commit 0836113d179e635510ebb3db3495726e2a06dae8 Author: Sven Riwoldt Date: Wed Feb 7 17:40:53 2024 +0100 Band I Init diff --git a/Beispiele/I_B10.tex b/Beispiele/I_B10.tex new file mode 100644 index 0000000..e99a839 --- /dev/null +++ b/Beispiele/I_B10.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +\begin{beispiel}\label{B0010} +\begin{itemize} + \item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen. + \item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen. +\end{itemize} + +\end{beispiel} diff --git a/Beispiele/I_B_01.tex b/Beispiele/I_B_01.tex new file mode 100644 index 0000000..906f8f8 --- /dev/null +++ b/Beispiele/I_B_01.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +\begin{beispiel}\label{B0001} +Gegeben seien die drei Mengen $A$, $B$, $C$ definiert durch: + +\[A=\left\{1,3,5,7\right\}, \;\;\left\{B=x\,|\,2x-4=0\right\},\;\;\left\{C=1,2,3,4,5,6,\ldots\right\}\] + +Dann gilt zum Beispiel $2\notin A$, $2\in B$, $2\in C$ und $7\in A$, $7\notin B$, $7\in C$. +\end{beispiel} \ No newline at end of file diff --git a/Beispiele/I_B_02.tex b/Beispiele/I_B_02.tex new file mode 100644 index 0000000..0ddce7f --- /dev/null +++ b/Beispiele/I_B_02.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\begin{beispiel} \label{B0002} + +\begin{itemize} +\item Die Menge der Wochentage + +$W:=\left\{\text{Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Sonnabend, Sonntag}\right\}$ + +ist eine endliche Menge mit $W=7$ Elementen. + +\item Die Menge $K$ aller möglichen Kreise mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems ist offensichtlich eine unendliche Menge, weil es unendlich viele Kreise mit verschiedenen Radien um den Punkt $P\left(0\middle|0\right)$ gibt. + +\item Die Menge $U$ aller ungeraden Zahlen, die durch die Zahl $2$ ohne Rest teilbar sind, ist eine Menge mit der Mächtigkeit $\# U= 0$, weil sie kein Element enthält. + +\end{itemize} +\end{beispiel} \ No newline at end of file diff --git a/Beispiele/I_B_03.tex b/Beispiele/I_B_03.tex new file mode 100644 index 0000000..6ef1fee --- /dev/null +++ b/Beispiele/I_B_03.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +\begin{beispiel}\label{B0003} + +\begin{itemize} +\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die die Ungleichung $x^{2}<4$ erfüllen. + +\textbf{Lösung:} + +Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die zwischen den beiden Zahlen $-2$ und 2 liegen. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-2n$ setzt man $\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=0$. +Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen. +Beispiel 16 +a) $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$ + +-17- + + +\newpage +-18- + +b) $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$ +c) $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$ +Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengestellten Gesetze. + +\begin{satz}\label{S0001} +\begin{align} +\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\ +\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\ +\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\ +\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\ +\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} +\end{align} + +Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt: + +\begin{align} +\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l} +\end{align} +\end{satz} + + +Beweis: +Mit der Definition $2.1$ gilt : +(1) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$ +$$ +=a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) +$$ +(2) $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$ +$$ +=c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} +$$ + + +-18- +\newpage +-19- + +(3) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}$ +(4) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{u}+a_{u+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k}$ +(5) $\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \cdot\left(b_{u}+b_{u+1}+\ldots+b_{v}\right)$ +$$ +\begin{aligned} +&=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k} b_{u}+a_{k} b_{u+1}+\ldots+a_{k} b_{v}\right)=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i} \\ +\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} &=\sum_{i=u}^{v}\left(a_{m} b_{i}+a_{m+1} b_{i}+\ldots+a_{n} b_{i}\right) \\ +& \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=u}^{v} a_{m} b_{i}+\sum_{i=u}^{v} a_{m+1} b_{i}+\ldots+\sum_{i=u}^{v} a_{n} b_{i} \\ +& \stackrel{(2)}{=} a_{m} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+a_{m+1} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+\ldots+a_{n} \sum_{i=u}^{v} b_{i} \\ +&=\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right) \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} +\end{aligned} +$$ +(6) $\sum_{k=m+l}^{n+l} a_{k-l}=a_{m+l-l}+a_{m+l+1-l}+\ldots+a_{n+l-l}$ +$$ +=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} +$$ +Beispiel 17 +Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4$ soweit wie möglich. +Lösung: +Mit Satz $2.1$ gilt +$$ +\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} . +$$ +Eine der wichtigsten Summen überhaupt in der Mathematik ist die Summe +$$ +S_{n}:=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n}, +$$ +die auch als geometrische Summe bezeichnet wird. + +-19- +\newpage +-20- +Satz $2.2$ Sei $q \in \mathbb{R}$. Dann gilt für die geometrische Summe die Summenformel +$$ +S_{n}=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\left\{\begin{array}{lll} +n+1 & \text { für } & q=1 \\ +\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text { für } & q \in \mathbb{R} \backslash\{1\} +\end{array}\right. +$$ +Beweis: +Der Beweis wird hier direkt geführt. Dazu schreibt man die beiden Summen $S_{n}$ und $q \cdot S_{n}$ untereinander auf. +$$ +\begin{aligned} +S_{n} &=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+q^{n} \\ +q \cdot S_{n} &=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\ldots+q^{n}+q^{n+1} +\end{aligned} +$$ +Subtrahiert man jetzt von der Gleichung ( $i$ ) die Gleichung (ii), dann heben sich die Summanden $q, q^{2}, \ldots, q^{n}$ heraus und dann folgt für alle $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$ +$$ +S_{n}-q \cdot S_{n}=1-q^{n+1} \Rightarrow(1-q) S_{n}=1-q^{n+1} \quad \Rightarrow \quad S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} +$$ +Für $q=1$ erhält man $S_{n}=1+1+1+\ldots+1=(n+1) \cdot 1=n+1$. +Auch im alltäglichen Leben spielt die geometrische Summe eine wichtige Rolle. Zum Beispiel bei der Verzinsung eines Kapitals über mehrere Jahre hinweg. Betrachten Sie dazu das folgende +Beispiel 18 +Ein Anleger bringt zu Beginn eines jeden Jahres den festen Betrag $B$ zur Bank, der mit dem festen Zinssatz $p$ am Ende eines jeden Jahres verzinst wird und seinem Konto gutgeschrieben wird. Bestimmen Sie den ersparten Betrag $K_{n}$ nach $n$ Jahren. +Lösung: +Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden Jahres multipliziert werden muss. Dann ergibt sich die folgende Kapitalentwicklung jeweils am Ende des +1. Jahr $\quad K_{1}=B q$ +2. Jahr $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$ +3. Jahr $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$ +$$ +\text { n. Jahr } \begin{aligned} +K_{n} &=B q^{n}+B q^{n-1}+\ldots+B q=q B\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}\right) \\ +&=q B \sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=q B \frac{1-q^{n}}{1-q} +\end{aligned} +$$ +-20- + +\newpage + +-21- +Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußerst effizient Produkte schreiben lassen. +Definition $2.2$ Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{N}_{0}$ und $m, n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Produktzeichen definiert als +$$ +\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_{n} . +$$ +Für den Fall $m>n$ setzt man $\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=1$. +Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen . +Beispiel 19 +a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$ +b) $\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{\mu-1} \cdot x_{\mu}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{\mu} x_{k}}$ +Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen. +Definition 2.3 Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt +$$ +n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n +$$ +n - Fakultät. Man definiert weiter $0 !:=1$. +Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät +$$ +n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n +$$ +ablesen . +Beispiel 20 +Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ? +Lösung: +An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten . +-21- +\newpage +-22- + + +An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt. + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb003.tex} + +Man erkennt aus dieser Abbildung, dass es genau $3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Anders formuliert kann man diese Aufgabe auch so interpretieren: Wie viele verschiedene Tripel lassen sich aus der Menge $\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\right\}$ bilden, wenn jedes Element nur einmal vorkommen darf? Es sind genau 3 ! solcher Tripel, nämlich +$$ +\begin{array}{lll} +\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right), & \left(B_{1}, B_{3}, B_{2}\right), & \left(B_{2}, B_{1}, B_{3}\right), \\ +\left(B_{2}, B_{3}, B_{1}\right), & \left(B_{3}, B_{1}, B_{2}\right), & \left(B_{3}, B_{2}, B_{1}\right) . +\end{array} +$$ +Man spricht hier auch von Permutation ohne Wiederholung $$ \text { Definition } 2.4 \text { Für alle } n, k \in \mathbb{N}_{0} \text { mit } k \leq n \text { heißt } $$ +$$ +\left(\begin{array}{l} +n \\ +k +\end{array}\right):=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} +$$ +\textbf{Binomialkoeffizient} und wird gelesen als "$n$ über $k$. Für $k=0$ setzt man $\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right):=1$. +Aus dieser Definition ergibt sich sofort +$$ +\left(\begin{array}{l} +0 \\ +0 +\end{array}\right)=1 \quad \text { und } \quad\left(\begin{array}{l} +n \\ +n +\end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}=\frac{n !}{n !}=1 +$$ +Beispiel 21 +Mit der Definition $2.4$ ergeben sich die Binomialkoeffizienten für alle $0 \leq k \leq n \leq 4$ zu +- $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)=1$. +- $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=1$. + + +-22- +\newpage + +-23- + + +- $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)=\frac{2}{1}=2,\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=1$. +- $\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right)=\frac{3}{1}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right)=1$. +- $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\frac{4}{1}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2}=6,\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right)=1$. +Eine der wichtigsten Anwendungen der Binomialkoeffizienten liegt in der Berechnung der Binompotenzen $(a+b)^{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$. Es gilt : +$$ +\begin{aligned} +&(a+b)^{0}=1 \\ +&(a+b)^{1}=a+b +\end{aligned} +$$ +$(a+b)^{1}=a+b$ +$\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$ +$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ +$$ +2(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}-(3)-(3)(3)-(3) +$$ +Für zum Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetzt offensichtlich +$b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$ $\vdots$ Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetz +$$ +\begin{gathered} +\left(\begin{array}{l} +3 \\ +0 +\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l} +3 \\ +1 +\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l} +3 \\ +2 +\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l} +3 \\ +3 +\end{array}\right) \\ +\vdots +\end{gathered} +$$ +schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigke +schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigkeit findet . +*) Blaise Pascal, französischer Mathematiker und Physiker, geb. 19. Juni 1623 in Clermont - Ferrand, gest. 19. August 1662 in Paris. Pascal beschäftigte sich vorwiegend mit Glücksspielen und Wahrscheinlichkeitsrechnung. +-23- +\newpage +-24- +Zwei fundamentale Eigenschaften der Binomialkoeffizienten sind in dem folgenden Sat zusammengefasst. +Satz 2.3 Seien $n, k \in \mathbb{N}_{0}$. Dann gilt +(1) $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right)$ für alle $k \leq n$, +(2) $\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) \quad$ für alle $1 \leq k \leq n$. +Beweis: +(1) Mit den Definitionen $2.3$ und $2.4$ ergibt sich für alle $n, k \in \mathbb{N}_{0}$ mit $k \leq n$ +$$ +\begin{aligned} +\left(\begin{array}{l} +n \\ +k +\end{array}\right) &=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{k !} \cdot \frac{(n-k) !}{(n-k) !} \\ +&=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1) \cdot(n-k) \cdot(n-k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{(n-k) ! \cdot k !} \\ +&=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !}=\frac{n !}{(n-(n-k)) ! \cdot(n-k) !}=\left(\begin{array}{c} +n \\ +n-k +\end{array}\right) +\end{aligned} +$$ +(2) Mit (1) folgt für alle $n, k \in \mathbb{N}$ und $1 \leq k \leq n$ +$$ +\begin{aligned} +\left(\begin{array}{c} +n \\ +k-1 +\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} +n \\ +k +\end{array}\right) &=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \\ +&=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !} \cdot \frac{k}{k}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \cdot \frac{n-k+1}{n-k+1} \\ +&=\frac{k \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}+\frac{(n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(k+n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !} \\ +&=\frac{(n+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(n+1) !}{(n+1-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c} +n+1 \\ +k +\end{array}\right) +\end{aligned} +$$ + +Die Formel ( 2 ) stellt eine Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten dar. Denn wenn man alle $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ für ein beliebiges $n$ schon kennt, so kann man mit ihr sehr einfach alle $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ berechnen. Schauen Sie sich dazu noch einmal das Pascalsche Dreieck an. Dann ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ gerade die Zahl, die sich in der $n$ - ten Zeile und $k$ - ten Spalte des Dreiecks befindet. Um die $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ zu berechnen, brauchen Sie einfach nur die beiden Zahlen aus der Zeile davor die links und rechts über der Zahl $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ angeordnet sind zu addieren. +Es sei $A(n)$ eine Aussage (sehen Sie dazu auch Abschnitt $6.1$ ), welche von natürlichen Zahlen $n$q abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " benutzt man das Prinzip der vollständigen Induktion ( den Beweis hierzu finden Sie im Abschnitt 6.2), das im wesentlichen in den folgenden drei Schritten abläuft . + + +-24- +\newpage + +-25- +1) Induktionsanfang +Man zeigt, dass die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ für ein geeignetes $n_{0} \in \mathbb{N}$ wahr ist. +2) Induktionsannahme +Es wird angenommen, dass die Aussage $A(n)$ für eine natürliche Zahl $n \geq n_{0}$ wahr ist. +3) Induktionsschritt +Mit der Induktionsannahme $A(n)$ zeigt man dann, dass daraus die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt . + +Es ergibt sich, dass $A(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n \geq n_{0}$ eine wahre Aussage liefert. Denn es ist ja für +$n=n_{0}: \quad A\left(n_{0}\right)$ wahr nach $(1) .$ +$n=n_{0}+1: \quad A\left(n_{0}+1\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}$ gesetzt wird $.$ +$n=n_{0}+2: \quad A\left(n_{0}+2\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+1$ gesetzt wird $.$ +$n=n_{0}+3: \quad A\left(n_{0}+3\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+2$ gesetzt wird $.$ +Beispiel 22 +Beweisen Sie die Behauptung: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $2^{n}>n$. +Beweis : +Die Aussage $A(n)$ ist hier $2^{n}>n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. +- Induktionsanfang +Setzt man in $A(n)$ die Zahl $n=1$ ein, dann folgt dass $A(1)$ wahr ist. Denn es gilt $2^{1}=2>1 .$ +- Induktionsannahme +Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt die Aussage $A(n)$, also $2^{n}>n(*)$. +- Induktionsschritt +Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist ; also $2^{n+1}>n+1$. Mit der Induktionsannahme $(*)$ ergibt sich für alle $n \in \mathbb{N}$ + +$$ +2^{n+1}=2 \cdot 2^{n \stackrel{(\star)}{>}} 2 n=n+n \geq n+1 +$$ +sodass aus der Richtigkeit der Aussage $A(n)$ stets die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt. +-25- +\newpage + +-26- + +Satz 2.4 Für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$ und $a, b \in \mathbb{R}$ gilt der binomische Satz +$$ +(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} +n \\ +k +\end{array}\right) a^{n-k} b^{k} +$$ +Beweis: +Der Beweis erfolgt mit vollständiger Induktion . +- Induktionsanfang +Die Aussage ist wahr für $n=0$, denn es gilt +$$ +(a+b)^{0}=1=\sum_{k=0}^{0}\left(\begin{array}{l} +0 \\ +k +\end{array}\right) a^{0-k} b^{k}=\left(\begin{array}{l} +0 \\ +0 +\end{array}\right) a^{0-0} b^{0}=1 +$$ +- Induktionsannahme +Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $n \geq 0$ gilt : +$$ +(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} +n \\ +k +\end{array}\right) a^{n-k} b^{k} \quad(\star) +$$ + +-26- + +\newpage +-27- + +$(a+b)^{n+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)\right] a^{n} b^{1}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)\right] a^{n-1} b^{2}+\ldots$ +$+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)\right] a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$ +$\stackrel{(\star \star)}{=}\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$ +$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$ +$=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$ +$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) a^{n+1-k} b^{k} .$ +Eine für manche Beweise wichtige Ungleichung ist die Bernoullische Ungleichung, die nach dem Mathematiker und Physiker Jakob I. Bernoulli (1655-1705)\footnote{Jakob I. Bernoulli, schweizer Mathematiker und Physiker, geb. 6. Januar 1655 in Basel, gest. 16. August 1705 in Basel. Bernoulli war Professor für Mathematik in Basel und arbeitete auf den Gebieten der Variationsrechnung und den Differenzialgleichungen.} benannt ist. +Satz 2.5 Für jede natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ gilt +Ber Beweis erfolgt auch hier wieder mit vollständiger Induktion. +- Induktionsanfang +Die Aussage ist wahr für $n=1$, denn $(1+x)^{1}=1+x \geq 1+1 \cdot x=1+x$. +- Induktionsannahme +Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt : +$$ +(1+x)^{n} \geq 1+n x \quad(\star) +$$ + +- Induktionsschritt +Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist; also +$$ +(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1) x +$$ + + + +-27- +\newpage + +-28- + +Mit der Induktionsannahme $(\star)$ ergibt sich für $x \geq-1$ +$$ +\begin{aligned} +(1+x)^{n+1} &=\underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+x)^{n} \stackrel{(\star)}{\geq} \underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+n x)=1+n x+x+\underbrace{n x^{2}}_{\geq 0} \\ +\geq 1+n x+x=1+(n+1) x . +\end{aligned} +$$ +\section{Übungsaufgaben} +\begin{aufgabe}\label{A0009} + +Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe eines Produktzeichens. + +\begin{enumerate}[a)] +\item $1 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 81 \cdot 121 \cdot 169$ +\item $\frac{1}{4-2} \cdot \frac{1}{9-3} \cdot \frac{1}{16-4} \cdot \frac{1}{25-5} \cdot \frac{1}{36-6}$ +\end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}\label{A0010} +Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens. +\begin{enumerate}[a)] +\item $1+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{28}+\frac{1}{45}+\frac{1}{66}$ +\item $\frac{18}{27}+\frac{32}{64}+\frac{50}{125}+\frac{72}{216}+\frac{98}{343}+\frac{128}{512}$ +\end{enumerate} +\end{aufgabe} + +Aufgabe 10 + +a) +b) +c) $\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\ldots+\frac{1}{2^{10}}$ +d) $1+2 a+3 a^{2}+4 a^{3}+\ldots+n a^{n-1}$ +e) $-1+1+3+5+\ldots+15$ +f) $1-4+7-10+13-16+19-22$ +g) $\frac{4}{5}-\frac{5}{6}+\frac{6}{7}-\frac{7}{8}+\frac{8}{9}-\frac{9}{10}$ +h) $-\frac{2}{3}+\frac{3}{6}-\frac{4}{9}+\frac{5}{12}-\frac{6}{15}+\frac{7}{18}-\frac{8}{21}+\frac{9}{24}$ +Aufgabe 11 +Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens. +a) $\frac{1}{3}-\frac{1}{8}+\frac{1}{15}-\frac{1}{24}+\frac{1}{35} \mp \ldots+\frac{1}{2703}$ +b) $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{20}+\frac{1}{30} \mp \ldots+\frac{1}{6642}$ +Aufgabe 12 Bestimmen Sie die Lösungen $x \in \mathbb{Z}$ der Gleichung $\sum_{k=0}^{2} k x^{k}=0$. +Aufgabe 13 +Berechnen Sie den Wert der folgenden Summen . +a) $\sum_{j=0}^{4} \frac{1}{2^{j}}$ +b) $\sum_{k=0}^{4} \frac{k}{2^{k}}$ +c) $\sum_{n=2}^{100} \frac{n+1}{n-1}-\sum_{k=2}^{100} \frac{k+2}{k}$ +d) $\sum_{k=0}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 k}$ +e) $\sum_{k=0}^{4} \frac{(-1)^{k}}{k !