diff --git a/Mathe Anleitung/06.lyx b/Mathe Anleitung/06.lyx index e1c102a..fb32523 100644 --- a/Mathe Anleitung/06.lyx +++ b/Mathe Anleitung/06.lyx @@ -283,6 +283,7 @@ gilt für die Summe einer geometrischen Reihe. \end_inset aufzulösen. + –>13 \end_layout \end_body diff --git a/Mathe Anleitung/Anleitung004.png b/Mathe Anleitung/Anleitung004.png index eb4981d..b8e1636 100755 Binary files a/Mathe Anleitung/Anleitung004.png and b/Mathe Anleitung/Anleitung004.png differ diff --git a/Mathe Anleitung/Anleitung005.png b/Mathe Anleitung/Anleitung005.png index a53abaf..ba381b9 100755 Binary files a/Mathe Anleitung/Anleitung005.png and b/Mathe Anleitung/Anleitung005.png differ diff --git a/Mathe Anleitung/Anleitung006.png b/Mathe Anleitung/Anleitung006.png index 59df450..98d92c7 100755 Binary files a/Mathe Anleitung/Anleitung006.png and b/Mathe Anleitung/Anleitung006.png differ diff --git a/Mathe Anleitung/bis05.lyx b/Mathe Anleitung/bis05.lyx index fdfd57e..0521f5a 100644 --- a/Mathe Anleitung/bis05.lyx +++ b/Mathe Anleitung/bis05.lyx @@ -75,6 +75,292 @@ \begin_body +\begin_layout Standard +1. + Formelumstellungen . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 10 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 1.1. + bis 1.9. + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 13 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Einige Bemerkungen zum Lösungsplan . + . + . + . + . + . + . + 17 +\end_layout + +\begin_layout Standard +2. + Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . + . + . + . + . + . + 18 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ãœbersicht über einige Funktionen und deren Bilder . + . + 23 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 2.1. + bis 2.10 . + +\end_layout + +\begin_layout Standard +3. + Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten + Variablen . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 31 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 3.1. + bis 3.11. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +4. + Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades . + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 4.1. + bis 4.7. + 41 45 +\end_layout + +\begin_layout Standard +5. + Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 5.1. + bis 5.7. + (Ungleichungen) . + . + . + . + . + . + . + 55 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 5.8. + bis 5.16. + (Wurzelgleichungen) . + . + . + . + . + 55 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 5.17. + bis 5.30. + (goniometr. + Gleichungen) . + . + 59 +\end_layout + +\begin_layout Standard +6. + Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 67 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ãœbersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften . + 74 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 6.1 bis 6.21 . + +\end_layout + +\begin_layout Standard +7. + Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 7.1. + bis 7.12. + 8. + Schnittprobleme-Methode der unbestimmten Koeffizienten . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 101 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 8.1. + bis 8.8. + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 103 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ãœbersicht über die Bilder einiger Funktionen . + . + . + . + 107 +\end_layout + +\begin_layout Standard +9. + Extremwertaufgaben . + 108 Aufgaben 9.1. + bis 9.15 . + +\end_layout + +\begin_layout Standard +10. + Flächenberechnung durch Integration 111 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger + Funktionen . + . + . + . + . + . + . + 124 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 10.1. + bis 10.8 . + 125 +\end_layout + +\begin_layout Standard +11. + Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + . + 129 +\end_layout + +\begin_layout Standard +Aufgaben 11.1. + bis 11.8. +\end_layout + \begin_layout Standard 1. Formelumstellungen diff --git a/Mathe Anleitung/gesamt.tex b/Mathe Anleitung/gesamt.tex new file mode 100644 index 0000000..02bafa6 --- /dev/null +++ b/Mathe Anleitung/gesamt.tex @@ -0,0 +1,500 @@ +%% LyX 2.3.7 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/. +%% Do not edit unless you really know what you are doing. +\documentclass[english]{article} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[latin9]{inputenc} +\usepackage{multirow} +\usepackage{amsbsy} +\usepackage{amstext} +\usepackage{amssymb} + +\makeatletter + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands. +%% Because html converters don't know tabularnewline +\providecommand{\tabularnewline}{\\} + +\makeatother + +\usepackage{babel} +\begin{document} +1. Formelumstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 10 + +Aufgaben 1.1. bis 1.9. . . . . . . . . . . . . . . 13 + +Einige Bemerkungen zum Lösungsplan . . . . . . . 