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\documentclass[english]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[latin9]{inputenc}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{amsbsy}
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\usepackage{amstext}
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\makeatletter
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
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%% Because html converters don't know tabularnewline
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\providecommand{\tabularnewline}{\\}
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\makeatother
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\usepackage{babel}
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\begin{document}
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1. Formelumstellungen
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In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
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Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
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Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
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eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln.
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Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach
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gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten
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entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
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derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
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also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen
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Sachgebieten.
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Beispiele: %
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
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\begin{tabular}{l}
|
|
Typ: \tabularnewline
|
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$s=v\cdot t$ \tabularnewline
|
|
gleichförmige \tabularnewline
|
|
Bewegung \tabularnewline
|
|
$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
|
|
Brechungs- \tabularnewline
|
|
gesetz Optik \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$U=R\cdot I$ \tabularnewline
|
|
OHmsches \tabularnewline
|
|
Gesetz \tabularnewline
|
|
$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
|
|
Lichtstrom \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
|
|
Dreh- \tabularnewline
|
|
bewegung \tabularnewline
|
|
$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
|
|
Gas- \tabularnewline
|
|
gleichung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
|
|
Reibung \tabularnewline
|
|
$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
|
|
Kreisumfang \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Typ: \tabularnewline
|
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
|
Radial- \tabularnewline
|
|
beschleunigung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
|
|
Gleichung von \tabularnewline
|
|
EINSTEIN \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
|
|
Schallstärke \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
|
|
Freier Fall \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
& %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
|
|
Zentri- \tabularnewline
|
|
fugalkraft \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
|
Kreisfläche \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
|
|
Elektrische \tabularnewline
|
|
Leistung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
|
|
Ähnlichkeit \tabularnewline
|
|
bei Flächen \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
& $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$ & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
|
|
\hline
|
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$ & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Periodendauer \tabularnewline
|
|
beim Faden- \tabularnewline
|
|
pendel \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Periodendauer \tabularnewline
|
|
physikalisches \tabularnewline
|
|
Pendel \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Schall- \tabularnewline
|
|
geschwindig- \tabularnewline
|
|
keit \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Quadrat- \tabularnewline
|
|
diagonale \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Typ: \tabularnewline
|
|
$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
|
|
Dichte- \tabularnewline
|
|
bestimmung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
|
|
KiRchHoFF- \tabularnewline
|
|
sches Gesetz \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
|
|
Brennweite \tabularnewline
|
|
beim Spiegel \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
|
|
Betrag des Wider- \tabularnewline
|
|
standsoperators \tabularnewline
|
|
Parallelschaltung \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Typ: \tabularnewline
|
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
|
Anziehung \tabularnewline
|
|
von Massen \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
|
|
CoulomB- \tabularnewline
|
|
Gesetz \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
|
|
Magnetisches \tabularnewline
|
|
Feld \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
|
Beleuchtungs- \tabularnewline
|
|
stärke $\quad$. \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
|
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
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\begin{tabular}{l}
|
|
$l=$ \tabularnewline
|
|
$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
|
|
Längen- \tabularnewline
|
|
ausdehnung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$V=$ \tabularnewline
|
|
$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
|
|
Volumen- \tabularnewline
|
|
ausdehnung \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
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\begin{tabular}{l}
|
|
$R=$ \tabularnewline
|
|
$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
|
|
Widerstand \tabularnewline
|
|
in Abhängig- \tabularnewline
|
|
keit von der \tabularnewline
|
|
Temperatur \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
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\begin{tabular}{l}
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|
$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
|
|
$d(n-1)$ \tabularnewline
|
|
arithmetische \tabularnewline
|
|
Folge \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
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|
Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
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die voneinander abhängen.
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Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
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$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung
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\[
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s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
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|
\]
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dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei
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gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend
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kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
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$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
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usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die
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verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
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ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
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anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
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Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
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muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
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aufgelöst werden.
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Das geschieht in folgender Weise: %
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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|
\hline
|
|
Schritt & Prinzip & Muster \tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\multirow{1}{*}{t} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Aufgabenstellung \tabularnewline
|
|
(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
|
|
mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
|
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schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
|
|
nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
|
|
$R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline
|
|
Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
& %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Aufstellen der Formel \tabularnewline
|
|
(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
|
|
der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
|
\hline
|
|
& %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Formulierung der mathema- \tabularnewline
|
|
tischen Aufgabe \tabularnewline
|
|
(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
|
|
Größe) \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
|
ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\multirow{1}{*}{t} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
|
|
Terme \tabularnewline
|
|
(Lösungsplan) \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
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\begin{tabular}{l}
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|
Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
|
|
mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
& %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
|
|
fachung \tabularnewline
|
|
(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
|
|
Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
|
|
Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
|
|
Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
|
|
Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline
|
|
\end{tabular} & %
|
|
\begin{tabular}{l}
|
|
$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
|
|
$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
|
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
|
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(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
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Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
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(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
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|
der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
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Variable auszuheben / auszuklammern) %
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\begin{tabular}{l}
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|
D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
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|
Formel \tabularnewline
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\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder:
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\[
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R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
|
|
\]
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Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch
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die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
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und Innenwiderstand.
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Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten
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des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen
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vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
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nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder
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Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
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Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
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mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
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positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
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der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig.
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\end{document}
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