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\section{Übungsaufgaben Grenzwerte}

\subsection{Bestimme, wie sich die Funktion $f$ im Unendlichen verhält}


\subsubsection{Aufgabe 1}

\begin{description}

\item[Verhalten gegen  $+{\infty}$ ] \marginpar{Es wird nur die höchste Potenz betrachtet}$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4-x^3=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4=\left(+\infty\right)^4={\infty}$

\item[Verhalten gegen  $-{\infty}$] $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }x^4-x^3=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }x^4=\left(-\infty\right)^4={\infty}$

\end{description}


\subsubsection{Aufgabe 2}
%http://mathenexus.zum.de/html/analysis/grenzwerte/Grenzwertplusminusunend_Ueb.htm
\begin{description}
\item[Verhalten gegen  $+{\infty}$  ] $\rightarrow $ für $x>0$ \newline\newline
$f ( x ) = \frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}\frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}$

\item[Verhalten gegen  $-{\infty}$ ]
$f ( x ) = \frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$

\end{description}

\paragraph{Grenzwerte in der Unendlichkeit mit Quadratwurzeln}

Da sich obige Aufgabe im negativ Unendlichen nicht so recht erklärt hat hier noch ein paar Ausführungen dazu:

\begin{itemize}
\item Wenn $ x $ positiv ist $ x=\sqrt{x^2} $  zum Beispiel, wenn $ x=3 $, dann $ x=3=\sqrt{9} $

\item Wenn $ x $ negativ ist  $ x=-\sqrt{x^2} $ dem gegenüber ist also wenn $ x=-3 $ dann $ x=-3=-\sqrt{9} $
\end{itemize}






\textbf{Wichtig}: Man muss sich merken, das wenn $x=-\sqrt{x^2}$ wenn $x \rightarrow -\infty$ ist, muss man automatisch auf die negativen Werte von $x$ schauen muss.
  
\textbf{Beispiel  1}: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 x } } { x }$
Da man hier $x \rightarrow \infty$ untersucht, sind nur positive Werte von $x$ interessant und man nutzt $x=\sqrt{x^2}$.

$\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 } x } { x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 } x } { \sqrt { x ^ { 2 } } } } { \frac { x } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { \frac { 5 x ^ { 2 } + 2 } { x ^ { 2 } } } } { 1 } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { 5 + \frac { 2 } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { 5 + 0 }=5$ 

\textbf{Beispiel  2}: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 x } } { x }$