). Auf der rechten Seite steht wieder der Nullvektor. Für die Skalarmultiplikation mit $0 \in \mathbb{R}$ gilt

$$
0 \cdot x=0_V
$$

und auch

$$
-1 \cdot x=-x
$$


Fassen wir das noch einmal alles zusammen.


\newpage 


\section{Rang einer Matrix}

\subsection{Was ist der Rang?}
Der Rang ist eine Zahl, die zu jeder Matrix gehört, und die man ausrechnen kann. Sie hängt ganz eng zusammen mit der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen und mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren zusammen.

Aber jetzt zur Definition des Ranges. Wir stellen uns eine beliebige Matrix $A$ vor. Sie muss nicht quadratisch sein oder irgendwelche anderen Eigenschaften erfüllen.

Wir können dann elementare Zeilenumformungen anwenden, um die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen.
Der Rang entspricht der Anzahl der Zeilen der Zeilenstufenform, die keine Nullzeilen sind, also nicht vollständig aus 0 bestehen.


Man bezeichnet diese Anzahl mit $\operatorname{Rang}(A)$.


Damit kann der Rang also maximal so groß sein, wie die Matrix Zeilen hat.

\subsubsection{Beispiele}
Wir gucken uns mal ein paar Beispiele an. Die angegebenen Matrizen sind jeweils schon in Zeilenstufenform. Nullzeilen sind rot hervorgehoben:

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
	2 & 1 & 0 \\
	0 & 1 & 1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
	4 & -4 & 4 \\
	0 & 0 & 2 \\
	\mathcolor{red}{0 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 0}
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}
	2 & 3 \\
	0 & -3 \\
	\mathcolor{red}{0 & 0}
\end{array}\right)
$$


Bei $A$ kommt keine Nullzeile vor, 2 von 2 Zeilen sind Nichtnullzeilen. $B$ hingegen besitzt von 4 Zeilen nur 2 Nichtnullzeilen. Ebenfalls besitzt $C$ zwei Nichtnullzeilen. Damit gilt

$$
\operatorname{Rang}(A)=\operatorname{Rang}(B)=\operatorname{Rang}(C)=2
$$


Eigenschaften
Eines der wichtigsten Resultate über den Rang ist, dass der Zeilenrang genau so groß ist wie der Spaltenrang. Wir könnten auch die Spalten der Matrix als Zeilen betrachten, die Zeilenstufenform ausrechnen und es würde die gleiche Anzahl an (Nicht-)Nullzeilen entstehen.

Anders ausgedrückt: Wenn wir Zeilen und Spalten vertauschen, also die Transponierte bilden, dann ändert sich der Rang nicht:
Der Rang von $A$ ist gleich dem Rang von $A^{\mathrm{T}}$.
Wir hatten oben festgestellt, dass der Rang maximal so groß wie die Anzahl der Zeilen der Matrix sein kann. Wenn wir aber statt der Zeilen auch die Spalten betrachten können, dann heißt das, dass der Rang auch kleiner als die Anzahl der Spalten ist.

$$
\text { Rang }(A) \leq \text { Minimum(Zeilenanzahl, Spaltenanzahl) }
$$


Wenn der Rang nicht wirklich kleiner, sondern gleich der Zeilen- oder Spaltenanzahl ist, dann sagt man, dass A vollen Rang besitzt.

\subsection{Zusammenhang zur Lösbarkeit von Gleichungssystemen}
Bei der Bestimmung der Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es mehrere Fälle, die auftreten können:
\begin{itemize}
	\item Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
	\item Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.
	\item Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.
\end{itemize}

Wir können das Gleichungssystem durch eine Matrizengleichung

$$
A \cdot x=b
$$

ausdrücken. Dabei ist $A$ die Koeffizientenmatrix, $x$ der Lösungsvektor und $b$ sei der Vektor der Ergebnisse der Gleichungen.


Bilden wir die Matrix $(A l b)$, also die erweiterte Koeffizientenmatrix, dann hat die natürlich einen Rang, genauso wie $A$.


\textcolor{red}{Wenn Rang $((A \mid b))$ und $\operatorname{Rang}(A)$ gleich sind, dann besitzt das Gleichungssystem mindestens eine Lösung, ansonsten nicht.}

Um jetzt noch zwischen genau einer und unendlich vielen Lösungen zu unterscheiden, guckt man sich den Rang von $A$ noch einmal an und vergleicht mit der Anzahl $n$ der Unbekannten (also der Anzahl der Einträge des Vektors $x$ ).

Also, unter der Voraussetzung, dass das Gleichungssystem überhaupt eine Lösung besitzt (siehe oben):


\textcolor{red}{Wenn Rang $(A)$ gleich der Anzahl der Variablen ist, dann besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung, ansonsten unendlich viele.}


Wie du die Lösungen in den einzelnen Fällen ausrechnest, erfährst du hier ganz ausführlich.

\subsubsection{Beispiel 1}
Schauen wir uns ein paar Gleichungssysteme in Matrixschreibweise an. Zuerst sei die Koeffizientenmatrix

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
	2 & 0 & 1 \\
	0 & 0 & 1 \\
	0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

und die erweiterte Koeffizientenmatrix sei

$$
(A \mid b)=\left(\begin{array}{lll|l}
	2 & 0 & 1 & 1 \\
	0 & 0 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$


In der Matrix A sind 2 von 3 Zeilen keine Nullzeilen. Der Rang ist also 2.
In der enweiterten Koeffizientenmatrix kommt hingegen gar keine Nullzeile vor. Alle 3 Zeilen sind Nichtnullzeilen. Sie hat also Rang 3. Da der Rang von $A$ und der von (Alb) unterschiedlich sind, kann das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzen.

\subsubsection{Beispiel 2}
Jetzt sei

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 3 \\
	0 & -1 & 1 \\
	0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$

und die erweiterte Koeffizientenmatrix sei

$$
(A \mid b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
	1 & 2 & 3 & 1 \\
	0 & -1 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 3 & -2
\end{array}\right)
$$

Der Rang von $A$ ist 3 , ebenso wie der Rang von $(A l b)$, denn beide Male treten drei Nichtnullzeilen auf.
Deshalb besitzt das Gleichungssystem mindestens eine Lösung. Da die Koeffizientenmatrix $A$ drei Spalten hat, gibt es auch drei Variablen im Gleichungssystem.

Der Rang von $A$ ist gleich der Anzahl der Variablen, also gibt es nach dem obigen Kriterium genau eine Lösung.

\subsubsection{Beispiel 3}
Wir geben uns wieder eine Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform vor:

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 3 \\
	0 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$

und die erweiterte Koeffizientenmatrix sei

$$
(A \mid b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
	1 & 2 & 3 & 1 \\
	0 & -1 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$


Nun ist wegen der zwei Nichtnullzeilen in beiden Matrizen der Rang jeweils 2.

Da der Rang übereinstimmt, gibt es mindestens eine Lösung.

Die Matrix $A$ besitzt 3 Spalten, also gibt es 3 Variablen. Diese Anzahl stimmt diesmal aber nicht mit dem Rang überein, der ist nämlich kleiner.

Also gibt es zu diesem linearen Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

\newpage

\section{Die Dimension eines Vektorraums}

Anschaulich kannst du dir sicher etwas unter einer Dimension vorstellen. Eine Gerade (oder ein einfacher Strich) ist eindimensional, eine Ebene (oder ein Blatt Papier) ist zweidimensional und der Raum in dem wir uns bewegen ist ein dreidimensionaler Raum.

Für Vektorräume kann man den Begriff der Dimension ganz genau formulieren.
Wie du im entsprechenden Artikel nachlesen kannst, besitzt jeder Vektorraum eine Basis.
Diese Anzahl an Vektoren in einer Basis ist eben nun die Dimension des Vektorraums. Wenn der Vektorraum $V$ heißt, dann bezeichnen wir seine Dimension mit $\operatorname{Dim}(V)$.

\subsection{Bestimmung der Dimension}
Um die Dimension zu bestimmen, musst du also (üblicherweise) eine Basis des Vektorraums finden und dann die Anzahl der Vektoren in dieser Basis zählen. Je nachdem wie dein Vektorraum gegeben ist gibt es dort vielfältige Möglichkeiten.

Bei linearen Hüllen bestimmt man die Dimension also recht leicht, indem man bestimmt, wie viele der erzeugenden Vektoren linear unabhängig sind - das geht gut mit diesen Algorithmus.

Im Zusammenhang mit Abbildungen gibt es auch einen (nicht ganz so einfachen) Dimensionssatz, den du dir in seiner allgemeinen Form hier ansehen kannst.

Da man eine Matrix $A$ auch als Abbildung interpretieren kann, gibt es diesen Satz auch für Vektorrāume der Form:

$$
V=\left\{x \vec{x} \in \mathbb{R}^n \mid A \vec{x}=0\right\}
$$


Wenn ein (Unter-)Vektorraum in dieser Form gegeben ist, lautet die allgemeine Formel für die Dimension:

$$
\operatorname{Dim}(V)=n-\operatorname{Rang}(A)
$$


Dabei ist $n$ einfach nur die Anzahl deiner Variablen (bzw. Einträge im Vektor $x$ ). Dies ist manchmal auch als \textbf{Rangformel} bekannt, über die du hier Genaueres findest.

Nun noch zwei Begriffe, falls du irgendwo mal den Klugscheißer heraushängen lassen willst:


\begin{enumerate}
	\item Die eben genannte Menge $V$ ist ja nichts weiter als die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems $A x=0$. Diese Menge ist gleichzeitig auch der Kern der Matrix.
	
	Die Dimension des Kerns ist also durch $\operatorname{dim}(V)$ gegeben - der Fachbegriff dafür lautet Defekt:
	
	$$
	\operatorname{def}(A)=\operatorname{Dim}(\operatorname{Kern}(A))=n-\operatorname{Rang}(A)
	$$
	
	\item Auch der Rang der Matrix $A$ gibt eine Dimension an, nämlich die vom Bild der Matrix:
	
	$$
	\operatorname{Dim}(\operatorname{Bild}(A))=\operatorname{Rang}(A)
	$$
\end{enumerate}

Beispiele zu Basisvektoren
Für die bekannten Vektorräume $\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ wollen und können wir das mit den Dimensionen einmal direkt nachprüfen. 1-dimensional

Im Fall $\mathbb{R}=\mathbb{R}^1$ betrachten wir die Menge $\{1\}$. Diese ist eine Basis des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}$, denn jede Zahl $x \in \mathbb{R}$ lässt sich schreiben als

$$
x=x \cdot 1
$$

also als Produkt einer Zahl und des Basiselementes 1. Also ist \{1\} ein minimales Erzeugendensystem für $\mathbb{R}$ (klar, weniger als einen Vektor kann man nicht nehmen), also eine Basis.

Damit gilt

$$
\operatorname{Dim}\left(\mathbb{R}^1\right)=1
$$


2-dimensional
Jetzt sehen wir uns den $\mathbb{R}^2$ an und betrachten die Menge

$$
B_2=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\}
$$


Die beiden Vektoren sind sicherlich nicht linear abhăngig, denn der zweite ist kein Vielfaches des ersten und andersherum. Jeder Vektor $x$ aus $\mathbb{R}^2$,

$$
x=\binom{x_1}{x_2}
$$

lässt sich nun schreiben als

$$
x=\binom{x_1}{x_2}=x_1\binom{1}{0}+x_2\binom{0}{1}
$$

also als Linearkombination der beiden Vektoren aus $B_2$. Also ist $B_2$ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $\mathbb{R}^2$ und damit eine Basis.

Sie besteht aus zwei Vektoren, also gilt

$$
\operatorname{Dim}\left(\mathbb{R}^2\right)=2
$$


3-dimensional
Die Dimension von $\mathbb{R}^3$ sollte jetzt natürlich 3 sein. Wenn wir die Menge

$$
B_3=\left\{\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right\}
$$

betrachten, dann ist auch wieder jeder Vektor aus $\mathbb{R}^3$ darstellbar durch

$$
x=\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)
$$

und die gleichen Argumente wie für $\mathbb{R}^2$ zeigen, dass es sich bei $B_3$ um eine Basis des $\mathbb{R}^3$ handelt. Deshalb gilt

$$
\operatorname{Dim}\left(\mathbb{R}^3\right)=3
$$

$n$-dimensional
Die gleichen Argumente wie vorher zeigen, dass allgemein für jedes $n \in \mathbb{N}$ gilt:

$$
\operatorname{Dim}\left(\mathbb{R}^n\right)=n
$$


Beispiel zum Dimenssionssatz
Wenn wir folgenden Vektorraum gegeben haben:

$$
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2-x_3=0, x_3=x_2\right\}
$$


Dann können wir die Dimension nun nicht mehr ohne Weiteres ablesen - sie ist insbesondere nicht 3. Zur Bestimmung brauchen wir den Dimensionssatz von oben. Dieser sagt, dass

$$
\operatorname{Dim}(V)=n-\operatorname{rang}(A)
$$


Eine ausführliche Besprechung gibt es hier.
Zunāchst ist $n$ leicht zu bestimmen, denn es ist einfach nur die Anzahl unserer Variablen: 3. Für den Rang brauchen wir erstmal eine Matrix $A$. Diese steht für die Koeffizientenmatrix des homogenen LGS $A x=0$, was durch die Gleichungen gegeben ist.

Hier müssen wir bei der zweiten Gleichung erstmal dafür sorgen, dass rechts eine Null steht:

$$
x_3=x_2 \Rightarrow x_3-x_2=0
$$


Nun kann man mit den Gleichungen, die Koeffizientenmatrix $A$ ermitteln:
(I) $x_1+x_2-x_3=0$
(II) $\quad-x_2+x_3=0$

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & 1 & -1 \\
	0 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$


Diese Matrix ist bereits in Zeilenstufenform, sodass wir den Rang ablesen können. Es gibt keine Nullzeilen, also ist der Rang 2. Damit haben wir alles für die Dimension von $V$ zusammen:

$$
\begin{aligned}
	\operatorname{Dim}(V) & =n-\operatorname{Rang}(A) \\
	& =3-2 \\
	& =1
\end{aligned}
$$


Die Menge $V$ beschreibt also eine Gerade.


\newpage


\section{Lineare Gleichungssysteme}
Bevor wir genauer beschreiben, was ein lineares Gleichungssystem ist und was die verwandten Begriffe bedeuten, hier die Links zu den wichtigen Themen:
- Es gibt zwei Arten von linearen Gleichungssystemen (LGS): homogene und inhomogene Gleichungssysteme
- Die Anzahl der Lösungen ermittelst du mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix - wie du die Lösungen dann abliest steht hier.

