%!TEX root=Band2.tex

\chapter{Stammfunktion und unbestimmtes Integral}\vspace{-7mm}\secnr{1}
\vspace{10mm}
In der \textbf{Differentialrechnung} wurde folgende Aufgabenstellung betrachtet:


\abstandlinks{40}{
	\textit{Gegeben} ist eine Funktion $F(x)$,
	
	\textit{gesucht} wird die erste Ableitung dieser Funktion $F^{\prime}(x)=f(x)$.}

\textbf{Beispiel}

\abstandlinks{40}{
	
	\textit{Gegeben}: $F(x)=x^3$,
	
	\textit{gesucht}: $F^{\prime}(x)=f(x)=3 x^2$.}

Die Aufgabenstellung in der \textbf{Integralrechnung} ist die Umkehrung des Grundproblems der Differentialrechnung:

\abstandlinks{40}{
	\textit{Gegeben} ist eine Funktion $f(x)$,
	
	\textit{gesucht} wird eine Funktion $F(x)$ mit der Eigenschaft}

\abstandlinks{55}{
	
	$F^{\prime}(x)=f(x)$.
	
	Die Ableitung der gesuchten Funktion soll also gleich der gegebenen Funktion sein.}

\textbf{Beispiel}

\abstandlinks{40}{
	
	\begin{tabular}{@{}ll@{}}
		\textit{Gegeben:}   & $f(x)=3 x^2$,\\
		\textit{gesucht:}     & $F(x)$ mit der Eigenschaft, daß $F^{\prime}(x)=3 x^2$ ist; also \\
		 & $F(x)=x^3$. \\
	\end{tabular}

}



	\begin{tcolorbox}[ colback=orange!20!white,frame hidden, boxrule=0pt,left=-4pt, right=2pt, top=2pt, bottom=2pt]
		\begin{tabularx}{\linewidth}{lX}
			\textbf{Definition} & Die Funktion $y=f(x)$ sei reell und stetig im Intervall $(a, b)$. Jede dort definierte reelle Funktion $F(x)$, deren erste Ableitung gleich $f(x)$ ist, heißt \textbf{Stammfunktion} von $f(x)$ in diesem Intervall. \\
		\end{tabularx}
	\end{tcolorbox}
%	\layout

\newpage

Man kommt zunächst\secnr{H 54}auf


\abstandlinks{40}{
	\roteMathBox{\ensuremath{
		\begin{array}{c}
			\cos ^2 \frac{x}{2}-\sin ^2 \frac{x}{2} \\
			 [6pt] \hline \\[-6pt]
			\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}
		\end{array}
	}}}
		

Die weitere Umformung beginnt damit, daß man Zähler und Nenner durch $\cos ^2 \frac{x}{2}$ dividiert.

\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10.5,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L93]{L 93}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{1pt}


Die Substitution führt auf\secnr{H 55}

\abstandlinks{40}{ \scalebox{1.5}{$
\bigintsss \frac{\frac{2 \mathrm{~d} t}{1+t^2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}
$}}


\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10.5,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L95]{L 95}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{1pt}

Die Substitution führt auf\secnr{H 56}


\abstandlinks{40}{ \scalebox{1.5}{$
		\bigintsss \frac{\frac{2 \mathrm{~d} t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}
		$}}


\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10.5,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L96]{L 96}};
	}
\end{tikzpicture}

\vfill
\newpage


\textbf{Beispiele}:
\begin{enumerate}
\item Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$. Deshalb ist $F(x)=\sin x$ Stammfunktion von $f(x)=\cos x$.
Beide Funktionen sind im Intervall $(-\infty, \infty)$ definiert.

\item Die Ableitung von $4 x^3+2$ ist $12 x^2$. Deshalb ist $F(x)=4 x^3+2$ Stammfunktion von $f(x)=12 x^2$.
Beide Funktionen sind im Intervall $(-\infty, \infty)$ definiert.
\item Die Ableitung von $\sqrt{x}+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante darstellt, ist $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$. Deshalb ist $F(x)=\sqrt{x}+C$ Stammfunktion von $f(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$. $f(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ist definiert im Intervall $(0, \infty)$ und $F(x)=\sqrt{x}+C$ im Intervall $[0, \infty)$. Größtmögliches Intervall, in dem beide Funktionen definiert sind, ist das Intervall $(0, \infty)$.

\end{enumerate}

\trennerschmal


Gegeben sind zehn Funktionen. Diese Funktionen sind nicht wahllos zusammengestellt, sondern so ausgewählt, daß fünf von ihnen Stammfunktionen der fünf übrigen sind.

