\documentclass[german,10pt,final,twoside,titlepage,table]{scrbook}

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\begin{document}
	\maketitle

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%\begin{figure}[ht]
%	\centering
%	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/006}
%\end{figure}

%\begin{tikzpicture}[]
%	%Vorfüllen sonst verrutscht es
%	\draw [white](0,0) -- (5,0);
%	\node (A) at (7.6,0) {$\text{nicht-}p$ ist wahr};
%	\bglayer{%
%		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.20]{20}};
%	}
%\end{tikzpicture} 


\hspace{-7mm}\begin{tikzpicture}
[scale=1]
% Linie nach rechts (1 cm)
\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.5  ,0.8);

\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1  ,0.8);

% Zahl 20
	\node[right] at (-0.55,0.8) {\hyperref[B1.106]{106}/\hyperref[B1.107]{107}};

% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];

% Linie nach links (1 cm)
\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{\hyperref[B1.28]{28}};

% Zahl (am Ende der Linie)
\node[below] at (0,-4mm) {10};
\end{tikzpicture}

\phantomsection
\label{B1.33}
\liRa{33}
Zwei oder drei Ihrer Antworten waren falsch. Es ist daher nötig, daß Sie sich erst noch über den richtigen Gebrauch der Wörter ,,und ${ }^*$ sowie ,,oder" informieren.
(Die richtigen Antworten zu den Aufgaben in Lehrschritt 14 und 27 sind: 1. a, 2. wahr, 3. falsch, 4. c).
$\qquad$
-->24


\phantomsection
\label{B1.34}
\liRa{34}

Diese Antwort ist nicht richtig.
Zur Begründung wollen wir speziell als rationale Zahlen $a$ bzw. $b$ die Zahlen 4 bzw. 0 wählen. Dann ist $a \cdot b=4 \cdot 0=0$
Aber in diesem Falle ist die Aussage

$$
a=0 \text { und } b=0
$$

nicht wahr, denn es liegt nicht der Sachverhalt vor, daß (bei unserer Wahl von $a, b) a=b=0$ ist.
-->31


\phantomsection
\label{B1.35}
\liRa{35}

Falsch!
Informieren Sie sich im Lehrschritt 103 über die Logarithmusfunktion, und gehen Sie danach zurück zum Lehrschritt 28.

\hspace{-7mm}\begin{tikzpicture}
	[scale=1]
	% Linie nach rechts (1 cm)
	\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.1  ,0.8);
	
	\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1 ,0.8);
	
	% Zahl 20
	\node[right] at (0,0.8) {\hyperref[B1.103]{103}};
	
	% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
	\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];
	
	% Linie nach links (1 cm)
	\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{\hyperref[B1.28]{28}};
	
	% Zahl (am Ende der Linie)
	\node[below] at (0,-4mm) {10};
\end{tikzpicture}

\phantomsection
\label{B1.36}
\liRa{36}
Leider genügen Ihre Vorkenntnisse nicht, um die Ausführungen über den
Gebrauch von ,,und ${ }^*$, ,,oder ${ }^*$ zu überspringen.
-
Arbeiten Sie deshalb auch diesen Programmteil gründlich durch!
(Die richtigen Antworten zu den Aufgaben in Lehrschritt 14 und 27 sind: 1. a, 2. wahr, 3. falsch, 4. e).
$\qquad$
--> 24

\phantomsection
\label{B1.37}
\liRa{37} 
Sie haben auf die in Lehrschritt 28 gestellte Frage falsch geantwortet. Zwar sind $a=1$ bzw. $b=\pi$ Nullstellen von $\lg x$ bzw. cot $\frac{x}{2}$, aber die Verwendung von ,,entweder . . oder ${ }^6$ ist nicht richtig.
Wählen Sie nämlich $a=1$ und $b=\pi$, dann gilt

$$
\lg 1 \cdot \cot \frac{\pi}{2}=0 \cdot 0=0
$$


Aber die Aussage

$$
\text { entweder } a=1 \text { oder } b=\pi
$$

ist falsch.
$\qquad$

--> 40


\phantomsection
\label{B1.38}
\liRa{38} 

Sie haben richtig geantwortet. Sicher haben Sie sich überlegt, daß

$$
\lg a \cdot \cot \frac{b}{2}=0
$$

nur gelten kann, falls

$$
\lg a=0 \text { oder } \cot \frac{b}{2}=0
$$

gilt. Innerhalb der für $a$ bzw. $b$ angegebenen Intervalle sind aber $a=1$ die einzige Nullstelle von $\lg a$ und $b=\pi$ die einzige Nullstelle von $\cot \frac{b}{2}$.