\subsection{Definition}
Ein lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen ist eine Menge von Gleichungen, in denen die Variablen $x_1$ bis $x_n$ vorkommen.
Dabei können vor den Variablen noch Zahlen, sogenannte Koeffizienten stehen.
Eine Gleichung mit drei Variablen könnte zum Beispiel so aussehen:

$$
2 x_1-x_2+4 x_3=-2
$$


Hier hat die Variable $x_1$ den Koeffizienten 2, $x_2$ hat -1 und $x_3$ hat 4 als Koeffizienten. Auch wenn nur $-x_2$ dasteht, ist das als $+(-1) x_2$ zu verstehen.

Eine oder mehrere von solchen Gleichungen zusammen bilden dann ein Gleichungssystem. Nicht alle Variablen müssen in allen Gleichungen vorkommen. So ist zum Beispiel

$$
x_3=4
$$

auch eine Gleichung eines Gleichungssystems in drei Variablen. Die Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$ sind dann einfach 0 .
\subsection{Merkmale}
Schon jetzt haben wir ein paar wichtige Daten kennengelernt, die zu einem Gleichungssystem gehören:
- Die Anzahl der Variablen
- Die Anzahl der Gleichungen
- Die Koeffizienten, die in den Gleichungen vor den Variablen stehen
- Die Zahlen, die nach dem " $=$ " am Ende der Gleichungen stehen

Grundsätzlich unterscheidet man nach den Zahlen die auf der rechten Seite der Gleichung stehen:
1. Sind dort nur Nullen zu finden, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem
2. Sobald jedoch eine Gleichung eine $\mathrm{Zahl} \neq 0$ auf der rechten Seite hat, so spricht man von einem inhomogenen linearen Gleichungssystem

\subsection{Beispiel}
Sehen wir uns jetzt ein Beispiel für ein vollständiges Gleichungssystem mit drei Gleichungen in 4 Variablen an

$$
\left.\begin{array}{rl}
	\text { (I) : } 2 x_1+3 x_2 & +x_4 \\
	\text { (II) : } & =x_2-x_3 \\
	\text { (III) : } & x_1-x_2+x_3-x_4
\end{array}\right)=0
$$


Am Anfang steht in römischen Ziffern und runden Klammern jeweils die Zeilennummer. Dann folgen die einzelnen Gleichungen, immer zuerst die Koeffizienten und dann die Variablen.

Taucht eine Variable nicht auf, so ist ihr Koeffizient in der Gleichung 0.
Am Ende der Gleichung steht ein " $=$ " und dahinter eine reelle Zahl, die auch 0 sein kann, aber trotzdem hingeschrieben wird.
\subsection{Abstrakte Schreibweise}
Will man ein Gleichungssystem allgemein aufschreiben, so erhalten die Koeffizienten meistens den Buchstaben $a_{i, j}$ mit Indizes unten, einem für die Zeilennummer und einem für die Variable, vor der sie stehen.

Beispielsweise wäre $a_{1,3}$ der Koeffizient in der ersten Gleichung vor der dritten Variable.
Die Zahlen nach dem " $=$ " werden mit $b_i$ bezeichnet, wobei der Index $i$ unten für die Zeilennummer steht. So ist $b_2=-1 \mathrm{im}$ obigen Beispiel, nämlich die Zahl hinter dem " $=$ " der zweiten Gleichung.

Ein allgemeines Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in 4 Variablen sieht dann so aus:

$$
\begin{aligned}
	\text { (I) : } & a_{1,1} x_1+a_{1,2} x_2+a_{1,3} x_3+a_{1,4} x_4=b_1 \\
	\text { (II) : } & a_{2,1} x_1+a_{2,2} x_2+a_{2,3} x_3+a_{2,4} x_4=b_2 \\
	\text { (III) : } & a_{3,1} x_1+a_{3,2} x_2+a_{3,3} x_3+a_{3,4} x_4=b_3
\end{aligned}
$$


\subsection{Matrixschreibweise}
Es gibt eine Möglichkeit, Gleichungssysteme sehr platzsparend und übersichtlich aufzuschreiben.
\subsubsection{Koeffizientenmatrix}
Dazu benötigt man erstmal eine Matrix mit so vielen Zeilen, wie das Gleichungssystem Gleichungen hat und so vielen Spalten, wie das Gleichungssystem Variablen besitzt.

Ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen in 3 Variablen würde also eine $4 \times 3$-Matrix erfordern.
In diese Matrix trägt man nun alle Koeffizienten des Gleichungssystems ein. Dabei sind auch die Nullen zu berücksichtigen, die vor nicht auftauchenden Variablen stehen.

Diese Matrix nennt man dann die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems, meistens wird sie mit $A$ bezeichnet.
\subsubsection{Beispiel}
Um auf unser obiges Beispiel zurückzukommen: Das Gleichungssystem

$$
\left.\begin{array}{rl}
	\text { (I) : } & 2 x_1+3 x_2+x_4 \\
	=2 \\
	\text { (II) : } & x_2-x_3 \\
	\text { (III) : } & x_1-x_2+x_3-x_4
\end{array}\right)=0
$$

hat die Koeffizientenmatrix

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
	2 & 3 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & -1 & 0 \\
	1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right)
$$


Platzsparend kann das ganze Gleichungssystem dann mit Hilfe von Matrizenmultiplikation aufgeschrieben werden:

$$
\left(\begin{array}{cccc}
	2 & 3 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & -1 & 0 \\
	1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	-1 \\
	0
\end{array}\right)
$$

Noch kürzer geht es so: $A x=b$.
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Jetzt fehlen allerdings noch die Zahlen auf der Seite der Gleichungen nach dem " $=$ ". Diese trägt man untereinander in einen Spaltenvektor ein und hängt diesen sozusagen rechts noch an die Matrix dran.

Den Vektor nennt man üblicherweise $b$.
Meistens trennt man Matrix und Vektor noch durch einen senkrechten Strich. Die entstehende Matrix mit einer Spalte mehr heißt erweiterte Koeffizientenmatrix und wird meist (Alb) geschrieben.

Beispiel
Das obige Gleichungssystem besitzt dann die erweiterte Koeffizientenmatrix

$$
(A \mid b)=\left(\begin{array}{cccc|c}
	2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\
	0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\
	1 & -1 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right)
$$


Lösungen und Lösungsmenge
Die Variablen $x_1$ bis $x_n$, die in einem Gleichungssystem vorkommen, sind gewissermaßen Platzhalter für reelle Zahlen.
Setzt man für die Variablen Zahlen ein und rechnet all die Summen aus, dann kann es sein, dass die Gleichungen nicht stimmen.
Beispielsweise könnte man in die Gleichung

$$
2 x_1+x_2=4
$$


Die Werte $x_1=1$ und $x_2=-1$ einsetzen. Dann steht da

$$
4=2 x_1+x_2=2 \cdot 1+(-1)=2-1=1
$$

und das ist offenbar Quatsch, denn $4 \neq 1$. Wenn wir allerdings $x_1=1$ und $x_2=2$ eingesetzt hätten, dann wäre die Gleichung richtig gewesen.

In diesem richtigen Fall nennen wir den Vektor

$$
\binom{1}{2}
$$

der aus den eingesetzten Zahlen in der Reihenfolge der Variablen besteht, eine Lösung der Gleichung.
In einem Gleichungssystem kommt meistens mehr als nur eine Gleichung vor. Setzen wir die Zahlen in allen Gleichungen gleichzeitig ein und sind alle Gleichungen erfüllt, dann heißt der Vektor eine Lösung des Gleichungssystems.

Einige Vektoren beinhalten also Lösungen eines Gleichungssystems, andere nicht.
Die Menge aller Vektoren, die Lösungen eines Gleichungssystems beschreiben, nennt man die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Sehr oft ist man vor die Aufgabe gestellt, die Lösung eines Gleichungssystems auszurechnen. In manchen Fallen kann man direkt sehen, was los ist.

Beispiel
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems

$$
\begin{aligned}
	\text { (I) : } & x_1+x_2 \\
	\text { (II) : } & x_2=1
\end{aligned}
$$

ist zum Beispiel

$$
L=\left\{\binom{1}{1}\right\}
$$

und besteht nur aus einem Vektor. Wegen $x_2=1$ muss der zweite Eintrag des Vektors 1 sein und dann kann diese 1 in die obere Gleichung eingesetzt werden und durch Umformung kommt auch $x_1=1$ heraus.

Nicht immer ist es aber so einfach, die Lösung abzulesen.
Lösungsverfahren
Was das Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems angeht, so gibt es drei Möglichkeiten.
Diese hängen aufs Engste mit dem Rang der Matrix zusammen. Im entsprechenden Artikel findet sich auch eine Charakterisierung des Lösungsverhaltens.

\begin{enumerate}
	\item Das Gleichungssystem hat überhaupt keine Lösung.
	\item Es gibt genau eine Lösung des Gleichungssystems.
	\item Es gibt sogar unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems.
\end{enumerate}

Um die Lösungsmenge eines Gleichungssystems zu bestimmen, muss auf jeden Fall das Gleichungssystem erst einmal vereinfacht werden.

Dazu gibt es den sogenannten Gauß-Algorithmus, den man auf die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems anwendet.
Der Gauß-Algorithmus überführt die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform. Aus dieser kann man sowohl das Lösungsverhalten als auch die Lösungsmenge erhalten.

Genaueres und Ausführliches dazu findest du im Artikel über das Ablesen von Lösungen.

\newpage

\section{Rangformel für lineare Gleichungssysteme}
Ein lineares Gleichungssystem $A x=b$ besitzt immer eine Lösungsmenge $L$. Es gibt drei Möglichkeiten:
\begin{enumerate}
	\item Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. Dann ist die Lösungsmenge die leere Menge, das heißt $L=\emptyset$.
	\item Es gibt genau eine Lösung. In diesem Fall besteht $L$ aus genau einem Punkt. Damit besitzt $L$ die Dimension $0$.
	\item Es gibt unendlich viele Lösungen. Dabei besitzt $L$ eine höhere Dimension und ist entweder eine Gerade, eine Ebene, ein Raum und so weiter.
\end{enumerate}

Die Matrix $A$ im Gleichungssystem $A x=b$ ist die Koeffizientenmatrix und sie besitzt natürlich einen Rang.
In dem Fall, dass es überhaupt eine Lösung gibt, hängt dieser Rang eng mit der Dimension von $L$ zusammen, und zwar nach folgender Formel:

$$
\operatorname{dim}(L)=n-\operatorname{Rang}(A)
$$


Was ist hier $n$ ? Hier gibt es viele Charakterisierungen:

\begin{enumerate}
	\item Es ist die Anzahl der Variablen im Gleichungssystem.
	\item $n$ entspricht auch der Spaltenanzahl der Koeffizientenmatrix $A$.
	\item Es ist die Dimension des $\mathbb{R}^n$, in dem die Lösungsmenge $L$ liegt.
	\item Es ist die Anzahl der Einträge der Lösungsvektoren.
\end{enumerate}


Achtung!
Falls du ein inhomogenes Gleichungssystem $A x=b$ vorgegeben hast, dann musst du zuerst immer feststellen, ob es überhaupt eine Lösung gibt.

Die Rangformel gilt nur, falls mindestens eine Lösung existiert.
Dies ist für homogene Gleichungssysteme aber garantiert - dort gibt es immer den Nullvektor als Lōsung.
\subsection{Beispiel 1}
Wir gucken uns das homogene Gleichungssystem $A x=0$ an, welches die Koeffizientenmatrix

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
	2 & 1 & 0 & 4 \\
	0 & -1 & 3 & 1 \\
	0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

besitzt. Hier gibt es 4 Variablen, beziehungsweise hat $A$ vier Spalten. Homogene Systeme besitzen immer mindestens eine Lösung, nämlich die Nulllösung

$$
\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)
$$

Deshalb können wir die Rangformel anwenden, um die Dimension der Lősungsmenge herauszubekommen.
Der Rang von $A$ ist 2 , denn es gibt 2 Nichtnullzeilen.
Außerdem ist in der Formel $n=4$, wegen der 4 Variablen. Damit gilt

$$
\begin{aligned}
	\operatorname{dim}(L) & =n-\operatorname{Rang}(A) \\
	& =4-2 \\
	& =2
\end{aligned}
$$


\subsection{Beispiel 2}
Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems $A x=b$ sei gegeben durch

$$
L=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	2 \\
	0
\end{array}\right) \right\rvert\, t \in \mathbb{R}\right\}
$$


Wir können mit der Rangformel den Rang der Koeffizientenmatrix $A$ bestimmen, auch wenn wir eigentlich gar nicht wissen, wie die aussieht.

In der Rangformel kommen außer $\operatorname{Rang}(A)$ noch die Dimension von $L$ und dieses $n$ vor.

$$
\operatorname{dim}(L)=n-\operatorname{Rang}(A)
$$


Dabei entspricht $n$ der Anzahl der Einträge in den Lösungsvektoren, hier also $n=3$.
Außerdem kommt in $L$ ein Parameter $t$ vor, der die unendlich vielen Lösungen beschreibt. Es gilt also $\operatorname{dim} (L)=1$. Wären es zwei Parameter gewesen, dann wäre die Dimension auch 2 und so weiter.