\vspace{-6mm}
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2} % erhöht den Zeilenabstand
\setlength{\arraycolsep}{20pt}    % erhöht den Spaltenabstand
\begin{array}{ll}
	\sqrt{x-1} ; & 3+x^2 ; \\
2 x ; & \ln (3+x) ; \\
\frac{1}{2 \sqrt{x-1}} ; & \cos x ; \\
-\frac{1}{x^2} ; & \frac{1}{x} ; \\
\frac{1}{3+x} ; & -\sin x .
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
	\item Stellen Sie die gegebenen Funktionen zu Paaren $(f(x), F(x))$ zusammen, wobei $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ ist, also $F^{\prime}(x)=f(x)$.
	
	\textbf{Beispiel}: Ein solches Paar ist $\left(2 x, 3+x^2\right)$, da $\left(3+x^2\right)^{\prime}=2 x$ ist.
	\item Geben Sie die größtmöglichen Definitionsintervalle an!
\end{enumerate}

Hinweis: Ordnen Sie die Lösungen in einer Tabelle folgender Form an:

\abstandlinks{30}{{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabular}{l|l|l}
	\hline $\boldsymbol{f ( x )}$ & $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ & \textbf{Definitionsintervall} \\
	\hline $2 x$ & $3+x^2$ & $(-\infty, \infty)$
\end{tabular}}}

\begin{addmargin}[22pt]{0pt}
	{\scalebox{1.2}{\huge{\textbf{!}}}}\;\;\raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{\raisebox{1ex}{\shortstack[l]{Schreiben Sie Ihre Lösungen auf, bevor Sie umblättern!}} }
\end{addmargin}

\newpage

Nach\secnr{H 50}der Partialbruchzerlegung ergibt sich folgende neue Aufgabenstellung

\abstandlinks{40}{$\frac{3}{2} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x-2}+6 \int \frac{\mathrm{~d} x}{(x-2)^2}+4 \int \frac{\mathrm{~d} x}{(x-2)^3}-\frac{3}{2} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x-4}$}

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L85]{L 85}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Der\secnr{H 51}Nenner besitzt eine reelle Wurzel ( $x=3$ ) und einfache komplexe Wurzeln (die Gleichung $x^2-2 x+5=0$ hat keine reelle Lösung).

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L86]{L 86}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Das\secnr{H 52}gegebene Integral kann durch folgende Aufgabenstellung ersetzt werden:

\abstandlinks{40}{
	\roteMathBox{\ensuremath{\int \frac{\mathrm{d} x}{x-3}+\int \frac{2 x-2}{x^2-2 x+5} \mathrm{~d} x+7 \int \frac{\mathrm{~d} x}{x^2-2 x+5}}}.}


Beim dritten Integral führen quadratische Ergänzung und anschließende Substitution auf

\abstandlinks{40}{$7 \int \frac{\mathrm{~d} x}{(x-1)^2+4}=7 \int \frac{\mathrm{~d} t}{t^2+4}(\text { mit } x-1=t)$.}


\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L90]{L 90}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Für\secnr{H 53}die Zerlegung in Partialbrüche wird folgender Ansatz gemacht:

\abstandlinks{40}{$\frac{A}{x+1}+\frac{M_1 x+N_1}{x^2+x+1}+\frac{M_2 x+N_2}{\left(x^2+x+1\right)^2}$.}


Zur Bestimmung der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

%{l|rcrcrcrcrcr}

\abstandlinks{40}{
	\roteMathBox{\begin{tabular}{L{3mm}|R{4mm}C{1mm}R{6mm}C{1mm}R{3mm}C{1mm}R{6mm}C{1mm}rC{1mm}r}
			
	$x^4$ & $A$ & $+$ & $M_1$ & &&&&&& $=$ & $0$ \\
	$x^3$ & $2A$ & $+$ & $2M_1$&&& $+$& $N_1$&&& $=$ & $-3$ \\ 
	$x^2$ & $3A$ & $+$ & $2M_1$ & $+$ & $M_2$ & $+$ & $2N_1$& & & $=$& $0$\\
	$x^1$ & $2A$ & $+$ & $M_1$ & $+$ & $M_2$ &+& $2N_1$ & $+$& $N_2$ & $=$ & $1$\\
	$x^0$ & $A$ &&&&& $+$ & $N_1$ & $+$ & $N_2$ & $=$ & $-4$
 
\end{tabular}}}



Lösung des Gleichungssystems:

\abstandlinks{40}{$A=-2 ; \quad M_1=2 ; \quad M_2=8 ; \quad N_1=-3 ; \quad N_2=1$}

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L91]{L 91}};
	}
\end{tikzpicture}

\newpage
%\SpecialHeader{5}{L1}

\begin{addmargin}[22pt]{0pt}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabular}{l|l|l}
	\hline $\boldsymbol{f ( x )}$ & $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ & \textbf{Definitionsintervall} \\
	\hline $2 x$ & $3+x^2$ & $(-\infty, \infty)$ \\
	$-\sin x$ & $\cos x$ & $(-\infty, \infty)$ \\
	$\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$ & $\sqrt{x-1}$ & $(1, \infty)$ \\
	$\frac{1}{3+x}$ & $\ln (3+x)$ & $(-3, \infty)$ \\
	$-\frac{1}{x^2}$ & $\frac{1}{x}$ & $(-\infty, 0)$ und $(0, \infty)$
\end{tabular}
\end{addmargin}


Stimmen Ihre Lösungen mit den hier angegebenen vollständig überein, so \hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (9,0) -- (10,0) node [right] {\hyperref[B2.2]{2}};
	}
\end{tikzpicture}

\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4,0) {Abweichungen in den Spalten $f(x)$ und $F(x)$:};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (9,0) -- (10,0) node [right] {\hyperref[B2.2]{H1, 1., Seite 63}};
	}
\end{tikzpicture}


\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {Abweichungen bei Angabe der Definitionsintervalle:};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (9,0) -- (10,0) node [right] {\hyperref[B2.2]{H1, 1., Seite 63}};
	}
\end{tikzpicture}



\begin{tabular}{@{}p{0.67\textwidth}@{\hspace{1em}}c@{\hspace{1em}}l}
	Stimmen Ihre Lösungen mit den hier angegebenen vollständig überein, so
	& $\longrightarrow$ & 2 \\
	\\
	Abweichungen in den Spalten $f(x)$ und $F(x)$: 
	& $\longrightarrow$ & H 1, 1., Seite 63 \\
	Abweichungen bei Angabe der Definitionsintervalle: 
	& $\longrightarrow$ & H 1, 2., Seite 63 \\
\end{tabular}


\rule{\textwidth}{2pt}

Es gilt der folgende\secnr{2}

	\begin{tcolorbox}[ colback=red!80!white,frame hidden, boxrule=0pt,left=-4pt, right=2pt, top=2pt, bottom=2pt]
	\begin{tabularx}{\linewidth}{lX}
		\textbf{Satz} & Ist die Funktion $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ im Intervall $(a, b)$, dann ist auch die Funktion $F(x)+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist, eine Stammfunktion von $f(x)$. \\
	\end{tabularx}
\end{tcolorbox}


Kennt man also irgendeine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$, so erhält man daraus durch Addition beliebiger Konstanten $C$ die Menge aller Stammfunktionen von $f(x)$.
Anders ausgedrückt: Zwei Stammfunktionen einer Funktion $f(x)$ unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.

\trennerschmal

Geben Sie für die folgenden Funktionen je zwei Stammfunktionen an!

\begin{tabular}{l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 1cm}l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 1cm}l@{\hskip 1mm}l}
	a) & $f(x)=6x^5$; & b) & $f(x)=x^2+3$; & c) & $f(x)=3 x^2+5 x$. \\
\end{tabular}

\newpage

Man setzt zuerst $t=x+\frac{1}{2}$ und\secnr{H 46}erhält die Lösung von
\abstandlinks{40}{$\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+x+1\right)^2}$}

Multipliziert man dieses Ergebnis mit (-3), so hat man die Lösung eines der beiden Integrale, in die das gegebene Integral aufgespalten wurde (vgl. \textcolor{red}{ L 71}).
Die vollständige Lösung findet man, indem noch die Lösung des zweiten Integrals (vgl. \textcolor{red}{L 72}) addiert wird.