--> 40

\phantomsection
\label{B1.39}
\liRa{39} 

Ihre Antwort auf die in Lehrschritt 31 gestellte Frage ist nicht richtig.
Um dies einzusehen, wollen wir speziell als rationale Zahlen $a, b$ jeweils die Zahl 0 wählen. Dann ist $a \cdot b=0 \cdot 0=0$. Aber in diesem Falle ist die Aussage
entweder $a=0$ oder $b=0$
nicht wahr. Denn damit diese Aussage wahr ist, muß als Sachverhalt vorliegen, daß $a=0$ und $b \neq 0$ ist bzw. daß $a \neq 0$ und $b=0$ ist.

Versuchen Sie nochmals, die Frage in Lehrschritt 31 richtig zu beantworten.
$\qquad$

--> 31

\phantomsection
\label{B1.40}
\liRa{40} 

Das nächste Beispiel soll Sie an die wichtigen Begriffe der Vereinigungsmenge und der Durchschnittsmenge zweier Mengen erinnern.

Tragen Sie jeweils eine der angegebenen Möglichkeiten in die betreffende Lücke ein, so daß wahre Aussagen entstehen!
1. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen $A, B$ ist dic Menge aller derjenigen Elemente, die zu $A$. $\qquad$ $B$ gehören.
(und/und nicht/oder/entweder . . . oder)
2. Die Durchschnittsmenge zweier Mengen $A, B$ ist die Menge aller derjenigen Elemente, die zu $A$ $\qquad$ $B$ gehören.
(und/und nicht/oder/entweder . . . oder)
 
 
 --> 48

\phantomsection
\label{B1.41}
\liRa{41} 

Diese Antwort ist nicht richtig. Die Menge der Punkte, die der von Ihnen als zutreffend angesehenen Bedingung genügen, ist die Vereinigungsmenge dreier Mengen - nämlich der Mengen derjenigen Punkte, deren Koordinaten die erste bzw. zweite bzw. dritte Ungleichung erfüllen, die in der von Ihnen gewählten Bedingung genannt werden.
Jede dieser drei Mengen enthält aber Punkte der Ebene, die nicht im Innern des Dreiecks liegen. Zum Beispiel gehört der Punkt (10,5) zur Menge der Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung $y<2 x+6$ erfüllen. Er ist aber kein innerer Punkt des Dreiecks. Daher enthält die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen erst recht solche Punkte.

Gehen Sie zum Lehrschritt 42, und versuchen Sie, die Menge der von den drei Geraden eingeschlossenen Punkte als eine Durchschnittsmenge darzustellen.
--> 42

\phantomsection
\label{B1.42}
\liRa{42} 

Betrachten Sie in einem rechtwinkligen ( $x, y$ )-Koordinatensystem die Geraden $g_1, g_2, g_3$ mit den sie darstellenden Gleichungen

$$
\begin{array}{ll}
	g_1: & y=-x+9 \\
	g_2: & y=2 \\
	g_3: & y=2 x+6
\end{array}
$$

\begin{figure}[ht]
	\centering
	\scalebox{.4}{
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
		
		
		% Koordinatensystem
		\draw[thick,-{Latex[length=5mm]}] (-5,0) -- (12,0) node[right] {$x$}; % x-Achse
		\draw[thick,-{Latex[length=5mm]}] (0,-3) -- (0,12) node[above] {$y$}; % y-Achse
		
		% Skalierung und Beschriftungen für x-Achse (ohne die 0)
		\foreach \x in {-4,-2,2,4,6,8,10}
		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
		
		\foreach \x in {-3,-1,...,9,11}
		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1);
		
		% Skalierung und Beschriftungen für y-Achse (rechts)
		\foreach \y in {-2,2,4,6,10}
		\draw (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[right,xshift=10pt] {\y};
		
		\foreach \y in {-1,1,3,5,7,9,11}
		\draw (0.2,\y) -- (-0.2,\y);
		
		% Funktion g1: y = -x-9
		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-2:10] plot(\x,{0-(\x)+9}) node [right] {$g_1$};
		
		% Funktion g2: y = 2
		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-4:10] plot(\x,{2}) node [right] {$g_2$};
		
		% Funktion g3: y = 2x+6
		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-4:2.5] plot(\x,{2*\x+6}) node [right] {$g_3$};
		
	\end{tikzpicture}}
	
\end{figure}

Durch diese Geraden wird ein Dreieck bestimmt.

