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\makeatletter

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\providecommand{\tabularnewline}{\\}

\makeatother

\usepackage{babel}
\begin{document}
1. Formelumstellungen

In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln.
Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach
gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten
entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen
Sachgebieten.

Beispiele: %
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$s=v\cdot t$ \tabularnewline
gleichförmige \tabularnewline
Bewegung \tabularnewline
$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
Brechungs- \tabularnewline
gesetz Optik \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$U=R\cdot I$ \tabularnewline
OHmsches \tabularnewline
Gesetz \tabularnewline
$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
Lichtstrom \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
Dreh- \tabularnewline
bewegung \tabularnewline
$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
Gas- \tabularnewline
gleichung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
Reibung \tabularnewline
$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
Kreisumfang \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
Radial- \tabularnewline
beschleunigung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
Gleichung von \tabularnewline
EINSTEIN \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
Schallstärke \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
Freier Fall \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
Zentri- \tabularnewline
fugalkraft \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
Kreisfläche \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
Elektrische \tabularnewline
Leistung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
Ähnlichkeit \tabularnewline
bei Flächen \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$  & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$  & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$  & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
\hline 
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$  & %
\begin{tabular}{l}
Periodendauer \tabularnewline
beim Faden- \tabularnewline
pendel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Periodendauer \tabularnewline
physikalisches \tabularnewline
Pendel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Schall- \tabularnewline
geschwindig- \tabularnewline
keit \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Quadrat- \tabularnewline
diagonale \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
Dichte- \tabularnewline
bestimmung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
KiRchHoFF- \tabularnewline
sches Gesetz \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
Brennweite \tabularnewline
beim Spiegel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
Betrag des Wider- \tabularnewline
standsoperators \tabularnewline
Parallelschaltung \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
Anziehung \tabularnewline
von Massen \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
CoulomB- \tabularnewline
Gesetz \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
Magnetisches \tabularnewline
Feld \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
Beleuchtungs- \tabularnewline
stärke $\quad$. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$l=$ \tabularnewline
$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
Längen- \tabularnewline
ausdehnung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$V=$ \tabularnewline
$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
Volumen- \tabularnewline
ausdehnung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$R=$ \tabularnewline
$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
Widerstand \tabularnewline
in Abhängig- \tabularnewline
keit von der \tabularnewline
Temperatur \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
$d(n-1)$ \tabularnewline
arithmetische \tabularnewline
Folge \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
die voneinander abhängen.

Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung 
\[
s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
\]
dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei
gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend
kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die
verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
aufgelöst werden.

Das geschieht in folgender Weise: %
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
Schritt  & Prinzip  & Muster \tabularnewline
\hline 
\multirow{1}{*}{t} & %
\begin{tabular}{l}
Aufgabenstellung \tabularnewline
(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
$R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline
Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Aufstellen der Formel \tabularnewline
(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Formulierung der mathema- \tabularnewline
tischen Aufgabe \tabularnewline
(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
Größe) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\multirow{1}{*}{t} & %
\begin{tabular}{l}
Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
Terme \tabularnewline
(Lösungsplan) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
fachung \tabularnewline
(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
Variable auszuheben / auszuklammern) %
\begin{tabular}{l}
D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
Formel \tabularnewline
\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder: 
\[
R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
\]

Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch
die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
und Innenwiderstand.

Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten
des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen
vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder
Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig.
\end{document}