Also können wir einsetzen:

$$
1=3-\operatorname{Rang}(A)
$$


Umstellen nach $\operatorname{Rang}(A)$ liefert sofort

$$
\begin{aligned}
	\operatorname{Rang}(A) & =3-1 \\
	& =2
\end{aligned}
$$

\subsubsection{Beispiel 3}
Ein inhomogenes Gleichungssystem $A x=b$ habe die erweiterte Koeffizientenmatrix

$$
(A \mid b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
	-1 & 2 & 0 & 0 \\
	0 & -2 & 3 & 1 \\
	0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$


Dabei ist $A$

$$
\left(\begin{array}{ccc}
	-1 & 2 & 0 \\
	0 & -2 & 3 \\
	0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

mit dem Rang 2. Die Spaltenanzahl von $\boldsymbol{A}$ ist 3 , also würde man nach der Rangformel folgendes Resultat erwarten:

$$
\begin{aligned}
	\operatorname{dim}(L) & =n-\operatorname{Rang}(A) \\
	& =3-2 \\
	& =1
\end{aligned}
$$


Allerdings haben wir eine Sache übersehen:
Das Gleichungssystem besitzt überhaupt keine Lösung! - darauf musst du immer aufpassen.
Der Grund dafür, dass es keine Lösung gibt, ist der verschiedene Rang von ( Alb ) und $A$. Dieser Zusammenhang ist hier beschrieben.
Damit besitzt die Lösungsmenge $L$ überhaupt keine Dimension, denn sie ist leer:

$$
L=\emptyset
$$

\newpage

\section{Vielfache und lineare Abhängigkeit}
Um zu bestimmen, ob genau zwei Vektoren linear abhängig sind reicht es zu überprüfen, ob der eine ein Vielfaches des anderen ist.
Dieses Verfahren ist dabei deutlich schneller (und intuitiver) als die Standardprozedur zum Test auf lineare (Un)abhängig.
Grafisch wäre das etwa so. Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig:

\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{LA03.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}


Diese beiden hingegen sind linear abhängig, sie liegen auf derselben Geraden und sind Vielfache voneinander:


\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{LA04.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Um so etwas schnell (und ohne Zeichnung, was in vierdimensionalen Rāumen sowieso nicht geht) zu sehen, braucht man natürlich ein bisschen Übung.

Hier ein paar Beispiele. Die folgenden Vektoren sind Vielfache voneinander (daher linear abhängig):
Beispiel 1

$$
v=\binom{1}{2}, w=\binom{2}{4}
$$


Es ist natürlich $w=2 v$.
Beispiel 2
Auch diese beiden Vektoren sind Vielfache voneinander:

$$
v=\left(\begin{array}{c}
	-4 \\
	0 \\
	-2 \\
	2
\end{array}\right), w=\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	0 \\
	1 \\
	-1
\end{array}\right)
$$


Hier ist $v=-2 w$.
Beispiel 3
Die folgenden beiden Vektoren sind hingegen keine Vielfachen voneinander:

$$
v=\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	3 \\
	1
\end{array}\right), w=\left(\begin{array}{c}
	-2 \\
	0 \\
	2
\end{array}\right)
$$


Das sieht man zum Beispiel bequem an der Position der Nullen.
Aber auch ohne Nullen kann man lineare Abhängigkeit schnell mit dem Verfahren testen:
Beispiel 4

$$
v=\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	3 \\
	1
\end{array}\right), w=\left(\begin{array}{l}
	2 \\
	1 \\
	2
\end{array}\right)
$$


Die Überlegung ist dabei so:
Damit

$$
v=c \cdot w
$$

mit $c \in \mathbb{R}$ und $c \neq 0$ sein kann, müsste für die erste Komponente schon gelten, dass $c=\frac{1}{2}$ ist:

$$
\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	\ldots \\
	\ldots
\end{array}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	\ldots \\
	\ldots
\end{array}\right)
$$

für die zweite Komponente müsste gelten, dass $c=3$ ist:

$$
\left(\begin{array}{c}
	\ldots \\
	3 \\
	\ldots
\end{array}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c}
	\ldots \\
	1 \\
	\ldots
\end{array}\right)
$$

und für die dritte Komponente $c=2$. Wir bräuchten also unterschiedliche $c$-Werte und das geht leider nicht - daher sind auch diese Vektoren linear unabhängig.

Zusammenhang mit der Definition
Warum ist "Vielfache sein" für zwei Vektoren dasselbe wie linear abhängig sein?
Na , per Definition sind zwei Vektoren $v$ und $w$ linear abhängig, wenn es eine Linearkombination

$$
\alpha v+\beta w=0
$$

gibt, wobei mindestens einer der beiden Koeffizienten $\alpha$ und $\beta$ nicht $=0$ ist.
Das können wir umstellen:

$$
\alpha v=-\beta w
$$


Und jetzt, angenommen $\alpha \neq 0$, erhalten wir

$$
v=-\frac{\beta}{\alpha} w
$$


Also ist $w$ ein Vielfaches von $v$.

\newpage

\section{Matrizen in Vektoren umschreiben}

Für viele Rechenaufgaben benötigst du deine "Rechenobjekte" in der Form von Spaltenvektoren.
Manchmal sind allerdings Matrizen vorgegeben und du sollst zum Beispiel bestimmen, ob sie linear unabhängig sind.
Um das bequem auszurechnen, musst du die Matrizen zunächst in eine andere (bekannte) Form verwandeln - nämlich in entsprechende äquivalente Spaltenvektoren.

Verfahren
Schwierig ist das aber auf keinen Fall. Du startest links oben in der Matrix und gehst die erste Zeile ab.
Jeden Eintrag, den du findest, schreibst du untereinander in einen Spaltenvektor:

%$\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ \cdots\\ \cdots \end{array}\right)$


\[
\begin{tikzpicture}
	% Matrix setzen
	\matrix (A) [matrix of math nodes,left delimiter={(},right delimiter={)},outer sep=2pt]
	{
		2 & 0 \\
		0 & 1 \\
	};
	
	\matrix (B) [matrix of math nodes, right delimiter={)}, left delimiter={(}, right=2cm of A, outer sep=2pt] {
		2 \\
		0 \\
		\ldots \\
		\ldots \\
	};
	
	\draw[blue,line width=2pt,opacity=0.35,->,>={Triangle[length=0pt 4,width=0pt 2]}] (A-1-1.west) -- (A-1-2.east);
	\draw[thick, double distance=2pt, -{Implies}, opacity=1] ([xshift=15pt]A.east) -- ([xshift=-15pt]B.west);
\end{tikzpicture}
\]

Jetzt gehst du in die nächste Zeile und wiederholst alles, schreibst die weiteren Einträge aber immer weiter nach unten in den Vektor.

\[
\begin{tikzpicture}
	% Matrix setzen
	\matrix (A) [matrix of math nodes,left delimiter={(},right delimiter={)},outer sep=2pt]
	{
		2 & 0 \\
		0 & 1 \\
	};
	
	\matrix (B) [matrix of math nodes, right delimiter={)}, left delimiter={(}, right=2cm of A, outer sep=2pt] {
		2 \\
		0 \\
		0 \\
		1 \\
	};
	
	\draw[blue,line width=2pt,opacity=0.35,->,>={Triangle[length=0pt 4,width=0pt 3]}] (A-1-1.west) -- (A-1-2.east);
	
	\draw[blue,line width=1pt,dashed,opacity=0.35,->,>={Triangle[length=0pt 4,width=0pt 2]}] (A-1-2.east) -- (A-2-1.west);
	
	\draw[blue,line width=2pt,opacity=0.35,->,>={Triangle[length=0pt 4,width=0pt 3]}] (A-2-1.west) -- ([xshift=1pt]A-2-2.east);
	
	\draw[thick, double distance=2pt, -{Implies}, opacity=1] ([xshift=15pt]A.east) -- ([xshift=-15pt]B.west);
	
	%\draw ([xshift=5pt]A.east) -- node[above] {\Large$\Rightarrow$} ([xshift=-5pt]B.west);
	
	%\draw[opacity=1] ([xshift=5pt]A.east) -- node[above] {\Large$\Rightarrow$} ([xshift=-5pt]B.west);
\end{tikzpicture}
\]


Das war es schon. Wichtig ist, dass du die Reihenfolge des Ablesens genau einhältst (du könntest auch eine andere wählen, aber dann musst du es immer so machen).

Merkregel
Wie beim Buchlesen - oben anfangen, dann von links nach rechts. (Interessant wäre hier wirklich die Frage, ob zum Beispiel Saudi-arabische Mathematiker das anders machen)

Beispiele
Die beiden Matrizen

$$
\left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\
	3 & 4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
	5 & 6 \\
	7 & 8
\end{array}\right)
$$

werden zu den folgenden beiden Spaltenvektoren:

$$
\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	3 \\
	4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	5 \\
	6 \\
	7 \\
	8
\end{array}\right)
$$


Die Matrix

$$
\left(\begin{array}{cccc}
	2 & 3 & -1 & 0 \\
	1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right)
$$

wird zu diesem monströsen Vektor:

$$
\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	3 \\
	-1 \\
	0 \\
	1 \\
	-1 \\
	1 \\
	-1
\end{array}\right)
$$

\newpage

\section{Summe von Untervektorräumen}\label{SummeVonUntervektorraeumen}
Gegeben seien zwei Untervektorräume $U$ und $V$. Gelegentlich muss man sich mit der Summe $U+V$ beschäftigen.
Wer komplizierte Namen mag kann diese Konstruktion auch als Minkowski-Summe von Mengen bezeichnen.
\subsection{Was muss ich wissen?}
Zuerst mal das Wichtigste: Die Summe $U+V$ ist wieder ein Untervektorraum - und zwar derjenige, der alle Vektoren aus $U$ und alle aus $V$ enthält.

Allerdings műssen auch alle möglichen Summen von Vektoren aus $U$ und $V$ enthalten sein, denn Untervektorräume sind ja bekanntlich abgeschlossen bezüglich Summenbildung.
Was heißt das? Eigentlich ganz einfach: Der Raum $U+V$ besteht aus allen möglichen Summen von Vektoren $u+v$, wobei $u \in U$ und $v \in V$ gilt:

$$
U+V=\{u+v \mid u \in U, v \in V\}
$$


\subsection{Darstellung mit linearen Hüllen}
Besonders einfach gestaltet sich das mit der Summe, wenn die beiden Räume $U$ und $V$ als lineare Hullen gegeben sind, beispielsweise

$$
U=\left\langle u_1, \ldots, u_r\right\rangle
$$

und

$$
V=\left\langle v_1, \ldots, v_s\right\rangle
$$


Dann lässt sich die Summe $U+V$ wieder als lineare Hülle darstellen, und zwar so:

$$
U+V=\left\langle u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_s\right\rangle
$$

Beispiel
Ist beispielsweise

$$
U=\left\langle\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	1 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)\right\rangle
$$

und

$$
V=\left\langle\left(\begin{array}{l}
	-1 \\
	-1 \\
	-1 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right)\right\rangle
$$

dann ist die Summe gegeben durch

$$
U+V=\left\langle\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	1 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	-1 \\
	-1 \\
	-1 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right)\right\rangle
$$


\newpage


\section{Untervektorräume}

Ein Untervektorraum (manchmal auch nur Unterraum) ist erstmal auch ein Vektorraum. Zusätzlich ist er aber "eingebettet" in einen gröBeren Vektorraum.

Zur Definition eines Untervektorraums $U$ gehört also die Angabe eines Vektorraums $V$, von dem $U$ eine Teilmenge ist, also $U \subseteq V$. Wie man die Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert wird dabei durch die entsprechenden Regeln im größeren Vektorraum gegeben.

Was einen Untervektorraum aber von einer beliebigen Teilmenge eines Vektorraums unterscheidet, ist die Abgeschlossenheit.
Das bedeutet, dass man aus dem Untervektorraum durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen nicht "herauskommt", also immer wieder ein Vektor des Untervektorraums entsteht.

Zwei Teilmengen, die immer auch die Eigenschaften des Untervektorraums erfüllen sind
- Die Menge $V$ selbst (denn $V$ ist Vektorraum und $V \subseteq V$ )
- Der Nullvektorraum, also die Menge $\{0 \overrightarrow{\}}$, in der nur der Nullvektor enthalten ist.

Wie kann so etwas aussehen?
Die bekannteste Formen von Untervektorräumen sind wohl die Lōsungsmengen homogener Gleichungssysteme, wie etwa

$$
U=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2-x_3=0\right\}
$$


Diese kann man auch in der sogenannten Parameterform angeben, etwa so:

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^4 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	4
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-1 \\
	-3 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$


Aber auch bei linearen Hüllen handelt es sich stets um einen Untervektorraum.

\subsection{tWie prüfe ich, ob eine gegebene Menge Untervektorraum ist?}
Diese Aufgabe erfordert, dass wir erstmal einen Vektorraum $V$ gegeben haben und die Menge $U \subseteq V$, von der wir feststellen sollen, ob es sich um einen Untervektorraum handelt. Dazu gehst du dann so vor:
\begin{description}
	\item[I.] Ist $U$ die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems? Wenn ja, dann ist es automatisch ein Untervektorraum (siehe unten) und wir sind fertig.
	\item[II.] Liegt der Nullvektor in $U$? Wenn nicht, dann kann es kein Untervektorraum sein und wir können auch wieder aufhören.
	\item[III.] Hast du die erste Frage mit nein und die zweite mit ja beantwortet, musst du das Untervektorraumkriterium anwenden und zeigen, ob es zutrifft oder nicht.
\end{description}

Untervektorraum als Lösungsmenge eines homogenen LGS
Wenn die Menge $U$ die Form hat:

$$
U=\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid A x=0\right\}
$$

ist $U$ also die Lősungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems (LGS).
Man kann nachweisen (und vielleicht hast du das auch mal in der Vorlesung mitbekommen), dass jede Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystem ein Untervektorraum ist, also dann auch $U$.

Mit diesem Kriterium kann man ohne viel Aufwand eine Menge Unterräume identifizieren.
\subsection{Untervektorraum als Schnitt von Vektorräumen}
Schneidet man Vektorräume $U$ und $V$ miteinander, so entsteht immer ein neuer Vektorraum, der ein Untervektorraum von $U$ und $V$ ist. Mehr dazu findet man in diesem Artikel.

\subsection{Nullvektor nicht in $U=U$ ist kein UVR}
Da ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum ist, und Vektorräume immer einen Nullvektor enthalten müssen, muss natürlich auch $0 \in U$ gelten.

Das sieht man auch durch das weiter unten besprochene Untervektorraumkriterium. Einer der Punkte dort ist, dass alle Vielfachen von einem Element des Untervektorraums $U$ wieder in $U$ sein müssen. Als Formel:

Für alle $v \in U$ und $a \in \mathbb{R}$ gilt $a \cdot v \in U$
Das gilt auch für $a=0$ und damit muss der Nullvektor $(0 \cdot v=0)$ immer in $U$ sein, damit es ein Untervektorraum sein kann. Ist das nicht der Fall, kann $U$ folglich kein Untervektorraum sein.

\subsection{Das Untervektorraumkriterium}
Treffen die oben genannten Punkte nicht zu, gibt es noch ein allgemeines Kriterium, um herauszufinden, ob es sich bei einer Teilmenge $U \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ um einen Untervektorraum handelt.

Dazu muss gelten:
\begin{itemize}
	\item $U$ ist nicht die leere Menge.
	\item Sind $v, w \in U$ zwei Vektoren, so ist ihre Summe $v+w$ wieder ein Vektor aus $U$.
	\item Ist $v \in U$ ein Vektor und $a$ eine reelle Zahl, so ist $a \cdot v$ wieder ein Vektor aus $U$.
	