Frage: Wodurch sind die inneren Punkte dieses Drejecks charakterisiert?
Antwort: Es sind alle Punkte, für deren Koordinaten $(x, y)$ gilt
a: $y>-x+9$ oder $y<2$ oder $y>2 x+6 \longrightarrow 17$
$\mathrm{b}: y>-x+9$ und $y<2$ und $y>2 x+6 \longrightarrow 45$
$\mathrm{c}: y<-x+9$ und $y>2$ und $y<2 x+6 \longrightarrow 13$
$d: y<-x+9$ oder $y>2$ oder $y<2 x+6 \longrightarrow 11$
Wenn Sie nicht zurechtkommen, dann $\longrightarrow$ í

\phantomsection
\label{B1.43}
\liRa{43} 

Die Aufgabe im Lehrschritt 49 haben Sie richtig gelöst, falls Sie in die auszufüllende Lücke ,,oder" eingetragen haben. Denn die Ungleichung $f(x)<\cos x$ ist für alle diejenigen $x$-Werte falsch, die zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ liegen, d. h., für die gilt $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$.

Für alle anderen $x$-Werte ist die zu betrachtende Ungleichung dagegen richtig. Für diese anderen $x$-Werte gibt es (vergleichen Sie mit Ihrer Skizze) zwei Möglichkeiten: Es kann $x \leqq-\frac{\pi}{2}$ sein oder $x \geqq \frac{\pi}{2}$.
Gilt also

$$
x \leqq-\frac{\pi}{2} \text { oder } \frac{\pi}{2} \leqq x
$$

so gilt die Ungleichung $f(x)<\cos x$. $\qquad$

--> 42


\phantomsection
\label{B1.44}
\liRa{44} 

Wir geben Ihnen folgenden Hinweis:
Einer Ungleichung der Form $y<a x+b$ bzw. $y>a x+b$ genügen jeweils
44 alle Punkte einer der Halbebenen, in die die Gerade $y=a x+b$ die gesamte Koordinatenebene zerlegt. (Die Punkte auf der Geraden $y=a x+b$ sind jeweils ausgenommen.)
Im Falle der Geraden $g_1$ mit der Gleichung $y=-x+9$ entspricht $z$. B. der Ungleichung $y<-x+9$ die in 
Abb. 3 schraffierte Halbebene.


\begin{figure}[ht]
	\centering
	\scalebox{0.5}{ 
	\begin{tikzpicture}


\draw[->] (-1,0) -- (10,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,10) node[above] {$y$};
\draw (9,0.2) -- (9,-0.2);
\draw (0.2,9) -- (-0.2,9);
% Die Gerade y = -x + 9
\draw[thick, blue] (-1,10) -- (10,-1) node[below right] {$y = -x + 9$};

% Schraffur links der Geraden, inklusive unterhalb der x-Achse
\foreach \x in {-1,-0.9,...,10} {
	% Schnittpunkt der Linie mit der Geraden berechnen
	\pgfmathsetmacro{\y}{-1 * \x + 9}
	% Linie oberhalb der x-Achse zeichnen
	\ifdim \y pt > 0 pt
	\draw[red] (\x,\y) -- ++({-0.4*cos(10)},{0.4*sin(-10)});
	\else
	% Linie unterhalb der x-Achse zeichnen
	\pgfmathsetmacro{\ybelow}{max(\y,-1)} % Begrenzung nach unten (falls benötigt)
	\draw[red] (\x,\ybelow) -- ++({-0.4*cos(10)},{0.4*sin(-10)});
	\fi
	% Schnittpunkt mit der y-Achse: (0,9)
	\fill[white] (-0.4,9) circle (0.2); % Weißer Kreis
	\node at (-0.4,9) {$g$};           % Text "g"
	
	% Schnittpunkt mit der x-Achse: (9,0)
	\fill[white] (9,-0.4) circle (0.2); % Weißer Kreis
	\node at (9,-0.4) {$g$};           % Text "g"

}
	\end{tikzpicture}}
\end{figure}

Mit Hilfe dreier solcher Halbebenen, die durch die Geraden $g_1, g_2$ bzw. $g_3$ bestimmt werden, müssen Sie nun die Gesamtheit der inneren Punkte des Dreiecks charakterisieren. 