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L77]{L 77}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Multiplikation\secnr{H 47}mit dem Nennerpolynom und Ordnen nach gleichen Potenzen von $x$ ergibt
$$
3 x-5=(A+B) x+(4 A-2 B) .
$$

Daraus folgt das Gleichungssystem

\abstandlinks{40}{
	\roteMathBox{\ensuremath{
			\begin{tabular}{r|r}
				$x^1$ & $A+B=3$ \\
				$x^0$ & $4 A-2 B=-5$
\end{tabular}}}}

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L81]{L 81}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Als\secnr{H 48}Ergebnis der Partialbruchzerlegung ergibt sich als neue Aufgabenstellung

\abstandlinks{40}{ $\int \frac{3 x-5}{x^2+2 x-8} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x-2}+\frac{17}{6} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x+4}
	$}

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L82]{L 82}};
	}
\end{tikzpicture}

\rule{\textwidth}{2pt}

Multiplikation\secnr{H 49}mit dem Nennerpolynom und Ordnen nach gleichen Potenzen von $x$ ergibt

$$
\begin{aligned}
	3 x^2-20 x+20= & \left(A_1+B\right) x^3+\left(-8 A_1+A_2-6 B\right) x^2 \\
	& +\left(20 A_1-6 A_2+A_3+12 B\right) x \\
	& +\left(-16 A_1+8 A_2-4 A_3-8 B\right)
\end{aligned}
$$


Daraus folgt das Gleichungssystem

$$
\begin{array}{|l|rlr|}
	\hline x^3 & A_1 & +B= & 0 \\
	x^2 & -8 A_1+A_2 & -6 B= & 3 \\
	x^1 & 20 A_1-6 A_2+A_3+12 B= & -20 \\
	x^0 & -16 A_1+8 A_2-4 A_3-8 B= & 20
\end{array} .
$$

%L. 84
%
%
%\begin{tabular}{r|rcrcrcrcr}
%	$x^3$ & $A_1$ & &&& &  $+$ & $B$ & $=$ & $0$ \\
%	
%	$x^0$ & $-16 A_1$ & $+$ & $8A_2$ & $-$ & $4A_3$ & $-$ & $8B$ & = & 20
%	
%	%$x^0$ & $-16 A_1+8 A_2-4 A_3-8 B$ & $=20$
%	
%\end{tabular}
%
%%$x^2$ & $-8 A_1+A_2-6 B$ & $=3$ \\
%
%%$x^1$ & $20 A_1-6 A_2+A_3+12 B$ & $=-20$ \\
%%$x^0$ & $-16 A_1+8 A_2-4 A_3-8 B$ & $=20$
%%\end{tabular}
%
%$$
%V=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}
%	x_1 \\
%	x_2 \\
%	x_3
%\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3 \right\rvert\, x_1+x_2-x_3=0, x_3=x_2\right\}
%$$


\vfill

\newpage

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabular}{l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 7mm}l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 7mm}l@{\hskip 1mm}l}
	a) & $F_1(x)=x^6$; & b) & $F_1(x)=\frac{1}{3}x^3+3x$; & c) & $F_1(x)=x^3+\frac{5}{2} x^2$ \\
 & $F_2(x)=x^6+3$ && $F_2(x)=\frac{1}{3} x^3+3 x+\frac{1}{2}$ && $F_2(x)=x^3+\frac{5}{2} x-2$
\end{tabular}


$F_1(x)$ und $F_2(x)$ sind jeweils zwei \textit{spezielle} Stammfunktionen. Sie haben die Aufgabe richtig gelöst, wenn die von Ihnen angegebenen Stammfunktionen folgende Struktur haben:

\begin{tabular}{l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 5mm}l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 5mm}l@{\hskip 1mm}l}
	a) & $F(x)=x^6+C$; & b) & $F(x)=\frac{1}{3} x^3+3 x+C $; & c) & $F(x)=x^3+\frac{5}{2} x^2+C $. \\
\end{tabular}


$C$ stellt in allen drei Fällen eine beliebige reelle Zahl dar.

\vspace{-5pt}
\rule{\textwidth}{2pt}

Die Menge\secnr{3}aller Stammfunktionen der stetigen Funktion $f(x)$ nennt man das \textit{unbestimmte Integral} von $f(x)$ und bezeichnet es mit dem Symbol $\smallint f(x) \mathrm{d} x$ (gelesen: Integral $f$ von $x \mathrm{~d} x$ ), also

\abstandlinks{40}{
	\roteMathBoxFull{\ensuremath{
	\smallint f \left(x\right) = F\left(x\right) + C
}}}

Dabei nennt man

\abstandlinks{40}{

\renewcommand{\arraystretch}{.85}
\begin{tabular}{ll} 
die Funktion $f(x)$ & \textbf{Integrand}, \\
die Variable $x$ & \textbf{Integrationsvariable}, \\
die Konstante $C$ & \textbf{Integrationskonstante}.
\end{tabular}}

Die Ermittlung einer Stammfunktion einer gegebenen Funktion $f(x)$ bezeichnet man als \textbf{Integration} der Funktion $f(x)$.