} \quad$ f) $\sum_{k=0}^{99}(k+1)^{3}-\sum_{k=2}^{101}(k-1)^{3}$ +g) $\sum_{m=-3}^{0} \frac{m+2}{m+4}$ +h) $\sum_{n=-2}^{1} \frac{(-1)^{n}}{n+3}$ +i) $\sum_{k=1}^{100}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ + +-28- +\newpage + +-29- +j) $\sum_{j=-4}^{0} \frac{|j|}{j+5}$ +k) $\sum_{m=-2}^{4} \frac{m}{|m|+2}$ +l) $\sum_{k=1}^{171}\left[k^{2}-(k-1)^{2}\right]$ +Aufgabe 14 +Berechnen Sie den Wert der folgenden Produkte. +a) $\prod_{k=-3}^{3} 2^{k}$ +b) $\prod_{k=-4}^{4}(k-1) k$ +c) $\prod_{k=2}^{247} \frac{2 k^{2}}{2 k^{2}-4 k+2}$ +d) $\prod_{k=0}^{7} \cos \left(\frac{k \pi}{4}\right)$ +e) $\left.\prod_{k=1}^{171}(-1)^{k} \sin \left(\frac{k \pi}{2}\right) \quad f\right) \prod_{j=0}^{10} \frac{1}{2^{2 j+1}} \prod_{j=2}^{11} 4^{j}$ +g) $\prod_{k=2}^{15} \frac{k-1}{k+1}$ +h) $\prod_{n=1}^{300}\left(1+\frac{1}{n}\right)$ +i) $\prod_{j=0}^{11}\left(\frac{1}{4}\right)^{j} \prod_{j=0}^{11} 2^{2 j}$ +j) $\prod_{k=3}^{150} \frac{2 k}{k-2}$ +k) $\prod_{k=1}^{100} \frac{k}{k+1}$ +l) $\prod_{k=1}^{4} \sin \frac{(2 k+1) \pi}{4}$ +Aufgabe 15 +Berechnen Sie den Wert folgender Summen beziehungsweise Produkte. +a) $\sum_{k=0}^{4}\left(\prod_{j=0}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{j}\right)$ +b) $\prod_{k=0}^{171}(-1)^{k} \cos \left(\frac{k \pi}{2}\right)$ +c) $\prod_{k=1}^{4}\left(\sum_{j=0}^{k} j\right)$ +d) $\sum_{k=12}^{21}\left(k^{2}-22 k+121\right)$ +e) $\prod_{j=1}^{6} \frac{1}{j+1}\left(j+\sum_{k=1}^{j}(k-1)\right)$ + +Aufgabe 16 +Zeigen Sie Gleichheit oder Ungleichheit der folgenden Summen bzw. Produkte. +a) $\sum_{j=0}^{9}(3 j+1)=\sum_{j=1}^{10}(3 j-2)$ +b) $\prod_{k=1}^{10} k^{2}=\prod_{k=1}^{9}(11-k)^{2}$ +c) $\sum_{l=1}^{4}(6 l-5)-\sum_{l=1}^{4}(5 l-2)=\sum_{m=1}^{4}(m-3)$ +d) $\sum_{l=1}^{5} l=\sum_{m=1}^{5}(6-m)$ +e) $\left.\sum_{u=1}^{4}\left(u^{2}-1\right)-\sum_{v=1}^{4}(2 v-2)=\sum_{w=1}^{4}(w-1)^{2} \quad f\right) \prod_{l=1}^{5} \sum_{m=1}^{5} m l=\sum_{l=1}^{5} \prod_{m=1}^{5} m l$ +g) $\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=j}^{4}(i+j-1)=\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{i}(i+j-1)$ +Aufgabe 17 +Vervollständigen Sie die folgenden Gleichungen: +a) $\left.\sum_{l=0}^{n} 2^{l}=1+\sum_{k=0}=\left(\sum_{m=0}\right)+2^{n} \quad b\right) \sum_{k=2}^{n}(-1)^{k} a_{k-1}=\sum_{m=}(-1) a_{n-m}$ + + +-29- + + +-30- + +Aufgabe 18 +Zeigen Sie durch Indexverschiebung, dass beide Summen identisch sind. +a) $\sum_{l=2}^{10} \frac{l}{l^{2}+1}=\sum_{k=-2}^{6} \frac{k+4}{k^{2}+8 k+17}$ +b) $\sum_{l=3}^{10} \frac{l^{2}}{l-1}=\sum_{k=0}^{7} \frac{k^{2}+6 k+9}{k+2}$ +c) $\sum_{n=10}^{29} \frac{1}{n^{2}-18 n}=\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k^{2}-81}$ +d) $\sum_{k=4}^{25} \frac{1}{k^{2}-9}=\sum_{n=7}^{28} \frac{1}{n^{2}-6 n}$ +Aufgabe 19 +Geben Sie die folgende Menge $M$ konkret an. Benutzen Sie für Ihre Behauptung die vollständige Induktion. +$$ +M=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \frac{2 n+1}{2^{n}}<\frac{1}{3}\right\} +$$ +Aufgabe 20 +Zeigen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt: +$\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=2^{n} \quad$ Hinweis: Wenden Sie den binomischen Satz an! +Aufgabe 21 +Sei $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion die Gültigkeit der Gleichung +$$ +\sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \quad \forall n \in \mathbb{N} +$$ +Aufgabe 22 +Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion. +$$ +(b+1)^{n}>1+\frac{n^{2} b^{2}}{4} \quad \text { für } n \geq 2, b>0 . +$$ + +Aufgabe 23 +Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass +$\forall n \in \mathbb{N} \wedge a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \quad$ gilt : $\quad\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$ +Aufgabe 24 +Zeigen Sie mittels des Beweisprinzips der vollständigen Induktion: +Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $\quad\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right)^{2} \leq 2 n$. + + +-30- + +-31- + +Aufgabe 25 +Für welche natürlichen Zahlen $n$ gilt die Bernoullische Ungleichung +$$ +(1+h)^{n} \geq 1+n h \quad \text { mit } \quad h \geq-1 +$$ +Beweisen Sie Ihre Vermutung mithilfe der vollständigen Induktion. +Aufgabe 26 +Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Die Anzahl $D(n)$ der Diagonalen in einem konvexen $n$ - Eck kann für $n \geq 3$ nach der Formel +$D(n)=\frac{n}{2}(n-3)$ berechnet werden $.$ +Aufgabe 27 +Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Wenn $n$ Personen auf einer Party miteinander anstoßen, dann klingelt es $K(n)=\frac{n(n-1)}{2}$ mal. +Aufgabe 28 +Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Für alle $m \in \mathbb{N}_{0}, n \in \mathbb{N}$ und $n>m$ gilt +$$ +\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l} +n \\ +k +\end{array}\right)=(-1)^{m}\left(\begin{array}{c} +n-1 \\ +m +\end{array}\right) +$$ +Aufgabe 29 +Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt : +$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=0 \quad$ Hinweis: $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ +Aufgabe 30 +Beweisen Sie mit vollständiger Induktion +$\sum_{k=m}^{n}\left(\begin{array}{c}k \\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ m+1\end{array}\right) \quad$ für alle $\quad n, m \in \mathbb{N}, \quad m \leq n$ + +Aufgabe 31 +Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass +$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{array}{l}j-1 \\ k-1\end{array}\right) \quad$ für alle $n \geq 1 \quad$ und alle $k \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \leq n$ gilt +Hinweis: Es ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right)$. + + +-31- + + +-32- + +Aufgabe 32 +Beweisen Sie folgende Ausdrücke per vollständiger Induktion für $n \in \mathbb{N}_{0}$. Finden Sie jeweils die kleinste natürliche Zahl $n_{0} \in \mathbb{N}_{0}$, für die der Ausdruck wahr ist. +a) $(1+x)^{n} \leq 1+n x+n(n-1) \frac{x^{2}}{2}$, falls $x \leq 0$. b ) $2^{n}>n^{2}+6 n-4$ +c) $\prod_{k=0}^{n}\left(2^{2^{k}}+1\right)=2^{2^{n+1}}-1$ +d) $\frac{1}{n !}+\frac{5}{(n+2) !} \geq \frac{5}{(n+1) !}$ +Aufgabe 33 +Beweisen Sie mit der vollständigen Induktion für welche $n \in \mathbb{N}$ die folgenden Aussagen gelten. +a) $2^{n}\sqrt{n}$ +c) $2^{n}<3 n(n+1)$ +e) $2^{n}>n^{3}$ f) $e^{n}>n+1$ +d) $\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n}$ +h) $2^{n}>n^{2}$ +i) $2 n+1<2^{n}$ +g) $\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$ $n \in \mathbb{N}$ gilt: +a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$ +b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ +c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$ +d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$ +e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$. +f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ + +Aufgabe 34 +Seien $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \geq 0$. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt : +a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$ +b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ +c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$ +d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$ +e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$. +f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ +Aufgabe 35 +Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt : +a) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ +b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$ +c) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-3 k+1\right)=n^{3}$ +d) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1$ +e) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}$ +f) $\sum_{k=1}^{n} k=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)=\frac{n(n+1)}{2}$ +g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$ +h) $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} k^{2}=(-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$ + + +-32- + + +-33- +i) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq n$ +j) $\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(3 k-2)(3 k+1)}=1-\frac{1}{3 n+1}$ +k) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{1}{3} n(n+1)(n+2)$ +l) $\sum_{k=0}^{n} \frac{9 k}{4^{k+1}}=1-\frac{3 n+4}{4^{n+1}}$ +Aufgabe 36 +Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt: +a) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{2^{k}}=6-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n}}$ +b) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}$ +c) $2 n \leq 1+\frac{n(n+1)}{2}$ +d) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-k\right)=n^{2}(n+1)$ +e) $\sum_{j=1}^{n} j \cdot j !=(n+1) !-1$ +f) $\frac{n\left(n^{2}+5\right)}{3} \in \mathbb{N}$ +g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^{k-1}}=\frac{1}{4}\left(9-\frac{2 n+3}{3^{n-1}}\right)$ +h) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{3} \leq 2 n^{4}$ + +-33- \ No newline at end of file diff --git a/I_3.tex b/I_3.tex new file mode 100644 index 0000000..89d6f42 --- /dev/null +++ b/I_3.tex @@ -0,0 +1,484 @@ +\section{Äquivalente Umformungen} +Umformungen von Gleichungen und Ungleichungen gehören in der gesamten Mathematik zum wichtigsten "Werkzeug ", um ein mathematisches Problem zu lösen. Eine Umformung überführt dabei eine Gleichung $G_{1}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{1}$ in eine neue Gleichung $G_{2}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{2}$. +Beispiel 23 +- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x=5$. Wird diese Gleichung quadriert, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x^{2}=25$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{5\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{-5,5\}$. Durch die Umformung wurde die zusätzliche Lösung $x=-5$ erzeugt, die die Gleichung $G_{1}$ nicht erfüllt. Es ist also $L_{1} \neq L_{2}$. +- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: 2 \sqrt{x}=6$. Dividiert man diese Gleichung durch die Zahl 2 und quadriert anschließend, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x=9$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{9\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{9\}$. Es ist also $L_{1}=L_{2}$. + +Wie aus diesen Beispielen ersichtlich wird, gibt es Umformungen, die zu ungleichen beziehungsweise gleichen Lösungsmengen führen. +Definition 3.1 Gegeben seien zwei Gleichungen $G_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $G_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. +4. Eine äquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $G_{1} \Leftrightarrow G_{2}$. +4 Eine nichtäquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $G_{1} \Rightarrow G_{2}$. + +Beispiel 24 +Gegeben sei die Gleichung $x^{2}+y^{2}=2 x y$ für $x, y \in \mathbb{R}$. Dann gilt: +$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 x y & \mid-2 x y \\ x^{2}+y^{2}-2 x y &=0 & & \mid \text { binomische Formel } \end{aligned}$ +$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+y^{2}-2 x y=0 \\ \Leftrightarrow & & (x-y)^{2}=0\end{array}$ +$\Leftrightarrow \quad x=y$ + +-35- + + +-36- + +Beispiel 25 +Gegeben sei die Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ für $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$. Dann gilt : +$x-2=\sqrt{x} \quad(\quad)^{2}$ +$\Rightarrow \quad x^{2}-4 x+4=x \quad \mid-x$ +$\Rightarrow \quad x^{2}-5 x+4=0$ +$\Rightarrow \quad(x-4)(x-1)=0$ +Das Produkt ist genau dann null, wenn $x=4$ oder $x=1$ ist. Beachten Sie dabei, dass nur $x=4$ eine Lösung der Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ ist, während $x=1$ keine Lösung dieser Gleichung darstellt. Das Potenzieren in der ersten Zeile ist in diesem Fall also eine nichtäquivalente Umformung! + +In dem Beispiel 25 ist die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung $L_{1}=\{4\}$, während nach der nichtäquivalenten Umformung die Lösungsmenge $L_{2}=\{1,4\}$ entstanden ist. Es wurde also wegen $L_{1} \subset L_{2}$ eine zusätzliche Lösung erzeugt, die aber keine Lösung der Ausgangsgleichung ist. Umgekehrt kann bei nichtäquivalenten Umformungen auch eine Lösung verloren gehen, wie das folgende Beispiel zeigt. +Beispiel 26 +Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x^{2}=x$ mit der Lösungsmenge $L_{1}=\{0,1\}$. Nach Division durch $x$ folgt die Gleichung $G_{2}: x=1$ mit der Lösungsmenge $L_{2}=\{1\} \subset L_{1}$. Also wurde wegen $L_{1} \neq L_{2}$ auch hier eine nichtäquivalente Umformung vorgenommen. +Bemerkung: +Äquivalente Umformungen von Gleichungen sind: +- Addition beziehungsweise Subtraktion des gleichen Terms zu beiden Seiten. +- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der niemals den Wert Null annimmt. +- Wurzelziehen aus beiden Seiten nur wenn beide Seiten positiv sind und auf beiden Seiten die positive Wurzel gezogen wird. Bei höheren Wurzeln ist die gleiche Einschränkung bei allen geraden Wurzelexponenten zu beachten. +Nichtäquivalente Umformungen von Gleichungen sind : +- Potenzieren beider Seiten einer Gleichung . +- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der den Wert Null annehmen kann. +Beispiel 27 +Ein häufig vorkommendes Beispiel für eine äquivalente Umformung ist die quadratische Gleichung $a x^{2}+b x+c=0$ für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$. Durch die Substitution $p:=\frac{b}{a}$ und $q:=\frac{c}{a}$ lässt sich diese Gleichung in die äquivalente Form $x^{2}+p x+q=0$ überführen. Dann folgt mithilfe der binomischen Ergänzung die bekannte Lösungformel: + +-36- + + +-37- + +$\begin{aligned} x^{2}+p x+q &=0 \quad \mid \text { binomische Ergänzung } \\ x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q &=0 \\\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2} &=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\-q)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right) &=0 \\ x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \end{aligned}$ +$\Leftrightarrow$ +$$ +\begin{aligned} +&\Leftrightarrow \quad x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q=0 \\ +&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2}=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\ +&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)=0 \\ +&\Leftrightarrow \quad x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} +\end{aligned} +$$ +Die Zahl $\Delta:=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q$ heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung . +Mit Ungleichungen kann im Prinzip genauso gerechnet werden wie mit Gleichungen, wobei allerdings einiges zu beachten ist. Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Betrachten Sie beispielsweise die Ungleichung $4<12$. Dann gilt einerseits : +und andererseits : +Definition $3.2$ Gegeben seien zwei Ungleichungen $U_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $U_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.. Eine äquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Gleichung $U_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $U_{1} \Leftrightarrow U_{2}$. +- Eine nichtäquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Ungleichung $U_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $U_{1} \Rightarrow U_{2}$. +Seien $x, y \in \mathbb{R}$ zwei beliebige reelle Zahlen. Für $x0, \\ +0 & \text { für } x=0, \\ +-x & \text { für } x<0 . +\end{array} \Leftrightarrow \quad|x|= \begin{cases}x & \text { für } x \geq 0, \\ +-x & \text { für } x<0 .\end{cases}\right. +$$ +Unter dem Absolutbetrag oder kurz einfach nur Betrag einer reellen Zahl versteht man geometrisch gesehen die Entfernung dieser Zahl auf dem Zahlenstrahl zum Nullpunkt. Die beiden Zahlen $-5$ und 5 beispielsweise haben zum Nullpunkt (Abbildung 3.1) die selbe Entfernung nämlich $|-5|=|5|=5$. + + +-38- + +-39- +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb004.tex} + +Für den Betrag gelten Rechengesetze, die in dem folgenden Satz zusammengefasst sind. +Satz 3.1 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}$gelten folgende Aussagen: +(1) $|x| \geq 0$ +(2) $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$ +(3) $|x|=|-x|$ +(4) $-|x| \leq x \leq|x|$ +(5) $|x|=\sqrt{x^{2}}$ +(6) $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ +(7) $|x|0$. Also ist insgesamt $|x| \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$. +(2) Aus $|x|=0$ folgt mit Definition $3.3 x=0$. Umgekehrt folgt aus $x=0$ ebenfalls mit Definition $3.3|0|=0$. Also gilt $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$. +(3) Für alle $x \geq 0$ gilt $|x|=x$ und $|-x|=-(-x)=x$. Also ist $|x|=|-x|$. Für alle $x<0$ gilt $|x|=-x$ und $|-x|=-x$. Also ist $|x|=|-x|$. Daraus folgt insgesamt $|x|=|-x|$ für alle $x \in \mathbb{R}$. +(4) Für alle $x \geq 0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-x \leq x \leq x$. Für alle $x<0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-(-x) \leq x \leq-x \Leftrightarrow x \leq x \leq-x$. Daraus folgt insgesamt für alle $x \in \mathbb{R}$ die Behauptung $-|x| \leq x \leq|x|$. +(5) Für $x=0$ ist die Gleichung $|0|=\sqrt{0}$ offensichtlich erfüllt. Für alle $x>0$ gilt einerseits $|x|=x$ und $\sqrt{x^{2}}=x$ und andererseits wegen (3) auch $|-x|=x$ und $\sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x$. Daraus folgt insgesamt $|x|=\sqrt{x^{2}}$ für alle $x \in \mathbb{R}$. +(6) Seien $x, y \geq 0$ oder $x, y<0$. Dann gilt $x \cdot y \geq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=\pm x$ und $|y|=\pm y$, womit $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ folgt. Sei eine der beiden Variablen negativ. Angenommen es ist $x<0$, sonst vertausche man einfach $x$ mit $y$, dann gilt $x \cdot y \leq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=-x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=-x$ und $|y|=y$, womit $|x| \cdot|y|=-x \cdot y$ gilt. Daraus erhält man schließlich $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ für alle $x \in \mathbb{R}$. +(7) Für $x \geq 0$ gilt $|x|-a$. Daraus folgt $|x|0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot 1=x=|x| \\ +x<0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot(-1)=-x=|x| +\end{array} +$$ +Daraus folgt $|x|=x \cdot \operatorname{sign}(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$. +Beispiel 29 +Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung ||$x|-1|>2$ für $x \in \mathbb{R}$. +Lösung: +1. Fall Für $x<0$ ist $|x|=-x$ und damit gilt ||$x|-1|=|-x-1|>2 \quad(*)$. +(i) Für $x \leq-1$ ist $|-x-1|=-x-1$ und die Ungleichung $(*)$ wird zu $-x-1>2 \Leftrightarrow x<-3$. Dann lautet die erste Lösungsmenge +$$ +L_{1}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x \leq-1 \wedge x<-3\}=(-\infty,-3) +$$ +(ii) Für $x>-1$ ist $|-x-1|=-(-x-1)=x+1$ und die Ungleichung (*) wird zu $x+1>2 \Leftrightarrow x>1$. Dann lautet die zweite Lösungsmenge +$$ +L_{2}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x>-1 \wedge x>1\}=\{\} +$$ +2. Fall Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$ und damit gilt ||$x|-1|=|x-1|>2 \quad(* *)$. +(i) Für $x<1$ ist $|x-1|=-(x-1)=-x+1$ und die Ungleichung (**) wird zu $-x+1>2 \Leftrightarrow x<-1$. Dann lautet die dritte Lösungsmenge +$L_{3}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x<1 \wedge x<-1\}=\{\} .