--> 42


\phantomsection
\label{B1.45}
\liRa{45} 
Ihre Antwort ist nicht richtig.
Einen Punkt $P_0$, dessen Koordinaten $x_0, y_0$ der Bedingung

$$
y_0>-x_0+9 \text { und } y_0<2 \text { und } y_0>2 x_0+6
$$

genügen, kann es nämlich gar nicht geben.
Denn für diesen Punkt müßte
sein, das heißt
also wegen
auch

$$
\begin{aligned}
	y_0 & <2 \\
	2 & >y_0 \\
	y_0 & >-x_0+9 \\
	2 & >-x_0+9 \\
	2+x_0 & >9 \\
	x_0 & >7 \\
	y_0 & >2 x_0+6 \\
	y_0 & >14+6=20 \\
	20 & <y_0 \text { und } y_0<2
\end{aligned}
$$

das heißt, es müßte
sein, also $\quad x_0>7$;
wegen
wäre also auch
Also müßte gelten
was nicht sein kann.
Überlegen Sie sich nochmals, welchen Ungleichungen die Koordinaten $x, y$ der inneren Punkte des betrachteten Dreiecks genügen müssen.
$\longrightarrow 42$



\phantomsection
\label{B1.46}
\liRa{46} 

Sie kennen den Begriff der Funktion einer reellen Variablen und wissen, daß man sich den Verlauf einer Funktion $f(x)$ meist durch eine Kurve in einem $(x, y)$-Koordinatensystem veranschaulichen kann.
Betrachten Sie die Funktion $f(x)$, für die gilt

$$
f(x)= \begin{cases}1, & \text { falls }-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\ -2 & \text { für alle anderen reellen Zahlen } x\end{cases}
$$


Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion auf einem Übungsblatt!

$$
\text { Dann } \longrightarrow 49
$$


\phantomsection
\label{B1.47}
\liRa{47} 
Diese Antwort ist nicht richtig.
Die Menge der Punkte, die der von Thnen als zutreffend angesehenen Bedingung genügen, ist die Vereinigungsmenge dreier Mengen - nämlich der Mengen derjenigen Punkte, deren Koordinaten die erste bzw. zweite bzw. dritte Ungleichung erfüllen, die in der von Ihnen gewählten Bedingung genannt werden.
Jede dieser drei Mengen enthält aber Punkte der Ebene, die nicht im Innern des Dreiecks liegen. Zum Beispiel gehört der Punkt ( $-4,0$ ) zur Menge der Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung $y>2 x+6$ erfüllen. Er ist aber kein innerer Punkt des Dreiecks. Daher enthält die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen erst recht solche Punkte.

Gehen Sie zum Lehrschritt 42 zurück und versuchen Sie, die Menge der von den drei Geraden eingeschlossenen Punkte als eine Durchschnittsmenge darzustellen.
--> 42


\phantomsection
\label{B1.48}
\liRa{48}
Ihre Antworten im Lehrschritt 40 mußten lauten:
1. . . . oder . . .
2. . . . und . . .

Haben Sie richtig geantwortet
Haben Sie nicht richtig geantwortet

\secnr{49}
Sie mußten als Skizze erhalten :
\begin{figure}[ht]
	\centering
	\scalebox{0.75}{
	\begin{tikzpicture}
	
	% Achsen zeichnen
	\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 10, length=10pt]}] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
	\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 10, length=10pt]}] (0,-3) -- (0,2.5) node[above] {$f(x)$};
	
	
	% x-Achsenbeschriftung
	\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} {
		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\scriptsize $\x$};
	}
	% Spezielle Markierung für pi/2 und -pi/2
	\draw (1.57,0.1) -- (1.57,-0.1) node[below] {\scriptsize $\frac{\pi}{2}$};
	\draw (-1.57,0.1) -- (-1.57,-0.1) node[below] {\scriptsize $-\frac{\pi}{2}$};
	
	% y-Achsenbeschriftung
	\foreach \y in {-2,-1,1,2} {
		\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\scriptsize $\y$};
	}
	
	
	
	
	% Bereich f(x) = 1 für -pi/2 < x < pi/2
	\draw[thick,blue] (-1.57,1) -- (1.57,1); % Linie für f(x) = 1
	\fill[white] (-1.57,1) circle (0.08);    % Offener Kreis links
	\fill[white] (1.57,1) circle (0.08);     % Offener Kreis rechts
	\node[below right] at (1.57,1) {\scriptsize $\frac{\pi}{2}$};
	\node[below left] at (-1.57,1) {\scriptsize $-\frac{\pi}{2}$};
	
	
	
	% Abschließende Klammern bei der blauen Funktion
	\draw[thick,blue] (-1.4,1.225) arc[start angle=130,end angle=230,radius=0.3]; % Linke Klammer
	\draw[thick,blue] (1.4,1.225) arc[start angle=50,end angle=-50,radius=0.3];  % Rechte Klammer
	
	% Bereich f(x) = -2 für x < -pi/2
	\draw[thick,red] (-4,-2) -- (-1.57,-2); % Linie links
	\fill[white] (-1.57,-2) circle (0.08);  % Offener Kreis bei -pi/2
	
	% Bereich f(x) = -2 für x > pi/2
	\draw[thick,red] (1.57,-2) -- (4,-2);   % Linie rechts
	\fill[white] (1.57,-2) circle (0.08);   % Offener Kreis bei pi/2
	