Daß gerade $x$ und nicht irgendeine andere Variable die Integrationsvariable ist, wird durch das Symbol $\mathrm{d} x$ zum Ausdruck gebracht. Aus den Darlegungen in 1 und 2 geht hervor, daß die \textit{Integration die Umkehrung der Differentiation} ist.

\begingroup
\renewcommand*\baselinestretch{0.70}%
\makeatletter\@currsize\makeatother%

\textbf{Beispiel}: Es ist
\abstandlinks{40}{$\smallint 6 x^5 \mathrm{~d} x=x^6+C(C \text { beliebige reelle Zahl }),
$}
weil 
\abstandlinks{40}{$
\left(x^6+C\right)^{\prime}=6 x^5$}
ist. Die beiden Gleichungen
\abstandlinks{40}{$F^{\prime}(x) \quad=f(x)$}
und
\abstandlinks{40}{$F(x)+C=\int f(x) \mathrm{d} x$}
drücken also das gleiche aus und sind lediglich verschiedene Schreibweisen ein und desselben Sachverhalts.

Schreiben Sie bei folgenden Integralen Integrand und Integrationsvariable auf!


\begin{tabular}{l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 1cm}l@{\hskip 1mm}l@{\hskip 1cm}l@{\hskip 1mm}l}
	a) & $\int 3 ax\; dx $; & b) & $\int \sin t \;dt $.\\
\end{tabular}

\endgroup


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newpage

Umformen des zweiten Integrals:\secnr{H 40}
\abstandlinks{40}{$\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2-6 x+25}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)^2+16}=\int \frac{\mathrm{d} t}{t^2+16} \cdots$.}

Beachten Sie bei der Endlösung den Faktor 5.

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L69]{L 69}};
	}
\end{tikzpicture}

\vspace{-5mm}
\rule{\textwidth}{1pt}

\vspace{-2mm}

Zerlegung: \secnr{H 41}

\abstandlinks{40}{
	\roteMathBox{$\frac{5}{4} \underbrace{\int \frac{2 x-2}{x^2-2 x+\frac{3}{2}}}_{I_1} \mathrm{d} x-\frac{1}{2} \underbrace{\int \frac{\mathrm{~d} x}{x^2-2 x+\frac{3}{2}}}_{I_2}$}.}

Umformen von $I_2$ :
\abstandlinks{40}{$I_2=-\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{~d} t}{t^2+\frac{1}{2}} \text { mit } t=x-1$}

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L70]{L 70}};
	}
\end{tikzpicture}

\vspace{-5mm}
\rule{\textwidth}{1pt}

\vspace{-2mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Man\secnr{H 42}setzt $x^2+x+1=t$ und erhält mit
\abstandlinks{40}{$4 \int \frac{\mathrm{~d} t}{t^2}=4 \int t^{-2} \mathrm{~d} t$}

in Grundintegral.

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L72]{L 72}};
	}
\end{tikzpicture}

\vspace{-5mm}
\rule{\textwidth}{1pt}

\vspace{-2mm}

Die\secnr{H 43}Substitution $t=\sqrt{\frac{3}{4}} u$ führt auf das Grundintegral


\abstandlinks{40}{$\frac{8}{9} \sqrt{3} \int \frac{\mathrm{~d} u}{1+u^2}$}

Nun hat man noch die beiden Substitutionen $t=\sqrt{\frac{3}{4}} u$ und $x+\frac{1}{2}=t$ rückgängig zu machen.

\vspace{-5pt}
\hspace*{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
	%Vorfüllen sonst verrutscht es
	\draw [white](0,0) -- (5,0);
	\node (A) at (4.45,0) {};
	\bglayer{%
		\draw [line width= 0.25mm, -Latex] (10,0) -- (11.5,0) node [right] {\hyperref[L74]{L 74}};
	}
\end{tikzpicture}

\vspace{-5mm}
\rule{\textwidth}{1pt}

\vspace{-2mm}

Die Anwendung der partiellen Integration liefert zunächst

H 44
$$
-\frac{2}{3}\left(\frac{t}{t^2+\frac{3}{4}}-\int \frac{1}{t^2+\frac{3}{4}} \mathrm{~d} t\right)
$$

Das dabei auftretende Integral wurde bereits in 74, Seite 97 gelöst.
$$
\longrightarrow \mathrm{L} 75
$$

\rule{\textwidth}{1pt}

Beachten Sie, daß sich die Glieder $\arctan \frac{2 t}{\sqrt{2}}$ zusammenfassen lassen! 445

\vfill

\newpage

L3

\begin{tabular}{ll}
\hline & Integrand \\
\hline a) $3 \mathrm{a} x$ & Integrationsvariable \\
b) $\sin t$ & $t$
\end{tabular}

\rule{\textwidth}{1pt}

Über die Existenz einer Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion macht der folgende Satz eine Aussage.

