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\providecommand{\tabularnewline}{\\}

\makeatother

\usepackage{babel}
\begin{document}
1. Formelumstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 10 

Aufgaben 1.1. bis 1.9. . . . . . . . . . . . . . . 13 

Einige Bemerkungen zum Lösungsplan . . . . . . . 17 

2. Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . . . . . . 18 

Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder . . 23 

Aufgaben 2.1. bis 2.10 . 

3. Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten
Variablen . . . . . . . . . . 31 

Aufgaben 3.1. bis 3.11. 

4. Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades . 

Aufgaben 4.1. bis 4.7. 41 45 

5. Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen. 

Aufgaben 5.1. bis 5.7. (Ungleichungen) . . . . . . . 55 

Aufgaben 5.8. bis 5.16. (Wurzelgleichungen) . . . . . 55 

Aufgaben 5.17. bis 5.30. (goniometr. Gleichungen) . . 59 

6. Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . . . . . . . . . . . 67 

Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften . 74 

Aufgaben 6.1 bis 6.21 . 

7. Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion 

Aufgaben 7.1. bis 7.12. 8. Schnittprobleme-Methode der unbestimmten
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

Aufgaben 8.1. bis 8.8. . . . . . . . . . . . . . . 103 

Übersicht über die Bilder einiger Funktionen . . . . 107 

9. Extremwertaufgaben . 108 Aufgaben 9.1. bis 9.15 . 

10. Flächenberechnung durch Integration 111 

Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger
Funktionen . . . . . . . 124 

Aufgaben 10.1. bis 10.8 . 125 

11. Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden .
. . . . . . . . . . . . . 129 

Aufgaben 11.1. bis 11.8.

1. Formelumstellungen

In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln.
Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach
gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten
entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen
Sachgebieten.

Beispiele: %
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$s=v\cdot t$ \tabularnewline
gleichförmige \tabularnewline
Bewegung \tabularnewline
$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
Brechungs- \tabularnewline
gesetz Optik \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$U=R\cdot I$ \tabularnewline
OHmsches \tabularnewline
Gesetz \tabularnewline
$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
Lichtstrom \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
Dreh- \tabularnewline
bewegung \tabularnewline
$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
Gas- \tabularnewline
gleichung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
Reibung \tabularnewline
$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
Kreisumfang \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
Radial- \tabularnewline
beschleunigung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
Gleichung von \tabularnewline
EINSTEIN \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
Schallstärke \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
Freier Fall \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
Zentri- \tabularnewline
fugalkraft \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
Kreisfläche \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
Elektrische \tabularnewline
Leistung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
Ähnlichkeit \tabularnewline
bei Flächen \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$  & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$  & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$  & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
\hline 
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$  & %
\begin{tabular}{l}
Periodendauer \tabularnewline
beim Faden- \tabularnewline
pendel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Periodendauer \tabularnewline
physikalisches \tabularnewline
Pendel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Schall- \tabularnewline
geschwindig- \tabularnewline
keit \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Quadrat- \tabularnewline
diagonale \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
Dichte- \tabularnewline
bestimmung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
KiRchHoFF- \tabularnewline
sches Gesetz \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
Brennweite \tabularnewline
beim Spiegel \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
Betrag des Wider- \tabularnewline
standsoperators \tabularnewline
Parallelschaltung \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
Typ: \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
Anziehung \tabularnewline
von Massen \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
CoulomB- \tabularnewline
Gesetz \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
Magnetisches \tabularnewline
Feld \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
Beleuchtungs- \tabularnewline
stärke $\quad$. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\begin{tabular}{l}
$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$l=$ \tabularnewline
$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
Längen- \tabularnewline
ausdehnung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$V=$ \tabularnewline
$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
Volumen- \tabularnewline
ausdehnung \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$R=$ \tabularnewline
$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
Widerstand \tabularnewline
in Abhängig- \tabularnewline
keit von der \tabularnewline
Temperatur \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
$d(n-1)$ \tabularnewline
arithmetische \tabularnewline
Folge \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
die voneinander abhängen.

Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung 
\[
s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
\]
dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei
gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend
kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die
verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
aufgelöst werden.

Das geschieht in folgender Weise: %
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
Schritt  & Prinzip  & Muster \tabularnewline
\hline 
\multirow{1}{*}{t} & %
\begin{tabular}{l}
Aufgabenstellung \tabularnewline
(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
$R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline
Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Aufstellen der Formel \tabularnewline
(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Formulierung der mathema- \tabularnewline
tischen Aufgabe \tabularnewline
(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
Größe) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\multirow{1}{*}{t} & %
\begin{tabular}{l}
Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
Terme \tabularnewline
(Lösungsplan) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
 & %
\begin{tabular}{l}
Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
fachung \tabularnewline
(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline
\end{tabular} & %
\begin{tabular}{l}
$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
\end{tabular}\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
Variable auszuheben / auszuklammern) %
\begin{tabular}{l}
D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
Formel \tabularnewline
\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder: 
\[
R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
\]

Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch
die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
und Innenwiderstand.

Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten
des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen
vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder
Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig.