\end{itemize}

Da die meisten Untervektorräume durch eine Eigenschaft und nicht explizit durch bestimmte Vektoren gegeben sind, muss man nachprüfen, dass überhaupt irgendein Vektor die angegebene Eigenschaft erfüllt.

Wenn du dich an den Algorithmus gehalten hast, hast du ja bereits überprüft, ob $0 \in U$ gilt. Da du dich um das Untervektorraumkriterium nur kümmern musst, wenn $0 \in U$ ist, folgt gleich schon mal, dass $U \neq \emptyset$.

Die zweite und dritte Bedingung stellen dann die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition von Vektoren beziehungsweise der Skalarmultiplikation sicher. Wie man das macht schauen wir uns am besten am Beispiel an.

Vorher aber noch eine kleiner Bemerkung: Manchmal verpackt man die letzten beiden Punkte auch in Einen. Dazu fordert man dann:
Sind $v, w \in U$ zwei Vektoren und $a, b \in \mathbb{R}$, so ist auch $a \cdot v+b \cdot w$ ein Vektor aus $U$.
Wir werden es der Übersicht halber immer mit den beiden oben angegeben Punkten versuchen, aber wer es schneller mag, kann das auch hier beides mit diesem einen Punkt erledigen.

\section{Beispiel Untervektorraumkriterium}
Wir betrachten den $\underline{\mathbb{R}^3}$ und die Teilmenge

$$
W:=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}\right\}
$$

also alle Vektoren, die in der dritten Komponente immer eine 0 stehen haben.
$U$ ist dann ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$. Das zeigen wir jetzt mit dem Kriterium.
$U$ nicht leer:
Zuerst gilt $0 \in W$, denn für $x=0$ und $y=0$ erhalten wir den Nullvektor und da dieser auch in der dritten Komponente eine 0 hat, ist er ein Vektor, der die Bedingung erfüllt.

Summe zweier Vektoren wieder in $U$ enthalten:
Sind zwei Vektoren

$$
\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	u \\
	v \\
	0
\end{array}\right)
$$

aus $U$ gegeben, so liegt auch ihre Summe in $U$, denn

$$
\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
	u \\
	v \\
	0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	x+u \\
	y+v \\
	0
\end{array}\right)
$$

und dieser Vektor hat wieder 0 als dritten Eintrag. Genauso verhält es sich mit der Skalarmultiplikation.
Vielfaches der Elemente wieder in $U$ enthalten
Denn ist $a$ eine reelle Zahl, so gilt

$$
a\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	a x \\
	a y \\
	0
\end{array}\right)
$$

und auch dieser Vektor liegt in $U$, denn er enthält als dritten Eintrag eine 0 .
Damit ist das Untervektorraumkriterium erfüllt und $U$ ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$.

\subsubsection{Allgemeines Beispiel 1}
Die Menge

$$
U=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2=x_3\right\}
$$

ist ein Untervektorraum von $V=\mathbb{R}^3$, denn es ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS. Das sieht man, wenn man die Gleichung in der Menge umschreibt:

$$
x_1+x_2=x_3 \Leftrightarrow x_1+x_2-x_3=0
$$


\subsubsection{Allgemeines Beispiel 2}
Die Menge

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

ist kein Untervektorraum von $V=\mathbb{R}^3$. Es handelt sich zunächst nicht um die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems (dazu müsste der Vektor $(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ weg).

Damit der Nullvektor in $U$ liegt, müsste man $s$ und $t$ finden, sodass:

$$
\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)
$$


Das geht aber nicht, denn aus der zweiten Zeile folgt $s=0$, aus der dritten Zeile $t=0$ und somit folgt für die erste Zeile:

$$
1+0+0=0
$$

$U$ ist also kein Untervektorraum, weil $0 \notin U$.
Allgemeines Beispiel 3
Ändern wir die Menge des letzten Beispiels so ab, dass

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

so handelt es sich um die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems und dementsprechend um einen Untervektorraum.

Hier gilt es zu beachten, wie man die Lösungsmenge von Gleichungssystemen darstellen kann. Dazu kann man ja mal die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus unserem ersten Beispiel bestimmen:

$$
x_1+x_2-x_3=0
$$

Allgemeines Beispiel 3
Ändern wir die Menge des letzten Beispiels so $a b$, dass

$$
\left.U=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, \begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

so handelt es sich um die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems und dementsprechend um einen Untervektorraum.

Hier gilt es zu beachten, wie man die Lösungsmenge von Gleichungssystemen darstellen kann. Dazu kann man ja mal die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus unserem ersten Beispiel bestimmen:

$$
x_1+x_2-x_3=0
$$


Diese Lösungsmenge ist genau unsere gegebene Menge, nur eben anders formuliert:

$$
\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2=x_3\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

\newpage

\section{Homogene lineare Gleichungssysteme}
\subsection{Definition}
Wir denken uns ein beliebiges lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix $A$ und einem festen Vektor $b$. Wir schreiben dann

$$
A x=b
$$

mit dem Lösungsvektor $x$. Alle $x$, für die das stimmt, sind Lösungen des Gleichungssystems.
So, jetzt kommt's. Das Gleichungssystem heißt homogen, wenn $b=0$ ist, die rechte Seite der Gleichungen im Gleichungssystem also nur aus Nullen besteht.

Die obige Gleichung sieht also so aus:

$$
A x=0
$$


Ansonsten, wenn nicht alle $b_i=0$ sind, dann heißt das Gleichungssystem inhomogen (siehe hier).
\subsection{Konsequenzen}
Die Gleichung $A x=0$ hat eine ziemlich direkte Auswirkung:
Ein homogenes Gleichungssystem besitzt immer mindestens eine Lösung, nämlich $x=0$.
Woran liegt das? Wenn wir uns eine beliebige Gleichung mit den Variablen $x_1$ bis $x_n$ vorgeben, zum Beispiel

$$
2 x_1-x_2+3 x_4=0
$$

dann können wir einfach

$$
x_1=x_2=x_3=x_4=0
$$

setzen und dann steht da $0=0$, also eine wahre Aussage, es stimmt alles. Wenn irgendein Eintrag von $b$ nicht $0$ wäre, dann würde das nicht in jedem Fall gehen.

Wie man im Artikel über den Rang nachlesen kann, bedeutet das dann auch, dass ein homogenes Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, wenn in der Zeilenstufenform von $A$ eine Nullzeile vorkommt.

\subsection{Lösungsverfahren}
Ein homogenes Gleichungssystem wird genauso gelöst wie ein normales, allgemeines lineares Gleichungssystem. Am besten du benutzt dazu auch den Gauß-Algorithmus.

Der einzige Unterschied ist, dass du keine erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen musst, sondern nur mit der Koeffizientenmatrix $A$ arbeitest.

Da die Einträge von $b$ eh alle $0$ sind und sich das durch elementare Zeilenumformungen auch nicht ändern würde, kannst du die Nullspalte in der erweiterten Koeffizientenmatrix auch genauso gut weglassen.

Mehr zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (und insbesondere auch homogenen) findest du im Artikel zu dem Gauß-Algorithmus, im Theorieblock über allgemeine lineare Gleichungssysteme und im Artikel über das Ablesen von Lösungen aus der Zeilenstufenform.

\newpage

\section{Die Zeilenstufenform}\label{Zeilenstufenform}
Die Zeilenstufenform ist eine bestimmte Gestalt von Matrizen.
\subsection{Was ist die Zeilenstufenform?}
Um diese Frage zu beantworten, hier eine einfache Beschreibung:
In jeder Zeile (von oben nach unten) der Matrix müssen am Anfang der Zeile mehr Nullen stehen als in allen vorherigen Zeilen.
Dadurch ergeben sich die "Stufen", die der Zeilenstufenform ihren Namen geben. Vielleicht sind dir auch die speziellen Formen "Dreiecksgestalt" oder "Trapezform" ein Begriff.

Letztlich sind das aber auch nur bestimmte Zeilenstufenformen.
\subsection{Erstes Beispiel}
Beispielsweise ist die folgende Matrix in Zeilenstufenform. Die Stufen sind dabei durch Striche eingezeichnet:
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		
		% Matrix mit Zahlen
		\matrix (m) [matrix of math nodes, 
		nodes in empty cells,
		left delimiter={(}, 
		right delimiter={)},
		column sep=1em, row sep=1em,
		minimum height=1.25em, minimum width=1.25em,
		anchor=center] 
		{
			\textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{2} & 2 \\
			0 & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} & 5 \\
			0 & 0 & \textcolor{blue}{-1} & 1 \\
			0 & 0 & 0 & 0\\
		};
		
		% Treppe zeichnen
		\draw[thick] (m-1-1.north west) -- (m-1-1.south west) -- (m-1-2.south west) -- (m-2-2.south west) -- (m-2-2.south east)
		-- ([xshift=-4pt]m-2-3.south west) -- (m-3-3.south west) -- (m-3-4.south east);
	\end{tikzpicture}
\end{center}




Die ersten beiden Stufen haben jeweils die Länge 1, die dritte hat die Länge 2. Es gibt keine Einschränkung, wie "groß" eine Stufe sein muss oder sein darf.

Diese Form nennt man manchmal auch Trapezform, weil man die Linien auch wie ein Trapez ziehen kann:

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		
		% Matrix mit Zahlen
		\matrix (m) [matrix of math nodes, 
		nodes in empty cells,
		left delimiter={(}, 
		right delimiter={)},
		column sep=1em, row sep=1em,
		minimum height=1.25em, minimum width=1.25em,
		anchor=center] 
		{
			2 & 4 & 2 & 2 \\
			0 & 1 & 1 & 5 \\
			0 & 0 & -1 & 1 \\
			0 & 0 & 0 & 0\\
		};
		
		% Treppe zeichnen
		\draw[thick,red] (m-1-1.center) -- (m-1-4.center) -- (m-3-4.center) -- (m-3-3.center) -- (m-1-1.center);
	\end{tikzpicture}
\end{center}




\subsection{Ein weiteres Beispiel}
Die erste Zeile darf dabei auch mit null beginnen. Die folgende Matrix ist daher ebenso in Zeilenstufenform:

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		[scale=0.5]
		% Matrix mit Zahlen
		\matrix (m) [matrix of math nodes, 
		nodes in empty cells,
		left delimiter={(}, 
		right delimiter={)},
		column sep=1em, row sep=1em,
		minimum height=1.25em, minimum width=1.25em,
		anchor=center] 
		{
			0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 
			0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 3 \\ 
			0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		};
		
		\draw[thick] (m-1-1.north east) -- ([yshift=-2mm]m-1-1.south east) -- ([yshift=-2mm,xshift=-1mm]m-1-4.south west) -- ([xshift=-1mm,yshift=-2mm]m-2-4.south west) -- ([yshift=-2mm]m-2-4.south east) -- ([yshift=-2mm,xshift=-2mm]m-2-5.south west) -- ([xshift=-2mm,yshift=-2mm]m-3-5.south west) -- ([yshift=-2mm]m-3-6.south east);
	\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection{Eigenschaften}
Die Bedingung der Zeilenstufenform führt dazu, dass alle vorkommenden Nullzeilen der Matrix sich auf den letzten Zeilen befinden.

Eine Matrix kann verschiedene Zeilenstufenformen haben. Beispielsweise könnte man einfach die erste Zeile mit 2 multiplizieren und eine andere Zeilenstufenform erhalten.

Das ist sehr wichtig, wenn man Ergebnisse vergleichen will, weil es bei der Bestimmung einer Zeilenstufenform eben nicht eine, sondern viele Lösungen gibt.

Was bei den verschiedenen Zeilenstufenformen einer Matrix übereinstimmen sollte ist die Anzahl der Nullzeilen:
Die Anzahl der Nullzeilen ist in jeder Zeilenstufenform einer Matrix gleich.
Es gibt eine besondere Zeilenstufenform, die reduzierte Zeilenstufenform, die für jede Matrix sogar komplett eindeutig bestimmt ist, mit allen Einträgen.

\subsection{Beispiele 1}
Folgende Matrizen befinden sich in Zeilenstufenform.

$$
\left(\begin{array}{ll}
	0 & 0 \\
	0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
	0 & 2 & 3 & 4 \\
	0 & 0 & 2 & 3 \\
	0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
	1 & 1 & 0 \\
	0 & 1 & 1 \\
	0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$


Die letzte Matrix hat dabei "Dreiecksgestalt", weil man analog zur Trapezform hier ein Dreieck über die Einträgen malen kann, die nicht null sind:

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		
		% Matrix mit Zahlen
		\matrix (m) [matrix of math nodes, 
		nodes in empty cells,
		left delimiter={(}, 
		right delimiter={)},
		column sep=1em, row sep=1em,
		minimum height=1.25em, minimum width=1.25em,
		anchor=center] 
		{
			1 & 1 & 0 \\
			0 & 1 & 1 \\ 
			0 & 0 & 1 \\
		};
		
		% Treppe zeichnen
		\draw[thick,blue] (m-1-1.center) -- (m-1-3.center) -- (m-3-3.center) -- (m-1-1.center) ;
	\end{tikzpicture}
\end{center}



Beispiele 2
Die folgenden Matrizen befinden sich hingegen nicht in Zeilenstufenform.

$$
\left(\begin{array}{ll}
	2 & 1 \\
	1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
	1 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 1 \\
	0 & 0 & 2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
	2 & -1 & 2 & -1 \\
	0 & 0 & 0 & 1 \\
	0 & 4 & 3 & 2 \\
	0 & 0 & 4 & 3
\end{array}\right)
$$


Die letzte Matrix könnte man durch Umsortieren der Zeilen noch in Zeilenstufenform bringen, bei den anderen beiden kommt man an Additionen von Zeilen zu anderen nicht vorbei.

Berechnung und weitere Anwendung
Jede Matrix kann man durch elementare Zeilenumformungen in eine ihrer Zeilenstufenformen überführen.
Zur Berechnung der Zeilenstufenform dient der GauB-Algorithmus. Im dazugehörigen Artikel wird auch das Rechenverfahren beschrieben.

Beim Berechnen der linearen Unabhăngigkeit mit Parametern gibt es Tricks, die Zeilenstufenform leichter zu berechnen. Wie das geht steht hier

Wie du aus der Zeilenstufenform die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems abliest, wird hier beschrieben.
Möchte man aus einem Erzeugendensystems eines Vektorraums eine Basis auswählen möchte hilft einem die Zeilenstufenform auch wie genau steht hier.