4

Satz: Zu einer im Intervall $(a, b)$ stetigen Funktion $f(x)$ existiert stets eine Stammfunktion.

Damit wird jedoch nichts darüber ausgesagt, wie man zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion finden kann. In dieser Hinsicht besteht ein grundlegender Unterschied zur Differentialrechnung. Während dort ein System von Regeln existiert, mit deren Hilfe man zu jeder sogenannten elementaren Funktion die Ableitung dieser Funktion bestimmen kann und als Ergebnis wieder eine elementare Funktion erhält, gilt Analoges für die Integration nicht. Regeln, die den in der Differentialrechnung geltenden entsprechen, gibt es, von einigen Ausnahmen abgesehen, nicht. Außerdem haben schon relativ einfache Funktionen wie $\mathrm{e}^{x^2}, \frac{\mathrm{e}^x}{x}, \frac{\sin x}{x}, \frac{1}{\ln x}$ keine elementaren Stammfunktionen.
Unter elementaren Funktionen wollen wir dabei verstehen: rationale und algebraische Funktionen, die vier trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die Exponentialfunktionen sowie alle Funktionen, die sich aus den genannten Funktionen durch Zusammensetzung ergeben.
\vfill

\newpage


L 4
Man bildet einfach die Ableitung:

$$
\left(\mathrm{e}^{x^2}+C\right)^{\prime}=2 x \mathrm{e}^{x^2}
$$


Die bisher in unserem Programm angegebenen Stammfunktionen konnten leicht durch Umkehrung entsprechender Differentiationsformeln gewonnen werden. Nicht immer ist das so einfach. Aus diesem Grunde wollen wir uns im folgenden gewisse Fertigkeiten im Integrieren gegebener Funktionen systematisch erarbeiten.


Dabei soll nur über Stammfunktionen stetiger Funktionen gesprochen werden. Ist das Definitionsintervall der Bereich ( $-\infty, \infty$ ), so wird im folgenden auf seine Angabe vollständig verzichtet. Trifft das nicht zu, so werden wir die Funktion nur in den Intervallen betrachten, in denen sie stetig ist. In diesen Fällen wird zwar auch auf die explizite Angabe der Definitionsintervalle in der üblichen Weise verzichtet, Sie finden jedoch Hinweise, die Ihnen die Bestimmung der Definitionsintervalle sofort ermöglichen.

\trennerschmal

Überprüfen Sie, ob die folgenden unbestimmten Integrale richtig gelösı sind!
Wenn ein Fehler vorliegt, so berichtigen Sie ihn!
a) $\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$;
b) $\int x^2 \mathrm{~d} x=x^3+C$;
c) $\int \sin x \mathrm{~d} x=\cos x+C$.

\newpage

$$
\begin{aligned}
	& A_1+M=6 \\
	& \begin{aligned}
		A_2+N=0 & \\
		A_1 & =4 \\
		& =1 \\
		A_2= & =1 \\
		\hline A_1=4, & A_2=1, \quad M=2, \quad N=-1
	\end{aligned}
\end{aligned}
$$


1 Pkt.
1 Pk1.
Neue Aufgabenstellung

$$
\begin{aligned}
	\int \frac{6 x^3+4 x+1}{x^4+x^2} \mathrm{~d} x & =\int \frac{4}{x} \mathrm{~d} x+\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2}+\int \frac{2 x-1}{x^2+1} \mathrm{~d} x \\
	& =4 \int \frac{\mathrm{~d} x}{x}+\int x^{-2} \mathrm{~d} x+\int \frac{2 x}{x^2+1} \mathrm{~d} x-\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2+1} \\
	& =4 \ln |x|-\frac{1}{x}+\ln \left(x^2+1\right)-\arctan x+C \\
	& \frac{1 \text { Pkt. }}{8 \text { Pkte. }}
\end{aligned}
$$
\trennerschmal