	% Abschließende senkrechte Striche bei der roten Funktion
	\draw[thick,red] (-1.65,-2.25) -- ++(0,0.5); % Linker senkrechter Strich
	\draw[thick,red] (1.65,-2.25) -- ++(0,0.5);  % Rechter senkrechter Strich
	
	% Beschriftung
	\node[right] at (4,-2) {\scriptsize $f(x) = -2$};
	\node[right] at (1.57,1) {\scriptsize $f(x) = 1$};
	
	\end{tikzpicture}
	
	}
\end{figure}

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis und korrigieren Sie es nötigenfalls! Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem noch $\cos x$ ein! Sollten Sie wider Erwarten den Verlauf dieser Funktion nicht mehr kennen, so informieren Sie sich in den Lehrschritten 106/107 und kehren Sie danach hierher zurück.

\begin{figure}[ht]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
	[scale=1]
	% Linie nach rechts (1 cm)
	\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.5  ,0.8);
	
	\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1  ,0.8);
	
	% Zahl 20
	\node[right] at (-0.55,0.8) {\hyperref[B1.106]{106}/\hyperref[B1.107]{107}};
	
	% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
	\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];
	
	% Linie nach links (1 cm)
	\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Aus Ihrer vervollständigten Skizze ersehen Sie nun, daß die Ungleichung

$$
f(x)<\cos x
$$

für alle reellen Zahlen $x$ gilt, für die $x \leqq-\frac{\pi}{2} \ldots \ldots \ldots$. (und/oder) $^{\ldots} \begin{array}{r}\pi \\ 2\end{array}$ ist.
(und/oder)
Füllen Sie die Lücke aus!

$$
\text { Dann } \longrightarrow 43
$$

\secnr{50}
Ihre Tabelle muß so aussehen:
\begin{tabular}{c|c|c|c}
	\hline$p$ & $q$ & $p$ oder $q$ & $p$ und $q$ \\
	\hline$W$ & $W$ & $\mathbf{W}$ & $\mathbf{W}$ \\
	$W$ & $F$ & $W$ & $\mathbf{F}$ \\
	$F$ & $W$ & $W$ & $\mathbf{F}$ \\
	$F$ & $F$ & $\mathbf{F}$ & $F$ \\
	\hline
\end{tabular}

Sie sehen, daß die Wahrheit bzw. Falschheit der betrachteten Aussagenverbindungen nur von der Wahrheit bzw. Falschheit der Aussagen abhängt, aus denen sie zusammengesetzt sind.
$\longrightarrow 52$

\secnr{51}
Diejenigen Aussagen, die wir mit Hilfe der Wörter ,,oder" bzw. ,,und" verknüpfen wollen, unterliegen keinen Einschränkungen. Insbesondere wollen wir nicht fordern, daß etwa nur mathematische oder nur nichtmathematische Aussagen miteinander verknüpft werden sollen.
Eine zunächst vielleicht paradox erscheinende Konsequenz dieser Auffassung ist, daß wir z. B. die folgenden Zusammensetzungen als Aussagen zulassen:

Es ist $3+3=6$ und der 1. Januar ein Feiertag
2 ist eine irrationale Zahl, oder gestern war Freitag
Die Gleichung $x^2=1$ hat mindestens eine ganzzahlige Lösung, und es ist $2^4=16$
Berlin ist die Hauptstadt der VR Polen, oder es ist $2^2+3^2=4^2$ $E s$ ist $3<1$ oder $\sin \pi+\cos \pi=1$.
---> 53


Prägen Sie sich bitte folgende Bezeichnungen ein:

\secnr{52}

Eine durch Verbindung zweier Aussagen mittels ,,oder" entstehende Aussage nennt man eine Alternative.
Eine durch Verbindung zweier Aussagen mittels ,,und" entstehende Aussage nennt man eine Konjunktion.

Die Eigenschaft, daß die Wahrheit bzw. Falschheit einer Alternative (Konjunktion) nur von der Wahrheit bzw. Falschheit der Aussagen abhängt, aus denen sie sich zusammensetzt, und nicht von deren Inhalt, nennt man Extensionalität.

---> 54

53
Nun wollen wir uns überlegen, wann die durch Zusammensetzung zweier Aussagen $p, q$ mittels „oder" bzw. „und" entstehende Aussage wahr ist.
Gemäß unserer Vereinbarung, das Wort „oder" stets im nichtausschließenden Sinne zu gebrauchen, ist die Aussage

$$
p \text { oder } q
$$

in folgenden Fällen wahr:
(1) falls der durch die Aussage $p$ beschriebene Sachverhalt vorliegt;
(2) falls der durch die Aussage $q$ beschriebene Sachverhalt vorliegt;
(3) falls sowohl der durch die Aussage $p$ als auch der durch die Aussage $q$ beschriebene Sachverhalt vorliegt.