$ +(ii) Für $x \geq 1$ ist $|x-1|=x-1$ und die Ungleichung (**) wird zu $x-1>2 \Leftrightarrow x>3$ Dann lautet schließlich die vierte Lösungsmenge +$$ +L_{4}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x \geq 1 \wedge x>3\}=(3, \infty) +$$ +Insgesamt erhält man die Lösungsmenge $L$ der Ungleichung aus der Vereinigung der vier Lösungsmengen $L_{1}, \ldots, L_{4}$. Es ist +$$ +L=\bigcup_{i=1}^{4} L_{i}=(-\infty,-3) \cup\{\} \cup\{\} \cup(3, \infty)=\mathbb{R} \backslash[-3,3] +$$ +Eine nicht nur in der Analysis sehr wichtige Ungleichung ist die sogenannte Dreiecksungleichung, die in vielen Beweisen Verwendung findet um Terme abschätzen zu können. + +-40- + +-41- + +Satz 3.2 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ gilt die Dreiecksungleichung +$$ +|x+y| \leq|x|+|y| +$$ +Beweis +Für den Fall $x+y \geq 0$ folgt mit Satz $3.1$ wegen $x \leq|x|$ und $y \leq|y|$ +$$ +|x+y|=x+y \leq|x|+|y| . +$$ +Für den Fall $x+y<0$, folgt mit Satz $3.1$ wegen $-x \leq|-x|=|x|$ und $-y \leq|-y|=|y|$ +$$ +|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y) \leq|x|+|y| \text {. } +$$ +Der Name Dreiecksungleichung leitet sich von der geometrischen Addition zweier Vektoren ab. Addiert man zwei beliebige Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$, dann bildet der Summenvektor $\vec{x}+\vec{y}$ zusammen mit den Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ ein Dreieck. + + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb005.tex} + +Aus der Abbildung $3.2$ lässt sich entnehmen, dass die Summe der Längen der Vektorpfeile $\vec{x}$ und $\vec{y}$ größer oder höchstens gleich der Länge des Summenvektors $\vec{x}+\vec{y}$ ist. Das heißt es gilt stets $|\vec{x}+\vec{y}| \leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$. +Beispiel $\mathbf{3 0}$ +Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen die Ungleichung ||$x|-| y|| \leq|x-y|$ gilt . +Beweis: +Mithilfe der Dreiecksungleichung aus Satz 3.2 folgt +$|x|=|x-y+y| \leq|x-y|+|y| \Leftrightarrow|x|-|y| \leq|x-y| \quad$ und +$|y|=|y-x+x| \leq|y-x|+|x|=|x-y|+|x| \Leftrightarrow-|x|+|y| \leq|x-y|$. +Insgesamt erhält man also $\| x|-| y|| \leq|x-y|$. + +3.3 Kreis- und Ellipsengleichung +Definition 3.4 Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt $M$ (Mittelpunkt) gleichen Abstand $r>0$ (Radius des Kreises) haben. +-41- + +-42- + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb006.tex} + + +Die Abbildung $3.3$ zeigt einen verschobenen Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$. Nach dem Satz von Pythagoras ( etwa $570-510$ v. Chr.) ${ }^{*}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck die Gleichung $a^{2}+b^{2}=r^{2}$. Mit $a=x-x_{m}$ und $b=y-y_{m}$ lässt sich der Kreis beschreiben durch die Menge aller geordneten Paare +$$ +K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}\right\} +$$ +Abbildung 3.3 Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$. +Beispiel 31 +Bestimmen Sie für den Kreis $2 x^{2}+2 y^{2}+8 x-12 y=6$ den Mittelpunkt und den Radius. +Lösung : +$\begin{array}{lrl} & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+y^{2}-6 y=3 & \mid \text { binomische Ergänzung } \\ & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+4-4+y^{2}-6 y+9-9=3 & \mid+13\end{array}$ +$\Leftrightarrow \quad(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$ +Durch Vergleich mit $K$ ergibt sich $-x_{m}=2 \Leftrightarrow x_{m}=-2$ und $-y_{m}=-3 \Leftrightarrow y_{m}=3$ sowie $r^{2}=16 \Rightarrow r=4$. Also ist der Mittelpunkt $M(-2,3)$ und der Radius $r=4$. +Bemerkung: +Sei $K$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ der Ebene kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb des Kreises liegen. Wie aus der Abbildung $3.3$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln: + + +*) Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös - philosophischen Bewegung. Trotz intensiver Bemühungen der Forschung gehört er noch heute zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike. Manche Historiker zählen ihn zu den Pionieren der beginnenden griechischen Philosophie, Mathematik und Naturwissenschaften, andere meinen, er sei vorwiegend oder ausschließlich ein Vorkünder religiöser Lehren gewesen. +-42- + +-43- + + $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $K$. +Beispiel 32 +Beschreiben Sie die Menge $A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1\right\}$. +Lösung : +$x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1$ +$x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 \quad \mid$ binomische Ergänzung +$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 & \mid \text { bino } \\ \Leftrightarrow & x^{2}+2 x+1-1+y^{2}-2 y+1-1 \geq-1 & \mid+2\end{array}$ +$(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \geq 1$ +Also beschreibt die Menge $A$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die entweder außerhalb oder auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M(-1,1)$ und Radius $r=1$ liegen. +Definition 3.5 Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten $F_{1}, F_{2}$ (Brennpunkte) eine konstante Summe haben, die größer als der Abstand dieser Punkte ist. +Zur Herleitung der Ellipsengleichung sei aus rechnerisch praktischen Gründen der Abstand der Brennpunkte $d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 e$ und die Summe der Entfernungen von einem beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse zu den Brennpunkten $d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a$. Betrachten Sie jetzt die folgenden zwei Abbildungen . + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb007.tex} + + +Aus dem linken Bild ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras $e^{2}=a^{2}-b^{2}(*)$. Aus dem rechten Bild ergibt sich ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras + +-43- + + +-44- + + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ +\Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} . +\end{aligned} +$$ +Quadrieren dieser Gleichung liefert: +$$ +\begin{aligned} +&(x+e)^{2}+y^{2}=4 a^{2}+(x-e)^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\ +\Leftrightarrow \quad & x^{2}+2 e x+e^{2}+y^{2}=4 a^{2}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\ +\Leftrightarrow \quad 4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=4 a^{2}-4 e x \\ +\Leftrightarrow & a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=a^{2}-e x +\end{aligned} +$$ +Nochmaliges Quadrieren ergibt unter der Voraussetzung $a b>0$ mit der Gleichung $(*)$ schließlich die Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung . +$\begin{aligned} a^{2}\left[(x-e)^{2}+y^{2}\right] &=\left(a^{2}-e x\right)^{2} \\ \text { ex } a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{4}-2 e x a^{2}+e^{2} x^{2} \end{aligned}$ +$\begin{array}{lr}\Leftrightarrow & a^{2} x^{2}-2 e x a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}-2 e x a^{2} \\ \Leftrightarrow & a^{2} x^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}+e^{2} x^{2}\end{array}$ +$\Leftrightarrow \quad a^{2} x^{2}+a^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)+a^{2} y^{2}=a^{4}+\left(a^{2}-b^{2}\right) x^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ +Die Parameter $a$ und $b$ werden als Halbachsen der Ellipse bezeichnet. Sie geben die Schnittstellen der Ellipse mit der $x$ - beziehungsweise $y$ - Achse an. Für den Spezialfall $a=b$ folgt aus Gleichung $(*)$ sofort $e=0$. In diesem Fall liegen die beiden Brennpunkte nämlich im Ursprung des Koordinatensystems und die Ellipse entartet zum Kreis mit dem Radius $r=a$. + +Um die Gleichung der verschobenen Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b$ zu finden, betrachten Sie die Abbildung $3.5$ + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb008.tex} +-44- + +\newpage + + +-45- + + +Im $\eta, \xi$ - Koordinatensystem gilt die Gleichung der unverschobenen Ellipse +$$ +\frac{\eta^{2}}{a^{2}}+\frac{\xi^{2}}{b^{2}}=1 +$$ +Mit $\eta=x-x_{m}$ und $\xi=y-y_{m}$ wird die verschobene Ellipse beschrieben durch die Menge der geordneten Paare +$$ +E:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1\right\} +$$ +Bemerkung: +Sei $E$ eine Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb der Ellipse liegen. Wie aus der Abbildung $3.5$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln. + $\frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}<1 \Leftrightarrow P$ liegt innerhalb von $E$, +$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow P$ liegt auf $E$, +$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}>1 \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $E$. +Beispiel 33 +Beschreiben Sie die Menge $B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x\right\}$. +Lösung: +$$ +\begin{array}{lcl} +& 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x & \mid+3 x^{2}-12 x \\ +\Leftrightarrow & \mid \text { binomische Ergänzung } \\ +\Leftrightarrow & 3\left(x^{2}-4 x+4-4\right)+4 y^{2}<0 & +12 \\ +\Leftrightarrow & 3(x-2)^{2}+4 y^{2}<12 & : 12 \\ +\Leftrightarrow & \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}<1 & +\end{array} +$$ +Also beschreibt die Menge $B$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die innerhalb der Ellipse mit Mittelpunkt M(2,0) und den Halbachsen $a=2, b=\sqrt{3}$ liegen. + +$3.4$ Übungsaufgaben +Aufgabe 37 +Sie sind im Wohnzimmer von Prof. Ungleich. Der Kronleuchter ist mehr wert als der Ohrensessel und der Couchtisch zusammen. Zudem sind die Couch und der Couchtisch gemeinsam mehr wert als der Ohrensessel und der Kronleuchter. Der Ohrensessel und die Couch jedoch haben zusammen denselben Wert wie der Kronleuchter und der Couchtisch. + +-45- + +\newpage + + + +-46- + +a) Ordnen Sie jedem Gegenstand das richtige Symbol zu, so dass folgende Unglei. chungen erfüllt sind. Machen Sie sich selbst klar, dass der Text diese Ungleichungen beschreibt. +$$ +Z>X+W \quad Y+X>W+Z \quad Z+X=W+Y +$$ +b) Wie lassen sich diese vier Gegenstände gemäß ihrer Wertverhältnisse ordnen? +Aufgabe 38 wenn sie für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ gilt. Geben Sie für eine falsche Aussage ein Gegenbeispiel an! +a) $a0 \Rightarrow aa|1-x|, a>1$ +b) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+a}$ +c) $\frac{1}{|x|}<\frac{1}{|x+a|}, a>0$ +Aufgabe 45 +Welche Zahl $c \in \mathbb{R}$ ergibt für die Ungleichung $x^{2}-6 x+c \leq 0$ +a) genau eine Zahl als Lösung, +b) eine leere Lösungsmenge. +Aufgabe 46 +Bestimmen Sie $N \cap M$ sowie $N \cup M$ für +$N=\left\{x \in \mathbb{R}|| x-\frac{1}{3} \mid<\frac{3}{2}\right\} \quad$ und $\quad M=\left\{x \in \mathbb{R}|| x+1 \mid<\frac{1}{2}\right\} .$ +Aufgabe 47 +Für welche reellen Zahlen ist sowohl die Ungleichung +$x^{2}+5>\frac{5-3 x^{2}}{2 x+1}, \quad$ als auch $\quad x^{2} \geq 6 x-5$ erfüllt? +Geben Sie die Lösungsmenge auch zeichnerisch wieder . +Aufgabe 48 +Bestimmen Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung in Intervallschreibweise. +a) $2-x>|2 x+1|$ +b) $\frac{2 x-1}{\left|2 x^{2}+1\right|}<1$ +c) Bilden Sie $M \cup N$ und $M \cap N$, wobei $M$ für die Lösungsmenge von a) und $N$ für die Lösungsmenge von b) steht. + + +Aufgabe 49 +Ermitteln Sie sämtliche reellen Lösungen $x$ der nachfolgenden Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen. +a) $\sqrt{2 x-4}-\sqrt{x-1}=1$ +b) $3-x<4-2 x$ +c) $x^{3}-x^{2}<2 x-2$ +d) ||$x|-|-5||<1$ +e) $1 \leq|x|<3$ +f) $\{x|| x-3|=| x+1 \mid\} \cap[0,3]$ +g) $|x+1|-|x-1|=1$ h) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+1}$ +i) $6 x^{2}-13 x+6<0$ +-47- + + +\newpage + + + +-48- +3 Gleichungen und Ungleichungen +j) $2=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x \sqrt{2 x}}}}$ +k) $\left(2^{x}-5\right)^{2}=100$ +l) $\sqrt{x+5}=x-1$ +m) $-(x+3)^{2} \geq-6 x$ +n) $|x+2|>5$ +o) $x^{2}+4 x+2<2$ +Aufgabe 50 +Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Ungleichungen für reelle Zahlen $x$. Be. schreiben Sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise und skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl. +a) $\frac{x}{|x+3|}<\frac{1}{|x-1|}$ +b) $\frac{|x-2|}{x+2} \leq 4$ +c) $\frac{1}{|2 x-3|}>4$ +d) $|x+4|<|x-1|+|x-2|$ +e) $\left|\frac{1}{x-6}\right|<2 \quad$ f) $\frac{|x-4|}{3-x}>x$ +g) $(x-3)(x-1)>(x-1)(x+5) \quad h) \frac{1}{x-\frac{2}{3}} \geq 3 x$ +i) $\frac{|x-2|}{x+6} \leq 1$ +j) $|x-1|(x+4) \leq 0$ +k) $\frac{|x|}{|x-3|}>10$ +l) $\frac{x-5}{2 x} \leq 11$ +m) $|x-4| \geq 2|x+1|$ +n) $\frac{1}{|x-1|}<2$ +o) $\frac{|x|}{|x|-1}1$ +r) $|3 x-1| \geq|x+1|$ +s) $|3 x-2|-2 \leq|1-2 x|$ +t) $\left|x+\frac{1}{x}\right| \geq 4$ +u) $x(x+1)<6$ +v) $|-2| \cdot|x+1| \geq|x-1|+1$ +w) $|x-1|>3$ +x) $\frac{|x-2|}{x-2} \geq x|x|$ +y) $\left(x^{2}+x-2\right)(x-4)(-x-3) \geq 0$ +z) $\frac{5-|x-5|}{x+2}<3$ +Aufgabe 51 +Bestimmen Sie jeweils die Menge der Paare $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, die die folgenden Ungleichungen erfüllen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem. + +a) $|x|<|y|$ +b) $y \geq(x-1)^{2} \wedge y^{2}+(x-1)^{2} \leq 1$ +c) $|x|+|y| \leq 4$ +d) $|x-y|^{2}-|x+y|^{2} \leq 1$ +e) $x^{2}-2|y|>1$ +f) $|x-1|+|y+1| \leq 1$ +g) $|x| \leq 5 \wedge|y| \leq 5$ +h) $|x| \leq 5 \quad \vee \quad|y| \leq 5$ +i) $|x y| \geq 1$ +j) $\frac{x}{y} \leq \frac{y}{x}$ +k) $|x-1| y \geq 1$ +l) $(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 4$ + +-48- + + +\newpage + + +-49- + +Aufgabe 52 +Beschreiben Sie die folgenden durch Ungleichungen definierten Mengen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem. +a) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)^{2}(y+5)>1\right\}$ +b) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \leq \sqrt{1-x^{2}} \wedge x y>0\right\}$ +c) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{|x|}{|y-2|} \leq 3 \vee y=2\right\}$ +d) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 1-x \wedge 2 y<5 x+1\right\}$ +e) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 2-x^{2} \wedge x^{2}+(y-2)^{2} \geq 4\right\}$ +f) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y-2 x+1<0 \wedge y+x^{2}<0\right\}$ +g) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-3)^{2} \leq 2-y \wedge 3 \geq x-y \wedge 2 y \geq 4-x\right\}$ +h) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>(x-1)^{2}-2 \wedge x>0 \wedge y<\frac{3 x}{2}\right\}$ + +-49- + +\newpage + + + +-50- \ No newline at end of file diff --git a/I_4.tex b/I_4.tex new file mode 100644 index 0000000..66d815b --- /dev/null +++ b/I_4.tex @@ -0,0 +1,1436 @@ +%!TEX root=../MathIng.tex + +\section{Gaußsche Zahlenebene} +In Abschnitt $1.2$ wurden die Zahlenmengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ eingeführt. In der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ lassen sich alle die Ihnen aus der Schule her vertrauten Rechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren durchführen. Man erkennt aber, dass auch die reellen Zahlen kein abgeschlossenes algebraisches Zahlensystem bilden, denn schon die einfache quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$ hat bereits keine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ zur Lösung. +Definition 4.1 Die beiden nichtreellen Lösungen der Gleichung $x^{2}+1=0$, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, bezeichnet man mit $i$ und $-i$ und nennt $i$ die imaginäre Einheit. Alle Vielfachen iy mit $y \in \mathbb{R}$ bilden die Mengen der imaginären Zahlen. +Aus dieser Definition folgt sofort $i^{2}=-1$ oder auch $i=\sqrt{-1}$. +Beispiel 34 +Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung $4 x^{2}+16=0$. +Lösung: +$$ +4 x^{2}+16=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=-4 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2}=\pm \sqrt{-4}=\pm 2 \cdot \sqrt{-1}=\pm 2 i . +$$ +Definition 4.2 Seien $x, y \in \mathbb{R}$ und $z:=x+i y$. +Dann heißt die Summe $z$ aus einer beliebigen reellen und einer beliebigen imaginären Zahl komplexe Zahl und $\mathbb{C}:=\{z=x+i y \mid x, y \in \mathbb{R}\}$ die Menge aller komplexen Zahlen. $\operatorname{Re}(z):=x$ heißt Realteil und $\operatorname{Im}(z):=y$ Imaginärteil der komplexen Zahl z. +Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass die Mengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ offenbar Teilmengen von $\mathbb{C}$ sind. Beispielsweise lässt sich jede reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ schreiben als $x=x+0 \cdot i$. Durch die Einführung der komplexen Zahlen lassen sich jetzt auch alle quadratischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten lösen, die eine negative Diskriminante haben . +Beispiel 35 +Finden Sie die Lösungen der Gleichung $z^{2}-6 z+13=0$. + + +-50- + +\newpage + + + +-51- + +Lösung: +Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man die Lösungen +$$ +z_{1,2}=3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-13}=3 \pm \sqrt{-4}=3 \pm 2 \cdot \sqrt{-1}=3 \pm 2 i +$$ +Es bleibt jetzt noch die Frage zu beantworten, wie komplexe Zahlen $z=x+i y$ geometrisch interpretiert werden können und wofür sie nützlich sind ? + +Die reellen Zahlen lassen sich darstellen als Punkte auf der reellen Zahlengeraden. Sie liegen überall auf der Zahlengeraden dicht. Das heißt, in jeder noch so kleinen Umgebung einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$ liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen. Da die reellen Zah. len auf die Zahlengerade abgebildet werden können, spricht man auch von sogenannten \Anfz{eindimensionalen Zahlen}. + +Komplexe Zahlen $z=x+i y$ hingegen erweisen sich als \Anfz{zweidimensionale Zahlen}, die in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene, benannt nach dem Mathematiker Johann Gauß $(1777-1855)^{*}$, als Punkte oder auch Pfeile (zweidimensionale Vektoren) gekennzeichnet werden können. Auf der waagerechten Achse der Zahlenebene, auch re. elle Achse genannt, wird der Realteil $x$ abgetragen, während die senkrechte Achse als imaginäre Achse bezeichnet wird und auf ihr der Imaginärteil y abgetragen wird. +Die beiden Lösungen $z_{1}=3+2 i$ und $z_{2}=3-2 i$ der quadratischen Gleichung aus dem Beispiel 35 können dann in der Gaußschen Zahlenebene geometrisch wie in den folgenden zwei Abbildungen dargestellt werden. + +\input{Band_I/Grafiken/I_Abb009.tex} + +Abbildung 4.1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. +Definition 4.3 Zwei komplexe Zahlen $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$ sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind. +$z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \wedge y_{1}=y_{2}$ +*) Johann Carl Friedrich Gauß, deutscher Mathematiker, geb. 30. April 1777 in Braunschweig, gest. $23 .