%% LyX 2.3.7 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/. %% Do not edit unless you really know what you are doing. \documentclass[english]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin9]{inputenc} \usepackage{multirow} \usepackage{amsbsy} \usepackage{amstext} \usepackage{amssymb} \makeatletter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands. %% Because html converters don't know tabularnewline \providecommand{\tabularnewline}{\\} \makeatother \usepackage{babel} \begin{document} 1. Formelumstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 10 Aufgaben 1.1. bis 1.9. . . . . . . . . . . . . . . 13 Einige Bemerkungen zum Lösungsplan . . . . . . . 17 2. Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . . . . . . 18 Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder . . 23 Aufgaben 2.1. bis 2.10 . 3. Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten Variablen . . . . . . . . . . 31 Aufgaben 3.1. bis 3.11. 4. Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades . Aufgaben 4.1. bis 4.7. 41 45 5. Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen. Aufgaben 5.1. bis 5.7. (Ungleichungen) . . . . . . . 55 Aufgaben 5.8. bis 5.16. (Wurzelgleichungen) . . . . . 55 Aufgaben 5.17. bis 5.30. (goniometr. Gleichungen) . . 59 6. Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . . . . . . . . . . . 67 Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften . 74 Aufgaben 6.1 bis 6.21 . 7. Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion Aufgaben 7.1. bis 7.12. 8. Schnittprobleme-Methode der unbestimmten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Aufgaben 8.1. bis 8.8. . . . . . . . . . . . . . . 103 Übersicht über die Bilder einiger Funktionen . . . . 107 9. Extremwertaufgaben . 108 Aufgaben 9.1. bis 9.15 . 10. Flächenberechnung durch Integration 111 Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger Funktionen . . . . . . . 124 Aufgaben 10.1. bis 10.8 . 125 11. Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 129 Aufgaben 11.1. bis 11.8. 1. Formelumstellungen In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln. Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen Sachgebieten. Beispiele: % \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline \begin{tabular}{l} Typ: \tabularnewline $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $s=v\cdot t$ \tabularnewline gleichförmige \tabularnewline Bewegung \tabularnewline $\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline Brechungs- \tabularnewline gesetz Optik \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $U=R\cdot I$ \tabularnewline OHmsches \tabularnewline Gesetz \tabularnewline $\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline Lichtstrom \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $v=r\cdot\omega$ \tabularnewline Dreh- \tabularnewline bewegung \tabularnewline $RT=p\cdot V$ \tabularnewline Gas- \tabularnewline gleichung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline Reibung \tabularnewline $u=\pi\cdot d$ \tabularnewline Kreisumfang \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \begin{tabular}{l} Typ: \tabularnewline $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline Radial- \tabularnewline beschleunigung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline Gleichung von \tabularnewline EINSTEIN \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline Schallstärke \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline Freier Fall \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline & % \begin{tabular}{l} $F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline Zentri- \tabularnewline fugalkraft \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline Kreisfläche \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline Elektrische \tabularnewline Leistung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline Ähnlichkeit \tabularnewline bei Flächen \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$ & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline \hline $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$ & % \begin{tabular}{l} Periodendauer \tabularnewline beim Faden- \tabularnewline pendel \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} Periodendauer \tabularnewline physikalisches \tabularnewline Pendel \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} Schall- \tabularnewline geschwindig- \tabularnewline keit \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} Quadrat- \tabularnewline diagonale \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \begin{tabular}{l} Typ: \tabularnewline $\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline Dichte- \tabularnewline bestimmung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline KiRchHoFF- \tabularnewline sches Gesetz \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline Brennweite \tabularnewline beim Spiegel \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline Betrag des Wider- \tabularnewline standsoperators \tabularnewline Parallelschaltung \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \begin{tabular}{l} Typ: \tabularnewline $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline Anziehung \tabularnewline von Massen \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline CoulomB- \tabularnewline Gesetz \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline Magnetisches \tabularnewline Feld \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline Beleuchtungs- \tabularnewline stärke $\quad$. \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \begin{tabular}{l} $\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $l=$ \tabularnewline $l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline Längen- \tabularnewline ausdehnung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $V=$ \tabularnewline $V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline Volumen- \tabularnewline ausdehnung \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $R=$ \tabularnewline $R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline Widerstand \tabularnewline in Abhängig- \tabularnewline keit von der \tabularnewline Temperatur \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline $d(n-1)$ \tabularnewline arithmetische \tabularnewline Folge \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \end{tabular} Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen, die voneinander abhängen. Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung \[ s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }] \] dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und $F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$ usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen aufgelöst werden. Das geschieht in folgender Weise: % \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Schritt & Prinzip & Muster \tabularnewline \hline \multirow{1}{*}{t} & % \begin{tabular}{l} Aufgabenstellung \tabularnewline (sachgebietsbezogen) \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline $R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline & % \begin{tabular}{l} Aufstellen der Formel \tabularnewline (bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline \end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline \hline & % \begin{tabular}{l} Formulierung der mathema- \tabularnewline tischen Aufgabe \tabularnewline (Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline Größe) \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \multirow{1}{*}{t} & % \begin{tabular}{l} Beschreibung der mathematischen \tabularnewline Terme \tabularnewline (Lösungsplan) \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline & % \begin{tabular}{l} Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline fachung \tabularnewline (falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline Variable innerhalb eines durch \tabularnewline Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline \end{tabular} & % \begin{tabular}{l} $I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline $I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline \end{tabular}\tabularnewline \hline \end{tabular} C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$ (Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten (Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$ der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte Variable auszuheben / auszuklammern) % \begin{tabular}{l} D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline Formel \tabularnewline \end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder: \[ R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right) \] Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand und Innenwiderstand. Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term, der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig. --------- 1.1. Die im Beispiel genannte Formel \[ I=\frac{nU}{nR_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}} \] ist nach $n$ aufzulösen. (Gesucht ist die Anzahl der in Reihe geschalteten Elemente.) 1.2. Die unter dem Namen \quotedblbase Geradengleichung\textquotedblleft{} oder \quotedblbase Linearfunktion\textquotedblleft{} bekannte Beziehung \[ y=a_{0}+a_{1}x \] ist nach $x$ aufzulösen. 1.3. Für die Berechnung des Widerstandswertes eines Drahtes gilt die Formel $R=\varrho\frac{l}{A}$, wobei $\varrho$ eine Materialkonstante (spez. Widerstand), $A$ der Leitungsquerschnitt und $l$ die Länge der Leitung ist. Für $A$ ist $\pi r^{2}$ einzusetzen. Die Formel ist nach dem Radius des Leitungsdrahtes aufzulösen. 1.4. Die Formel der Richmannschen Mischungsregel \[ m_{1}c_{1}\left(t-t_{1}\right)=m_{2}c_{2}\left(t_{2}-t\right) \] ist nach der Mischtemperatur $t$ aufzulösen. 1.5. Die Gleichung \[ \frac{1+m}{1-m}=\frac{a}{b} \] ist nach $m$ aufzulösen. 1.6. Im gleichseitigen Dreieck gilt für dieHöhe $h$ und die Seitenlänge $a$ die Beziehung: \[ h=\frac{a}{2}\sqrt{3} \] Die Seitenlänge $a$ soll in Abhängigkeit von der Höhe $h$ angegeben werden. 1.7. Für einen Kreis gelten bekanntlich die Formeln $A=\pi r^{2}$ für die Kreisfläche und $u=2\pi r$ für den Kreisumfang. Lösen Sie beide Formeln nach $r$ auf. Durch Gleichsetzung ist anschließend eine Beziehung zwischen $A$ und $u$ herzustellen, die von $r$ unabhängig ist. 1.8. Die Beziehung \[ v=\sqrt{t+1} \] ist nach $t$ aufzulösen. 1.9. Die Formel \[ s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} \] gilt für die Summe einer geometrischen Reihe. (Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.) Die Beziehung ist nach der Gliederzahl $n$ aufzulösen. ------13--- 1.1. Die gesuchte Variable steht im Zähler $InR_{\mathrm{i}}+IR_{\mathrm{a}}=nU$ und in einem Summanden des Nenners (nach Multiplikation eines Bruches. mit dem gesamten Nenner) 1.2. Die gesuchte Variable ist Faktor in $\quad y-a_{0}=a_{1}x$ einem Summanden der rechten Seite. oder \[ a_{1}x=y-a_{0} \] 1.3. Es ist zunächst der Ausdruck für $A$ einzusetzen. Die gesuchte Variable $r$ steht dann in quadratischer Form im Nenner eines Bruches. \[ R=\varrho\frac{l}{\pi r^{2}} \] Mit $\pi r^{2}$ multipliziert: wegen $A=\pi r^{2}$ \[ R\pi r^{2}=\varrho l \] 1.4. Die gesuchte Váriable $t$ tritt links- und rechtsseitig als Glied einer Differenz auf, die mit verschiedenen Faktoren multipliziert ist. \[ m_{1}c_{1}t-m_{1}c_{1}t_{1}=m_{2}c_{2}t_{2}-m_{2}c_{2}t \] 1.5. Die gesuchte Variable $m$ steht im $\quad b(1+m)=a(1-m)$ Zähler und im Nenner eines Bruches $\quad b+bm=a$-am in einer Summe bzw. Differenz. 1.6. Die gesuchte Variable $a$ ist Teil eines Produktes, das eine irrationale Zahl enthält. Es wird mit 2 multipliziert, durch $\sqrt{3}$ dividiert. Anschließend werden die Seiten vertauscht. \[ \frac{2h}{\sqrt{3}}=a;\quad a=\frac{2h}{\sqrt{3}} \] 1.7. Beide Beziehungen werden durch die Koeffizienten von $r$ bzw. $r^{2}$ dividiert. \[ \frac{A}{\pi}=r^{2}\quad\frac{u}{2\pi}=r \] 1.8. Die gesuchte Variable $t$ tritt als Summand im Radikanden einer Wurzel auf. Es muß $t\geqq-1$ gelten. Zweckmäßigerweise wird zunächst quadriert. $v^{2}=t+1$ 1.9. Die gesuchte Variable $n$ tritt im Exponenten eines Gliedes im Zähler eines Bruchs auf. Multiplikation mit $(q-1)$, Division durch $a_{1}$. \[ \frac{s_{n}(q-1)}{a_{1}}=q^{n}-1 \] ----14---- 1.1. Glieder mit der unbekannten Variablen linksseitig zusammengefaßt. Division durch die Klammer. 1.2. Man dividiere durch \$a\_1\$ : \$\$ x=\textbackslash frac\{y-a\_0\}\{a\_1\} \$\$ 1.3. Zunächst ist durch \$R \textbackslash pi\$ zu dividieren. \$\$ r\textasciicircum 2=\textbackslash frac\{\textbackslash varrho l\}\{R \textbackslash pi\} \$\$ Zur Auflösung nach \$r\$ ist die Wurzel zu ziehen: \$\$ r= \textbackslash pm \textbackslash sqrt\{\textbackslash frac\{\textbackslash varrho l\}\{R \textbackslash pi\}\} \$\$ \end{document}