Sonst ist die Aussage $p$ oder $q$ falsch.

----> 54

55

Die Überlegungen der beiden letzten Lehrschritte können wir in folgender leicht zu merkender Form zusammenfassen:
(1) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „oder" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist.
(2) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „und" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen beide verknüpften Aussagen wahr sind.

Prägen Sie sich dieses ein!

$$
\text { Dann } \longrightarrow 56
$$

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline & Entscheiden Sie zur Übung für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist! Schreiben Sie ,,wahr" bzw. ,,falsch" hinter jede Aussage! \\
\hline $p_1$ : & Es ist $3^3=9$ oder $\pi<3,12$ \\
\hline $p_2$ : & Weihnachten ist im Dezember, oder Ostern ist im Frühling \\
\hline $p_3$ : & $\left|\sin \frac{3}{2} \pi\right|=0$ und $(-4)^{17}>0$ \\
\hline $p_4$ xclor
: & $\sqrt{(-4)^2}=-4$ oder $2^3=3^2$ \\
\hline $p_5$ : & -7 ist eine rationale Zahl, und Sie sind jetzt beim Lehrschritt 56 dieses Programms \\
\hline $p_6$ : & $1001=7 \cdot 11 \cdot 13$ oder $1024=2^{10}$ \\
\hline $p_7$ : & Der 28. Februar 1971 war ein Dienstag, oder die Gleichung $5 x-7=0$ hat keine ganzzahlige Lösung \\
\hline
\end{tabular}

56

57

Da Sie nicht mehr als eine Aufgabe falsch haben, dürfen Sie bis hierher alle Lehrschritte überspringen.
Diejenigen Aussagen, die wir mittels der Wörter „oder" bzw. ,,und" verknüpfen wollen, unterliegen keinen Einschränkungen. Insbesondere wollen wir nicht fordern, daß etwa nur mathematische oder nur nichtmathematische Aussagen miteinander verknüpft werden sollen.
Eine Konsequenz dieser Auffassung ist es, daß wir z. B. die folgenden Zusammensetzungen als Aussagen zulassen:

Es ist $3+3=6$, und der 1. Januar ein Feiertag
2 ist eine irrationale Zahl, oder gestern war Freitag
Die Gleichung $x^2=1$ hat mindestens eine ganzzahlige Lösung, und es ist $2^4=16$
Berlin ist die Hauptstadt der VR Polen oder es ist $2^2+3^2=4^2$
Es ist $3<1$ oder $\sin \pi+\cos \pi=1$.

58

58

Es bereitet auch für derartige Aussagen keine Mühe zu entscheiden, ob sie wahr oder ob sie falsch sind, da - wie Sie wissen - gilt:
(1) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „oder" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist.
(2) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „und" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen beide verknüpften Aussagen wahr sind.

60

Vergleichen Sie Ihre Lösungen mit den richtigen Lösungen! Wenn Sie Fehler gemacht haben, so überlegen Sie sich an Hand

59 der angegebenen Begründungen den Sachverhalt nochmals.

Die richtigen Lösungen lauten :

\begin{tabular}{|l|l|}
	\hline $p_1$ & falsch (denn es ist $3^3=27 \neq 9$ und auch nicht $\pi<3,12$ ) \\
	\hline $p_2$ & wahr (denn Weihnachten ist im Dezember) \\
	\hline $p_3$ & falsch (denn es ist $(-4)^{17}=(-1)^{17} \cdot 4^{17}=-4^{17}<0$; bzw. andere Begründung: denn es ist $\left|\sin \frac{3 \pi}{2}\right|=|-1|=1 \neq 0$ ) \\
	\hline $p_4$ & falsch (denn es ist $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$ und es ist $2^3=8 \neq 9=3^2$ ) \\
	\hline $p_5$ & wahr (denn -7 ist eine rationale Zahl, und Sie waren bei der Lösung dieser Aufgabe beim Lehrschritt 56 dieses Programms) \\
	\hline $p_6$ & wahr \\
	\hline $p_7$ & wahr (denn die Gleichung $5 x-7=0$ hat als einzige reelle Lösung $x=\frac{7}{5}$, also keine ganzzahlige Lösung). \\
	\hline
\end{tabular}

60

60

Wie schon im Falle der Negation einer Aussage wollen wir nun unsere Ergebnisse über die Wahrheit bzw. Falschheit der durch Verknüpfung zweier Aussagen $p, q$ mittels „oder" bzw. ,,und" entstehenden Aussagen tabellarisch zusammenfassen. $W$ bzw. $F$ sollen die Eigenschaft des Wahrseins bzw. des Falschseins andeuten.