\newpage

\section{Die reduzierte Zeilenstufenform}

Wir setzen hier voraus, dass dir bekannt ist, was die Zeilenstufenform einer Matrix ist.
\subsection{Was ist die reduzierte Zeilenstufenform?}
In der Zeilenstufenform bist du fertig, wenn du die maximale Anzahl an Nullzeilen erreicht hast und bei jeder Zeile eine "Treppenstufe" zu finden ist.

An die Werte der übrigbleibenden Einträge ist jedoch keine Bedingung gestellt.
Die reduzierte Zeilenstufenform setzt genau da an. Sie bezeichnet eine möglichst einfache Zeilenstufenform, mit möglichst vielen Nullen und Einsen in der Matrix.

Der erste Eintrag ungleich 0 jeder Zeile, also die erste Zahl $\neq 0$ in jeder Stufe, soll dabei 1 sein. Außerdem sollen alle darüberliegenden Zahlen 0 sein.

\subsubsection{Beispiel}
Die folgende Matrix erfült genau das. Die Stufenanfänge sind 1 , die darüberliegenden Einträge sind alle 0 .

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

\subsection{Wie bekommt man die reduzierte Zeilenstufenform?}
Sehen wir uns mal als Beispiel eine Zeilenstufenform an:

$\left(\begin{array}{cccc}\lfloor 2 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Diese Zeilenstufenform ist nicht reduziert, denn am Anfang der ersten und dritten Zeile stehen 2 und -1 .
Durch Multiplikation der Zeilen mit entsprechenden Zahlen $\frac{1}{2}$ und -1 bekäme man die weg. Dann sähe die Zeilenstufenform so aus:

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Das ist aber immer noch nicht die reduzierte Zeilenstufenform, denn über den Anfängen der Stufen sollen überall noch Nullen stehen.
Das ist in der dritten Spalte nicht der Fall. Durch Subtraktion der dritten Zeile von den darüberliegenden erhält man schließlich

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$


Diese Zeilenstufenform ist reduziert. Am Anfang jeder Stufe steht eine 1 und darüber sind nur Nullen zu finden, so wie gefordert.
Zur Berechnung der reduzierten Zeilenstufenform verwendet man den Gauß-Jordan-Algorithmus. Im Grunde genommen haben wir etwas Ähnliches schon eben gerade gemacht.

\subsection{Eigenschaften}
Jetzt kommt noch eine tolle Eigenschaft der reduzierten Zeilenstufenform:
Es gibt zu jeder Matrix nur eine einzige reduzierte Zeilenstufenform. Egal welchen Rechenweg du anwendest und welche Operationen du durchführst, wenn du am Ende bei der reduzierten Zeilenstufenform landest, dann ist die immer gleich.

Die reduzierte Zeilenstufenform einer Matrix ist eindeutig.
Das, was wir da oben ausgerechnet haben, hätten wir also immer herausbekommen, wenn wir mit der gleichen Matrix angefangen hätten.

Egal, ob wir dabei seltsame Umwege oder unsinnige Zwischenschritte durchgeführt hätten.
\subsubsection{Beispiele}
Zum Abschluss bringen wir noch ein paar Beispiele für reduzierte Zeilenstufenformen:

$$
\left(\begin{array}{ll}
	1 & 0 \\
	0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
	1 & 2 & 0 \\
	0 & 0 & 1 \\
	0 & 0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
	1 & 5 & 0 & 2 \\
	0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$


Und auch noch ein paar Beispiele von Zeilenstufenformen, die nicht reduziert sind.

$$
\left(\begin{array}{lll}
	2 & 0 & 0 \\
	0 & 0 & 1 \\
	0 & 0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
	1 & 1 \\
	0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}
	1 & -1 & 0 \\
	0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$


Bei der ersten steht eine 2, wo eigentlich eine 1 stehen müsste (nämlich am Anfang einer Stufe).
Bei der zweiten stimmt zwar mit den Anfängen der Stufen alles, aber über der zweiten Stufe steht rechts oben noch eine 1 statt einer 0 .
Bei der dritten Matrix stimmt die -1 nicht. Sie müsste noch 0 werden, da sie über dem Anfang der zweiten Stufe steht.

\newpage

\section{Der Gauß-Jordan-Algorithmus}

Beschreibung
Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist eine Erweiterung des Gauß-Algorithmus.
Während der Gauß-Algorithmus dazu da ist, eine Matrix in Zeilenstufenform zu überführen, geht der Gauß-Jordan-Algorithmus noch weiter und erzeugt sogar die (eindeutig bestimmte) reduzierte Zeilenstufenform.

Die ersten Schritte beider Algorithmen sind gleich. Wir können also davon ausgehen, dass der GauB-Algorithmus bereits angewendet wurde und die betrachtete Matrix in Zeilenstufenform ist.

Zwei Schritte sind nun noch notwendig:
- Die ersten Einträge der "Stufen" müssen 1 sein. Das funktioniert durch Multiplikation mit dem Kehrwert.
- Die Einträge über den Anfängen der Stufen müssen alle 0 werden. Dazu kann man die Zeile, wo die Stufe anfängt, zu den darüberliegenden addieren oder von ihnen abziehen.

Beispiel
Hier mal eine Zeilenstufenform:

Die blau markierten Zahlen sind die Stufenanfänge der jeweiligen Zeile. Sie müssen 1 werden.
Die rot markierten Einträge sind die Einträge über den Stufenanfängen. Diese müssen alle 0 werden.
Die Eintrăge in der letzten Spalte stehen nicht über einem Stufenanfang. Sie können bleiben.
Die Rechenschritte
Jetzt kommen die einzelnen Rechenschritte, um aus der Zeilenstufenform die reduzierte Zeilenstufenform zu machen.
Schritt 1: Stufenanfang auf 1 bringen
Der erste Teil betriftt die Normierung der Stufenanfänge auf 1. Hierzu gehst du einfach alle Zeilen nacheinander durch und teilst jeweils die gesamte Zeile durch den ersten Eintrag der Zeile, der nicht null ist (den Stufenanfang).

Beispiel
Wir hatten diese Matrix:

$\left(\begin{array}{cccc}\lfloor 2 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Wir fangen in der ersten Zeile an. Der erste Eintrag ist 2 , was nicht 1 ist. Also multiplizieren wir die ganze Zeile mit $\frac{1}{2}$.
Dann gehen wir in die zweite Zeile. Der erste Nicht-Null-Eintrag ist 1, was okay ist.
Also gehen wir zur dritten Zeile. Dort ist der Eintrag -1 , was nicht 1 ist. Wir multiplizieren deshalb die ganze Zeile mit -1 .
Dann kommt heraus:

$\left(\begin{array}{cccc}\begin{array}{|ccc}1 & 2 & 1\end{array} & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Schritt 2: Nullen erzeugen
Der zweite Teil des Algorithmus betrifft nun die Einträge über den Stufenanfängen. Diese müssen alle 0 werden.
1. Beginne in der letzten Spalte.
II. Suche den untersten Eintrag, der nicht 0 ist und nimm den vordersten Eintrag (also den Stufenanfang) dieser Zeile (nennen wir die Zeile mal $a$ )
III. Sieh dir den nächsten darüberliegenden Eintrag an (der nicht 0 ist). Die zugehörige Zeile nennen wir mal $b$ und der Wert des Eintrages sei $x$.
IV. Ziehe das $x$-fache der Zeile $a$ von der darüberliegenden Zeile $b$ ab.
V. Wiederhole die letzten beiden Schritte auch mit den darüberliegenden Zeilen, bis alle Einträge über dem Stufenanfang 0 sind.
VI. Gehe eine Spalte nach links und wiederhole ab Schritt 2.

Beispiel
Wir sehen uns an, was in unserem Beispiel passiert:

Wir fangen in der letzten Spalte an, der unterste Eintrag ist -1. Dieser ist jedoch nicht der Anfang der Stufe, also gehen wir eine Spalte nach links (in die dritte Spalte).

Dort ist der unterste Eintrag (in der dritten Zeile) 1 und er ist der Anfang der Stufe. Gleich darüber liegt auch eine 1.
Ziehe also das 1 -fache der dritten Zeile von der zweiten Zeile ab.

Jetzt ist in der ersten Zeile noch die 1. Wir ziehen also auch das 1-fache der dritten Zeile von der ersten ab.


Jetzt ist über dem Stufenanfang in der dritten Spalte keine Zahl außer 0 mehr, wir gehen also eine Spalte nach links.
Dort ist der unterste Eintrag die 1 in der zweiten Zeile. Es handelt sich um den Anfang der Stufe.
Darüber liegt eine 2, also ziehen wir das 2-fache der zweiten Zeile von der ersten ab.

Jetzt ist auch in der zweiten Spalte alles in Ordnung und wir gehen eine Spalte weiter nach links in die erste Spalte. Dort ist aber nichts zu tun, denn über dem Stufenanfang liegt kein weiterer Eintrag.

Fertig.
Kurze Anmerkung
Man kann die beiden Teilabschnitte des Algorithmus auch vertauschen. Manchmal ist das praktischer, wenn ansonsten durch das Multiplizieren mit den Kehrwerten zu viele Brüche entstehen würden.

Dann muss man natürlich sehen, dass man beim Aufräumen über den Stufenanfängen (die nicht alle 1 sind) die entsprechenden Vielfachen der Zeile addiert oder abzieht.

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\section{Elementare Zeilenumformungen}

\subsection{Was sind elementare Zeilenumformungen?}

In der linearen Algebra beschäftigt man sich zu sehr großen Teilen mit linearen Gleichungssystemen und Matrizen.
Meistens möchte man die Gleichungssysteme oder Matrizen in eine einfachere Form bringen, an denen sich ihre Eigenschaften leichter ablesen lassen.

Dazu kann man aber nicht einfach so beliebig irgendwelche Zahlen austauschen, sondern muss die sogenannten elementaren Zeilenumformungen anwenden. Davon gibt es drei Stück:
- Vertauschen von zwei Zeilen,
- Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl (außer 0),
- Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

Man kann beliebig viele von ihnen hintereinander durchführen, um die gewünschte Gestalt des Gleichungssystems oder der Matrix zu erreichen.

Was macht diese drei Umformungen so besonders?
Bei Matrizen verändern sich durch solche Umformungen die wesentlichen Eigenschaften der Matrix nicht (Rang, Lösung des zugehörigen Gleichungssystems, reduzierte Zeilenstufenform, Invertierbarkeit und so weiter).

Diese drei elementaren Umformungen sind nämlich diejenigen, bei denen "keine Information verlorengeht", denn die Umformungen sind auch jederzeit umkehrbar.

Multiplikation einer Zeile mit 0 ist hingegen keine elementare Zeilenumformung, weil dadurch alle Einträge der Zeile zu 0 werden, also sämtliche Information über die Zeile verlorengeht.

Wir sehen uns jetzt jede der drei Umformungen noch mal etwas genauer an:
Vertauschen von zwei Zeilen
Sowohl lineare Gleichungssysteme als auch Matrizen besitzen Zeilen, die man vertauschen kann.
Dadurch geht keine Information verloren, denn wir könnten die Zeilen ja jederzeit wieder zurücktauschen.
Diese Umformung wird bei uns generell so notiert:

$$
(\mathrm{k}): \leftrightarrow(\mathrm{l}) \leadsto
$$


Dabei geben $k$ und $l$ an, um welche Zeilen es sich handelt (also zum Beispiel (I) und (II)) und der Pfeil $\cdots$ soll symbolisieren, dass sich etwas verändert.

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\section{Untervektorräume}
Ein Untervektorraum (manchmal auch nur Unterraum) ist erstmal auch ein Vektorraum. Zusätzlich ist er aber "eingebettet" in einen größeren Vektorraum.

Zur Definition eines Untervektorraums $U$ gehört also die Angabe eines Vektorraums $V$, von dem $U$ eine Teilmenge ist, also $U \subseteq V$.
Wie man die Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert wird dabei durch die entsprechenden Regeln im größeren Vektorraum gegeben.

Was einen Untervektorraum aber von einer beliebigen Teilmenge eines Vektorraums unterscheidet, ist die Abgeschlossenheit.
Das bedeutet, dass man aus dem Untervektorraum durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen nicht "herauskommt", also immer wieder ein Vektor des Untervektorraums entsteht.

Zwei Teilmengen, die immer auch die Eigenschaften des Untervektorraums erfüllen sind
- Die Menge $V$ selbst (denn $V$ ist Vektorraum und $V \subseteq V$ )
- Der Nullvektorraum, also die Menge $\{0\}$, in der nur der Nullvektor enthalten ist.

\subsection{Wie kann so etwas aussehen?}
Die bekannteste Formen von Untervektorräumen sind wohl die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme, wie etwa

$$
U=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2-x_3=0\right\}
$$


Diese kann man auch in der sogenannten Parameterform angeben, etwa so:

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^4 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3 \\
	x_4
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	4
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-1 \\
	-3 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$


Aber auch bei linearen Hüllen handelt es sich stets um einen Untervektorraum.

\subsection{Wie prüfe ich, ob eine gegebene Menge Untervektorraum ist?}
Diese Aufgabe erfordert, dass wir erstmal einen Vektorraum $V$ gegeben haben und die Menge $U \subseteq V$, von der wir feststellen sollen, ob es sich um einen Untervektorraum handelt. Dazu gehst du dann so vor:
I. Ist $U$ die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems? Wenn ja, dann ist es automatisch ein Untervektorraum (siehe unten) und wir sind fertig.
II. Liegt der Nullvektor in $U$ ? Wenn nicht, dann kann es kein Untervektorraum sein und wir können auch wieder aufhören.
III. Hast du die erste Frage mit nein und die zweite mit ja beantwortet, musst du das Untervektorraumkriterium anwenden und zeigen, ob es zutrifft oder nicht.

\subsection{Untervektorraum als Lösungsmenge eines homogenen LGS}
Wenn die Menge $U$ die Form hat:

$$
U=\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid A x=0\right\}
$$

ist $U$ also die Lősungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems (LGS).
Man kann nachweisen (und vielleicht hast du das auch mal in der Vorlesung mitbekommen), dass jede Lősungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystem ein Untervektorraum ist, also dann auch $U$.