%\begin{aligned}
%	&\text { 5. Aufgabe: Integration durch Substitution in der ersten Form }\\
%	&\begin{array}{rlr}
%		\int \frac{x^2 \mathrm{~d} x}{\cos ^2\left(x^3+1\right)}= & \frac{1}{3} \int \frac{3 x^2 \mathrm{~d} x}{\cos ^2\left(x^3+1\right)} & \\
%		\text { Man setzt } \varphi(x)= & x^3+1=t \\
%		& 3 x^2 \mathrm{~d} x=\mathrm{d} t \\
%		\frac{1}{3} \int \frac{3 x^2 \mathrm{~d} x}{\cos ^2\left(x^3+1\right)}= & \frac{1}{3} \int \frac{\mathrm{~d} t}{\cos ^2 t} \\
%		& =\frac{1}{3} \tan t+C \\
%		& =\frac{1}{3} \tan \left(x^3+1\right)+C
%	\end{array}
%\end{aligned}

\trennerschmal

```
insgesamt 23 Punkte
Bewertung: 0 bis 8 Pkte.: ungenügend (5)
9 bis 13 Pkte.: genügend (4)
14 bis 17 Pkte.: befriedigend (3)
18 bis 21 Pkte.: gut (2)
22 u. 23 Pkte.: sehr gut (1).
```

\trennerschmal

Damit sind Sie am Ende des Programms angelangt. Wir hoffen, daß Sie Freude an der Arbeit hatten.

\newpage

L 5
a) richtig, denn $(\sin x+C)^{\prime}=\cos x$.
b) falsch, denn $\left(x^3+C\right)^{\prime} \neq x^2 ; \quad$ Lösung: $\frac{1}{3} x^3+C$.
c) falsch, denn $(\cos x+C)^{\prime} \neq \sin x$; Lösung: $-\cos x+C$.

\trennerschmal

B. Grundintegrale und einfache Integrationsregeln

Zunächst stellen wir die Integrationsformeln zusammen, die sich unmittelbar aus der Umkehrung der Differentiation einfacher elementarer Funktionen ergeben. Diese Integrale heißen

6

Grundintegrale
(1) $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n \neq-1$, ganze Zahl; wemm $n<-1$, dann muß $x \neq 0$ sein);
(2) $\int x^\alpha \mathrm{d} x=\frac{x^{\alpha+1}}{x+1}+C (a \neq-1$, reelle zahi $; x>0) ;$
(3) $\int \frac{d x}{x}=\left\{\begin{array}{l}\ln x+C \text { für } x>0 \\ \ln (-x)+C \text { für } x<0\end{array}\right\}$ uder einfach $\int \frac{\mathrm{d} x}{x} \quad=\ln |x|+C \quad(x \neq 0) ;$
(4) $\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+C (a>0, a \neq 1) ; \int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x+C ;$
(5) $\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$;
(6) $\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C$;
(7) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^2 x}=\tan x+C \quad\left(x+\frac{\pi}{2}+k_i \pi\right.$ mit $\left.k_i=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right)$,
(8) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^2 x}=-\cot x+C \quad(x+l ; \pi$ mit $l:=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) ;$
(9) $\int \cosh x d x=\sinh x+C$;

\newpage

3. Aufgabe: Integration durch Substitution in der zweiten Form.

$$
\begin{aligned}
	& \text { Man setzt } x=\varphi(t)=t^6 \\
	& \qquad \begin{array}{rlrl}
		\mathrm{d} x & =6 t^5 \mathrm{~d} t \\
		\int \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} & =\int \frac{6 t^5 \mathrm{~d} t}{\sqrt{t^6}+\sqrt[3]{t^6}}=6 \int \frac{t^5 \mathrm{~d} t}{t^3+t^2}=6 \int \frac{t^3 \mathrm{~d} t}{t+1} & & 1 \text { Pkt. } \\
		& =6 \int\left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right) \mathrm{d} t & & 1 \text { Pkt. } \\
		& =6\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln (t+1)\right)+C & & \\
		& =2 t^3-3 t^2+6 t-6 \ln (t+1)+C & & 1 \text { Pkt. }
	\end{array}
\end{aligned}
$$


Rückkehr zur Variablen $x$ :
Aus $\quad x=\varphi(t)=t^6 \quad$ folgt $\quad t=\psi(x)=\sqrt[6]{x}$.
1 Pkt.

$$
\begin{aligned}
	\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} & =2 \sqrt[6]{x^3}-3 \sqrt[6]{x^2}+6 \sqrt[6]{x}-6 \ln (\sqrt[6]{x}+1)+C \\
	& =2 \sqrt{x}-3 \sqrt[3]{x}+6 \sqrt[6]{x}-6 \ln (\sqrt[6]{x}+1)+C .
\end{aligned}
$$