$ Februar 1855 in Göttingen. Zu seinen besonderen Leistungen zählen Arbeiten zur euklidischen und nicht euklidischen Geometrie, sowie der Fundamentalsatz der Algebra. + +-51- + +\newpage + + +-52- + +Die Pfeile in der rechten Darstellung der Abbildung $4.1$ erinnern stark an Vektoren aus der analytischen Geometrie. Die Zahl $z_{2}$ geht offenbar aus der Zahl $z_{1}$ durch eine Spiegelung an der reellen Achse hervor. +Definition 4.4 Sei $z=x+i y \in \mathbb{C}$. Dann heißt $\bar{z}:=x-i y$ die $z u z$ konjugiert komplexe Zahl und $|z|:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Betrag der komplexen Zahl. +Bemerkung: +Geometrisch bedeutet der Betrag $|z|$ die Länge des Pfeils (Vektors ), der vom Ursprung des Koordinatensystems zur komplexen Zahl z zeigt. +Beispiel 36 +Bestimmen Sie für die komplexe Zahl $z=-6-8 i$ den Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl. +Lösung: +Es ist $\operatorname{Re}(z)=-6, \operatorname{Im}(z)=-8$ und $|z|=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=10, \bar{z}=-6+8 i$. +Die Zahlenbereichserweiterung durch Einführung der komplexen Zahlen scheint momentan keinen praktischen Nutzen zu haben . Jedoch wird sich an späterer Stelle zeigen, dass sie ein äußerst bequemes Hilfsmittel zum Beispiel bei der Berechnung von Additionstheoremen und der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen ( Band 9) darstellen. In der Elektrotechnik lassen sich mithilfe der komplexen Zahlen komplizierte Wechselstromnetzwerke besonders effizient lösen. +4.2 Algebra im Komplexen +In diesem Abschnitt wird es vor allem darum gehen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Im Prinzip sind die Grundrechenarten für komplexe Zahlen die gleichen wie für reelle Zahlen, nur dass $i^{2}=-1$ gelten soll. +Definition $4.5$ Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$. Dann gilt für die Addition / Subtraktion und Multiplikation: +$$ +\begin{aligned} +&z_{1} \pm z_{2}=x_{1}+i y_{1} \pm\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \pm x_{2}+i\left(y_{1} \pm y_{2}\right) \\ +&\Rightarrow_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) +\end{aligned} +$$ +Beispiel 37 +Berechnen Sie für $z=2+2 i$ und $w=-1+3 i$ die folgenden Ausdrücke: +$$ +z+w, \quad z-w, \quad z \cdot w, \quad z^{3} \text {. } +$$ + +-52- + +\newpage + + +-53- +Die Pfeile in der rechten Darstellung der Abbildung $4.1$ erinnern stark an Vektoren aus der analytischen Geometrie. Die Zahl $z_{2}$ geht offenbar aus der Zahl $z_{1}$ durch eine Spiegelung an der reellen Achse hervor . +Definition 4.4 Sei $z=x+i y \in \mathbb{C}$. Dann heißt $\bar{z}:=x-i y$ die $z u$ konjugiert komplexe Zahl und $|z|:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Betrag der komplexen Zahl. +Bemerkung: +Geometrisch bedeutet der Betrag $|z|$ die Länge des Pfeils (Vektors), der vom Ursprung des Koordinatensystems zur komplexen Zahl z zeigt. +Beispiel 36 +Bestimmen Sie für die komplexe Zahl $z=-6-8 i$ den Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl . +Lösung: +Es ist $\operatorname{Re}(z)=-6, \operatorname{Im}(z)=-8$ und $|z|=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=10, \bar{z}=-6+8 i$. +Die Zahlenbereichserweiterung durch Einführung der komplexen Zahlen scheint momentan keinen praktischen Nutzen zu haben . Jedoch wird sich an späterer Stelle zeigen, dass sie ein äußerst bequemes Hilfsmittel zum Beispiel bei der Berechnung von Additionstheoremen und der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen ( Band 9 ) darstellen. In der Elektrotechnik lassen sich mithilfe der komplexen Zahlen komplizierte Wechselstromnetzwerke besonders effizient lösen. +4.2 Algebra im Komplexen +In diesem Abschnitt wird es vor allem darum gehen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Im Prinzip sind die Grundrechenarten für komplexe Zahlen die gleichen wie für reelle Zahlen, nur dass $i^{2}=-1$ gelten soll. +Definition $4.5$ Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$. Dann gilt für die Addition / Subtraktion und Multiplikation: +b $z_{1} \pm z_{2}=x_{1}+i y_{1} \pm\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \pm x_{2}+i\left(y_{1} \pm y_{2}\right)$ +$z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)$ + +Beispiel 37 +Berechnen Sie für $z=2+2 i$ und $w=-1+3 i$ die folgenden Ausdrücke: +$$ +z+w, \quad z-w, \quad z \cdot w, \quad z^{3} \text {. } +$$ + +\newpage + + +-54- + +Lösung : +$$ +\begin{aligned} +z+w &=2+2 i+(-1+3 i)=2+2 i-1+3 i=1+5 i \\ +z-w &=2+2 i-(-1+3 i)=2+2 i+1-3 i=3-i \\ +z \cdot w &=(2+2 i)(-1+3 i)=2 \cdot(-1)+2 \cdot 3 i+2 i \cdot(-1)+2 i \cdot 3 i \\ +&=-2+6 i^{2}+4 i=-2-6+4 i=-8+4 i \\ +z^{3} &=z^{2} \cdot z=(2+2 i)^{2} \cdot(2+2 i)=\left(4+8 i+4 i^{2}\right)(2+2 i) \\ +&=(4+8 i-4)(2+2 i)=8 i \cdot(2+2 i)=16 i+16 i^{2}=-16+16 i +\end{aligned} +$$ +Wie dividiert man nun aber zwei komplexe Zahlen ? Die Division zweier komplexer Zahlen gelingt mit dem "Trick " der Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert komplexen Nenner. Betrachten Sie dazu die folgende Rechnung : +$$ +\frac{2+3 i}{5-2 i}=\frac{2+3 i}{5-2 i} \cdot \frac{5+2 i}{5+2 i}=\frac{10+19 i+6 i^{2}}{25-4 i^{2}}=\frac{10+19 i-6}{25+4}=\frac{4+19 i}{29}=\frac{4}{29}+\frac{19}{29} i +$$ +Für komplexe Zahlen gelten einige nützliche Rechengesetze, die in dem nachfolgenden Satz zusammengefasst sind. +Satz 4.1 Für alle $z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z=x+i$ y gelten die folgenden Aussagen: +$\frac{1}{2}-2=3$ +(2) $z \cdot \bar{z}=x^{2}+y^{2}$ (4) $\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$ +(1) $\bar{z}=z$ +(6) $|z|=\sqrt{z \cdot \bar{z}}$ +(3) $\overline{z_{1}+z_{1}}=\bar{z}$ (5) $\overline{1 / z}=1 / \bar{z}$ +(8) $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}$ +(7) $\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot \mid$ (9) $\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$ +(10) $\operatorname{Im}(z)=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})$ +Beweis +Mit Definition $4.4$ und Definition $4.5$ gilt: +(1) $\overline{\bar{z}}=\overline{\overline{x+i y}}=\overline{x-i y}=x+i y=z$. +(2) $z \cdot \bar{z}=(x+i y) \cdot(\overline{x+i y})=(x+i y) \cdot(x-i y)=x^{2}-i^{2} y^{2}=x^{2}+y^{2}$. +(3) Für $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$ folgt +$$ +\begin{aligned} +\overline{z_{1}+z_{1}} &=\overline{x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}}=\overline{x_{1}+x_{2}+i\left(y_{1}+y_{2}\right)} \\ +&=x_{1}+x_{2}-i\left(y_{1}+y_{2}\right)=x_{1}-i y_{1}+x_{2}-i y_{2}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} +\end{aligned} +$$ + +\newpage + + +-55- +(4) Seien $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$. Dann ist einerseits +$$ +\begin{aligned} +\overline{z_{1} \cdot z_{1}} &=\overline{\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)}=\overline{x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)} \\ +&=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}-i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \quad \text { und andererseits } \\ +\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} &=\overline{x_{1}+i y_{1}} \cdot \overline{x_{2}+i y_{2}}=\left(x_{1}-i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}-i y_{2}\right) \\ +&=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}-i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \\ +\Rightarrow \quad \overline{z_{1} \cdot z_{1}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} . +\end{aligned} +$$ +(5) Einerseits ist +$$ +\begin{aligned} +\overline{1 / z} &=\frac{1}{x+i y}=\frac{1}{x+i y} \cdot \frac{x-i y}{x-i y}=\frac{\overline{x-i y}}{x^{2}-i^{2} y^{2}}=\frac{\overline{x-i y}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\bar{x}}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \\ +&=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x+i y}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { und andererseits } \\ +\frac{1}{\bar{z}} &=\frac{1}{\overline{x+i y}}=\frac{1}{x-i y}=\frac{1}{x-i y} \cdot \frac{x+i y}{x+i y}=\frac{x+i y}{x^{2}-i^{2} y^{2}}=\frac{x+i y}{x^{2}+y^{2}} \\ +\Rightarrow \quad \overline{1 / z}=\frac{1}{\bar{z}} . +\end{aligned} +$$ +$$ +\begin{aligned} +&\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)\right|=\left|x_{1} x_{2}+i^{2} y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)\right| \\ +=&\left|x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)\right|=\sqrt{\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)^{2}} \\ +=& \sqrt{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}+\left(y_{1} y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{2}\right)^{2}+2 x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}+\left(x_{2} y_{1}\right)^{2}} \\ +=& \sqrt{x_{1}^{2} x_{2}^{2}+y_{1}^{2} y_{2}^{2}+x_{1}^{2} y_{2}^{2}+x_{2}^{2} y_{1}^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)+y_{1}^{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)} \\ +=& \sqrt{\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| +\end{aligned} +$$ +(8) Seien $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$. Dann ist mit (7) +$\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\left|z_{1} \cdot \frac{1}{z_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{z_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{x_{2}+i y_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{x_{2}+i y_{2}} \cdot \frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}-i y_{2}}\right|$ +$=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}^{2}-i^{2} y_{2}^{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}-i \frac{y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right|$ +$=\left|z_{1}\right| \cdot \sqrt{\frac{x_{2}^{2}}{\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)^{2}}}=\left|z_{1}\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$ +$=\left|z_{1}\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=\left|z_{1}\right| \cdot \frac{1}{\left|z_{2}\right|}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}$. + +\newpage + + +-56- + +(9) $\frac{1}{2}(z+\bar{z})=\frac{1}{2}(x+i y+\overline{x+i y})=\frac{1}{2}(x+i y+x-i y)=x=\operatorname{Re}(z)$. +(10) $\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})=\frac{1}{2 i}(x+i y-(\overline{x+i y}))=\frac{1}{2 i}(x+i y-x+i y)=y=\operatorname{Im}(z)$. +Nach Satz $3.2$ gilt die Dreiecksungleichung $|x+y| \leq|x|+|y|$ für alle reellen Zahle $x, y \in \mathbb{R}$. Ein entsprechendes Analogon existiert auch für komplexe Zahlen. +Satz 4.2 Für zwei beliebige $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ gilt die Dreiecksungleichung +Beweis Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ und $z:=z_{1} \cdot \overline{z_{2}}=x+i y$. Dann folgt mit Satz $4.1$ +Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ und $z:=z_{1} \cdot z_{2}=x+i y .$ Dann folgt mit Satz $4.1$ $$ x \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad \text { wegen } y^{2} \geq 0 $$ +$\Leftrightarrow \quad 2 x \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ +$\Leftrightarrow \quad x+i y+x-i y \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ +$\Leftrightarrow \quad z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+z_{1} \cdot \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} \cdot z_{2}+z_{2} \cdot \overline{z_{2}} \leq z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+2\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|+z_{2} \cdot \overline{z_{2}}$ +$\Leftrightarrow \quad\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot\left(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\right) \leq\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|+\left|z_{2}\right|^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot\left(\overline{z_{1}+z_{2}}\right) \leq\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leq\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$. +Beispiel 38 +Zeigen Sie mithilfe der Dreiecksungleichung aus Satz $4.2$ für komplexe Zahlen +$$ +\| z_{1}|-| z_{2}|| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|, \quad \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} . +$$ +Lösung: +$$ +\begin{gathered} +\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}-z_{2}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|+\left|z_{2}\right| \Leftrightarrow\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| \text { und } \\ +\left|z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{1}+z_{1}\right| \leq\left|z_{2}-z_{1}\right|+\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|+\left|z_{1}\right| \\ +\Leftrightarrow-\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| . +\end{gathered} +$$ +%} +\newpage + +-57- +Insgesamt ergibt sich daraus für die linke Ungleichung $\| z_{1}|-| z_{2}|| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|$. Die rechte Ungleichung folgt aus +$$ +\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{1}+\left(-z_{2}\right)\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|-z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \text {. } +$$ +4.3 Darstellungsformen komplexer Zahlen +Die komplexe Zahl $z=3+2 i$ kann als Punkt oder auch als Pfeil ( Abbildung 4.1) in der Gaußschen Zahlenebene gedeutet werden. Diese Darstellungsform wird auch als kartesische Form bezeichnet, in der der Real- und Imaginärteil sofort ablesbar sind. + +Es besteht aber auch die Möglichkeit, eine komplexe Zahl $z=x+i y \in \mathbb{C}$ dadurch zu kennzeichnen, indem man den Abstand dieser Zahl vom Koordinatenursprung und den Winkel, den der Pfeil mit der positiven reellen Achse einschließt, angibt . Betrachten Sie dazu die folgende Abbildung . + +\begin{tikzpicture} +\draw[-latex] (0,0) -- (5,0) node[below] {Re}; +\draw[-latex] (0 ,0) -- (0,3) node[left] {Im}; + +\draw[dashed] (-0.1, 2) -- (4,2) ; +\node at (-0.3, 2){$y$}; + + +\draw[dashed] (4, -0.1) -- (4,2) ; +\node at (4, -0.3){$x$}; + + +\draw[-latex] (0,0) -- (4,2) node[midway, above, yshift=0.5mm] {$r$}; + +\node at (4, 2.4) {$z=x+iy$}; + +\draw [] (0:1.2) arc [start angle=0, end angle=27, radius=1.2]; + +\draw (15:.9) node[font=\footnotesize] {$\phi 0$}; %höhe, abstand zu y-achse + +\end{tikzpicture} + +Abbildung $4.2$ Polarkoordinaten . +Aus der Abbildung ergeben sich $\operatorname{Re}(z)=x=r \cos \varphi_{0}$ und $\operatorname{Im}(z)=y=r \sin \varphi_{0}$ mit $r:=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann gilt für alle $z=x+i y \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ + +$$ +z=x+i y=r \cos \varphi_{0}+i r \sin \varphi_{0}=r\left(\cos \varphi_{0}+i \sin \varphi_{0}\right) . +$$ +Diese Darstellung der komplexen Zahl heißt Polarkoordinatendarstellung oder manchmal auch trigonometrische Form, die besonders nützlich ist bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen. Gibt man den Winkel $\varphi_{0}$ im Bogenmaß an, dann nennt man den Winkel das Argument der komplexen Zahl und schreibt $\varphi_{0}=\arg (z)$. Beachten Sie, dass dieser Winkel nicht eindeutig ist! Denn die Winkel $\varphi_{k}=\varphi_{0}+2 k \pi$ führen für alle $k \in \mathbb{Z}$ wegen der Periodizität der Sinus- und Cosinusfunktion zur selben komplexen Zahl. Daher wird der Winkel $-\pi<\varphi_{0} \leq \pi$ als Hauptwert des Arguments bezeichnet. Aus der Abbildung $4.2$ lässt sich für den Hauptwert ablesen : +$$ +\varphi_{0}=\left\{\begin{array}{lll} +\arctan \left(\frac{y}{x}\right) & \text { für } & x>0, \\ +\pi+\arctan \left(\frac{y}{x}\right) & \text { für } & x<0, \\ +\frac{\pi}{2} & \text { für } & x=0 \wedge y>0, \\ +-\frac{\pi}{2} & \text { für } & x=0 \wedge y<0 . +\end{array}\right. +$$ + +-57- + +\newpage + + + +-58- + +Bemerkung : +Für $z=0$ ist $\varphi_{0}$ nicht definiert. Man kann in diesem Fall aber $z=0 \cdot\left(\cos \varphi_{0}+i \sin \varphi_{0}\right)$ schreiben mit beliebigen $\varphi_{0} \in(-\pi, \pi]$. + +Es werden jetzt einige spezielle Werte für die Sinus- beziehungsweise Cosinusfunktion hergeleitet, die für die praktische Berechnung besonders nützlich sind. Dazu werden ein gleichseitiges und ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck betrachtet. + +\begin{tikzpicture} + + +\usetikzlibrary{angles,quotes,babel} +\usetikzlibrary{plotmarks} + +%\draw (15:.9) node[font=\footnotesize] {$\phi 0$}; %höhe, abstand zu y-achse + +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (2,0); +\coordinate (C) at (2,4); +\coordinate (D) at (4,0); + +\coordinate (Y) at (0,-0.5); +\coordinate (Z) at (2,-0.5); + + +\draw (A) -- (D); +\draw (A) -- (C) node [midway,left] {$a$}; +\draw (D) -- (C) node [midway, right] {$a$}; +\draw (B) -- (C) node [midway,right,yshift=-4mm] {$h$}; + +% --------------------------------------- +% Schalter um Punkte anzuzeigen +\newcommand\ShowPunkt{%% + \foreach \Punkt in {A, B, C, D}{ + \draw[overlay, thin, color=red, fill=white] plot[only marks, mark=*,mark size=4pt] + coordinates{(\Punkt)} node[shift={(1ex,1ex)}] {$\Punkt$}; + };% +}%% +% ------- + +%\ShowPunkt + +%\draw [] (1.2:2) arc [start angle=0, end angle=27, radius=1.2]; + +\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.5, draw, angle radius=0.5cm}} + +\draw pic ["$60^{\circ}$", anglestyle,angle eccentricity=0.6,angle radius=1cm] {angle = B--A--C} +pic ["$30^{\circ}$", anglestyle, angle eccentricity=0.8, angle radius=2cm] {angle = A--C--B} +pic ["$\cdot$", anglestyle,angle eccentricity=0.6] {angle = C--B--A} +pic ["$60^{\circ}$", anglestyle,angle eccentricity=0.6,angle radius=1cm] {angle = C--D--B}; + +\draw[latex-latex] (Y) -- (Z) node [midway, below]{$\frac{a}{2}$}; +\end{tikzpicture} + +Abbildung 4.3 Gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck. +In diesen Dreiecken ergeben sich die Längen für die Höhe $h$ und für die Hypotenuse $c$ mit dem Satz von Pythagoras zu +$$ +h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2} \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2} a \text { und } c^{2}=a^{2}+a^{2} \quad \Rightarrow \quad c=\sqrt{2} a . +$$ +Mit den aus der Schule her bekannten Formeln $\sin \alpha=\frac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }}$ und $\cos \alpha=\frac{\text { Ankathete }}{\text { Hypotenuse }}$ folgen die nützlichen Beziehungen +$$ +\sin \left(30^{\circ}\right)=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}, \quad \sin \left(45^{\circ}\right)=\frac{a}{\sqrt{2} a}=\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad \sin \left(60^{\circ}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, +$$ +$$ +\cos \left(30^{\circ}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad \cos \left(45^{\circ}\right)=\frac{a}{\sqrt{2} a}=\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad \cos \left(60^{\circ}\right)=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2} . +$$ + +Mit der Formel $\varphi=\frac{\pi}{180^{\circ}} \alpha$ lassen sich Winkel, die im Gradmaß $\alpha$ gegeben sind, in die entsprechenden Winkel $\varphi$ im Bogenmaß umrechnen. Man erhält schließlich die leicht zu merkende Zusammenstellung in Form der folgenden Tabelle. +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} +\hline$\alpha$ & $0^{\circ}$ & $30^{\circ}$ & $45^{\circ}$ & $60^{\circ}$ & $90^{\circ}$ \\ +\hline$\varphi$ & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ +\hline $\sin$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ & 1 \\ +\hline $\cos$ & 1 & $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ +\hline +\end{tabular} + + + +-58- + + +\newpage + + +-59- + +Beispiel 39 +Stellen Sie die komplexen Zahlen $z_{1}=1, z_{2}=-1, z_{3}=-i$ und $z_{4}=1+i$ in Polarkoordinaten dar. +Lösung: +- Für $z_{1}=1$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=0$. Also gilt $z_{1}=1=1 \cdot[\cos (0)+i \sin (0)]$. +- Für $z_{2}=-1$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=\pi$. Also gilt $z_{2}=-1=1 \cdot[\cos (\pi)+i \sin (\pi)]$. +- Für $z_{3}=-i$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=-\frac{\pi}{2}$. Also gilt unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften für die trigonometrischen Funktionen +$$ +z_{3}=-i=1 \cdot\left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) . +$$ +- Für $z_{4}=1+i$ ist $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ und $\varphi_{0}=\frac{\pi}{4}$. Also gilt +$$ +z_{4}=1+i=\sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right] +$$ +Bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten treten Produkte von trigonometrischen Funktionen auf, die mit den sogenannten Additionstheoremen vereinfacht werden können . Betrachten Sie dazu die folgende Abbildung im Einheitskreis $(r=1)$. + +\begin{tikzpicture}[scale=7] +\tkzInit + \tkzDefPoint(-0.2,0){X} + \tkzDefPoint(1.2,0){Y} + %__\tkzDefPointBy[rotation= center A angle 60](B) \tkzGetPoint{C} + \tkzDefPoint(0,0){O} + %\tkzDrawPoint[size=5,color=green](O) + \tkzDefPoint(0,-0.14){O1} + + \tkzDefPoint(0.64,0){P} + %\tkzDrawPoint[size=5,color=blue](P) + + \tkzDefPoint(0.64,-0.10){P1} + + + \tkzDefPoint(0.64,0.77){A} + \%tkzDrawPoint[size=5,color=yellow](A) + + \tkzDefPoint(0.9,0.335){B} + %\tkzDrawPoint[size=5,color=red](B) + + \tkzDefPoint(0.9,0){Q} + + + \tkzDefPoint(0.9,-0.1){Q1} + \tkzDefPoint(0.9,-0.14){Q2} + +\tkzDefPoint(0.64,0.335){T} + \tkzDefPoint(1,0){S} + \tkzDefPoint(0.94,0.35){B2} + + \tkzDrawLine[add=0 