17 + +2. Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . . . . . . 18 + +Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder . . 23 + +Aufgaben 2.1. bis 2.10 . + +3. Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten +Variablen . . . . . . . . . . 31 + +Aufgaben 3.1. bis 3.11. + +4. Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades . + +Aufgaben 4.1. bis 4.7. 41 45 + +5. Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen. + +Aufgaben 5.1. bis 5.7. (Ungleichungen) . . . . . . . 55 + +Aufgaben 5.8. bis 5.16. (Wurzelgleichungen) . . . . . 55 + +Aufgaben 5.17. bis 5.30. (goniometr. Gleichungen) . . 59 + +6. Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . . . . . . . . . . . 67 + +Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften . 74 + +Aufgaben 6.1 bis 6.21 . + +7. Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion + +Aufgaben 7.1. bis 7.12. 8. Schnittprobleme-Methode der unbestimmten +Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 + +Aufgaben 8.1. bis 8.8. . . . . . . . . . . . . . . 103 + +Übersicht über die Bilder einiger Funktionen . . . . 107 + +9. Extremwertaufgaben . 108 Aufgaben 9.1. bis 9.15 . + +10. Flächenberechnung durch Integration 111 + +Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger +Funktionen . . . . . . . 124 + +Aufgaben 10.1. bis 10.8 . 125 + +11. Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden . +. . . . . . . . . . . . . 129 + +Aufgaben 11.1. bis 11.8. + +1. Formelumstellungen + +In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen +Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder +Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb +eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln. +Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach +gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten +entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und +derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert +also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen +Sachgebieten. + +Beispiele: % +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} +\hline +\begin{tabular}{l} +Typ: \tabularnewline +$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$s=v\cdot t$ \tabularnewline +gleichförmige \tabularnewline +Bewegung \tabularnewline +$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline +Brechungs- \tabularnewline +gesetz Optik \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$U=R\cdot I$ \tabularnewline +OHmsches \tabularnewline +Gesetz \tabularnewline +$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline +Lichtstrom \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline +Dreh- \tabularnewline +bewegung \tabularnewline +$RT=p\cdot V$ \tabularnewline +Gas- \tabularnewline +gleichung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline +Reibung \tabularnewline +$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline +Kreisumfang \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\begin{tabular}{l} +Typ: \tabularnewline +$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline +Radial- \tabularnewline +beschleunigung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline +Gleichung von \tabularnewline +EINSTEIN \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline +Schallstärke \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline +Freier Fall \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline + & % +\begin{tabular}{l} +$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline +Zentri- \tabularnewline +fugalkraft \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline +Kreisfläche \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline +Elektrische \tabularnewline +Leistung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline +Ähnlichkeit \tabularnewline +bei Flächen \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline + & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$ & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline +\hline +$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$ & % +\begin{tabular}{l} +Periodendauer \tabularnewline +beim Faden- \tabularnewline +pendel \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +Periodendauer \tabularnewline +physikalisches \tabularnewline +Pendel \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +Schall- \tabularnewline +geschwindig- \tabularnewline +keit \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +Quadrat- \tabularnewline +diagonale \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\begin{tabular}{l} +Typ: \tabularnewline +$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline +Dichte- \tabularnewline +bestimmung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline +KiRchHoFF- \tabularnewline +sches Gesetz \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline +Brennweite \tabularnewline +beim Spiegel \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline +Betrag des Wider- \tabularnewline +standsoperators \tabularnewline +Parallelschaltung \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\begin{tabular}{l} +Typ: \tabularnewline +$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline +Anziehung \tabularnewline +von Massen \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline +CoulomB- \tabularnewline +Gesetz \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline +Magnetisches \tabularnewline +Feld \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline +Beleuchtungs- \tabularnewline +stärke $\quad$. \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\begin{tabular}{l} +$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline +$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$l=$ \tabularnewline +$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline +Längen- \tabularnewline +ausdehnung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$V=$ \tabularnewline +$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline +Volumen- \tabularnewline +ausdehnung \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$R=$ \tabularnewline +$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline +Widerstand \tabularnewline +in Abhängig- \tabularnewline +keit von der \tabularnewline +Temperatur \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline +$d(n-1)$ \tabularnewline +arithmetische \tabularnewline +Folge \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\end{tabular} + +Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen, +die voneinander abhängen. + +Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit +$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung +\[ +s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }] +\] +dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei +gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend +kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und +$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$ +usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die +verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel +ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die +anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte +Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann +muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen +aufgelöst werden. + +Das geschieht in folgender Weise: % +\begin{tabular}{|c|c|c|} +\hline +Schritt & Prinzip & Muster \tabularnewline +\hline +\multirow{1}{*}{t} & % +\begin{tabular}{l} +Aufgabenstellung \tabularnewline +(sachgebietsbezogen) \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline +mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline +schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline +nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline +$R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline +Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline + & % +\begin{tabular}{l} +Aufstellen der Formel \tabularnewline +(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline +der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline +\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline +\hline + & % +\begin{tabular}{l} +Formulierung der mathema- \tabularnewline +tischen Aufgabe \tabularnewline +(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline +Größe) \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline +ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\multirow{1}{*}{t} & % +\begin{tabular}{l} +Beschreibung der mathematischen \tabularnewline +Terme \tabularnewline +(Lösungsplan) \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline +mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline + & % +\begin{tabular}{l} +Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline +fachung \tabularnewline +(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline +Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline +Variable innerhalb eines durch \tabularnewline +Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline +Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline +\end{tabular} & % +\begin{tabular}{l} +$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline +$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline +\end{tabular}\tabularnewline +\hline +\end{tabular} + +C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$ +(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer +Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten +(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$ +der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte +Variable auszuheben / auszuklammern) % +\begin{tabular}{l} +D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline +Formel \tabularnewline +\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder: +\[ +R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right) +\] + +Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch +die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand +und Innenwiderstand. + +Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten +des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen +vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung +nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder +Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen +Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren +mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten +positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term, +der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig. + +--------- + +1.1. Die im Beispiel genannte Formel +\[ +I=\frac{nU}{nR_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}} +\] +ist nach $n$ aufzulösen. (Gesucht ist die Anzahl der in Reihe geschalteten +Elemente.) 1.2. Die unter dem Namen \quotedblbase Geradengleichung\textquotedblleft{} +oder \quotedblbase Linearfunktion\textquotedblleft{} bekannte Beziehung +\[ +y=a_{0}+a_{1}x +\] +ist nach $x$ aufzulösen. 1.3. Für die Berechnung des Widerstandswertes +eines Drahtes gilt die Formel $R=\varrho\frac{l}{A}$, wobei $\varrho$ +eine Materialkonstante (spez. Widerstand), $A$ der Leitungsquerschnitt +und $l$ die Länge der Leitung ist. Für $A$ ist $\pi r^{2}$ einzusetzen. +Die Formel ist nach dem Radius des Leitungsdrahtes aufzulösen. 1.4. +Die Formel der Richmannschen Mischungsregel +\[ +m_{1}c_{1}\left(t-t_{1}\right)=m_{2}c_{2}\left(t_{2}-t\right) +\] +ist nach der Mischtemperatur $t$ aufzulösen. 1.5. Die Gleichung +\[ +\frac{1+m}{1-m}=\frac{a}{b} +\] +ist nach $m$ aufzulösen. 1.6. Im gleichseitigen Dreieck gilt für +dieHöhe $h$ und die Seitenlänge $a$ die Beziehung: +\[ +h=\frac{a}{2}\sqrt{3} +\] + +Die Seitenlänge $a$ soll in Abhängigkeit von der Höhe $h$ angegeben +werden. 1.7. Für einen Kreis gelten bekanntlich die Formeln $A=\pi r^{2}$ +für die Kreisfläche und $u=2\pi r$ für den Kreisumfang. Lösen Sie +beide Formeln nach $r$ auf. Durch Gleichsetzung ist anschließend +eine Beziehung zwischen $A$ und $u$ herzustellen, die von $r$ unabhängig +ist. 1.8. Die Beziehung +\[ +v=\sqrt{t+1} +\] +ist nach $t$ aufzulösen. 1.9. Die Formel +\[ +s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} +\] +gilt für die Summe einer geometrischen Reihe. (Der Quotient zweier +aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.) Die Beziehung ist nach +der Gliederzahl $n$ aufzulösen. + +------13--- + +1.1. Die gesuchte Variable steht im Zähler $InR_{\mathrm{i}}+IR_{\mathrm{a}}=nU$ +und in einem Summanden des Nenners (nach Multiplikation eines Bruches. +mit dem gesamten Nenner) 1.2. Die gesuchte Variable ist Faktor in +$\quad y-a_{0}=a_{1}x$ einem Summanden der rechten Seite. oder +\[ +a_{1}x=y-a_{0} +\] +1.3. Es ist zunächst der Ausdruck für $A$ einzusetzen. Die gesuchte +Variable $r$ steht dann in quadratischer Form im Nenner eines Bruches. +\[ +R=\varrho\frac{l}{\pi r^{2}} +\] + +Mit $\pi r^{2}$ multipliziert: wegen $A=\pi r^{2}$ +\[ +R\pi r^{2}=\varrho l +\] +1.4. Die gesuchte Váriable $t$ tritt links- und rechtsseitig als +Glied einer Differenz auf, die mit verschiedenen Faktoren multipliziert +ist. +\[ +m_{1}c_{1}t-m_{1}c_{1}t_{1}=m_{2}c_{2}t_{2}-m_{2}c_{2}t +\] +1.5. Die gesuchte Variable $m$ steht im $\quad b(1+m)=a(1-m)$ Zähler +und im Nenner eines Bruches $\quad b+bm=a$-am in einer Summe bzw. +Differenz. 1.6. Die gesuchte Variable $a$ ist Teil eines Produktes, +das eine irrationale Zahl enthält. Es wird mit 2 multipliziert, durch +$\sqrt{3}$ dividiert. Anschließend werden die Seiten vertauscht. +\[ +\frac{2h}{\sqrt{3}}=a;\quad a=\frac{2h}{\sqrt{3}} +\] +1.7. Beide Beziehungen werden durch die Koeffizienten von $r$ bzw. +$r^{2}$ dividiert. +\[ +\frac{A}{\pi}=r^{2}\quad\frac{u}{2\pi}=r +\] +1.8. Die gesuchte Variable $t$ tritt als Summand im Radikanden einer +Wurzel auf. Es muß $t\geqq-1$ gelten. Zweckmäßigerweise wird zunächst +quadriert. $v^{2}=t+1$ 1.9. Die gesuchte Variable $n$ tritt im Exponenten +eines Gliedes im Zähler eines Bruchs auf. Multiplikation mit $(q-1)$, +Division durch $a_{1}$. +\[ +\frac{s_{n}(q-1)}{a_{1}}=q^{n}-1 +\] + +----14---- + +1.1. Glieder mit der unbekannten Variablen linksseitig zusammengefaßt. +Division durch die Klammer. 1.2. Man dividiere durch \$a\_1\$ : \$\$ +x=\textbackslash frac\{y-a\_0\}\{a\_1\} \$\$ 1.3. Zunächst ist durch +\$R \textbackslash pi\$ zu dividieren. \$\$ r\textasciicircum 2=\textbackslash frac\{\textbackslash varrho +l\}\{R \textbackslash pi\} \$\$ + +Zur Auflösung nach \$r\$ ist die Wurzel zu ziehen: \$\$ r= \textbackslash pm +\textbackslash sqrt\{\textbackslash frac\{\textbackslash varrho +l\}\{R \textbackslash pi\}\} \$\$ +\end{document}