235 lines
7.8 KiB
Typst
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7.8 KiB
Typst
//#import "@preview/biz-report:0.3.1": authorwrap, dropcappara, infobox, report
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#import "mein_Template.typ": authorwrap, dropcappara, infobox, report
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#import "@preview/colorful-boxes:1.4.3":*
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#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote
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#set page(margin: (right: 5cm))
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#set par(justify: true)
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//#show text: set text(spacing: 100%) // Erhöht den Abstand zwischen den Wörtern/Zeilen
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// ODER (effektiver):
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//#show par: set par(leading: 1em)
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/*#set page(
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paper: "iso-b5"
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)*/
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//#set text(lang: "de", region: "de")
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#show: report.with(
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title: "Mathematik Lehrprogrammbücher Hochschulstudium 2 - Einführung in die Technik des Integrierens",
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publishdate: {},
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mycolor: rgb("#000000"),
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myfont: "DejaVu Sans"
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)
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#show: set text(lang: "de")
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//#show par: set par(leading: 1.5em)
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/*#set par(
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leading: 1.5em, // Zeilenabstand
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spacing: 2em, // Abstand zwischen Absätzen
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justify: true // Blocksatz (sieht im Report meist besser aus)
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)*/
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#set heading(numbering: "A.1")
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//Formelnummerierung
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#set math.equation(numbering: "(1.1)")
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// 1. Die Bezeichnung auf "Bild" ändern
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#set figure(supplement: [Bild])
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#set figure.caption(separator: [ ])
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//#set par(leading: 1.5em)
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// 2. Die Nummerierung manuell berechnen
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#show figure.where(kind: image): set figure(numbering: (..nums) => {
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// Holt die aktuelle Nummerierung der Überschriften
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let h-nums = counter(heading).at(here())
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// Wenn wir mindestens in einer Sektion (Ebene 2) sind
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if h-nums.len() >= 2 {
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// Gibt Kapitel.Sektion.Bildnummer zurück
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return str(h-nums.at(0)) + "." + str(h-nums.at(1)) + "." + str(nums.pos().last())
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} else if h-nums.len() == 1 {
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// Falls nur ein Kapitel existiert: Kapitel.Bildnummer
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return str(h-nums.at(0)) + "." + str(nums.pos().last())
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} else {
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// Falls gar keine Überschrift existiert
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return str(nums.pos().last())
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}
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})
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// 3. Optional: Den Bild-Zähler bei jeder neuen Sektion (==) zurücksetzen
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#show heading.where(level: 2): it => {
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it
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counter(figure.where(kind: image)).update(0)
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}
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//#set figure(supplement: [Bild])
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//#dropcappara(firstline: "Welcome to this report.")[#lorem(50)]
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#show selector(<nonumber>): set heading(numbering: none)
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/*#set text(
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font: "TeX Gyre Heros",
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size: 10pt
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)*/
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= Voraussetzungen für die Durcharbeitung des Programms <nonumber>
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Das Programm gibt eine Einführung in die Technik des Integrierens. Als Voraussetzung für das Studium dieses Programms genügt der Abschluss der 12. Klasse (Abitur) in Mathematik. Allerdings wird demjenigen das Durcharbeiten noch leichter fallen, der in einem Kurs über Differentialrechnung an einer Hoch- oder Fachschule seine Kenntnisse über das Differenzieren erweitert und z. B. auch die hyperbolischen Funktionen, deren Ableitungen und Umkehrungen kennengelernt hat.
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Das Programm richtet sich vorwiegend an:
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Abiturienten; Studenten des ersten Studienjahres an Hoch-, Fach- und Ingenieurschulen sowie pädagogischen Instituten im Direkt- und Fernstudium; Lehrer; Praktiker.
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*Ziele*
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Nach dem Durcharbeiten des Programms wird der Lernende
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1. in der Lage sein, unbestimmte Integrale zu berechnen, die entweder Grundintegrale sind oder sich mit Hilfe einfacher Integrationsregeln darauf zurückführen lassen,
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2. Verfahren kennen, mit deren Hilfe er Integrale, die nicht zu den Grundintegralen gehören, so umformen kann, daß sie auf Grundintegrale zurückgeführt werden können.
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*Es handelt sich um folgende Verfahren:*
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- *Die Methode der Integration durch Substitution* \ Neben der Lösung solcher Integrale, bei denen der Integrand die besondere Gestalt $f( phi(x)) dot phi^{prime}(x)$ hat, werden eine Reihe wichtiger Substitutionen zur Lösung von Integralen besprochen.
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- *Die Methode der partiellen Integration*
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- *Die Integration durch Partialbruchzerlegung* \ Mit dem Studium dieses Abschnittes wird der Lernende systematisch mit der Integration gebrochener rationaler Funktionen vertraut gemacht. \
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Nach der Zerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche, der Bestimmung der Koeffizienten durch die Methode des Koeffizientenvergleichs und der Integration der bei der Partialbruchzerlegung auftretenden Grundtypen von gebrochenen rationalen Funktionen sind wesentliche Voraussetzungen für die Integration beliebiger rationaler Funktionen geschaffen.