Ergänzen Sie die folgende Tabelle:

\begin{tabular}{c|c|c|c}
	\hline$p$ & $q$ & $p$ oder $q$ & $p$ und $q$ \\
	\hline$W$ & $W$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\
	$W$ & $F$ & $W$ & $\cdots$ \\
	$F$ & $W$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\
	$F$ & $F$ & $\cdots$ & $F$
\end{tabular}

$\longrightarrow 50$
$-35-$


\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		extra x tick style={% ändern des Stils für extraticks
    	every tick/.append style={black, thick},% andere Farbe 		und Breite
   	major tick length=0.2cm% andere Länge
  		},
  		major tick length=0.2cm,       % Länge der Hauptticks
		axis lines = middle,
		axis line style={-Stealth, thick}, % Stealth-Pfeilspitzen
		xlabel = {$x$},
		ylabel = {$y$},
		xmin=-0.3, xmax=4,
		ymin=-1, ymax=1.2,
		xtick={1},
		ytick={1},
		%grid=both,
		%width=8cm,
		%height=8cm,
		%tick length = 0.3cm,
		samples=100, 
		extra x ticks={2,3},
		extra x tick labels = {},
		xlabel style={xshift=0.25cm, yshift=-0.5cm},
		ylabel style={xshift=-0.5cm},	
		]
		\addplot [blue, thick, domain=0.1:4] {log10(x)};
		\node at (axis cs:7,2) {$y=\lg x$};
		%\filldraw[red] (axis cs:3,{log10(3)}) circle (2pt);
		\draw (axis cs:0,0) circle (3pt);

	
		
	\end{axis}
\end{tikzpicture}



\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    enlargelimits,
    xmin=0, xmax=10,
    ymin=-1.2, ymax=1.5,
    xlabel={$x$},
    ylabel={$y$},
    xtick={1},
    ytick={1},
	 xtick={1},
    % Alle Ticks anpassen
    tick style={line width=0.7pt,thick},
    % Achsenpfeile
    axis line style={-Stealth},
	major tick length=6pt,
    % Beschriftungen
    every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)}, anchor=west},
    every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)}, anchor=south},
    % Extra Tick bei x=1 und y=1 hervorheben
    extra x ticks={3,5,7,9},
	 extra x tick labels = {},
    extra x tick style={major tick length=6pt, tick style={line width=1pt}},
    extra y tick style={tick style={line width=1pt}},
		xlabel style={xshift=-0.25cm, yshift=-0.25cm},
		ylabel style={xshift=-0.5cm}
]
    % Logarithmus zeichnen
    \addplot[domain=0.01:10, samples=200, thick] {log10(x)};
    \node at (axis cs:9,1.2) {$y=\lg x$};
    % Offener Kreis am Ursprung
    \draw[] (axis cs:0,0) circle (3pt);
\end{axis}
\end{tikzpicture}


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    axis line style={->},
    xmin=-2*pi, xmax=2*pi,
    ymin=-1.5, ymax=1.5,
    domain=-2*pi:2*pi,
    samples=200,
    xtick={-2*pi, -3*pi/2, -pi, -pi/2, -pi/4, pi/4, pi/2, pi, 3*pi/2, 2*pi},
    xticklabels={$-2\pi$, $-\tfrac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $-\tfrac{\pi}{2}$, $-\tfrac{\pi}{4}$,
                 $\tfrac{\pi}{4}$, $\tfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\tfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$},
    ytick={-1,0,1},
    yticklabels={$-1$, $0$, $1$},
    tick style={line width=0.7pt},
    major tick length=4pt,
    every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)}, anchor=west},
    every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)}, anchor=south},
    xlabel={$x$},
    ylabel={$y$},
]

% Sinus-Kurve
\addplot[thick] {sin(deg(x))};
\node at (axis cs:3, -0.6) {$y=\sin x$};

% Kosinus-Kurve
\addplot[thick] {cos(deg(x))};
\node at (axis cs:3, 0.8) {$y=\cos x$};