Mit diesem Kriterium kann man ohne viel Aufwand eine Menge Unterrăume identifizieren.
\subsection{Untervektorraum als Schnitt von Vektorräumen}
Schneidet man Vektorräume $U$ und $V$ miteinander, so entsteht immer ein neuer Vektorraum, der ein Untervektorraum von $U$ und $V$ ist. Mehr dazu findet man in diesem Artikel.

\subsection{Nullvektor nicht in $U=U$ ist kein UVR}
Da ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum ist, und Vektorräume immer einen Nullvektor enthalten müssen, muss natürlich auch $0 \in U$ gelten.

Das sieht man auch durch das weiter unten besprochene Untervektorraumkriterium. Einer der Punkte dort ist, dass alle Vielfachen von einem Element des Untervektorraums $U$ wieder in $U$ sein müssen. Als Formel:

Für alle $v \in U$ und $a \in \mathbb{R}$ gilt $a \cdot v \in U$
Das gilt auch für $a=0$ und damit muss der Nullvektor $(0 \cdot v=0)$ immer in $U$ sein, damit es ein Untervektorraum sein kann. Ist das nicht der Fall, kann $U$ folglich kein Untervektorraum sein.



\subsection{Das Untervektorraumkriterium}
Treffen die oben genannten Punkte nicht zu, gibt es noch ein allgemeines Kriterium, um herauszufinden, ob es sich bei einer Teilmenge $U \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ um einen Untervektorraum handelt.

Dazu muss gelten:
- $U$ ist nicht die leere Menge.
- Sind $v, w \in U$ zwei Vektoren, so ist ihre Summe $v+w$ wieder ein Vektor aus $U$.
- Ist $v \in U$ ein Vektor und $a$ eine reelle Zahl, so ist $a \cdot v$ wieder ein Vektor aus $U$.

Da die meisten Untervektorräume durch eine Eigenschaft und nicht explizit durch bestimmte Vektoren gegeben sind, muss man nachprüfen, dass überhaupt irgendein Vektor die angegebene Eigenschaft erfüll.

Wenn du dich an den Algorithmus gehalten hast, hast du ja bereits überprüft, ob $0 \in U$ gilt. Da du dich um das Untervektorraumkriterium nur kümmern musst, wenn $0 \in U$ ist, folgt gleich schonmal, dass $U \neq \emptyset$.

Die zweite und dritte Bedingung stellen dann die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition von Vektoren beziehungsweise der Skalarmultiplikation sicher. Wie man das macht schauen wir uns am besten am Beispiel an.

Vorher aber noch eine kleiner Bemerkung: Manchmal verpackt man die letzten beiden Punkte auch in Einen. Dazu fordert man dann:
Sind $v, w \in U$ zwei Vektoren und $a, b \in \mathbb{R}$, so ist auch $a \cdot v+b \cdot w$ ein Vektor aus $U$.
Wir werden es der Übersicht halber immer mit den beiden oben angegeben Punkten versuchen, aber wer es schneller mag, kann das auch hier beides mit diesem einen Punkt erledigen.

\subsection{Beispiel Untervektorraumkriterium}
Wir betrachten den $\underline{\mathbb{R}^3}$ und die Teilmenge

$$
W:=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}\right\}
$$

also alle Vektoren, die in der dritten Komponente immer eine 0 stehen haben.
$U$ ist dann ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$. Das zeigen wir jetzt mit dem Kriterium.
$U$ nicht leer:
Zuerst gilt $0 \in W$, denn für $x=0$ und $y=0$ erhalten wir den Nullvektor und da dieser auch in der dritten Komponente eine 0 hat, ist er ein Vektor, der die Bedingung erfült.

Summe zweier Vektoren wieder in $U$ enthalten:
Sind zwei Vektoren

$$
\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	u \\
	v \\
	0
\end{array}\right)
$$

aus $U$ gegeben, so liegt auch ihre Summe in $U$, denn

$$
\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
	u \\
	v \\
	0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	x+u \\
	y+v \\
	0
\end{array}\right)
$$



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

und dieser Vektor hat wieder 0 als dritten Eintrag. Genauso verhält es sich mit der Skalarmultiplikation.
Vielfaches der Elemente wieder in $U$ enthalten
Denn ist $a$ eine reelle Zahl, so gilt

$$
a\left(\begin{array}{l}
	x \\
	y \\
	0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	a x \\
	a y \\
	0
\end{array}\right)
$$

und auch dieser Vektor liegt in $U$, denn er enthält als dritten Eintrag eine 0 .
Damit ist das Untervektorraumkriterium erfüllt und $U$ ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$.
\subsection{Allgemeines Beispiel 1}
Die Menge

$$
U=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2=x_3\right\}
$$

ist ein Untervektorraum von $V=\mathbb{R}^3$, denn es ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS. Das sieht man, wenn man die Gleichung in der Menge umschreibt:

$$
x_1+x_2=x_3 \Leftrightarrow x_1+x_2-x_3=0
$$


\subsection{Allgemeines Beispiel 2}
Die Menge

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

ist kein Untervektorraum von $V=\mathbb{R}^3$. Es handelt sich zunächst nicht um die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems (dazu müsste der Vektor $(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ weg).

Damit der Nullvektor in $U$ liegt, müsste man $s$ und $t$ finden, sodass:

$$
\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right)
$$


Das geht aber nicht, denn aus der zweiten Zeile folgt $s=0$, aus der dritten Zeile $t=0$ und somit folgt für die erste Zeile:

$$
1+0+0=0
$$

$U$ ist also kein Untervektorraum, weil $0 \notin U$.
\subsection{Allgemeines Beispiel 3}
Ändern wir die Menge des letzten Beispiels so ab, dass

$$
U=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$

so handelt es sich um die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems und dementsprechend um einen Untervektorraum.

Hier gilt es zu beachten, wie man die Lösungsmenge von Gleichungssystemen darstellen kann. Dazu kann man ja mal die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus unserem ersten Beispiel bestimmen:

$$
x_1+x_2-x_3=0
$$


Diese Lősungsmenge ist genau unsere gegebene Menge, nur eben anders formuliert:

$$
\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2=x_3\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \left\lvert\,\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right., s, t \in \mathbb{R}\right\}
$$


Falls dir die Beispiele noch nicht reichen: hier und hier gibt's Aufgaben zum Selber-Rechnen.



\newpage


\section{Teilmengen}


Eine Menge $A$ heißt Teilmenge von $B$, wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ liegt. Man schreibt dann

$$
A \subseteq B
$$


Hierbei ist zu beachten, dass diese Teilmengendefinition auch einschließt, dass $A$ und $B$ die gleichen Mengen sein können.
Man kann also auch schreiben:

$$
A \subseteq A
$$


Damit ist also jede Menge insbesondere eine Teilmenge von sich selbst. (Jaja, die Mathematiker und ihre Definitionen...)
Eine echte Teilmenge liegt vor, wenn es zusätzlich noch mindestens ein Element aus $B$ gibt, was nicht in $A$ liegt - letztlich also gilt, dass $A$ und $B$ nicht dieselben Mengen sind.

Auch dafür gibt es eine spezielle Schreibweise:

$$
A \subset B
$$


Grafisch kann man das "in $B$ enthalten sein" so darstellen:

\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Teilmengen}
	\caption{}
	\label{fig:teilmengen}
\end{figure}


Hat man nun zwei Mengen $A, B$ gegeben und soll herausfinden, ob $A$ in $B$ enthalten ist, muss man folglich prüfen, ob alle Elemente von $A$ in $B$ liegen.

Hierzu reicht es in der Regel aus, die gegebenen Mengen zu vereinfachen, denn dann zeichnet sich meist schon ab, ob eine Teilmenge vorliegt, oder nicht.

\subsection{Beispiel 1}
Die Menge $A=\{a, b, c\}$ ist eine echte Teilmenge von $B=\{d, a, e, b, f, c, g\}$, denn jeder der drei Buchstaben aus $A$ findet sich auch in $B$-die beiden Mengen sind aber offensichtlich nicht die gleichen.

\subsection{Beispiel 2}
Bei den Mengen $A=\left\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2<9\right\}$ und $B=\{0,1,2\}$ kann man nicht sofort bestimmen, was hier die Teilmengenbeziehung ist. Dazu vereinfachen wir $A$ erstmal:

Die Ungleichung $x^2<9$ wird für alle $x \in \mathbb{R}$ zwischen -3 und 3 erfült:

$$
\begin{gathered}
	x^2<9 \Rightarrow x<3 \text { und } x>-3 \\
	x \in(-3,3)
\end{gathered}
$$


Da in $A$ aber nur ganze Zahlen erlaubt sind, dürfen wir also nur alle ganzen Zahlen aus dem Intervall $(-3,3)$ nehmen.

$$
A=\{-2,-1,0,1,2\}
$$


Damit sieht man auch, dass $A$ nicht in $B$ enthalten ist, weil etwa das Element -2 nicht in $B$ liegt:

$$
A \nsubseteq B
$$


Vielmehr gilt, dass alle Elemente von $B$ in $A$ liegen, also haben wir auch hier erneut eine echte Teilmenge:

$$
B \subset A
$$


\subsection{Eigenschaften von Teilmengen}
Um in manchen Beweisen Mengen umschreiben zu können, ist folgendes Wissen besonders wertvoll:

Seien $A, B$ Mengen. Dann gelten unter anderem folgende Beziehungen:
\begin{enumerate}
	\item Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: $\emptyset \subseteq A$
	\item Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst: $A \subseteq A$
	\item $A$ ist Teilmenge von $B$ genau dann, wenn für die Vereinigung gilt: $A \cup B=B$
	\item $A$ ist Teilmenge von $B$ genau dann, wenn für den Schnitt gilt: $A \cap B=A$
	\item $A$ ist Teilmenge von $B$ genau dann, wenn für die Differenz gilt: $A \backslash B=\emptyset$ (also die Differenz leer ist)
	\item Zwei Mengen $A$ und $B$ sind genau dann gleich, wenn $A$ Teilmenge von $B$ und $B$ Teilmenge von $A$ ist:
	\\
	$$
	A=B \Leftrightarrow A \subseteq B \text { und } B \subseteq A
	$$   
\end{enumerate}


\section{Summe von Untervektorräumen}
Gegeben seien zwei Untervektorrăume $U$ und $V$. Gelegentlich muss man sich mit der summe $U+V$ beschăftigen.
Wer komplizierte Namen mag kann diese Konstruktion auch als Minkowski-Summe von Mengen bezeichnen.
\subsection{Was muss ich wissen?}
Zuerst mal das Wichtigste: Die Summe $U+V$ ist wieder ein Untervektorraum - und zwar derjenige, der alle Vektoren aus $U$ und alle aus $V$ enthält.

Allerdings müssen auch alle möglichen Summen von Vektoren aus $U$ und $V$ enthalten sein, denn Untervektorrauume sind ja bekanntlich abgeschlossen bezüglich Summenbildung.

Was heißt das? Eigentlich ganz einfach: Der Raum $U+V$ besteht aus allen möglichen Summen von Vektoren $u+v$, wobei $u \in U$ und $v \in V$ gilt:

$$
U+V=\{u+v \mid u \in U, v \in V\}
$$


\subsection{Darstellung mit linearen Hüllen}
Besonders einfach gestaltet sich das mit der Summe, wenn die beiden Räume $U$ und $V$ als lineare Hüllen gegeben sind, beispielsweise

$$
U=\left\langle u_1, \ldots, u_r\right\rangle
$$

und

$$
V=\left\langle v_1, \ldots, v_s\right\rangle
$$


Dann lässt sich die Summe $U+V$ wieder als lineare Hülle darstellen, und zwar so:

$$
U+V=\left\langle u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_s\right\rangle
$$


Beispiel
Ist beispielsweise

$$
U=\left\langle\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	1 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)\right\rangle
$$

und

$$
V=\left\langle\left(\begin{array}{l}
	-1 \\
	-1 \\
	-1 \\
	-1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right)\right\rangle
$$

dann ist die Summe gegeben durch

$$
U+V=\left\langle\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	1 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	-1 \\
	-1 \\
	-1 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	2 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right)\right\rangle
$$

\newpage

\section{Die lineare Hülle}
Wenn du Vektoren mit $n$ Einträgen gegeben hast, dann kannst du ihre lineare Hülle betrachten.
\subsection{Was ist das?}
Diese Menge besteht aus allen Vielfachen der Vektoren und deren Summen, ist also die Menge aller möglichen Linearkombinationen, die mit den gegebenen Vektoren gebildet werden können.

Die lineare Hülle wird manchmal auch Erzeugnis oder Spann genannt.
Sie steht im engen Zusammenhang mit Erzeugendensystemen von Vektorräumen, da die gegebenen Vektoren ja genau das Erzeugendensystem darstellen, denn mit ihnen "baut" man die Lineare Hülle.

Man nennt die gegebenen Vektoren von daher oft auch erzeugende Vektoren.
Die lineare Hülle taucht auch im Zusammenhang mit dem Bild einer Matrix auf.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Untervektorraum}
Die lineare Hülle ist übrigens immer ein Untervektorraum des Vektorraums aus dem die Vektoren sind. Siehe dazu das 1. Beispiel.
\subsubsection{Basis und Dimension}
Um die Basis einer linearen Hülle zu bestimmen, sucht man die Vektoren heraus, die linear unabhāngig sind.
Kennt man die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, so ist genau das die Dimension der Linearen Hülle.
Möchte man die Dimension einer linearen Hülle berechnen, geht man am Besten wie hier beschrieben vor.
Aufgaben zu dieser Problematik findest du z.Bsp. hier und hier.
Eine weitere Aufgabenstellung ist oft, ob ein bestimmter Vektor in einer linearen Hülle enthalten ist oder nicht - zum Glück kriegt man das leicht heraus.
\subsection{Schreibweisen}
Hier gibt es wie immer mehrere Varianten - hat man eine Menge von Vektoren gegeben

$$
M=\left\{v_1, \ldots, v_n\right\}
$$


So kann man entweder

$$
\mathcal{L}(M)=\mathcal{L}\left(\left\{v_1, \ldots, v_n\right\}\right)
$$

oder

$$
\langle M\rangle=\left\langle v_1, \ldots, v_n\right\rangle
$$

oder aber auch

$$
\left\langle v_1, \ldots, v_n\right\rangle=\left\{a_1 v_1+\ldots a_n v_n \mid a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}
$$

schreiben, um die lineare Hülle formal aufzuschreiben.
Die letzte Variante entspricht der sogenannten Parameterform.
Wir gehen diese Varianten mal für die gängigen Beispiele durch.
\newpage

\section{Linearkombination von Vektoren}
Zwei Vektoren
Wir fangen mit zwei Vektoren mit der gleichen Anzahl an Einträgen an. Nennen wir die Vektoren $x$ und $y$.
Eine Linearkombination dieser beiden Vektoren ist eine Summe von Vielfachen dieser Vektoren.
Wenn also $t, s$ reelle Zahlen ist, dann ist $t x$ ein Vielfaches von $x$ und $s y$ ein Vielfaches von $y$. Die Summe

$$
t x+s y
$$

ist dann eine Linearkombination von $x$ und $y$. Man kombiniert die beiden Vektoren mit Koeffizienten zu einer Summe.
Auch wenn wir andere Zahlen wählen, also andere Vielfache von $x$ und $y$, dann ist deren Summe wieder eine (andere) Linearkombination von $x$ und $y$.