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#pagebreak()
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== Hinweise zur Arbeit mit dem Programm <nonumber>
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Das vorliegende Programm hat die Aufgabe, Sie in die Technik des Integrierens einzuführen, d.h. Ihnen bei der selbständigen Aneignung gewisser technischer Fertigkeiten im Integrieren gegebener Funktionen zu helfen. Die Arbeitsweise unterscheidet sich vom Studium eines herkömmlichen Lehrbuches. Vielleicht brauchen Sie eine gewisse Zeit, bis Sie mit der neuen Form des Lernens vertraut sind. Wenn Sie jedoch gewissenhaft arbeiten und die Hinweise im Programm genau befolgen, werden Sie bald Freude an dieser Art zu lernen finden. - Das Integrieren kann man nur erlernen, wenn man selbst zahlreiche Aufgaben löst. Aus diesem Grunde nehmen Übungen einen breiten Raum ein, andere Teile sind dafür bewußt knapp gehalten. Sätze werden nur genannt, auf Beweise wird verzichtet. Das Programm ist seinem Charakter nach ein Übungsprogramm.
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Beachten Sie bitte im einzelnen folgende Hinweise!
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#pagebreak()
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#pagebreak()
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//#show raw: set text(32pt, purple)
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#show raw: set text(32pt)
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#let sidenote = sidenote.with(padding: 1em)
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#let my-raw = text.with(font: "DejaVu Sans", size: 37pt, spacing: 0%)
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#let margin-char(char) = place(
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left, // Ausrichtung am linken Rand des Textbereichs
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dx: 170mm, // Schiebt den Buchstaben nach links in den Margin
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dy: -20mm, // Deine gewünschte vertikale Verschiebung nach unten
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my-raw(char) // Nutzt deine vordefinierte Text-Funktion
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)
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= Stammfunktion und unbestimmtes Integral
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In der *Differentialrechnung* wurde folgende Aufgabenstellung betrachtet: #margin-char[I]
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#h(1cm)_Gegeben_ ist eine Funktion $F(x)$,
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#h(1cm)_gesucht_ wird die erste Ableitung dieser Funktion $F^{prime}(x)=f(x)$.
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#colorbox(
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title: "Beispiel",
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color: "blue",
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radius: 2pt,
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width: auto,
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)[
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#h(1cm)_Gegeben:_ $F(x)=x^3$,
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#h(1cm)_gesucht:_ $F^{prime}(x)=f(x)=3 x^2$.
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]
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*Beispiel*
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#v(3mm)
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Die Aufgabenstellung in der *Integralrechnung* ist die Umkehrung des Grundproblems der Differentialrechnung:
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Gegeben ist eine Funktion $f(x)$, gesucht wird eine Funktion $F(x)$ mit der Eigenschaft
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$F^{prime}(x)=f(x) .$
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||
Die Ableitung der gesuchten Funktion soll also gleich der gegebenen Funktion sein.
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#v(3mm)
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*Beispiel*
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#v(3mm)
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_Gegeben:_ $f(x)=3 x^2$,
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_gesucht:_ $F(x)$ mit der Eigenschaft, daß $F^{prime}(x)=3 x^2$ ist; also $F(x)=x^3$.
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#v(3mm)
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#colorbox(
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title: "Definition",
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color: "red",
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radius: 2pt,
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width: auto,
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)[
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Die Funktion $y=f(x)$ sei reell und stetig im Intervall $(a, b)$. Jede dort definierte reelle Funktion $F(x)$, deren erste Ableitung gleich $f(x)$ ist, heißt Stammfunktion von $f(x)$ in diesem Intervall.
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]
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/*Gegeben ist eine Funktion $f(x)$, gesucht wird eine Funktion $F(x)$ mit der Eigenschaft
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$$
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F^{\prime}(x)=f(x) .
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$$
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||
$$
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||
Die Ableitung der gesuchten Funktion soll also gleich der gegebenen Funktion sein.
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Beispiel
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Gegeben: $f(x)=3 x^2$,
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gesucht: $F(x)$ mit der Eigenschaft, daß $F^{\prime}(x)=3 x^2$ ist; also $F(x)=x^3$.
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||
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||
*/
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||
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||
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||
/*#block(inset: (right: 5cm))[
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||
#lorem(30)
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]
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#block(inset: (left: 5cm))[
|
||
#lorem(30)
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||
]
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||
The Simpsons is an iconic animated series that began in 1989
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#sidenote[The show holds the record for the most episodes of any
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American sitcom.]. The show features the Simpson family: Homer,
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Marge, Bart, Lisa, and Maggie.
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Bart is the rebellious son who often gets into trouble, and Lisa
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is the intelligent and talented daughter #sidenote[Lisa is known
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for her saxophone playing and academic achievements.]. Baby
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Maggie, though silent, has had moments of surprising brilliance
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#sidenote[Maggie once shot Mr. Burns in a dramatic plot twist.].*/
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