---------

1.1. Die im Beispiel genannte Formel 
\[
I=\frac{nU}{nR_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}
\]
ist nach $n$ aufzulösen. (Gesucht ist die Anzahl der in Reihe geschalteten
Elemente.) 1.2. Die unter dem Namen \quotedblbase Geradengleichung\textquotedblleft{}
oder \quotedblbase Linearfunktion\textquotedblleft{} bekannte Beziehung
\[
y=a_{0}+a_{1}x
\]
ist nach $x$ aufzulösen. 1.3. Für die Berechnung des Widerstandswertes
eines Drahtes gilt die Formel $R=\varrho\frac{l}{A}$, wobei $\varrho$
eine Materialkonstante (spez. Widerstand), $A$ der Leitungsquerschnitt
und $l$ die Länge der Leitung ist. Für $A$ ist $\pi r^{2}$ einzusetzen.
Die Formel ist nach dem Radius des Leitungsdrahtes aufzulösen. 1.4.
Die Formel der Richmannschen Mischungsregel 
\[
m_{1}c_{1}\left(t-t_{1}\right)=m_{2}c_{2}\left(t_{2}-t\right)
\]
ist nach der Mischtemperatur $t$ aufzulösen. 1.5. Die Gleichung 
\[
\frac{1+m}{1-m}=\frac{a}{b}
\]
ist nach $m$ aufzulösen. 1.6. Im gleichseitigen Dreieck gilt für
dieHöhe $h$ und die Seitenlänge $a$ die Beziehung: 
\[
h=\frac{a}{2}\sqrt{3}
\]

Die Seitenlänge $a$ soll in Abhängigkeit von der Höhe $h$ angegeben
werden. 1.7. Für einen Kreis gelten bekanntlich die Formeln $A=\pi r^{2}$
für die Kreisfläche und $u=2\pi r$ für den Kreisumfang. Lösen Sie
beide Formeln nach $r$ auf. Durch Gleichsetzung ist anschließend
eine Beziehung zwischen $A$ und $u$ herzustellen, die von $r$ unabhängig
ist. 1.8. Die Beziehung 
\[
v=\sqrt{t+1}
\]
ist nach $t$ aufzulösen. 1.9. Die Formel 
\[
s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}
\]
gilt für die Summe einer geometrischen Reihe. (Der Quotient zweier
aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.) Die Beziehung ist nach
der Gliederzahl $n$ aufzulösen.

------13---

1.1. Die gesuchte Variable steht im Zähler $InR_{\mathrm{i}}+IR_{\mathrm{a}}=nU$
und in einem Summanden des Nenners (nach Multiplikation eines Bruches.
mit dem gesamten Nenner) 1.2. Die gesuchte Variable ist Faktor in
$\quad y-a_{0}=a_{1}x$ einem Summanden der rechten Seite. oder 
\[
a_{1}x=y-a_{0}
\]
1.3. Es ist zunächst der Ausdruck für $A$ einzusetzen. Die gesuchte
Variable $r$ steht dann in quadratischer Form im Nenner eines Bruches.
\[
R=\varrho\frac{l}{\pi r^{2}}
\]

Mit $\pi r^{2}$ multipliziert: wegen $A=\pi r^{2}$ 
\[
R\pi r^{2}=\varrho l
\]
1.4. Die gesuchte Váriable $t$ tritt links- und rechtsseitig als
Glied einer Differenz auf, die mit verschiedenen Faktoren multipliziert
ist. 
\[
m_{1}c_{1}t-m_{1}c_{1}t_{1}=m_{2}c_{2}t_{2}-m_{2}c_{2}t
\]
1.5. Die gesuchte Variable $m$ steht im $\quad b(1+m)=a(1-m)$ Zähler
und im Nenner eines Bruches $\quad b+bm=a$-am in einer Summe bzw.
Differenz. 1.6. Die gesuchte Variable $a$ ist Teil eines Produktes,
das eine irrationale Zahl enthält. Es wird mit 2 multipliziert, durch
$\sqrt{3}$ dividiert. Anschließend werden die Seiten vertauscht.
\[
\frac{2h}{\sqrt{3}}=a;\quad a=\frac{2h}{\sqrt{3}}
\]
1.7. Beide Beziehungen werden durch die Koeffizienten von $r$ bzw.
$r^{2}$ dividiert. 
\[
\frac{A}{\pi}=r^{2}\quad\frac{u}{2\pi}=r
\]
1.8. Die gesuchte Variable $t$ tritt als Summand im Radikanden einer
Wurzel auf. Es muß $t\geqq-1$ gelten. Zweckmäßigerweise wird zunächst
quadriert. $v^{2}=t+1$ 1.9. Die gesuchte Variable $n$ tritt im Exponenten
eines Gliedes im Zähler eines Bruchs auf. Multiplikation mit $(q-1)$,
Division durch $a_{1}$. 
\[
\frac{s_{n}(q-1)}{a_{1}}=q^{n}-1
\]

----14----

1.1. Glieder mit der unbekannten Variablen linksseitig zusammengefaßt.
Division durch die Klammer. 1.2. Man dividiere durch \$a\_1\$ : \$\$
x=\textbackslash frac\{y-a\_0\}\{a\_1\} \$\$ 1.3. Zunächst ist durch
\$R \textbackslash pi\$ zu dividieren. \$\$ r\textasciicircum 2=\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
l\}\{R \textbackslash pi\} \$\$

Zur Auflösung nach \$r\$ ist die Wurzel zu ziehen: \$\$ r= \textbackslash pm
\textbackslash sqrt\{\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
l\}\{R \textbackslash pi\}\} \$\$
\end{document}