Beispiel
Jetzt wollen wir ein konkretes Beispiel ausrechnen. Die beiden Vektoren $x$ und $y$ seien Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$.

$$
x=\binom{1}{1}, y=\binom{-1}{3}
$$


Wir setzen $t=2$ und $s=-1$, betrachten also das 2 -fache von $x$ und das -1 -fache von $y$. Dann ist die dazugehörige Linearkombination

$$
2 x-y=2\binom{1}{1}-\binom{-1}{3}
$$


Diese Linearkombination hat sogar einen konkreten Wert, den wir ausrechnen können:

$$
\binom{2}{2}-\binom{-1}{3}=\binom{2-(-1)}{2-3}=\binom{3}{-1}
$$


Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren wird auch als deren lineare Hülle bezeichet.
Mehr als zwei Vektoren
Nachdem wir den Fall von zwei Vektoren besprochen haben, kōnnen wir mehr nehmen. Wir nehmen $k$ Vektoren mit der gleichen Anzahl an Eintrăgen, also etwa $a_1$ bis $a_k$.

Dann wählen wir $k$ Koeffizienten aus $\mathbb{R}$, also etwa $t_1$ bis $t_k$ und bilden das jeweilige Vielfache $t_i a_i$ für alle $i=1, \ldots, k$. Deren Summe ist dann eine Linearkombination von $a_1$ bis $a_k$ :

$$
t_1 a_1+t_2 a_2+\ldots+t_k a_k
$$


Jede andere Wahl von Koeffizienten $t_1$ bis $t_k$ liefert eine andere Linearkombination der Vektoren $a_1$ bis $a_k$.
Die Linearkombination wird wie gesagt im Zusammenhang mit linearen Hüllen benötigt, aber auch bei der Bestimmung von Unabhängigkeit betrachtet man Linearkombinationen von Vektoren.

\newpage

\section{Das Erzeugendensystem}
\subsection{Definition}
Wir nehmen uns einen Vektorraum $V$.
Ein Erzeugendensystem (EZS) für einen solchen Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, deren lineare Hülle der gesamte Vektorraum ist.

Das EZS ist also die Menge an Vektoren, mit denen ich die gesamte Menge $V$ "bauen" kann (durch Linearkombinationen). Jeder Vektor muss sich also irgendwie als Summe (mit Koeffizienten davor) von Vektoren aus dem Erzeugendensystem schreiben lassen.

Noch einmal etwas formaler: Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge $X=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ von $V$, so dass es für jeden beliebigen Vektor $v \in V$ eine Linearkombination

$$
a_1 v_1+\ldots+a_n v_n=v
$$

gibt, deren Ergebnis $v$ ist. Dabei sind die Koeffizienten $a_i$ reelle Zahlen.
\subsection{Wie bestimmt man, ob $X$ ein EZS ist?}
Einen einfachen Fahrplan dazu findest du hier im Abschnitt "Algorithmus". Allgemein müsste man eigentlich zeigen, dass jeder Vektor aus der Menge $V$ eine Linearkombination der gegebenen Vektoren ist.

Das führt einen zu einem Gleichungungssystem, von dem man dann zeigen muss, dass es für jeden Vektor aus $V$ gilt. Wie das aussieht kannst du dir in dieser Aufgabe ansehen - wir würden dir trotzdem den oben verlinken Algorithmus empfehlen :)

Darüber hinaus gibt es noch ein paar Kriterien, die dabei helfen, zu bestimmen, ob Mengen EZS sind oder nicht.
\subsubsection{Kriterien}
Erzeugendensysteme können beliebig viele Vektoren enthalten, auch solche, die man weglassen könnte und man dann immer noch ein Erzeugendensystem hätte.

Ein minimales Erzeugendensystem hingegen, wo man also keine Vektoren mehr weglassen kann, heiBt eine Basis des Vektorraums. Jede Basis ist also EZS.

Eine Menge von Vektoren, die weniger Elemente enthält als die Dimension des Vektorraums, kann niemals ein Erzeugendensystem sein. 
\subsection{Beispiel 1}
Wir betrachten den Vektorraum $\underline{\mathbb{R}^2}$ der Spaltenvektoren mit zwei Einträgen und wollen ein paar verschiedene Erzeugendensysteme angeben.

Ein (etwas sinnloses) Beispiel ist es, die Menge aller Vektoren von $\mathbb{R}^2$ als Erzeugendensystem zu betrachten. Das funktioniert natürlich, vereinfacht die Sache aber auch nicht.

Man kann dann jeden Vektor $v \in \mathbb{R}^2$ einfach als

$$
v=1 \cdot v
$$

schreiben, also als Linearkombination von Vektoren ( $v$ alleine reicht schon) des Erzeugendensystems.

\subsection{Beispiel 2}
Ein etwas sinnvolleres Beispiel ist die Menge

$$
E=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{2}\right\}
$$


Wenn wir uns dann einen beliebigen Vektor

$$
v=\binom{x}{y}
$$

hernehmen, so können wir den schreiben als Linearkombination der Vektoren aus $E$, nämlich als

$$
v=\binom{x}{y}=x\binom{1}{0}+\frac{1}{2} y\binom{0}{2}
$$


Deshalb ist $E$ ein Erzeugendensystem. Ebenso wäre aber

$$
F=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{2},\binom{1}{1}\right\}
$$

ein Erzeugendensystem, denn wie wir gesehen haben kommt man schon mit den ersten beiden Vektoren aus. Der Dritte stört dann nicht weiter.

Es kann dann aber mehrere unterschiedliche Möglichkeiten geben, einen Vektor mit $F$ zu erzeugen. Beispielsweise:

$$
\begin{aligned}
	\binom{2}{1} & =2\binom{1}{0}+\frac{1}{2}\binom{0}{2} \\
	& =1\binom{1}{0}+1\binom{1}{1}
\end{aligned}
$$


\newpage


\section{Basen von Vektorräumen}\label{BasenVonVektorraeumen}
Eine Basis eines Vektorraums $V$ ist eine Menge von Vektoren, die gleichzeitig ein Erzeugendensystem für ganz $V$ ist, aber auch nur linear unabhängige Vektoren enthalt.

Vektorrăume besitzen mehrere Basen (normalerweise unendlich viele verschiedene), aber alle haben die gleiche Anzahl Vektoren.
Die Anzahl dieser Vektoren ist für den Vektorraum $V$ also eindeutig bestimmt und heißt seine Dimension.
Eine Basis erfült alle folgenden Beschreibungen. Wenn man nachprüfen möchte, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist, reicht es also, eine der Eigenschaften nachzuweisen.
\begin{enumerate}
	\item Sie ist ein \textbf{linear unabhängiges Erzeugendensystem}. Das ist ja die Definition.
	\item Sie ist ein maximales \textbf{linear unabhängiges System}. Das bedeutet, die Menge der Vektoren ist linear unabhängig und man kann keinen Vektor dazunehmen, ohne dass die Menge linear abhăngig wird.
	\item Sie ist ein\textbf{ minimales Erzeugendensystem}. Das bedeutet, die Menge der Vektoren erzeugt ganz $V$ und man kann keinen Vektor weglassen, ohne dass das Erzeugnis nicht mehr ganz $V$ ist.
	\item Jeder Vektor aus $V$ kann auf genau eine Art als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden.
\end{enumerate}

Meistens ist es jedoch das Einfachste, die Definition nachzuprüfen, also dass die Menge linear unabhăngig und ein Erzeugendensystem ist. Dazu nimmst du folgenden Fahrplan:

\subsection{Algorithmus}
Gegeben ist die Menge $E=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}$ und der Vektorraum $V$. Um zu prüfen, ob $E$ Erzeugendensystem (EZS) oder gar Basis ist machst du Folgendes:

\begin{enumerate}[I]
	\item Gilt $E \subseteq V$ ? Wenn nicht, kann $E$ kein EZS und damit auch keine Basis sein.
	\item Bestimme die Dimension von $V$ und die Dimension der linearen Hulle von $E$ (wie man das macht steht unten). Gilt nun
	
	$$
	\operatorname{Dim}(V)=\operatorname{Dim}\left(\left\langle v_1, v_2, \ldots, v_n\right\rangle\right)
	$$
	
	\item Stimmt die obige Gleichung, musst du noch prüfen, ob alle Vektoren linear unabhängig sind. Wenn ja, dann hast du auch eine Basis - wenn nicht, dann nicht!
\end{enumerate}

Zusammengepackt mit nem Beispiel findest du diesen Algorithmus noch einmal hier.
Im Endeffekt kann man den ersten Punkt überspringen, denn so eine leichte Aufgabe wird es wohl nur geben, wenn dein Dozent einen Druckfehler übersieht.

Die Punkte zwei und drei kann man auch in einem Abwasch erledigen, denn für die Dimension der linearen Hülle stellt man die Matrix auf, die die Vektoren $v_1$ bis $v_n$ als Spaiten enthält:

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
	v_1 & v_2 & \ldots & v_n
\end{array}\right)
$$


Von dieser Matrix berechnest du den Rang und bekommst so:

$$
\operatorname{Dim}\left(\left\langle v_1, v_2, \ldots, v_n\right\rangle\right)=\operatorname{Rang}(A)
$$


Damit klărst du nun, ob $E$ EZS ist oder nicht.
Wenn ja, dann würdest du jetzt schauen, ob $v_1$ bis $v_n$ linear unabhängig sind. Und dazu berechnest du den Rang von $A!$ Entspricht dieser der Anzahl deiner Vektoren, sind diese linear unabhängig und du hast eine Basis.

Man kann also zusammenfassend sagen:
Stimmen Anzahl der Vektoren, der Rang der Matrix aus diesen Vektoren und die Dimension des Vektorraums, in dem sie liegen überein, dann hast du eine Basis.

\subsubsection{Beispiel 1}
Wir wollen überprüfen, ob

$$
E=\left\{\binom{1}{2},\binom{-1}{2},\binom{0}{1}\right\}
$$

ein Erzeugendensystem von $V=\mathbb{R}^2$ ist. Dazu arbeiten wir unseren Algorithmus ab.
Schritt 1: $E \subseteq V$ ?
Alle drei Vektoren liegen im $\mathbb{R}^2$, also trifft dieser Punkt erwartungsemāß zu.
Schritt 2: Dimensionen bestimmen
Die Dimension von $V$ ist zwei. Für die Dimension der linearen Hülle von $E$ stellen wir diese Matrix auf:

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
	\frac{v_1}{1} & \frac{v_2}{-1} & \frac{v_3}{0} \\
	2 & 2 & 1
\end{array}\right)
$$


Eine Zeilenstufenform dieser Matrix erhalten wir, indem wir das Zweifache der ersten Zeile von der zweiten abziehen:

$$
\left(\begin{array}{ccc}
	1 & -1 & 0 \\
	0 & 4 & 1
\end{array}\right)
$$


Der Rang hiervon ist 2. Damit folgt:

$$
2=\operatorname{Rang}(A)=\operatorname{Dim}\left(\left\langle v_1, v_2, \ldots, v_n\right\rangle\right)=\operatorname{Dim}(V)
$$


$E$ ist also definitiv Erzeugendensystem.
Schritt 3: Ist es auch Basis?
Wir haben drei Vektoren, der Rang der Matrix $A$ ist aber nur 2. Damit sind die Vektoren nicht linear unabhängig und $E$ ist keine Basis.
\subsubsection{Beispiel 2}
Wir wollen überprüfen, ob

$$
E=\left\{\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	0 \\
	-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	2 \\
	2 \\
	-4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	2 \\
	-2
\end{array}\right)\right\}
$$

ein Erzeugendensystem oder gar eine Basis von $V=\mathbb{R}^3$ ist. Schritt eins ist wieder klar, denn alle drei Vektoren liegen im $\mathbb{R}^3$. Daher gleich zum zweiten Schritt.

Schritt 2: Dimensionen bestimmen
$V$ hat Dimension drei. Wenn wir unsere Vektoren als Matrix aufschreiben und dann die Zeilenstufenform erzeugen, bekommen wir:

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 0 \\
	0 & 2 & 2 \\
	-1 & -4 & -2
\end{array}\right)
$$


$$
\begin{aligned}
	& \text { (III) : }+ \text { (I) } \rightarrow \\
	& \left(\begin{array}{ccc}
		1 & 2 & 0 \\
		0 & 2 & 2 \\
		0 & -2 & -2
	\end{array}\right) \\
	& \text { (III) : }+ \text { (II) } \rightarrow \\
	& \left(\begin{array}{lll}
		1 & 2 & 0 \\
		0 & 2 & 2 \\
		0 & 0 & 0
	\end{array}\right)
\end{aligned}
$$


Der Rang dieser Matrix ist zwei und damit folgt:

$$
2=\operatorname{Rang}(A)=\operatorname{Dim}\left(\left\langle v_1, v_2, \ldots, v_n\right\rangle\right) \neq \operatorname{Dim}(V)=3
$$


Also kann $E$ kein Erzeugendensystem von $V$ sein und ist damit auch keine Basis, weil $E$ nur etwas Zweidimensionales erzeugen kann (eine Ebene also) und das reicht nicht für den $\mathbb{R}^3$. Schritt 3 fält also auch flach.

Im Artikel über die Dimension werden am Beispiel des $\mathbb{R}^n$, also des Vektorraums der Spaltenvektoren mit $n$ Einträgen, exemplarisch weitere Basen und die Dimension ausgerechnet.

\newpage


\section{Bestimmen einer Basis}

Oft ist es wichtig, zu einem gegebenen (Unter) Vektorraum $V$ eine Basis explizit zu bestimmen, um damit rechnen zu können.
Je nachdem, in welcher Form dein Vektorraum gegeben ist (und da gibt es ja wirklich einige), gibt es unterschiedliche Verfahren, die wir als Übersicht kurz präsentieren wollen.