\trennerschmal

4. Aufgabe: Integration durch Partialbruchzerlegung
1. Nullstellen des Nennerpolynoms:

$$
\begin{aligned}
	& x_1=0 \text { (zweifache Nullstelle), } \\
	& x^2+1 \text { besitzt keine reellen Wurzeln. }
\end{aligned}
$$

2. Produktdarstellung des Nennerpolynoms:

$$
x^4+x^2=x^2\left(x^2+1\right) .
$$


1 Pkt.
3. Zerlegung in Partialbrüche:

$$
\begin{array}{ll}
	\frac{6 x^3+4 x+1}{x^2\left(x^2+1\right)}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\frac{M x+N}{x^2+1} . & \text { 1 Pkt. } \\
	6 x^3+4 x+1=\left(A_1+M\right) x^3+\left(A_2+N\right) x^2+A_1 x+A_2 . & \text { 1 Pkt. }
\end{array}
$$

\trennerschmal

4. Aufgabe: Integration durch Partialbruchzerlegung
1. Nullstellen des Nennerpolynoms:

$$
\begin{aligned}
	& x_1=0 \text { (zweifache Nullstelle) } \\
	& x^2+1 \text { besitzt keine reellen Wurzeln. }
\end{aligned}
$$

2. Produktdarstellung des Nennerpolynoms:

$$
x^4+x^2=x^2\left(x^2+1\right)
$$

3. Zerlegung in Partialbrüche:

$$
\begin{array}{ll}
	\frac{6 x^3+4 x+1}{x^2\left(x^2+1\right)}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\frac{M x+N}{x^2+1} & \text { 1 Pkt. } \\
	6 x^3+4 x+1=\left(A_1+M\right) x^3+\left(A_2+N\right) x^2+A_1 x+A_2 . & 1 \text { Pkt. }
\end{array}
$$

\newpage

(10) $\int \sinh x \mathrm{~d} x=\cosh x+C$;
(11) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\cosh ^2 x}=\tanh x+C$;
(12) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sinh ^2 x}=-\operatorname{coth} x+C \quad(x \neq 0)$
(13) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C \quad(|x|<1)$
(14) $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=\arctan x+C$;
(15) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x^2}}=\operatorname{arsinh} x+C=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C$;
(16) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2-1}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C=\left\{\begin{array}{c}\operatorname{arcosh} x+C \text { für } x>1, \\ -\operatorname{arcosh}(-x)+C \\ \text { für } x<-1 ;\end{array}\right.$
(17) $\int \frac{\mathrm{d} x}{1-x^2}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C= \begin{cases}\operatorname{artanh} x+C & \text { für }|x|<1, \\ \operatorname{arcoth} x+C & \text { für }|x|>1 .\end{cases}$

Die zu lösenden Integrale werden nur in wenigen Fällen die Form eines Grundintegrals haben. Da jedoch alle Lösungsverfahren letztlich auf sie zurückführen, muß man die Grundintegrale gut kennen, bevor man an die Lösung komplizierter Aufgaben herangeht.


\trennerschmal

Gehen Sie im Programm nicht eher weiter, bevor Sie die Grundintegrale sicher beherrschen!

Wir empsehlen dazu folgende Übung:
1. Prägen Sie sich jeweils vier oder fünf Grundintegrale gründlich ein!
2. Decken Sie die Lösungen dieser Integrale mit einem Blatt zu und fertigen Sie davon eine Niederschrift an!
3. Setzen Sie dieses Verfahren solange fort, bis Sie alle Grundintegrale fehlerfrei niedergeschrieben haben!


\newpage

Vergleichen Sie und nehmen Sie anhand des angegebenen Bewertungsmaßstabes selbst eine Beurteilung Ihrer Leistungen vor!
1. Aufgabe: Partielle Integration

$$
\begin{aligned}
	u & =\ln x & v^{\prime}=x^{10} & \\
	u^{\prime} & =\frac{1}{x} \quad v=\frac{1}{11} x^{11} & & 1 \text { Pkt. } \\
	\int x^{10} \ln x \mathrm{~d} x & =\frac{1}{11} x^{11} \ln x-\int \frac{1}{11} x^{11} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x & & 1 \text { Pkt. } \\
	& =\frac{1}{11} x^{11} \ln x-\frac{1}{11} \int x^{10} \mathrm{~d} x & & \\
	& =\frac{1}{11} x^{11} \ln x-\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{11} x^{11}+C & & 1 \text { Pkt. } \\
	& =\frac{1}{11} x^{11}\left(\ln x-\frac{1}{11}\right)+C & & 2 \text { Plt. }
\end{aligned}
$$

\trennerschmal