\end{axis}
\end{tikzpicture}


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    axis line style={->},
    xmin=-2*pi, xmax=2*pi,
    ymin=-5, ymax=5,
    samples=400,
    domain=-2*pi:2*pi,
    restrict y to domain=-5:5, % schneidet extreme Werte ab
    xtick={-2*pi,-3*pi/2,-pi,-pi/2,0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi},
    xticklabels={$-2\pi$,$-\tfrac{3\pi}{2}$,$-\pi$,$-\tfrac{\pi}{2}$,
                 $0$,$\tfrac{\pi}{2}$,$\pi$,$\tfrac{3\pi}{2}$,$2\pi$},
    ytick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
    xlabel={$x$},
    ylabel={$y$},
]
    % Kotangens
    \addplot[thick,blue] {cos(deg(x))/sin(deg(x))};
    \node at (axis cs:1,3) {$y=\cot(x)$};

	\addplot[thick,red] {tan(deg(x))};
	\node at (axis cs:3, -0.6) {$y=\tan x$};

\end{axis}
\end{tikzpicture}



\begin{tikzpicture}

\begin{scope}
	
	\clip plot [smooth] coordinates {(-10.18,4.48) (-10.316002936123713,4.957552487532145) (-10.387374280453162,5.371506284642951) (-10.276000027487713,5.809778772543043) (-9.849923772019515,6.092720035939893) (-9.088415813657184,6.185139609998673) (-8.132039799642563,6.099493996803334) (-6.247836309345101,5.956751308144436) (-5.58,5.22) (-5.66,4.42) (-6.433401804601669,4.072547817846974) (-7.247035129957392,4.015450742383415) (-7.732360271397647,3.7156910961997274) (-8.34,2.96) (-9.24,2.94) (-9.86,3.48) (-10.18,4.48)};  
	
	
	\draw[line width=1mm] plot [smooth] coordinates {(-10.18,4.48) (-10.316002936123713,4.957552487532145) (-10.387374280453162,5.371506284642951) (-10.276000027487713,5.809778772543043) (-9.849923772019515,6.092720035939893) (-9.088415813657184,6.185139609998673) (-8.132039799642563,6.099493996803334) (-6.247836309345101,5.956751308144436) (-5.58,5.22) (-5.66,4.42) (-6.433401804601669,4.072547817846974) (-7.247035129957392,4.015450742383415) (-7.732360271397647,3.7156910961997274) (-8.34,2.96) (-9.24,2.94) (-9.86,3.48) (-10.18,4.48)};  
	
	\fill[pattern=north east lines] (-10.5,0) rectangle (7,6.6);
	\draw (0,0) rectangle (4,3);
	
\end{scope}  


\begin{scope}
	
	\clip plot [smooth] coordinates { (-7.270483135965676,5.352927819643642) (-7.089385928695549,6.4757305047184275)
		(-6.564204027612182,7.055241567982833)
		(-6.220119333798941,7.254448495979973)
		(-5.4232916218103835,7.471765144704125)
		(-4.300488936735598,7.50798458615815) (-3.630429269836129,6.837924919258681)
		(-3.1595765309337995,5.588354189094806) (-3.0509182065717235,4.375002900384957)
		(-3,3)  (-3.3768931796579515,2.382933620413563)
		(-4.065062567284433,2.5278113862296645) (-4.78945139636494,2.9624446836779685)
		(-5.550059666899472,3.10732244949407)
		(-6.202009613071928,2.8537863593158925)
		(-6.763410955609321,2.455372503321614)
		(-7.270483135965676,3.034883566586019)
		(-7.379141460327752,4.501770945474046)
		(-7.270483135965676,5.352927819643642) };
	
	
	\draw[line width=1mm] plot [smooth] 
	     coordinates { (-7.270483135965676,5.352927819643642) (-7.089385928695549,6.4757305047184275)
		(-6.564204027612182,7.055241567982833)
		(-6.220119333798941,7.254448495979973)
		(-5.4232916218103835,7.471765144704125)
		(-4.300488936735598,7.50798458615815) (-3.630429269836129,6.837924919258681)
		(-3.1595765309337995,5.588354189094806) (-3.0509182065717235,4.375002900384957)
		(-3,3)  (-3.3768931796579515,2.382933620413563)
		(-4.065062567284433,2.5278113862296645) (-4.78945139636494,2.9624446836779685)
		(-5.550059666899472,3.10732244949407)
		(-6.202009613071928,2.8537863593158925)
		(-6.763410955609321,2.455372503321614)
		(-7.270483135965676,3.034883566586019)
		(-7.379141460327752,4.501770945474046)
		(-7.270483135965676,5.352927819643642)};  
	
	
	
	\fill[pattern=north west lines] (-8.5,0) rectangle (7,8);
	\draw (0,0) rectangle (4,7);
	
\end{scope}  

\node at (-8.75,4.5) {\Huge $M$};
\node at (-4.95,5.05) {\Huge $N$};
\node at (-4.95,5.05) {\Huge $N$};
	
\end{tikzpicture}


\end{document}