\subsection{Vektorraum ist der $\mathbb{R}^n$}

Es gibt eine Standardbasis (die sogenannte kanonische Basis), die kennst du sicher.
für den $\mathbb{R}^2$ sieht sie so aus:

$$
\binom{1}{0},\binom{0}{1}
$$

für den $\mathbb{R}^3$ dann so:

$$
\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	0 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)
$$


Wenn du aus irgendeinem Grund die nicht verwenden kannst, dann kannst du aus ihnen 3 andere Vektoren herstellen, indern du Vielfache und Summen bildest, etwa

$$
\left(\begin{array}{l}
	2 \\
	2 \\
	2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	3 \\
	3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	4
\end{array}\right)
$$


So lange du nicht zu wild herumrechnest, bleiben die drei Vektoren eine Basis.
Merkregel
Solange du in jedem Vektor an einer unterschiedlichen Position eine $0$ stehen hast, bleiben die Vektoren linear unabhängig.
Im oberen Beispiel besitzt der erste Vektor keine $0$, der zweite an der ersten Stelle, der dritte besitzt an der zweiten Stelle eine $0$, die sonst kein Vektor dort hat - passt also!

Zur Sicherheit kannst du natürlich immer noch überprüfen, ob die Vektoren noch linear unabhängig sind.

\subsection{Der Vektorraum ist gegeben als lineare Hülle}
Eine weitere mögliche Art, einen Vektorraum anzugeben, ist als lineare Hülle von ein paar Vektoren. (Genauer: Einer Menge von Vektoren)

Beispielsweise:

$$
V=\left\langle\left(\begin{array}{l}
	2 \\
	0 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	-1 \\
	1 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	1 \\
	1 \\
	0
\end{array}\right)\right\rangle
$$


Da die gegebenen Vektoren immer ein Erzeugendensystem bilden (Das gilt bei linearen Hüllen ja immer), geht es im Grunde darum, aus diesem EZS eine Basis auszuwählen.

Wie das geht, dazu gibt es eine ausführliche Anleitung hier.
\subsection{Vektorraum ist gegeben durch Bedingungen (lineare Gleichungen)}
Ein mögliches Beispiel, wie du dir das vorzustellen hast:

$$
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
	x_1 \\
	x_2 \\
	x_3
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, \begin{array}{r}
	2 x_1+x_3=0 \\
	x_1-x_2=0
\end{array}\right\}
$$


Hier besteht $V$ aus allen Vektoren, deren Einträge aus dem $\mathbb{R}^3$ sind und die Bedingungen in Form der Gleichungen erfüllen.
Anders gesagt: Die Vektoren in $V$ lösen alle dieses homogene lineare Gleichungssystem auf der rechten Seite!
Das können wir aber lösen und erhalten als Lösungsmenge gerade $V$.

\subsection{Er ist Summe oder Schnitt von zwei Vektorräumen}

Manchmal lăsst sich ein Vektorraum $V$ gut als Summe oder Durchschnitt von zwei Vektorräumen $U_1$ und $U_2$ beschreiben, also als

$$
V=U_1+U_2
$$

oder

$$
V=U_1 \cap U_2
$$

Wenn du Basen von $U_1$ und $U_2$ hast, dann ist es leicht, eine Basis von $V$ zu bestimmen. Wie das geht? Hier ist eine ausführliche Anleitung\ref{SuSvUVR}.


\newpage

\section{Schnitt und Summe von UVR}\label{SuSvUVR}

\begin{description}
	\item[Warnung]
	Dieses Thema ist ziemlich komplex und es gibt zig Herangehensweisen, solche Aufgaben schnell und "mit Auge" zu lösen. Wir werden hier zwei Varianten zeigen, die immer funktionieren, allerdings auch etwas aufwändiger sind.
	
	Wenn du zwei Vektorräume(\ref{Vektorraeume}) $U$ und $V$ gegeben hast und eine Basis(\ref{BasenVonVektorraeumen}) der direkten Summe(\ref{SummeVonUntervektorraeumen}) $U+V$ und des Durchschnitts $U \cap V$ berechnen sollst, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten:
	\item[Methode 1] 
   Einerseits kannst du Summe und Schnitt getrennt berechnen.
Wie das mit der Summe geht, steht hier.
Für den Durchschnitt löst du dann ein lineares Gleichungssystem, was wir gleich noch einmal genau erklären.
Diese Methode ist leichter zu verstehen, man sieht direkter, warum es funktioniert. Andererseits kann der Rechenaufwand höher sein.
	\item[Methode 2] 
	Du verwendest den sogenannten Zassenhaus-Algorithmus, der dir mit ein paar Matrixumformungen gleichzeitig Basen für Summe und Schnitt ausspuckt.
	
	Daran muss man sich ein bisschen gewöhnen (allein schon an den Namen), es geht aber ziemlich schnell und der Rechenaufwand hält sich in Grenzen.
	\item[Vorbereitung] 
	In beiden Fällen benötigen wir zuerst eine Basis oder zumindest ein Erzeugendensystem für beide Vektorräume $U$ und $V$.
\end{description}

\subsection{Die Gleichungssystem-Methode}
Was ist eigentlich der Schnitt $U \cap V$ ? Er besteht aus allen Vektoren, die sowohl in $U$ als auch in $V$ liegen.
Wenn du eine Basis

$$
\left\{u_1, \ldots, u_r\right\}
$$

von $U$ und eine Basis

$$
\left\{v_1, \ldots, v_s\right\}
$$

von $V$ gegeben hast, dann lässt sich jeder Vektor $u \in U$ in der Form

$$
u=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r
$$

darstellen - wir stellen den Vektor als Kombination der Basiselemente dar.
Dabei sind $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ reelle Zahlen.
Ebenso hat jeder Vektor $v \in V$ eine Darstellung

$$
v=\beta_1 v_1+\cdots+\beta_s v_s
$$


Die Idee ist jetzt, diese beiden Darstellungen gleichzusetzen:

$$
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r=\beta_1 v_1+\cdots+\beta_s v_s
$$


Dann müssen wir noch alle $\alpha_i$ und $\beta_j$ finden, die so eine Gleichung möglich machen. Mit anderen Worten, wir müssen das Gleichungssystem

$$
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r-\beta_1 v_1-\cdots-\beta_s v_s=0
$$

in den Variablen $\alpha_1, \ldots, \alpha_r, \beta_1, \ldots, \beta_s$ lösen.
Kurzes Beispiel
Ganz schön abstrakt, oder? Am besten wir sehen uns ein Beispiel an. Eine Basis für $U$ sei

$$
\left\{\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right\}
$$

und eine Basis für $V$

$$
\left\{\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-2 \\
	2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	1 \\
	1
\end{array}\right)\right\}
$$


Dann müssen wir das Gleichungssystem

$$
\alpha\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	1
\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)-\gamma\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-2 \\
	2
\end{array}\right)-\delta\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	1 \\
	1
\end{array}\right)=0
$$

in den Variablen $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ Iösen.
Also, wie geht das? Zunăchst packen wir die vier Vektoren in eine Matrix (die Minusse nicht vergessen)


$$
\left(\begin{array}{cccc}
	1 & -1 & 0 & -1 \\
	2 & 0 & 2 & -1 \\
	1 & 1 & -2 & -1
\end{array}\right)
$$

und berechnen dann eine Zeilenstufenform mit den folgenden Zeilenumformungen:
\begin{enumerate}
	\item Ziehe die 1. Zeile 2-mal von der 2. ab.
	\item Ziehe die 1. Zeile von der 3. ab.
	\item Ziehe die 2. Zeile von der 3. ab.
\end{enumerate}


Das Ergebnis lautet

$$
\left(\begin{array}{cccc}
	1 & -1 & 0 & -1 \\
	0 & 2 & 2 & 1 \\
	0 & 0 & -4 & -1
\end{array}\right)
$$

und wir kőnnen auch gleich die Lösung ablesen. Wir führen einen Parameter $\delta=t$ ein. Dann gibt uns die 3. Zeile:

$$
-4 \gamma-t=0 \Rightarrow \gamma=-\frac{1}{4} t
$$


Einsetzen in die 2. Zeile gibt uns

$$
2 \beta+2 \gamma+\delta=0 \Rightarrow 2 \beta-\frac{1}{2} t+t=0 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{4} t
$$

und die 1. Zeile schließlich

$$
\alpha-\beta-\delta=0 \Rightarrow \alpha+\frac{1}{4} t-t=0 \Rightarrow \alpha=\frac{3}{4} t
$$


Die Lösung lautet also

$$
\left(\begin{array}{l}
	\alpha \\
	\beta \\
	\gamma \\
	\delta
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
	\frac{3}{4} \\
	-\frac{1}{4} \\
	-\frac{1}{4} \\
	1
\end{array}\right)
$$


Und was soll das Ganze jetzt? Jetzt setzen wir diese Werte in unsere Ausgangsgleichung

$$
\alpha\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	1
\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)=\gamma\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-2 \\
	2
\end{array}\right)+\delta\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	1 \\
	1
\end{array}\right)
$$

ein. Auf beiden Seiten muss natürlich das Gleiche herauskommen. Nach ein bisschen Rumgefriemel lautet die linke Seite:


$$
\left(\begin{array}{c}
	\frac{3}{4} t+\frac{1}{4} t \\
	\frac{6}{4} t \\
	\frac{3}{4} t-\frac{1}{4} t
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
	t \\
	\frac{3}{2} t \\
	\frac{1}{2} t
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	\frac{3}{2} \\
	\frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$


Diese (durch $t$ parametrisierte) Gerade ist genau die Schnittmenge von $U$ und $V$ !
Wir haben also

$$
U \cap V=\left\{\left.t\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	\frac{3}{2} \\
	\frac{1}{2}
\end{array}\right) \right\rvert\, t \in \mathbb{R}\right\}=\left\langle\left(\begin{array}{c}
	1 \\
	\frac{3}{2} \\
	\frac{1}{2}
\end{array}\right)\right\rangle=\left\langle\left(\begin{array}{l}
	2 \\
	3 \\
	1
\end{array}\right)\right\rangle
$$


Der letzte Ausdruck ist sicherlich der übersichtlichste. Vergiss nicht, dass du Vektoren in solchen linearen Hülen immer mit irgendwelchen Zahlen (außer 0 ) multiplizieren kannst, ohne dass sich etwas ändert.

Wer es anschaulich mag kann hier auch noch erkennen: $U$ und $V$ waren beides Ebenen, denn beide hatten Dimension 2 (da jeweils zwei Basiselemente). Diese beiden Ebenen schneiden sich und das ergibt eine Gerade - und die haben wir ja gerade berechnet.

\subsection{Der Zassenhaus-Algorithmus}
Wir gehen wieder davon aus, dass du Basen von $U$ und $V$ gegeben hast.
Der Algorithmus funktioniert grob so: Wir stellen eine ziemlich große Matrix auf (die sogenannte Zassenhaus-Matrix), indem wir sie mit den beiden Basen füttern.

Dann rechnen wir (wie könnte es anders sein) eine Zeilenstufenform(\ref{Zeilenstufenform}) von ihr aus und erhalten am Ende sowohl eine Basis von $U \cap V$ als auch eine von $U+V$.

\subsubsection{Aufstellen der Matrix}
Wir machen das wieder anhand eines Beispiels, bequemerweise das Gleiche wie oben. Die Basis für $U$ lautete

$$
\left\{\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	-1 \\
	0 \\
	1
\end{array}\right)\right\}
$$

und die für $V$

$$
\left\{\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-2 \\
	2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	1 \\
	1
\end{array}\right)\right\}
$$


Füge zuerst die Basisvektoren von $U$ als Zeilen in eine Matrix ein:

$$
\left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 1 \\
	-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$


Das verdoppelst du jetzt nach rechts:

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	-1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$


Anschließend schreibst du die Basisvektoren von $V$ unten links als weitere Zeilen hin, allerdings nur einmal:

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	-1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
	0 & -2 & 2 & & & \\
	1 & 1 & 1 & & &
\end{array}\right)
$$


Den Rest der Matrix füllst du mit Nullen auf.

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	-1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
	0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
	1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$


\subsubsection{Berechnen der Zeilenstufenform}
Ja, die Matrix ist ein ganz schöner Wummer. Trotzdem ist das Berechnen einer Zeilenstufenform(\ref{Zeilenstufenform}) ganz einfach, und zwar mit folgenden Rechenschritten:
\begin{enumerate}
	\item Addiere die 1. Zeile zur 2.
	\item Ziehe die 1. Zeile von der 4. ab.
	\item Vertausche die 2. und 4. Zeile.
	\item Ziehe die 2. Zeile 2-mal von der 3. ab.
	\item Addiere die 2. Zeile 2-mal zur 4.
	\item Ziehe die 3. Zeile von der 4. ab.
\end{enumerate}

Das war's:

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	0 & -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
	0 & 0 & 2 & 2 & 4 & 2 \\
	0 & 0 & 0 & -4 & -6 & -2
\end{array}\right)
$$


\subsubsection{Ablesen der Basis von $U \cap V$ und $U+V$}
Die berechnete Zeilenstufenform teilen wir in der Mitte durch:

$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	0 & -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
	0 & 0 & 2 & 2 & 4 & 2 \\
	0 & 0 & 0 & -4 & -6 & -2
\end{array}\right)
$$


Da wo die Nullzeilen der linken Häfte anfangen machen wir auch noch einen Strich:


$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
	1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
	0 & -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
	0 & 0 & 2 & 2 & 4 & 2 \\
	\hline 0 & 0 & 0 & -4 & -6 & -2
\end{array}\right)
$$


Jetzt stehen (jeweils als Zeilen) die Basisvektoren von $U+V$ oben links und die von $U \cap V$ unten rechts.
Eine Basis für $U+V$ lautet also

$$
\left\{\left(\begin{array}{l}
	1 \\
	2 \\
	1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
	0 \\
	-1 \\
	0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
	0 \\
	0 \\
	2
\end{array}\right)\right\}
$$

und eine für $U \cap V$ lautet

$$
\left\{\left(\begin{array}{l}
	-4 \\
	-6 \\
	-2
\end{array}\right)\right\}
$$


Das kannst du (wenn du willst) noch durch $-2$ teilen, dann kommt sogar dieselbe Basis raus wie beim Rechenweg mit dem Gleichungssystem.