and 0](X,Y) + \tkzDrawLine[add=0 and 0](O,B2) + \tkzDrawArc[rotate,color=red](O,S)(75) + \tkzDrawPolygon(O,P,A) + \tkzDrawPolygon(P,Q,B,T) + \tkzDrawPolygon(A,T,B) + + \tkzDrawArc[color=blue,scale=0.3](O,Q)(B) + \tkzDrawArc[color=green!50!black,scale=0.3](O,B)(A) + \tkzDrawArc[color=blue!50!black,scale=0.4](A,T)(B) + \tkzLabelAngle[pos = .18](Q,O,B){$\alpha$} + \tkzLabelAngle[pos = .18](B,O,A){$\beta$} + \tkzLabelAngle[pos = .12](T,A,B){$\alpha$} + \tkzLabelPoints(B,O,P,Q) + \tkzLabelPoints[above](A) + \tkzLabelPoints[left](T) + + \tkzLabelSegments[swap,left=1mm](O,A){$r=1$} + + \tkzLabelSegments[swap,left](A,T){$y$} + + \tkzLabelSegments[swap,right](B,Q){$x$} + + %\tkzDrawPolygon(B,T,A) + \draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=B--T--A}; + + \draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=A--B--O}; + + \draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=A--P--O}; + + \draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=B--Q--P}; + + +\tkzDrawLine[<->, >=latex' ,add=0 and 0](P1,Q1) + +\tkzLabelLine[above](P1,Q1){$v$} + +\tkzDrawLine[<->, >=latex' ,add=0 and 0](O1,Q2) + +\tkzLabelLine[above](O1,Q2){$u$} + + % \draw[<->, shorten >=1pt, >=latex'] (P1) -- (Q1) node[swap,below] {$v$}; + + +\end{tikzpicture} + + + +Abbildung 4.4 Einheitskreis. $\overline{A B}=\sin \beta$ ablesen. +- Im Dreieck $O Q B$ gilt einerseits $\cos \alpha=\frac{u}{O B}=\frac{u}{\cos \beta} \Rightarrow u=\cos \alpha \cos \beta$ und andererseits $\sin \alpha=\frac{x}{O B}=\frac{x}{\cos \beta} \Rightarrow x=\sin \alpha \cos \beta$. +- Im Dreieck TBA gilt einerseits $\cos \alpha=\frac{y}{A B}=\frac{y}{\sin \beta} \Rightarrow y=\cos \alpha \sin \beta$ und andererseits $\sin \alpha=\frac{v}{A B}=\frac{v}{\sin \beta} \Rightarrow v=\sin \alpha \sin \beta$. + +-59- + +\newpage + + +-60- + +Damit ergeben sich aus dem Dreieck OPA die zwei wichtigen Additionstheoreme $\sin (\alpha+\beta)=x+y=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$ und $\cos (\alpha+\beta)=u-v=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$. +Beispiel $\mathbf{4 0}$ +Gegeben seien in Polarkoordinaten die komplexen Zahlen $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)$ und $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$. Bestimmen Sie das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ sowie den Quotienten $\frac{z_{1}}{z_{2}}$. +Lösung: +Mit den eben hergeleiteten Additionstheoremen gilt +$$ +\begin{aligned} +z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} r_{2}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right) \\ +&=r_{1} r_{2}\left[\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+i\left(\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}\right)\right] \\ +&=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right] \quad \text { und } \\ +\frac{z_{1}}{z_{2}} &=\frac{r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)}{r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}}{\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{2}-i \sin \varphi_{2}}{\cos \varphi_{2}-i \sin \varphi_{2}} \\ +&=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)}{\underbrace{\cos ^{2} \varphi_{2}+\sin ^{2} \varphi_{2}}_{=1}} \\ +&=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right] +\end{aligned} +$$ +Aus diesem Beispiel lassen sich jetzt zwei fundamentale Eigenschaften ablesen : +- Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Argumente ! +- Bei der Division zweier komplexer Zahlen dividieren sich die Beträge und subtrahieren sich die Argumente ! +Beispiel 41 +Gegeben seien $z_{1}=2+2 i$ und $z_{2}=\sqrt{3}-i$. Bestimmen Sie ohne Benutzung eines elektronischen Rechners das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ in Polarkoordinaten. +Lösung: +Mithilfe der Tabelle für die speziellen Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen ergeben sich in Polarkoordinaten für $z_{1}$ und $z_{2}$ zunächst +$$ +\begin{aligned} +&z_{1}=2+2 i=2 \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=2 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \text { und } \\ +&z_{2}=\sqrt{3}-i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right]=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] . +\end{aligned} +$$ + +-60- + +\newpage + + +-61- + +Für das Produkt erhält man also +$$ +z_{1} \cdot z_{2}=2 \cdot 2 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right]=4 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)\right] +$$ +Es gibt noch eine dritte Darstellungsform für komplexe Zahlen, die sogenannte Exponentialform, die sich ebenfalls besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen eignet. +Eine Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktion $e^{i \varphi}$ ergibt durch Vergleich mit den Reihenentwicklungen von $\cos \varphi$ und $\sin \varphi$ die sogenannte Eulersche Formel, die nach dem Mathematiker Leonhard Euler $(1707-1783)^{*}$ benannt ist. +Satz 4.3 Für alle $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt die Eulersche Formel +$\cos \varphi+i \sin \varphi=e^{i \varphi}$ +Der Beweis dieses Satzes folgt erst an späterer Stelle im Band 3 Abschnitt $3.5$ über elementare Funktionen, weil dazu Mittel aus der Differenzialrechnung benötigt werden. +Beispiel 42 +Mit der Eulerschen Formel ergeben sich beispielsweise die speziellen Werte: +$$ +\begin{aligned} +e^{i \cdot 0} &=\cos (0)+i \sin (0)=1, & e^{i \frac{\pi}{2}}=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=i \\ +e^{i \pi} &=\cos (\pi)+i \sin (\pi)=-1, & e^{i \frac{3 \pi}{2}}=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-i \\ +e^{i 2 \pi} &=\cos (2 \pi)+i \sin (2 \pi)=1 . & +\end{aligned} +$$ +Mit Satz $4.3$ lässt sich jede in Polarkoordinaten gegebene komplexe Zahl schreiben als +$$ +z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi} +$$ +wobei $z=r e^{i \varphi}$ als Exponentialform bezeichnet wird. +Beispiel 43 +Schreiben Sie die komplexe Zahl $z=1+i$ in die Exponentialform. +Lösung: +Mit $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ und $\varphi=\arctan \left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}$ gilt $z=1+i=\sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$. +*) Leonhard Euler, schweizer Mathematiker und Physiker, geb. 15. April 1707 in Basel, gest. 18. September 1783 in Sankt Petersburg. Zu seinen besonderen Leistungen zählen Arbeiten zur Variationsrechnung, Differenzial- und Integralrechnung sowie Arbeiten in der Hydromechanik und Kreiseltheorie. + +-61- + +\newpage + + + +-62- + +Beispiel 44 +Gegeben seien die komplexen Zahlen in Polarkoordinaten $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \cdot \sin \varphi_{1}\right)$ und $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$. Bestimmen Sie das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ sowie den Quotienten $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in Exponentialform. +Lösung: +Mit den Ergebnissen aus dem Beispiel 40 erhält man +$$ +\begin{gathered} +z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right]=r_{1} r_{2} e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=r_{1} e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} e^{i \varphi_{2}}, \\ +\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right]=\frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}=\frac{r_{1} e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} e^{i \varphi_{2}}} . +\end{gathered} +$$ +Satz 4.4 Für alle $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt +$$ +\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right) \quad \text { und } \sin \varphi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right) +$$ +Beweis +Mit der Eulerschen Formel aus Satz $4.3$ sowie den Symmetrieeigenschaften der Cosinusund Sinusfunktion $\cos (-\varphi)=\cos \varphi$ beziehungsweise $\sin (-\varphi)=-\sin \varphi$ folgt: +$$ +\begin{aligned} +e^{i \varphi} &=\cos \varphi+i \sin \varphi \\ +e^{-i \varphi} &=\cos (-\varphi)+i \sin (-\varphi)=\cos \varphi-i \sin \varphi +\end{aligned} +$$ +Addition der Gleichungen ( $i$ ) und (ii) ergibt +$$ +2 \cos \varphi=e^{i \varphi}+e^{-i \varphi} \Leftrightarrow \cos \varphi=\frac{1}{2}\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right) . +$$ +Subtrahiert man von der Gleichung (i) die Gleichung (ii), dann folgt sofort +$$ +2 i \sin \varphi=e^{i \varphi}-e^{-i \varphi} \quad \Leftrightarrow \quad \sin \varphi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right) . +$$ +4.4 Ganzzahlige Potenzen komplexer Zahlen +Mit der Einführung der Multiplikation und Division hat man automatisch auch ganzzahlige Potenzen komplexer Zahlen definiert. Man erhält diese, indem man die Zahl $z$ mehrmals hintereinander mit sich selbst multipliziert beziehungsweise indem man mehrmals hintereinander durch die Zahl $z$ dividiert. + +-62- + +\newpage + + +-63- + +Beispiel 45 +Bestimmen Sie $i^{n}$ für alle $n \in \mathbb{Z}$. +Lösung : +Mit der Definition $i^{2}=-1$ ergeben sich die Potenzen der imaginären Einheit zu: +$$ +\begin{aligned} +i^{1} &=i & i^{-1} &=\frac{1}{i}=\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i \\ +i^{2} &=-1 & i^{-2} &=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1 \\ +i^{3} &=i^{2} \cdot i=-1 \cdot i=-i & i^{-3} &=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{i^{2}} \cdot \frac{1}{i}=-1 \cdot(-i)=i \\ +i^{4} &=i^{3} \cdot i=-i \cdot i=-i^{2}=1 & i^{-4} &=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{i^{3}} \cdot \frac{1}{i}=i \cdot(-i)=-i^{2}=1 \\ +i^{5} &=i^{4} \cdot i=1 \cdot i=i & i^{-5} &=\frac{1}{i^{5}}=\frac{1}{i^{4}} \cdot \frac{1}{i}=1 \cdot(-i)=-i +\end{aligned} +$$ +Mit der Definition $i^{0}:=1$ lassen sich die ganzzahligen Potenzen der imaginären Einheit für alle $k \in \mathbb{Z}$ darstellen als +$$ +i^{4 k}=1, \quad i^{4 k+1}=i, \quad i^{4 k+2}=-1, \quad i^{4 k+3}=-i +$$ +Für ein beliebiges $z \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$ ist die Berechnung der ganzzahligen Potenzen $z^{n}$ nach diesem Verfahren im allgemeinen recht aufwendig. Wandelt man die komplexe Zahl $z=x+i y$ in die zugehörige Polarkoordinatendarstellung $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ um, dann lassen sich die Potenzen mit der Moivreschen Formel, die nach dem Mathematiker Abraham de Moivre $(1667-1754)^{*}$ benannt ist, wesentlich einfacher bestimmen . +Satz $4.5$ Für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt die Formel von Moivre +$$ +z^{n}=[r(\cos \varphi+i \sin \varphi)]^{n}=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]=r^{n} e^{i n \varphi} +$$ +Beweis +Im Beispiel 40 wurde gezeigt, dass sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarkoordinatenform die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren . Dann gilt für $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ +*) Abraham de Moivre, französischer Mathematiker, geb. 26. Mai 1667 in Vitry-le-François, gest. 27. November 1754 in London. + +-63- + +\newpage + + +-64- + +$$ +\begin{aligned} +z^{2} &=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r^{2}[\cos (2 \varphi)+i \sin (2 \varphi)] \\ +z^{3} &=z^{2} \cdot z=r^{2}[\cos (2 \varphi)+i \sin (2 \varphi)] \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \\ +&=r^{3}[\cos (3 \varphi)+i \sin (3 \varphi)], \\ +& \vdots \\ +z^{n} &=z^{n-1} \cdot z=r n-1[\cos ((n-1) \varphi)+i \sin ((n-1) \varphi)] \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \\ +&=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)], \quad \forall n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +$$ +Beispiel 46 +Berechnen Sie $z^{12}$ für $z=2+2 i$. +Lösung : +Zunächst ist $r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}$ und $\varphi=\arctan \left(\frac{2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$. Also gilt $z=2 \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$ und mit Satz $4.5$ folgt schließlich +$$ +z^{12}=(2 \sqrt{2})^{12} \cdot e^{i \frac{12 \pi}{4}}=2^{18} \cdot e^{i 3 \pi}=2^{18}[\underbrace{\cos (3 \pi)}_{=-1}+i \underbrace{\sin (3 \pi)}_{=0}]=-2^{18} . +$$ +Beispiel 47 +Berechnen Sie $z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ in der Exponentialform. +Lösung : +Mit Satz $4.5$ und $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ sowie den Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen gilt +$$ +\begin{aligned} +z^{-n} &=\frac{1}{z^{n}}=\frac{1}{r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]} \\ +&=\frac{1}{r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]} \cdot \frac{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)}{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)} \\ +&=\frac{1}{r^{n}} \cdot \underbrace{\frac{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)}{\cos ^{2}(n \varphi)+\sin ^{2}(n \varphi)}}_{=1}=r-n[\cos (n \varphi)-i \sin \\ +&=\underbrace{-n}[\cos (-n \varphi)+i \sin (-n \varphi)]=r^{-n} \cdot e^{-i n \varphi} . +\end{aligned} +$$ +Definiert man schließlich noch $z^{0}:=1$, dann gilt $z^{n}=r^{n} e^{i n \varphi}$ offensichtlich für alle ganzzahligen Potenzen $n \in \mathbb{Z}$. + +-64- + +\newpage + + +-65- + +4.5 Allgemeine reelle Potenzen komplexer Zahlen +Bleibt jetzt noch die Frage zu klären, wie man Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten berechnet. Dabei sind von besonderem Interesse Exponenten der Form $\frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$, also die Wurzeln aus komplexen Zahlen . +Definition 4.6 Für jedes $\alpha \in \mathbb{R}$ und $z=r e^{i \varphi}$ ist $z^{\alpha}$ die Menge +$$ +z^{\alpha}:=\left\{w_{k} \in \mathbb{C} \mid w_{k}=r^{\alpha} e^{\alpha(\varphi+2 k \pi) i}, k \in \mathbb{Z}\right\} +$$ +Die Auswertung dieser Definition erfordert die Betrachtung von vier Fällen . +1. Fall Für $\alpha=n \in \mathbb{Z}$ gilt +$$ +w_{k}=r^{n} e^{n(\varphi+2 k \pi) i}=r^{n} e^{i n \varphi} \underbrace{e^{i 2 k n \pi}}_{=1}=r^{n} e^{i n \varphi}=: w_{0} . +$$ +Die Potenz $z^{n}$ ist also eindeutig und in diesem Fall besteht die Menge nur aus dem einen Element $w_{0}$. +2. Fall Für $\alpha=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$ ist $z^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{z}$. Dann gilt für alle $k \in \mathbb{Z}$ +$$ +\begin{gathered} +w_{k}=r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{1}{n}(\varphi+2 k \pi) i}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2 k \pi}{n} i} \text { und } \\ +w_{n+k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2(n+k) \pi}{n} i}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot \underbrace{e^{2 \pi i}}_{=1} \cdot e^{\frac{2 k \pi}{n} i}=w_{k} . +\end{gathered} +$$ +Beachten Sie, dass die Potenz $z^{\frac{1}{n}}$ nicht mehr eindeutig definiert ist! Wegen der Periodizität $w_{n+k}=w_{k}$ gibt es genau $n$ verschiedene Lösungen +$$ +w_{0}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i}, \quad w_{1}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2 \pi}{n} i}, \ldots, w_{n-1}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2(n-1) \pi}{n} i} . +$$ +Dabei heißt die Lösung $w_{0}$ der Hauptwert von $\sqrt[n]{z}$. +Bemerkung: +Die komplexwertige Abbildung $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto f(z)=\sqrt[n]{z}$ ist daher keine klassische Funktion! +3. Fall Für $\alpha=\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$ mit $m \in \mathbb{Z}$ und $n \in \mathbb{N}$ wird $z^{\frac{m}{n}}:=\left(z^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ definiert! Beachten Sie, dass im Allgemeinen $\left(z^{\frac{1}{n}}\right)^{m} \neq\left(z^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ ist, wie das folgende Beispiel für $m=n=2$ zeigt ! +Für $z=-1$ ist $r=1$ und $\varphi=\pi$. Dann gilt einerseits +$$ +z^{\frac{1}{2}}=\left\{w_{0}, w_{1}\right\}=\left\{e^{\frac{\pi}{2} i}, e^{\frac{3 \pi}{2} i}\right\}=\{i,-i\} . +$$ +Die Potenz $\left(z^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\{i,-i\}^{2}$ ist aber nicht definiert! + +-65- + +\newpage + + +-66- + +Für $z^{2}=1$ ist $r=1$ und $\varphi=0$. Dann ergibt sich andererseits +$$ +\left(z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left\{w_{0}, w_{1}\right\}=\left\{e^{0 \cdot i}, e^{\pi i}\right\}=\{1,-1\} \neq z \quad \Rightarrow \quad\left(z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \neq\left(z^{\frac{1}{2}}\right)^{2} . +$$ +4. Fall Für irrationales $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ hat die Menge $z^{\alpha}$ unendlich viele Elemente. +Bemerkung: +Die reelle Wurzel $\sqrt[n]{x}$ liefert für alle $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$eine eindeutige Lösung, während die komplexe Wurzel $\sqrt[n]{z}$ für alle $z \in \mathbb{C}$ (insbesondere auch für den Fall $z=x+i \cdot 0$ ) eine Menge von $n$ Elementen liefert. +Beispiel 48 +Skizzieren Sie die Menge $\sqrt[3]{i}$ in der Gaußschen Zahlenebene. +Lösung : +Für $z=i$ ist $r=1$ und $\varphi=\frac{\pi}{2}$. Dann ergibt sich mit der Definition $4.6$ +$$ +\begin{aligned} +\sqrt[3]{i} &=\left\{w_{k} \in \mathbb{C} \mid w_{k}=e^{\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right) i}, k \in\{0,1,2\}\right\}=\left\{e^{\frac{\pi}{6} i}, e^{\frac{5 \pi}{6} i}, e^{\frac{3 \pi}{2} i}\right\} \\ +&=\left\{\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} i,-\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} i,-i\right\}=\left\{w_{0}, w_{1}, w_{2}\right\} . +\end{aligned} +$$ +Alle Elemente der Menge $\sqrt[3]{i}$ liegen auf dem Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene. Der Winkel zwischen zwei beliebigen Elementen beträgt jeweils $\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{3}$. +4.6 Komplexe Gleichungen und Ungleichungen +Weil die komplexen Zahlen nicht vollständig geordnet sind, sind Ungleichungen für komplexe Zahlen nicht erklärt. Beispielsweise kann für die komplexen Zahlen $z_{1}=1+i$ und $z_{2}=2+2 i$ nicht entschieden werden ob $z_{1}0$ in der komplexen Ebene liegen, so hat es keinen Sinn, nach einer kleinsten oder größten komplexen Zahl in dieser Menge zu suchen. + +-66- + +\newpage + + +-67- + +Da der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl reell ist, sind Ungleichungen zwischen Beträgen komplexer Zahlen natürlich möglich. Betrachten Sie dazu das folgende +Beispiel 49 +Bestimmen Sie die Lösungsmenge $L=\{z \in \mathbb{C}|| z-1 \mid<1\} \subset \mathbb{C}$ und skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene. +Lösung : +Sei $z=x+i y$. Dann ergibt sich durch äquivalente Umformungen: +$|z-1|<1$ +$\Leftrightarrow \quad|x+i y-1|<1$ +$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<1 \quad \mid()^{2}$ +$\Leftrightarrow \quad(x-1)^{2}+y^{2}<1$ +Die Lösungsmenge $L$ besteht also aus allen komplexen Zahlen, die in der Gaußschen Zahlenebene innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt $M(1 \mid 0)$ und dem Radius $r=1$ liegen, wobei die Randpunkte des Kreises nicht zur Lösungsmenge gehören . + +Betrachten Sie für $z \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$ die komplexe Gleichung $z^{n}=1$, die wie aus weiter unten ersichtlichen Gründen auch als Kreisteilungsgleichung bezeichnet wird. Die Frage ist nun, wie viele reelle und komplexe Lösungen hat diese Gleichung? Unter Verwendung von Polarkoordinaten und Satz $4.5$ kann diese Gleichung überführt werden in die äquivalente Form +$$ +z^{n}=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]=1 \cdot[\cos (0)+i \sin (0)] +$$ +Dann folgt durch Vergleich von Real- und Imaginärteil sofort $r=1$ und wegen der Periodizität der Sinus - und Cosinusfunktion $n \varphi=0+2 k \pi \Leftrightarrow \varphi=\frac{2 k \pi}{n}$ für alle $k \in \mathbb{Z}$. Weil aber $\frac{2(k+n) \pi}{n}=\frac{2 k \pi}{n}+2 \pi$ als Argument dieselbe komplexe Zahl liefert wie das Argument $\varphi=$ $\frac{2 k \pi}{n}$, gibt es genau $n$ verschiedene Lösungen $z_{k}=e^{\frac{2 k \pi}{n} i}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$. Die Lösungen $\left\{z_{0}, z_{1}, \ldots, z_{n-1}\right\}=\sqrt[n]{1}$ der Kreisteilungsgleichung $z^{n}=1$ bezeichnet man als die $n$ - ten Einheitswurzeln. Sie entstehen nacheinander durch Drehung der Wurzel $z_{0}=1$ um jeweils den Winkel $\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{n}$ auf dem Einheitskreis und bilden somit die Ecken eines regelmäßigen $n$ - Ecks. Vergleichen Sie dazu auch die Abbildung aus dem Beispiel 48 . + +-67- + + +\newpage + + +-68- + +Satz $4.6$ Seien $z, w \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$. +Dann hat die Gleichung $z^{n}=w:=r e^{i \varphi}$ die $n$ verschiedenen Lösungen +$z_{k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{n}} i \quad$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$ +Beweis +Sei $z:=r_{z} \cdot e^{i \phi}$ in der Exponentialform gegeben. Mit Satz $4.5$ sowie der gleichen Argumentation wie bei der eben behandelten Kreisteilungsgleichung folgt +$$ +z^{n}=r e^{i \varphi} \Leftrightarrow r_{z}^{n} e^{i n \phi}=r e^{i \varphi} \Rightarrow r_{z}=\sqrt[n]{r} \quad \text { und } \quad \phi_{k}=\frac{\varphi+2 k \pi}{n} +$$ +Also lauten die $n$ Lösungen $z_{k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{n}} i$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$. +Beispiel 50 +Wie muss eine Zahl $w \in \mathbb{C}$ beschaffen sein, damit je zwei ihrer vierten Wurzeln konjugiert komplex sind? Wie lauten die Lösungen in diesem Fall in kartesischen Koordinaten? Skizzieren Sie die vier Lösungen in der komplexen Ebene. +Lösung : +Aus dem Ansatz $z^{4}=w=r e^{i \varphi}$ und Satz $4.6$ folgen die vier Lösungen +$$ +z_{0}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{4} i}, \quad z_{1}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 \pi}{4} i}, \quad z_{2}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+4 \pi}{4} i}, \quad z_{3}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+6 \pi}{4} i} . +$$ +Diese vier Lösungen bilden in der komplexen Ebene ein regelmäßiges Viereck, das im Kreis mit Mittelpunkt $M(0 \mid 0)$ und Radius $R=\sqrt[4]{r}$ einbeschrieben ist. Aus den Bedingungen $\bar{z}_{0}=z_{3}$ und $\bar{z}_{1}=z_{2}$ folgen für die Argumente die beiden Gleichungen +$$ +-\frac{\varphi}{4}=\frac{\varphi+6 \pi}{4} \quad \text { und } \quad-\frac{\varphi+2 \pi}{4}=\frac{\varphi+4 \pi}{4} \text {, } +$$ +die im Intervall $[0,2 \pi$ ) offenbar nur für die Lösung $\varphi=\pi$ erfüllt werden. Folglich lauten die vier Lösungen in kartesischen Koordinaten + +-68- + +\newpage + + + +-69- +$$ +\begin{aligned} +&z_{0}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad z_{1}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{3 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ +&z_{2}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{5 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\bar{z}_{1}, \quad z_{3}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{7 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\bar{z}_{0} +\end{aligned} +$$ +4.7 Polynome im Komplexen +In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Nullstellen von Polynomen mit komplexen Koeffizienten bestimmt. Dazu vorab die +Definition $4.7$ Seien $z \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}$ und $a_{k} \in \mathbb{C}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$ mit $a_{n} \neq 0$. Dann heißt +$$ +p(z):=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+\ldots+a_{n} z^{n} +$$ +komplexes Polynom $n$-ten Grades. +Beispiel $\mathbf{5 1}$ +- $p(z)=i z+3-i \quad$ ist ein komplexes Polynom ersten Grades. +- $p(z)=z^{2}+(1+i) z$ ist ein komplexes Polynom zweiten Grades. +- $p(z)=3(z+i)(z+2)(z+i+1)$ ergibt durch ausmultiplizieren +$$ +\begin{aligned} +p(z) &=3(z+i)(z+2)(z+i+1)=(3 z+3 i)\left[z^{2}+(3+i) z+2+2 i\right] \\ +&=3 z^{3}+(9+3 i) z^{2}+(6+6 i) z+3 i z^{2}+(-3+9 i) z-6+6 i \\ +&=3 z^{3}+(9+6 i) z^{2}+(3+15 i) z-6+6 i +\end{aligned} +$$ +ein komplexes Polynom dritten Grades. +Definition $4.8$ Sei $p(z)$ ein komplexes Polynom $n$-ten Grades. Dann heißt die $Z a h l z_{k} \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle von $p$, falls $p\left(z_{k}\right)=0$ ist. +Das dritte Polynom $p(z)=3(z+i)(z+2)(z+i+1)$ aus dem Beispiel 51 hat offensichtlich die drei Nullstellen $z_{1}=-i, z_{2}=-2$ und $z_{3}=-1-i$, weil dann einer der drei Linearfaktoren null ist. Dagegen lassen sich in der ausmultiplizierten Form +$$ +p(z)=3 z^{3}+(9+6 i) z^{2}+(3+15 i) z-6+6 i +$$ +die Nullstellen nicht ohne weiteres ablesen. +Die entscheidende Frage ist jetzt, wie viele Nullstellen hat ein komplexes Polynom $n$-ten Grades? Die Antwort gibt der folgende wichtige Fundamentalsatz der Algebra, der mit den momentan zur Verfügung stehenden Mitteln nicht bewiesen werden kann. Der Beweis wird in Band 11 Abschnitt $5.1$ nachgeholt werden! + + +-69- + + +\newpage + + + +-70- + +Satz $4.7$ Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n \geq 1$, dann gibt es eine bis aut die Reihenfolge eindeutige Linearfaktorzerlegung +$$ +p(z)=a_{n}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(z-z_{n}\right) +$$ +Bemerkung: +- Aus diesem Satz folgt sofort, dass jedes komplexe Polynom vom Grade $n$ genau $n$ Nullstellen hat, weil jeder Linearfaktor eine Nullstelle liefert. Diese Nullstellen müssen aber nicht notwendigerweise verschieden sein. Mehrfache Nullstellen muss man entsprechend ihrer Vielfachheit zählen . +- Beachten Sie, dass der Fundamentalsatz der Algebra keine Aussagen darüber macht wie man zu einer derartigen Linearfaktorzerlegung kommt, sondern nur dass eine solche Linearfaktorzerlegung existiert. Die Berechnung der Nullstellen ist im Allgemeinen ein äußerst anspruchsvolles mathematisches Problem, das nur in wenigen Ausnahmefällen algebraisch lösbar ist . In den meisten Fällen ist man auf numerische Verfahren angewiesen um die Nullstellen zu berechnen. +Beispiel 52 +Das Polynom $p(z)=2(z-i)(z-i)(z+3)(z+i)(z-3)$ hat die doppelte Nullstelle $z_{1}=i$ und die drei einfachen Nullstellen $z_{2}=-3, z_{3}=-i$ und $z_{4}=3$. +Eine interessante Tatsache für die Nullstellen eines komplexen Polynoms liefert der +Satz 4.8 Sei $p(z):=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+\ldots+a_{n} z^{n}$ ein komplexes Polynom $n$-ten Grades. Falls die Koeffizienten $a_{k}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$ reell sind und $z_{0}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$ ist, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl $\overline{z_{0}}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$. +Beweis +Weil nach Voraussetzung das Polynom nur reelle Koeffizienten hat, gilt $\overline{a_{k}}=a_{k}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$. Sei $z_{0} \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle von $p$, also $p\left(z_{0}\right)=0$. Dann ergibt sich mit den Regeln der Konjugation komplexer Zahlen ( Satz 4.1) +$$ +\begin{aligned} +0 &=p\left(z_{0}\right)=\overline{p\left(z_{0}\right)}=\overline{a_{0}+a_{1} z_{0}+a_{2} z_{0}^{2}+a_{3} z_{0}^{3}+\ldots+a_{n} z_{0}^{n}} \\ +&=\overline{a_{0}}+\overline{a_{1} z_{0}}+\overline{a_{2} z_{0}^{2}}+\overline{a_{3} z_{0}^{3}}+\ldots+\overline{a_{n} z_{0}^{n}} \\ +&=\overline{a_{0}}+\overline{a_{1}} \cdot \overline{z_{0}}+\overline{a_{2}} \cdot \overline{z_{0}^{2}}+\overline{a_{3}} \cdot \overline{z_{0}^{3}}+\ldots+\overline{a_{n}} \cdot \overline{z_{0}^{n}} \\ +&=a_{0}+a_{1} \cdot \overline{z_{0}}+a_{2} \cdot \overline{z_{0}^{2}}+a_{3} \cdot \overline{z_{0}^{3}}+\ldots+a_{n} \cdot \overline{z_{0}^{n}} \\ +&=a_{0}+a_{1} \cdot \overline{z_{0}}+a_{2} \cdot \overline{z_{0}} 2+a_{3} \cdot \overline{z_{0}} 3+\ldots+a_{n} \cdot \overline{z_{0}} n=p\left(\overline{z_{0}}\right) +\end{aligned} +$$ + +-70- + +\newpage + + +-71- + +Im Folgenden soll nun gezeigt werden, wie man die Nullstellen von speziell ausgewählten komplexen Polynomen ermittelt und somit die Linearfaktordarstellung aus Satz $4.7$ erhält. +Lineare Gleichung: +Für alle $a_{0}, a_{1} \in \mathbb{C}$ mit $a_{1} \neq 0$ lässt sich die lineare Gleichung $a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu +$$ +a_{1} z+a_{0}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{1}\left(z+\frac{a_{0}}{a_{1}}\right)=0 . +$$ +Also ist $z=-\frac{a_{0}}{a_{1}}$ die einzige mögliche Nullstelle. +Beispiel 53 +Die Nullstelle der linearen Gleichung $(1+i) z+2-i=0$ ist +$$ +z=-\frac{2-i}{1+i}=-\frac{2-i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=-\frac{2-2 i-i+i^{2}}{1-i^{2}}=-\frac{1-3 i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i . +$$ +Quadratische Gleichung: +Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{C}$ mit $a_{2} \neq 0$ lässt sich zunächst die allgemeine quadratische Gleichung $a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu +$$ +a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{2}\left(z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{2}} z+\frac{a_{0}}{a_{2}}\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{2}\left(z^{2}+b z+c\right)=0 +$$ +mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{1}}{a_{2}}$ und $c:=\frac{a_{0}}{a_{2}}$. Um die Lösungen von $z^{2}+b z+c=0 \mathrm{zu}$ finden, unterscheidet man in der praktischen Rechnung drei verschiedene Fälle. +1) Für $b=0$ folgt $z^{2}+c=0 \Leftrightarrow z^{2}=-c$. Für den Spezialfall $c \in \mathbb{R}$ ergeben sich die beiden Lösungen $z_{1,2}=\pm \sqrt{c} i$ falls $c>0$ und $z_{1,2}=\pm \sqrt{-c}$ falls $c \leq 0$ ist. Für alle $c \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ ergeben sich mit Satz $4.6$ prinzipiell die beiden Lösungen +$$ +z_{1}=\sqrt{|c|} \cdot e^{\frac{\varphi}{2} i} \quad \text { und } \quad z_{2}=\sqrt{|c|} \cdot e^{\frac{\varphi+2 \pi}{2} i} . +$$ +Diese Lösungen lassen sich allerdings auch auf einem anderen Weg finden, indem man für $z$ den Ansatz $z=x+i y$ macht. Dann folgt mit $-c:=\alpha+i \beta$ durch Vergleich von Real- und Imaginärteil das Gleichungssystem $z^{2}=(x+i y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2 x y i=\alpha+\beta i \quad \Rightarrow \quad x^{2}-y^{2}=\alpha \quad$ und $\quad 2 x y=\beta$, aus denen $x$ beziehungsweise $y$ leicht bestimmt werden können. +2) Für $c=0$ folgen aus $z^{2}+b z=0 \Leftrightarrow z(z+b)=0$ die beiden Lösungen $z_{1}=0$ und $z_{2}=-b$. +3) Für $b, c \neq 0$ folgt durch binomische Ergänzung wieder der erste Fall +$$ +\begin{gathered} +z^{2}+b z+c=z^{2}+b z+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+c=\left(z+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+c=0 \\ +\Leftrightarrow\left(z+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-c . +\end{gathered} +$$ + +-71- + +\newpage + + + +-72- + +Beispiel 54 +Finden Sie jeweils die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen . +a) $z^{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2} i=0$ +b) $i z^{2}+(2-i) z=0$ +c) $z^{2}-(1-2 i) z-3-i=0$ +Lösung: +a) Mit dem Ansatz $z=x+i y$ folgt durch Vergleich des Real- und Imaginärteils $x^{2}-y^{2}+2 x y i=\sqrt{2}+\sqrt{2} i \Rightarrow x^{2}-y^{2}=\sqrt{2} \quad$ und $2 x y=\sqrt{2} .$ +Unter der Annahme, dass $x \neq 0$ ist, ergibt sich aus der zweiten Gleichung $y=\frac{\sqrt{2}}{2 x}$. Eingesetzt in die erste Gleichung liefert mit binomischer Ergänzung : +$$ +\begin{aligned} +x^{2}-\frac{1}{2 x^{2}}=\sqrt{2} & \Leftrightarrow x^{4}-\sqrt{2} x^{2}-\frac{1}{2}=0 \\ +& \Leftrightarrow\left(x^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}=0 \\ +& \Leftrightarrow\left(x^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pm 1 +\end{aligned} +$$ +Weil $x^{2}$ positiv sein muss, kommt nur die Lösung $x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$ infrage. Also ist $x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}$ und damit $y_{1,2}=\frac{\sqrt{2}}{2 x_{1,2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}}=\pm \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+2}}$. Damit lauten die beiden Lösungen der Gleichung +$$ +z_{1,2}=x_{1,2}+y_{1,2} i=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+2}} i\right) +$$ +b) Die Linearfaktorzerlegung ergibt sich hier einfach durch Ausklammern von z zu +$$ +i z^{2}+(2-i) z=0 \Leftrightarrow i\left(z^{2}+\left(\frac{2}{i}-1\right) z\right)=0 \Leftrightarrow i z(z-1-2 i)=0 +$$ +Also lauten die beiden Lösungen der Gleichung $z_{1}=0$ und $z_{2}=1+2 i$. +c) Durch binomische Ergänzung und Anwendung der dritten binomischen Formel erhält man die Linearfaktorzerlegung +$$ +\begin{aligned} +0 &=z^{2}-(1-2 i) z-3-i=z^{2}-(1-2 i) z+\left(\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-3-i \\ +&=\left(z-\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-\frac{1-4 i+4 i^{2}}{4}-3-i=\left(z-\frac{1}{2}+i\right)^{2}-\frac{9}{4} \\ +&=\left(z-\frac{1}{2}+i+\frac{3}{2}\right)\left(z-\frac{1}{2}+i-\frac{3}{2}\right)=(z+1+i)(z-2+i) +\end{aligned} +$$ +Also lauten die beiden Lösungen der Gleichung $z_{1}=-1-i$ und $z_{2}=2-i$. + +-72- + +\newpage + + +-73- + +Gleichung 3 - ten Grades: +Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{C}$ mit $a_{3} \neq 0$ lässt sich die allgemeine Gleichung 3 - ten Grades $a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen $\mathrm{zu}$ +$$ +\begin{aligned} +a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 & \Leftrightarrow a_{3}\left(z^{3}+\frac{a_{2}}{a_{3}} z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{3}} z+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right)=0 \\ +& \Leftrightarrow a_{3}\left(z^{3}+b z^{2}+c z+d\right)=0 +\end{aligned} +$$ +mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{2}}{a_{3}}, c:=\frac{a_{1}}{a_{3}}$ und $d:=\frac{a_{0}}{a_{3}}$. Um die Lösungen der Gleichung +$$ +z^{3}+b z^{2}+c z+d=0 +$$ +zu finden, unterscheidet man hier drei verschiedene Fälle. +1) Für $b=c=0$ folgt $z^{3}+d=0 \Leftrightarrow z^{3}=-d=r e^{i \varphi}$. Mit Satz $4.6$ ergeben sich die drei Lösungen $z_{k}=\sqrt[3]{r} e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{3}} i$ für $k \in\{0,1,2\}$. +2) Für $d=0$ folgt $z^{3}+b z^{2}+c z=0 \Leftrightarrow z\left(z^{2}+b z+c\right)=0$. Eine erste Lösung ist $z_{1}=0$. Die beiden weiteren Lösungen ergeben sich aus der Lösung der quadratischen Gleichung $z^{2}+b z+c=0$. +3) Die Lösung der allgemeinen Gleichung 3 - ten Grades $z^{3}+b z^{2}+c z+d=0$ für beliebige $b, c, d \in \mathbb{C}$ lässt sich nach geeigneter Transformation auf die Lösungsformel von Cardani zurückführen, die aber mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden ist ( siehe Abschnitt 6.3) und daher an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden soll. Manchmal lässt sich aber eine erste Lösung raten oder ist sogar schon vorgegeben. Dann führt eine Polynomdivision mit dem entsprechenden Linearfaktor auf eine Reduktion des Grades der Gleichung. Nach Satz $4.7$ existiert eine eindeutige Linearfaktorzerlegung +$$ +a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=a_{3}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=0 . +$$ +Angenommen die erste Lösung $z=z_{1}$ ist bekannt, dann gilt offensichtlich +$$ +\begin{aligned} +\left(a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}\right):\left(z-z_{1}\right) &=\frac{a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}}{z-z_{1}} \\ +&=\frac{a_{3}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)}{z-z_{1}} \\ +&=a_{3}\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=0 +\end{aligned} +$$ +und das Problem ist reduziert auf eine quadratische Gleichung aus der die weiteren Lösungen $z_{2}$ und $z_{3}$ resultieren. +Beispiel 55 +Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung $p(z):=z^{3}-2 z^{2}+z-2=0$. +Lösung: +Durch Raten findet man eine erste Lösung $z_{1}=i$, denn es gilt +$$ +p(i)=i^{3}-2 i^{2}+i-2=-i+2+i-2=0 . +$$ + +-73- + +\newpage + + + +-74- + +74 +4 Komplexe Zahlen +Weil dieses Polynom nur reelle Koeffizienten hat, gilt nach Satz 4.8, dass auch die konjugiert komplexe Zahl $z_{2}=\overline{z_{1}}=-i$ eine Lösung dieser Gleichung ist. Damit sind die zwei Linearfaktoren $(z-i)(z+i)=z^{2}+1$ bekannt und eine Polynomdivision liefert: +$$ +\begin{aligned} +&\left(z^{3}-2 z^{2}+z-2\right):\left(z^{2}+1\right)=z-2 \\ +-& \frac{\left(z^{3}+z\right)}{0-2 z^{2}+0-2} \\ +& \frac{-\left(-2 z^{2}-2\right)}{0} +\end{aligned} +$$ +Die dritte Lösung folgt damit aus $z-2=0$ zu $z_{3}=2$. +Gleichung 4 - ten Grades : +Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{C}$ mit $a_{4} \neq 0$ lässt sich die allgemeine Gleichung 4 - ten Grades $a_{4} z^{4}+a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu +$$ +\begin{aligned} +a_{4} z^{4}+a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 & \Leftrightarrow a_{4}\left(z^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}} z^{3}+\frac{a_{2}}{a_{4}} z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{4}} z+\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0 \\ +& \Leftrightarrow a_{4}\left(z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e\right)=0 +\end{aligned} +$$ +mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{3}}{a_{4}}, c:=\frac{a_{2}}{a_{4}}, d:=\frac{a_{1}}{a_{4}}$ und $e:=\frac{a_{0}}{a_{4}}$. Um die Lösungen der Gleichung +$$ +z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e=0 +$$ +zu finden, unterscheidet man jetzt vier verschiedene Fälle. +1) Für $b=c=d=0$ folgt $z^{4}+e=0 \Leftrightarrow z^{4}=-e=r e^{i \varphi}$. Mit Satz $4.6$ ergeben sich die vier Lösungen $z_{k}=\sqrt[4]{r} e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{4} i}$ für $k \in\{0,1,2,3\}$. +2) Für $b=d=0$ gilt $z^{4}+c z^{2}+e=0$. Mit der Substitution $w:=z^{2}$ lässt sich diese Gleichung auf die quadratische Gleichung $w^{2}+c w+e=0$ überführen, die die beiden Lösungen $w_{1}$ beziehungsweise $w_{2}$ liefert. Aus der Resubstitution $z^{2}=w_{1}$ und $z^{2}=w_{2}$ ergeben sich dann die vier Lösungen $z_{1}, z_{2}$ und $z_{3}, z_{4}$. +3) Für $e=0$ folgt $z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z=0 \Leftrightarrow z\left(z^{3}+b z^{2}+c z+d\right)=0$. Eine erste Lösung ist $z_{1}=0$. Die drei weiteren Lösungen ergeben sich aus der Lösung der Gleichung 3 - ten Grades $z^{3}+b z^{2}+c z+d=0$. +4) Die Lösung der allgemeinen Gleichung 4 - ten Grades $z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e=0$ für beliebige $b, c, d, e \in \mathbb{C}$ lässt sich nach geeigneter Transformation ebenfalls auf eine Lösungsformel zurückführen, die aber auch mit einem erheblichen Rechenauf wand verbunden ist ( siehe Abschnitt 6.3) und daher an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden soll. Manchmal lässt sich aber eine erste Lösung raten oder ist sogar schon vorgegeben und dann führt eine Polynomdivision zur Reduktion des Grades. + + +-74- + +\newpage + + +-75- + +Gleichung höheren Grades: +Gleichungen vom Grade $n>4$ sind nur in ganz wenigen speziellen Ausnahmefällen lösbar, wie etwa die Gleichung $z^{2 n}+b z^{n}+c=0$, die sich für alle $n \in \mathbb{N}$ und $b, c \in \mathbb{C}$ durch die Substitution $w:=z^{n}$ auf eine quadratische Gleichung bringen lässt. Es existieren hier keine allgemeinen Lösungsformeln, sodass man nur versuchen kann, eine Lösung zu raten und damit eine Reduktion des Grades erreicht. +4.8 Übungsaufgaben +Aufgabe 53 +Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}=1-2 i, z_{2}=-3+2 i$ und $z_{3}=1+i$. Bestimmen Sie die Ausdrücke $w_{1}, \ldots, w_{8}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ und stellen Sie sie anschließend in der komplexen Ebene dar . +Aufgabe 54 +Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}=2 i, z_{2}=-2+i$ und $z_{3}=1-\frac{i}{2}$. Bestimmen Sie die Ausdrücke $w_{1}, \ldots, w_{8}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ und stellen Sie sie anschließend in der komplexen Ebene dar . +Aufgabe 55 +Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}=2+3 i$ und $z_{2}=3-2 i$ gegeben. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form $w=x+i y$. +$w_{1}=z_{1}+z_{2} \quad w_{2}=i z_{2}^{2} \quad w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}} \quad w_{4}=z_{1} \cdot z_{2}$ +$w_{5}=z_{1} \cdot \overline{z_{2}} \quad w_{6}=\left|z_{2}\right| \quad w_{7}=\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} \quad w_{8}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$ +Aufgabe 56 +Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}=1-3 i$ und $z_{2}=4+i$ gegeben. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form $w=x+i y$. +$$ +w_{1}=z_{1}+z_{2} \quad w_{2}=z_{1} \cdot z_{2} \quad w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}} \quad w_{4}=\left|z_{1} \cdot \overline{z_{2}}\right| +$$ +Aufgabe 57 +Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form $z=a+i b$ dar . +$$ +z_{1}=\frac{1+i}{1-i} \quad z_{2}=\left(\frac{4-i}{2+i}\right)^{2} \quad z_{3}=\frac{(1+2 i)^{2}}{2+3 i} +$$ + +-75- + + +\newpage + + +-76- + +Aufgabe 58 +Geben Sie die komplexen Zahlen $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in der Form $w=a+i b$ an und bestimmen Sie jeweils deren Betrag. Dabei sind $z_{1}$ und $z_{2}$ gegeben durch +$$ +z_{1}=\frac{5 i}{2-i} \quad \text { und } \quad z_{2}=\frac{1+2 i}{i} . +$$ +Tragen Sie die Punkte in der Gaußschen Zahlenebene ein und überlegen Sie sich, was der Betrag anschaulich bedeutet . +Aufgabe 59 +Berechnen Sie die Real- und Imaginärteile sowie die Beträge der folgenden komplexen Zahlen. +a) $z_{1}=(3-4 i)(3+4 i)-5(5+2 i) \quad$ b $) z_{2}=\frac{1+i}{2-i}+\frac{3+i}{4+i}$ +c) $z_{3}=(1+2 i)^{3}$ +d) $z_{4}=\frac{1+i}{2+i}+\frac{2+i}{3+i}+\frac{3+i}{1+i}$ +e) $z_{5}=(1+3 i)(4-2 i)$ f $z_{6}=\frac{1+3 i}{4-2 i}$ +Aufgabe 60 +Schreiben Sie die komplexen Zahlen in die Schreibweise $z=r \cdot(\cos \varphi+i \sin \varphi)$. +$$ +z_{1}=-3, \quad z_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i, \quad z_{3}=2 \sqrt{3}-2 i, \quad z_{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2 i} . +$$ +Aufgabe 61 +Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$. Stellen Sie die Ausdrücke $w_{1}=z_{1}+z_{2}$, $w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ für +a) $z_{1}=4-4 i, z_{2}=-2+3 i \quad$ b) $z_{1}=e^{\frac{i \pi}{4}}, z_{2}=3 \cdot e^{\frac{i \pi}{2}} \quad$ c ) $z_{1}=1+i, z_{2}=\sqrt{2} \cdot e^{-\frac{i \pi}{4}}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ dar und zeichnen Sie sie in die Gaußsche Zahlenebene. +Aufgabe 62 +Berechnen Sie für $z_{1}=\frac{(1+i)^{2}}{1-i}$ und $z_{2}=1-3 i$ die komplexen Zahlen $w_{1}, w_{2}$ und $w_{3}$ in der Form $w=a+i b$. +$$ +w_{1}=z_{1} \cdot z_{2}, \quad w_{2}=\left|z_{2}\right|, \quad w_{3}=e^{z_{1}^{2}-i \cdot z_{2}} . +$$ +Aufgabe 63 +Stellen Sie $w_{1}, w_{2}, w_{1} \cdot w_{2}, \frac{w_{1}}{w_{2}}$ in der Form $w=r \cdot(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ dar, und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene. +a) $w_{1}=1+i, \quad w_{2}=-2+2 i$. +b) $w_{1}=\sqrt{3}+i, \quad w_{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i .$ + +-76- + +\newpage + + +-77- + +Aufgabe 64 +Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1}-z_{2}, w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ und $w_{4}=z_{1} \cdot z_{2}$ mit den folgenden komplexen Zahlen: +a) $z_{1}=1+i \sqrt{3}, \quad z_{2}=1-i .$ +b) $z_{1}=\frac{(1-i)^{2}}{1+i}, \quad z_{2}=3-5 i .$ +c) $z_{1}=3+3 i, \quad z_{2}=2 \sqrt{3} e^{-i \frac{2}{3} \pi}$. +Aufgabe 65 +Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ gegeben durch: +a) $z_{1}=2-2 i, \quad z_{2}=-1+3 i$. +b) $z_{1}=e^{\frac{i \pi}{4}}, \quad z_{2}=\frac{1}{2} e^{\frac{i \pi}{2}} .$ +c) $z_{1}=1-i, \quad z_{2}=\sqrt{2} e^{\frac{i \pi}{4}} .$ +Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$. Schreiben Sie dies in der Form $w=a+i b$ und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene . +Aufgabe 66 +a) Von den folgenden komplexen Zahlen bestimme man Real- und Imaginärteil sowie ihren Betrag: +$$ +z_{1}=\frac{1}{1+i}, \quad z_{2}=\frac{3+2 i}{1-i}, \quad z_{3}=3 e^{i \frac{\pi}{3}} . +$$ +b) Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=\left|z_{1}+z_{2}\right|, w_{3}=z_{1} \cdot z_{3}, w_{4}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ und skizzieren Sie sie in die komplexe Ebene. +Aufgabe 67 +Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polarkoordinaten dar . +a) $z_{1}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} i$ +b) $z_{2}=\sqrt{3}-i$ +c) $z_{3}=-1+\sqrt{3} i$ +Aufgabe 68 +Geben Sie die komplexen Zahlen $z_{1}, z_{2}, w_{1}=z_{1}+z_{2}$ und $w_{2}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in kartesischer Darstellung an und berechnen Sie $\left|z_{2}\right|$ mit +$$ +z_{1}=\frac{1-i}{1+i} \quad \text { und } \quad z_{2}=2 e^{-i \frac{\pi}{4}} . +$$ +Aufgabe 69 +Berechnen Sie +a) $w_{1}=z^{10}$ für $z=\frac{7-i}{3-4 i} \quad$ und $\left.\quad b\right) w_{2}=z^{6} \quad$ für $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3+2 i}{4-6 i}$ und stellen Sie das Ergebnis in der Form $w=x+i y$ dar. + +-77- + +\newpage + +-78- + +Aufgabe 70 +Welche komplexe Zahl ist das Spiegelbild einer gegebenen komplexen Zahl $z=x+i y$ für $z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$, bei Spiegelung +a) am Ursprung ? +b) an der reellen Achse? +c) an der imaginären Achse? +Aufgabe 71 +Beschreiben Sie in Worten, was mit der Lage einer beliebigen komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene geschieht, wenn man sie mit $z=1+i$ multipliziert. +Aufgabe 72 +Berechnen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil folgender Elemente aus $\mathbb{C}$. Bestimmen Sie anschließend die Darstellung in Polarkoordinaten. +a) $z_{1}=\frac{(3-2 i)(3 i-1)}{(1-i)} i^{5}$ +b) $z_{2}=((\sqrt{2}-i)-i(1-i \sqrt{2}))^{11}$ +c) $z_{3}=\frac{1+2 i}{3-4 i}$ +d) $z_{4}=(1+i)^{4}$ +Aufgabe 73 +Schreiben Sie die komplexen Zahlen $z=-2-2 i$ und $w=-1+\sqrt{3} i$ in Polarkoordinaten und berechnen Sie anschließend den Real- und Imaginärteil von: +a) $u_{1}=z^{4}$ +b) $u_{2}=w^{3}$ +c) $u_{3}=(z \cdot w)^{6}$ +Hinweis: Verwenden Sie die Eulersche Formel $e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi$. +Aufgabe 74 +Berechnen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen. +a) $z_{1}=\left(\frac{2 i}{1-i}\right)^{6}$ +b) $z_{2}=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{21}$ +Aufgabe 75 +a) Geben Sie $i^{k}$ für beliebige $k \in \mathbb{N}$ in kartesischer Form an. +b) Stellen Sie die folgende komplexe Zahl $z$ in der kartesischen Form $z=a+i b$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ dar. +$$ +z=\frac{2 \cdot i^{7} \cdot|i-1|+i^{12} \cdot|1+i|+\sqrt{2} \cdot i^{21}}{i^{6} \cdot(1+i)}+i +$$ +Aufgabe 76 +Sei $z_{0} \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ eine beliebige komplexe Zahl und sei $z=i z_{0}$. Fassen Sie $z_{0}$ und $z$ als Vektoren in der komplexen Zahlenebene auf. Was ist der Winkel zwischen den Ortsvektoren $z_{0}$ und $z$ ? + +-78- + +\newpage + +-79- + +Aufgabe 77 +Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in der Form $z=r \cdot e^{i \varphi}$ an. +a) $z_{1}=(1+i)^{8}$ +b) $z_{2}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-i\right)^{4}$ +c) $z_{3}=\sqrt[3]{-i}$ +d) $z_{4}=(\sqrt{1+i})^{9}$ +Welche der Lösungen sind nicht eindeutig? +Aufgabe 78 +a) Sei $i$ die imaginäre Einheit. Berechnen Sie $i^{123}$. +b) Sei $z \in \mathbb{C}$. Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung $e^{z}=e$ ? +c) Es sei $z=-1-i$ und $w=e^{i \frac{\pi}{6}} \cdot z$. Ermitteln Sie den Real- und Imaginärteil von $u=w^{12}$. +Aufgabe 79 +Stellen Sie $z_{1} \in \mathbb{C}$ in kartesischen Koordinaten und $z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ in Polarkoordinaten dar. +a) $z_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{5}$ +b) $z_{2}=1-\frac{i}{\sqrt{3}}$ +c) $z_{3}=-6$ +Aufgabe 80 +Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Absolutbetrag der folgenden komplexen Zahlen: +a) $z_{1}=(-1+i)^{5}$ +b) $z_{2}=\frac{2-3 i}{-1+2 i}$ +c) $z_{3}=\frac{3 e^{\frac{2}{3} \pi i}}{2 e^{\frac{1}{2} \pi i}}$ +d) $z_{4}=e^{2-3 i}$ +e) $z_{5}=(1+\sqrt{3} i)^{10}$ +f) $z_{6}=\frac{2 e^{\frac{2}{3} \pi i}}{3+7 i}$ +g) $z_{7}=\left[\cos \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)+i \sin \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)\right] e^{3+i+\frac{1}{7} \pi i}$ +Aufgabe 81 +Berechnen Sie mithilfe der Polardarstellung für komplexe Zahlen: +a) $z_{1}=(1+i)^{20}$ +b) $z_{2}=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}$ für $n \in \mathbb{N}$. +Aufgabe 82 +Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl +$$ +z=\exp \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} \exp \left(i \frac{\pi}{4}\right)\right) +$$ +Aufgabe 83 +Sei $z=r e^{i \varphi} \in \mathbb{C}$ mit $r \geq 0$ und $\varphi \in[0,2 \pi]$. Zeigen Sie, dass genau dann ein $n \in \mathbb{N}$ mit $z^{n} \in \mathbb{R}$ existiert, wenn $\frac{\varphi}{\pi}$ eine rationale Zahl ist. + + +-79- + +\newpage + +-80- + +Aufgabe 84 +Vereinfachen Sie für $z \in \mathbb{C}$ die folgenden Ausdrücke. +a) $\left((\operatorname{Re} z)^{2}+(\operatorname{Im} z)^{2}\right)^{2}$ +b) $\operatorname{Im}\left(z^{2}+\bar{z}^{2}\right)$ +c) $\operatorname{Re}((1+i) z)+\operatorname{Im}((1+i) z)$ +d) $\frac{\operatorname{Re}(z)}{\operatorname{Im}(i z)}$ +e) $(1-\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z))(1-\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z))$ +f) $\operatorname{Im}\left(z^{2}-\bar{z}^{2}\right)$ +g) $\operatorname{Re}\left(e^{z^{2}}\right)$ +h) $\operatorname{Im}\left(\bar{z}^{80} \cdot z^{79}\right)$ +Aufgabe 85 +a) Welche Werte haben $\operatorname{Re}(z)$ und $|z|$ für $z=(1+i)^{20}$ ? +b) Berechnen Sie $\left|e^{i}\right|$. +c) Welche $z \in \mathbb{C}$ erfüllen die Gleichung $\operatorname{Im}(z)=|z|$ ? +Aufgabe 86 +Stellen Sie $z(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ in Polarkoordinaten dar, wobei $z(x):=\frac{x+i}{i x-1}$ ist. +Aufgabe 87 +Die komplexe Exponentialfunktion ist für alle $z \in \mathbb{C}, z=x+i y$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ definiert als +$$ +e^{z}:=e^{x}(\cos y+i \sin y) . +$$ +a) Zeigen Sie, dass die komplexe Exponentialfunktion $2 \pi i$ - periodisch ist. Skizzieren Sie einen beliebigen Periodenbereich dieser Funktion in der komplexen Ebene. +b) Bestimmen Sie alle $z \in \mathbb{C}$, für die $e^{z}=1$ gilt . +Aufgabe 88 +Gegeben sei $z_{1}=\frac{3+i}{1-i}$. Geben Sie zunächst ein $z_{2} \in \mathbb{C}$ so an, dass $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{32}$ und erklären Sie Ihre Vorgehensweise zum Auffinden von $z_{2}$ grafisch. Geben Sie dann alle $z_{2} \in \mathbb{C}$ an, so dass $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{32}$. +Aufgabe 89 +Es sei $a \in \mathbb{R}$. Durch die Abbildung $z:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{C}$ mit $z(t)=a \cos (t)+i a \sin (t)$ wird eine Kurve in der komplexen Zahlenebene beschrieben. Zeichnen Sie die Kurve. +Aufgabe 90 +Skizzieren Sie die Menge $M$ in der Gaußschen Zahlenebene. +$$ +M:=\left\{z \in \mathbb{C} \mid\left(|z|^{2}-4\right) \geq 0\right\} \cap\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \geq 0\right\} +$$ +Aufgabe 91 +Skizzieren Sie die folgenden Mengen $M \subset \mathbb{C}$ in der Gaußschen Zahlenebene. +a) $M:=\{z \in \mathbb{C}|2 \leq| z \mid \leq 3\} \cap\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 1\}$ +b) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z) \geq 1 \wedge 1<\operatorname{Im}(z) \leq 3\}$ + +-80- + +\newpage + +-81- + +Aufgabe 92 +Skizzieren Sie die folgenden Mengen $M \subset \mathbb{C}$ in der Gaußschen Zahlenebene. +a) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid i z-i \cdot \bar{z}=3\}$ +b) $M:=\{z \in \mathbb{C}|1 \leq| z-2-3 i \mid<2\}$ +c) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid i z+i \cdot \bar{z}=3\}$ +d) $M:=\left\{z \in \mathbb{C}|| \frac{z-1}{z+1} \mid \geq 1\right\}$ +Aufgabe 93 +Bestimmen Sie die Lösungsmenge $M \subset \mathbb{C}$ und beschreiben Sie diese verbal, oder skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene! +a) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| \frac{\operatorname{Re}(z)}{2} \mid \leq \frac{\operatorname{Im}(z)}{4}\right\}$ +b) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=1\right\}$ +c) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}\left|\frac{6}{|z|}-\right| z \mid=1\right\}$ +d) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \mid \frac{z}{\bar{z}}=1\right\}$ +e) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+i|+| z-i \mid=4\}$ +f) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+1 \mid<2\}$ +g) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z-i|\geq| z+2+i \mid\}$ +h) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z-e^{i \frac{\pi}{2}} \mid \geq 1\right\}$ +i) $M=\left\{\left.z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}|| \frac{2 i z+4}{(1+i) z}\right|^{2} \leq 3\right\}$ +j) $M=\{z \in \mathbb{C}|\operatorname{Re}(z)=| z \mid\}$ +k) $M=\{z \in \mathbb{C}||(2+i)(z-1)|\leq| 1-2 i \mid\}$ +l) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z-e^{i \frac{\pi}{4}} \mid \geq 2\right\}$ +m) $M=\{z \in \mathbb{C}||(1+i)(z-1)|\leq| 1-i \mid\} \quad n) M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}|+| z \mid=0\right\}$ +Aufgabe 94 +Bestimmen Sie die Lösungsmenge $M \subset \mathbb{C}$ mit $r \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$ und beschreiben Sie diese verbal, oder skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene! +a) $M=\{z \in \mathbb{C} \mid z=i+2(1+i) t, t \in \mathbb{R}\}$ +b) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}|| 1+\frac{1}{z} \mid \leq 1\right\}$ +c) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) \geq 1\right\}$ +d) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{i+1}\right) \leq \frac{1}{2}\right\}$ +e) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)=r\right\}$ +g) $M=\{z \in \mathbb{C}|| \operatorname{Re}(z)|+| \operatorname{Im}(z) \mid \leq 4\}$ +f) $M=\{z \in \mathbb{C}|2=| z-1 \mid\}$ +i) $M=\{z \in \mathbb{C}|\operatorname{Im}(z)=| z \mid\}$ +h) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+1-i \mid \leq 2\}$ +k) $M=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}((1+2 i) z)=0\}$ +j) $M=\{z \in \mathbb{C}|1>| z+1-2 i \mid\}$ +m) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \geq 2\right\}$ +l) $M=\{z \in \mathbb{C}|| 4 z+3-i \mid \leq 5\}$ + +-81- + +\newpage + +-82- + +Aufgabe 95 +Bestimmen Sie jeweils sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen. +a) $-3 \bar{z}+z-2 i z=4 i$ +b) $z^{2}-i \bar{z}=0$ +c) $2 z \bar{z}=3$ +d) $\frac{5}{2} \bar{z}+3 i \bar{z}+\frac{1}{2} z-2 i z=7-5 i$ +e) $|z|=z \cdot \bar{z} \quad$ f) $z^{2}+\bar{z}+z=1$ +Aufgabe 96 +Bestimmen Sie die Lösungsmenge in $\mathbb{C}$ für die Gleichung $z^{2}-2 z+1-8 i=0$ und geben Sie die Lösungen in der Form $z=x+i y$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ an. +Hinweis: $\quad \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ +Aufgabe 97 +Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen in $\mathbb{C}$ und geben Sie die Lösungen jeweils in den Formen $z=x+i y$ und $z=r \cdot e^{i \varphi}$ an $(x, y \in \mathbb{R}, \varphi \in[0,2 \pi])$. +a) $z^{2}=4 z-8$ +b) $z^{2}+\sqrt{3} \cdot z+3=0$ +c) $z^{2}-2\left(z-\frac{2}{3}\right)=0$ +Aufgabe 98 +Bestimmen Sie jeweils sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden quadratischen Gleichungen. +a) $z^{2}+(1-2 i) z-2 i=0$ +b) $z^{2}-2 i z+8=0$ +c) $z^{2}-z+i z-i=0$ +d) $z^{2}(1+i)=2 z$ +e) $i z^{2}+(2+i) z=i-1$ f $) z^{2}-2 z+5=0$ +g) $z^{2}+(1+i) z+2-i=0$ +h) $z^{2}+6 z+2 i+9=0$ +i) $z^{2}-4 z+5=0$ +j) $z^{2}+(1+i) z-(6+2 i)=0$ +k) $z^{2}+2 i z-1+i=0$ +l) $z^{2}-3 z+(3+i)=0$ +m) $z^{2}-2 i z+2 z+2 i=0$ +n) $z(z+6)=-13$ +Aufgabe 99 +a) Lösen Sie die quadratische Gleichung $z^{2}-2 z+2=0$. Die beiden Lösungen seien $z_{1}$ und $z_{2}$. +b) Sind $z_{1}+z_{2}$ oder $z_{1}-z_{2}$ oder $z_{1} \cdot z_{2}$ reell ? +Aufgabe 100 +Sei $c \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ eine komplexe Zahl und $n \in \mathbb{N}$ eine natürliche Zahl. Wie viele verschiedene komplexe Lösungen $z \in \mathbb{C}$ besitzt die Gleichung $z^{n}=c$ ? +Aufgabe 101 +a) Es sei $w$ eine komplexe Zahl und $z_{1}=\sqrt{2}(1+i)$ eine Lösung der Gleichung $z^{3}=w$. Bestimmen Sie $w$ und alle weiteren Lösungen der Gleichung. +b) Sei $w \in \mathbb{C}$ und sei $z_{1}=1+i$ eine Lösung der Gleichung $z^{4}-w=0$. Bestimmen Sie $w$ und alle weiteren Lösungen der Gleichung. +c) Eine Lösung der Gleichung $z^{4}=-7+24 i$ ist $z_{0}=2+i$. Geben Sie die weiteren Lösungen an. +-82- + +\newpage + +-83- +$4.8$ Übungsaufgaben +83 +Aufgabe 102 +a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $z^{3}=-27$ und stellen Sie diese in der Form $z=x+i y$ dar. +b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ von $z^{4}+8(i \sqrt{3}-1)=0$. Geben Sie jede Lösung sowohl in Polarkoordinaten, als auch in der Form $z=x+i y$ mit reellen $x$ und $y$ an. +c) Bestimmen Sie alle Zahlen $z \in \mathbb{C}$ mit $\bar{z}^{2}=i z$ und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene . +Aufgabe 103 +Geben Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen an und skizzieren Sie sie in der komplexen Zahlenebene . +a) $z^{3}=8 i$ +b) $z^{7}=i+1$ +c) $z+2 \bar{z}=5+i z$ +d) $z^{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$ +e) $z^{5}=16 \sqrt{2}(-1+i)$ +f) $z^{3}=1+i$ +Aufgabe 104 +Berechnen Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen. +a) $z^{4}+2-2 i=0$ +b) $(z-3 i)^{6}+64=0$ +c) $(1+i) z^{3}-\sqrt{2} e^{i \frac{3}{4} \pi}=0$ +Aufgabe 105 +a) Sei $p(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+a_{4} z^{4}, z \in \mathbb{C}$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$. Zeigen Sie: Ist $z_{0}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$, dann ist $\bar{z}_{0}$ es auch. +b) Zeigen Sie, dass das Polynom $p(z)=z^{4}-4 z^{3}+14 z^{2}-4 z+13$ in $z_{0}=i$ eine Nullstelle hat, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von $p$. +Aufgabe 106 +Gegeben sei ein Polynom sechsten Grades $P(z)$ mit reellen Koeffizienten. +a) Das Polynom habe Nullstellen bei $2-i, 1+3 i$ und $5-2 i$. Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms an und stellen Sie $P(z)$ mit komplexen Linearfaktoren dar. +b) Welche Konstellationen für Nullstellen (Anzahl reeller bzw . komplexer Nullstellen) sind für ein Polynom sechsten Grades mit reellen Koeffizienten möglich? +Aufgabe 107 +a) Begründen Sie: Ist $p$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und hat $p$ nur komplexe Nullstellen (mit nicht verschwindenden Imaginärteilen ), so ist der Grad von $p$ gerade. +b) Bestimmen Sie alle Polynome 5 . Grades mit reellen Koeffizienten ,die in $2,3 i, 1-i$ Nullstellen haben. + +-83- + +\newpage + +-84- + + +4 Komplexe Zahlen +Aufgabe 108 +a) Sei $p(z)$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass mit jeder Nullstelle $z_{k}$ auch die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}_{k}$ eine Nullstelle von $p(z)$ ist. Hat $p(z)$ dann reelle Koeffizienten? (Begründung oder Gegenbeispiel.) +b) Gegeben sei das Polynom $p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ fünften Grades mit ausschließlich reellen Koeffizienten und den Nullstellen $z_{1}=1-i$ beziehungsweise $z_{2}=i$. Das Produkt aller fünf Nullstellen ist 1 . Bestimmen Sie alle drei restlichen Nullstellen von $p$. +Aufgabe 109 +Sei $p$ ein Polynom 5. Grades mit reellen Koeffizienten. +a) Wie viele Nullstellen besitzt $p$ höchstens in $C$ ? +b) Wie viele reelle Nullstellen besitzt $p$ mindestens? +c) Das Polynom $p$ habe eine doppelte Nullstelle bei $i$. Wie viele verschiedene Nullstellen besitzt das Polynom dann in $\mathbb{C}$ ? +Aufgabe 110 +Berechnen Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathrm{C}$ der Gleichungen: +a) $\left(z^{5}+i\right)\left(z+z^{2}+3\right)=0$ +b) $z^{4}-2 z^{2}+17=0$ +c) $2 z-i z^{2}+z^{3}=0$ +d) $\left(z^{3}+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)(z+i)=0$ +e) $z^{3}-3 z^{2} i-3 z+2 i=0$ +f) $z^{3}-5 z^{2}+12 z-8=0$ +Aufgabe 111 +a) Zeigen Sie, dass durch $z_{0}=2 i$ eine Nullstelle des Polynoms $z^{3}+(-4-i) z^{2}+(5+5 i) z-6-6 i=0$ gegeben ist. Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen. +b) Gegeben sei das Polynom $p(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6$. Zeigen Sie, dass $z_{0}=1+i$ und $\bar{z}_{0}$ Nullstellen dieses Polynoms sind. Bestimmen Sie die weitere Nullstelle. +Aufgabe 112 +Finden Sie alle reellen und komplexen Nullstellen $z \in \mathbb{C}$ des reellen Polynoms. +a) $p(z)=2 z^{4}-z^{3}+10 z^{2}-4 z+8$, wenn $p\left(\frac{1+i \sqrt{15}}{4}\right)=0$ gilt. +b) $p(z)=z^{4}-3 z^{3}+5 z^{2}-4 z+2, \quad$ wenn $p\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)=0 \quad$ gilt. + +-84- + +\newpage + +-85- + +Aufgabe 113 +Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren. +a) $p(z)=z^{5}+z^{4}-5 z^{3}+10 z^{2}-36 z+24 \quad$ mit $\quad p(2 i)=0$. +b) $p(z)=z^{5}+2 z^{3}+6 z^{2}-63 z+54 \quad$ mit $\quad p(3 i)=0$. +c) $p(z)=z^{6}-z^{4}+z^{2}-1$ +Hinweis zu c): Führen Sie die Variablensubstitution $z^{2}=: w$ aus. +Aufgabe 114 +Zerlegen Sie die nachfolgenden Polynome mithilfe der gegebenen Nullstelle $(n)$ in reelle Faktoren minimaler Ordnung . +a) $p(z)=z^{6}-2 z^{5}+2 z^{4}-z^{2}+2 z-2, \quad z_{0}=1-i$. +b) $p(z)=z^{6}-4 z^{5}+2 z^{4}+8 z^{3}+z^{2}-36 z+36, \quad z_{0}=\sqrt{2}+i, z_{1}=-\sqrt{2}-i$. +c) $p(z)=z^{6}+4 z^{5}+8 z^{4}+16 z^{3}+32 z^{2}+64 z+64, z_{0}=1+\sqrt{3} i, z_{1}=-1-\sqrt{3} i$. +d) $p(z)=z^{6}-2 z^{5}-3 z^{4}+3 z^{3}-10 z^{2}+5 z-6, \quad z_{0}=i$. +Aufgabe 115 +Für die folgenden Polynome ist jeweils eine Nullstelle $z_{0}$ bekannt. Ermitteln Sie alle weiteren Nullstellen. +a) $p(z)=z^{3}-4 z^{2}+(6+i) z-(3+i) \quad$ mit $\quad z_{0}=1+i$. +b) $p(z)=z^{3}-2 z^{2}+i z+3+i \quad$ mit $\quad z_{0}=2-i$. +c) $p(z)=\left(z^{2}+1\right)\left(5 z^{3}-3 z^{2}+5 z-3\right) \quad$ mit $\quad z_{0}=i$. +d) $p(z)=z^{7}+z^{6}+2 i z+2 i \quad$ mit $\quad z_{0}=-1$. +e) $p(z)=z^{3}-6 z^{2}+(12+i) z-(9+3 i) \quad$ mit $\quad z_{0}=1+i$. +f) $p(z)=z^{6}-3 z^{5}+5 z^{4}-6 z^{3}+5 z^{2}-3 z+1 \quad$ mit $\quad z_{0}=i$. +g) $p(z)=z^{3}-2 z^{2}+4 z-8 \quad$ mit $z_{0}=-2 i$. + +-85- + +\newpage + +-86- + +5 Abbildungen +5.1 Bild und Urbild +Definition $5.1$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen. +Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y=f(x) \in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$. Für Abbildungen sind folgende Schreibweisen üblich: +$f: A \rightarrow B$ gelesen als "die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ". + $f: A \rightarrow B, x \mapsto f(x)$ gelesen als ", die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$, wobei jedem $x \in A$ der Wert $f(x) \in B$ zugeordnet wird". +\& $f: x \mapsto f(x)$, wenn der Definitionsbereich und Wertebereich klar sind. +Beispiel 56 +An der Vorlesung Analysis für Ingenieure nimmt eine Gruppe von drei befreundeten Studenten teil, die der Einfachheit halber mit $s_{1}, s_{2}$ und $s_{3}$ bezeichnet werden sollen. Es werden zur Vorlesung drei verschiedene Tutorien $t_{1}, t_{2}$ und $t_{3}$ angeboten, wobei jedem Studenten freigestellt bleibt, welches Tutorium er besucht. Sei $S:=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}$ die Menge der drei befreundeten Studenten und $T:=\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}$ die Menge der angebotenen Tutorien. Betrachten Sie jetzt die folgenden drei verschiedenen Zuordnungen aus der Menge $S$ in die Menge $T$ und entscheiden Sie, bei welcher Zuordnung es sich um eine Abbildung handelt . +(a) +$(b)$ +Abbildung 5.1 Geometrische Veranschaulichung einer Abbildung . +- Bei der Zuordnung ( $a$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{2} \in S$ kein Element aus der Menge $T$ zugeordnet ist. +- Bei der Zuordnung ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{3} \in S$ zwei Elemente $t_{1}, t_{3} \in T$ zugeordnet sind. +- Bei der Zuordnung ( $c$ ) handelt es sich um eine Abbildung, weil jedem Element der Menge $S$ genau ein Element der Menge $T$ zugeordnet ist. + +-86- + +\newpage + +-87- \ No newline at end of file diff --git a/I_5.tex b/I_5.tex new file mode 100644 index 0000000..659562c --- /dev/null +++ b/I_5.tex @@ -0,0 +1,357 @@ +\section{Bild und Urbild} +Definition $5.1$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen. +Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y=f(x) \in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$. Für Abbildungen sind folgende Schreibweisen üblich: +$f: A \rightarrow B$ gelesen als "die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ". +$f: A \rightarrow B, x \mapsto f(x)$ gelesen als ", die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$, wobei jedem $x \in A$ der Wert $f(x) \in B$ zugeordnet wird". +\& $f: x \mapsto f(x)$, wenn der Definitionsbereich und Wertebereich klar sind. +Beispiel 56 +An der Vorlesung Analysis für Ingenieure nimmt eine Gruppe von drei befreundeten Studenten teil, die der Einfachheit halber mit $s_{1}, s_{2}$ und $s_{3}$ bezeichnet werden sollen. Es werden zur Vorlesung drei verschiedene Tutorien $t_{1}, t_{2}$ und $t_{3}$ angeboten, wobei jedem Studenten freigestellt bleibt, welches Tutorium er besucht. Sei $S:=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}$ die Menge der drei befreundeten Studenten und $T:=\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}$ die Menge der angebotenen Tutorien. Betrachten Sie jetzt die folgenden drei verschiedenen Zuordnungen aus der Menge $S$ in die Menge $T$ und entscheiden Sie, bei welcher Zuordnung es sich um eine Abbildung handelt . +(a) +$(b)$ +Abbildung 5.1 Geometrische Veranschaulichung einer Abbildung . +- Bei der Zuordnung ( $a$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{2} \in S$ kein Element aus der Menge $T$ zugeordnet ist. +- Bei der Zuordnung ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{3} \in S$ zwei Elemente $t_{1}, t_{3} \in T$ zugeordnet sind. +- Bei der Zuordnung ( $c$ ) handelt es sich um eine Abbildung, weil jedem Element der Menge $S$ genau ein Element der Menge $T$ zugeordnet ist. + +-87- + +\newpage + +-88- + +Bemerkung: +Eine Abbildung heißt auch Funktion, wenn es sich bei dem Definitions- und Wertebereich um Zahlenmengen handelt . +Beispiel 57 +Betrachten Sie die folgenden Graphen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welchen Graphen es sich um eine Funktion $f: \mathbb{R} \supset A \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt . + +Geometrisch gesehen stellt der Graph genau dann eine Funktion dar, wenn jede zur y - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. Denn dann gibt es zu jedem $x \in A$ genau ein $y \in B$. +- Bei dem Graphen ( a) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es parallele Geraden zur y - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden . +- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich um eine Funktion, weil es keine parallele Gerade zur y - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneidet. +- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es eine parallele Gerade zur $y$ - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden. +Beispiel 58 +- Bei der Abbildung $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=f(x)=2 x \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird. +- Bei der Abbildung $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto \frac{n}{n^{2}+n+1}$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $n \in \mathbb{N}$ genau ein Wert $a_{n}:=a(n)=\frac{n}{n^{2}+n+1} \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird. +- Bei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \pm x$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ zwei Werte $y:=g(x)=\pm x \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind. +- Bei der Abbildung $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1$ handelt es sich um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=h(x)=1 \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird. +- Bei $k:\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil für $x=1$ unendlich viele Werte $y:=k(1) \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind. + +Betrachten Sei jetzt die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$. Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, obwohl diese Funktion tatsächlich nur Werte aus dem Intervall $y \in[-1,1] \subset \mathbb{R}$ annehmen kann. Für diesen Sachverhalt schreibt man kurz $f(\mathbb{R})=[-1,1]$ und nennt dieses das Bild der Funktion $f$. Das Bild einer Funktion muss also nicht notwendiger Weise der gesamte Wertebereich sein! + +-88- + +\newpage + +-89- + + +Definition $5.2$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen und $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Dann heißt $f(A):=\{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B$ der tatsächlich angenommenen Werte das Bild von $f$. +Beispiel 59 +- Die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ hat das Bild $f(\mathbb{R} \backslash\{0\})=\mathbb{R}^{+} \subset \mathbb{R}$. +- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x+2$ hat das Bild $g(\mathbb{R})=[1,3] \subset \mathbb{R}$. +- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 3$ hat das Bild $h(\mathbb{R})=\{3\} \subset \mathbb{R}$. +Definition $5.3$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine beliebige Abbildung und $Y \subset B$. Dann heißt die Menge +$$ +f^{-1}(Y):=\{x \in A \mid f(x) \in Y\} +$$ +Urbildmenge beziehungsweise das Urbild von $Y$. +Beispiel 60 +Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}, x \mapsto \frac{1}{8} x^{2}$. Bestimmen Sie das Urbild von $f$ für die Teilmenge $Y=\left[\frac{1}{2}, 2\right] \subset \mathbb{R}_{0}^{+}$des Wertebereichs. +Lösung: +Aus der grafischen Darstellung der Parabel lässt sich wegen $f(\pm 2)=\frac{1}{2}$ und $f(\pm 4)=2$ die Urbildmenge sofort ablesen. Sie lautet +$$ +f^{-1}(Y):=\left\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]\right\}=[-4,-2] \cup[2,4] . +$$ + +-89- + +\newpage + +-90- + +$5.2$ Inverse Abbildung +Betrachten Sie jetzt die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$. Dann ist offensichtlich $f([-2,2])=[0,4]$ das Bild von $f .$ Zu dem jedem $y \in] 0,4]$ existieren zwei Werte $x=\pm \sqrt{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$. +Dagegen hat die Funktion $g:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3}$ das Bild $g([-2,2])=[-8,8]$ und zu jedem $y \in[-8,8]$ existiert genau ein Wert $x=\sqrt[3]{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$. Das legt die folgende Definition nahe. +Definition $5.4$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt injektiv, wenn für alle $x_{1}, x_{2} \in A$ mit $x_{1} \neq x_{2}$ auch $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$ gilt. +\ Verschiedene Argumente liefern also verschiedene Funktionswerte. +$\infty_{\text {Aus }} f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt immer $x_{1}=x_{2}$. +Beispiel 61 +- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für die beiden Werte $x_{1}=-1, x_{2}=1$ aus dem Definitionsbereich $f(-1)=f(1)=1$ gilt . +- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für alle Werte $x_{k}=2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$ aus dem Definitionsbereich $f\left(x_{k}\right)=\cos (2 k \pi)=1$ gilt . +- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x$ ist injektiv, weil aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ immer $x_{1}=x_{2}$ für alle Werte $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ folgt . +Beispiel 62 +Betrachten Sie die folgenden Graphen der Funktionen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welcher Funktion es sich um eine injektive Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt. +Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn jede zur $x$ - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet . +- Bei dem Graphen ( $a$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. +- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine injektive Funktion, weil es parallele Geraden zur $x$ - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneiden. + +-90- + +\newpage + +-91- + +- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. + +Häufig kommen Abbildungen $f: A \rightarrow B$ vor, bei denen das Bild $f(A)$ oft nur eine echte Teilmenge des Wertebereichs $B$ ist. Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ beispielsweise hat das Bild $f([-2,2])=[0,4] \subset \mathbb{R}$. Das hießt, nicht zu jedem $y \in \mathbb{R}$ gibt es ein $x \in[-2,2]$ ! Sie werden zum Beispiel zu $y=10$ kein $x \in[-2,2]$ finden. +Definition $5.5$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn $f(A)=B$ gilt. +4. Das Bild der Abbildung $f$ ist also der gesamte Wertebereich. Das heißt: Zu jedem $y \in B$ gibt es mindestens ein $x \in A$. +Beispiel 63 +- Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$ ist surjektiv, weil zu jedem $y \in[0,4]$ mindestens ein $x \in[-2,2]$ existiert. +- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$ ist nicht surjektiv, weil zum Beispiel zu $y=2$ kein $x \in \mathbb{R}$ existiert. +- Die Funktion $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow[0, \infty), x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ist nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R}^{+}$existiert. + +Von besonderer Bedeutung sind Abbildungen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Daher auch die folgende +Definition $5.6$ Eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ die injektiv und surjektiv ist, heißt bijektive Abbildung. +Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x}$. Aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt sofort $x_{1}=x_{2}$, womit $f$ injektiv ist. Die Funktion $f$ ist aber nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ existiert. Also ist $f$ auch nicht bijektiv. + +Es stellt sich jetzt die entscheidende Frage, wann eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ umkehrbar ist. Oder anders formuliert: Wann gibt es eine Umkehrabbildung $f^{-1}: B \rightarrow A$ derart, dass $f^{-1}(y)=x$ gilt ? +Beispiel 64 +Gegeben sei die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Dann wird $x=2$ auf $y=4$ abgebildet. Umgekehrt existiert zu $y=4$ kein eindeutiger Wert $x \in[-2,2]$. Das heißt: $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[-2,2]$ ist nach der Definition $5.1$ keine Abbildung mehr, weil jedem $y \in] 0,4]$ zwei Werte aus $[-2,2]$ zugeordnet werden. + +-91- + +\newpage + + +-92- + +Definition $5.7$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine injektive Abbildung. Dann gibt es $z u$ jedem $y \in f(A) \subseteq B$ genau ein $x \in A$ mit $y=f(x)$ und man kann auf dem Bild $f(A)$ eine Umkehrabbildung oder auch Inverse $f^{-1}: B \supseteq f(A) \rightarrow A$ definieren, die durch +$$ +f^{-1}(y)=x \text { oder äquivalent dazu } f(x)=y +$$ +charakterisiert ist. +Beispiel 65 +Gegeben sei die Funktion $f:[0,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Diese Funktion ist injektiv und wegen $f([0,2])=[0,4]$ sogar surjektiv . Daher existiert zu dieser Abbildung die Inverse beziehungsweise Umkehrabbildung $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[0,2], y \mapsto \sqrt{y}$. +Bemerkung: +Rechnerisch erhält man die Inverse, unter der Voraussetzung dass diese existiert, indem man einfach die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auflöst. +Beispiel 66 +Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x+5$. Diese Funktion ist bijektiv und daher existiert die inverse Funktion $f^{-1}$. Auflösen der Gleichung $y=f(x)=2 x+5$ nach der Variable $x$ ergibt $x=\frac{y-5}{2}$ und daher ist die Inverse $f^{-1}(y): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \frac{y-5}{2}$. +5.3 Komposition von Abbildungen +In diesem Abschnitt geht es um die Hintereinanderschaltung von mehreren Abbildungen Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen. Man kann dann zuerst die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ und danach die Abbildung $g$ von $B$ nach $C$ ausführen. +Abbildung $5.2$ Hintereinanderschaltung von zwei Abbildungen. +Definition $5.8$ Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen Dann heißt die Abbildung $g \circ f: A \rightarrow C, x \mapsto g(f(x))$ die Komposition oder auch Hintereinanderschaltung von $f$ und $g$. Gelesen wird das als "g Kringel $f "$. + +-92- + +\newpage + +-93- + +Beispiel 67 +Es seien die Abbildungen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ durch das folgende Diagramm definiert. +Berechnen Sie mithilfe der Definition die Komposition $g \circ f: A \rightarrow C$. +Lösung: +Mit Definition $5.8$ erhält man die Bilder +$$ +\begin{aligned} +&(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(y)=3, \quad(g \circ f)(b)=g(f(b))=g(z)=1 \text { und } \\ +&(g \circ f)(c)=g(f(c))=g(y)=3 . +\end{aligned} +$$ +Beispiel 68 +Gegeben seien die Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto e^{x}$ und $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$. Berechnen Sie die beiden Kompositionen $(g \circ f)(x)$ und $(f \circ g)(x)$. +Lösung: +Nach Definition $5.8$ gilt +$$ +\begin{aligned} +&(g \circ f)(x)=g(f(x))=g\left(e^{x}\right)=\cos \left(e^{x}\right) \quad \text { und } \\ +&(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(\cos x)=e^{\cos x} +\end{aligned} +$$ +5.4 Betrags - und Signumfunktion +Definition $5.9$ Die Funktionen +$$ +|\cdot|: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto|x|:= \begin{cases}x & \text { für } x>0 \\ 0 & \text { für } x=0 \\ -x & \text { für } x<0 .\end{cases} +$$ +$\operatorname{sign}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \operatorname{sign}(x):= \begin{cases}1 & \text { für } x>0, \\ 0 & \text { für } x=0, \\ -1 & \text { für } x<0 .\end{cases}$ +heißen Betragsfunktion beziehungsweise Signumfunktion und werden gelesen als "Betrag von $x$ " beziehungsweise "Signum von $x$ ". + +-93- +\newpage + +-94- + +Die Signumfunktion wird oft auch als Vorzeichenfunktion bezeichnet. In der folgenden Abbildung sind die Graphen der Betrags- und Signumfunktion dargestellt. +Abbildung 5.3 Betrags- und Signumfunktion. +5.5 Übungsaufgaben +Aufgabe 116 +Skizzieren Sie für den jeweils größtmöglichen Definitionsbereich die Bilder der Funktionen $f(x),[f(x)]^{2}, f\left(x^{2}\right), \frac{1}{f(x)}$ und $f\left(\frac{1}{x}\right)$ für: +a) $f(x)=\frac{1}{x}$ +b) $f(x)=\sin x$ +Aufgabe 117 +Durch welche der folgenden Zuordnungsvorschriften sind Funktionen $y=f(x)$ mit $f$ : $D \rightarrow \mathbb{R}$ definiert? Fertigen Sie jeweils eine Skizze an! +a) $y^{2}=x, D=\mathbb{R}^{+}$. +b) $\arctan y=e^{-|x|}, D=\mathbb{R}$. +c) $y=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { für } x \neq 0 \\ x & \text { für } x^{2}=x\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$. +d) $y=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text { für } \quad x>0 \\ 0 & \text { für } \quad x \leq 0\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$. +g) $|y|=\frac{\ln x}{x^{2}+1}, D=[1, \infty[$. +Aufgabe 118 +Es seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $b>0$. Geben Sie für die Funktion +$$ +f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{b-|a-2 x|}} +$$ +den größtmöglichen Definitionsbereich $D$ in Intervallschreibweise an. + +-94- +\newpage + +-95- + +Aufgabe 119 +Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktionen, und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. +$$ +f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^{2} . \quad g: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{4-x}}-7 . +$$ +Aufgabe 120 +Untersuchen Sie für die jeweils angegebene Wahl des Definitionsbereichs $D$ und Wertebereichs $W$ der Funktion +$$ +f: D \rightarrow W \quad \text { mit } \quad f(x)=x^{2}-2 x+1 +$$ +auf Injektivität und Surjektivität und kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort an . +\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|} +\hline$D$ & $W$ & \multicolumn{2}{|c||}{ injektiv } & \multicolumn{2}{c|}{ surjektiv } \\ +& & ja & nein & ja & nein \\ +\hline \hline $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x<0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y>0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline$[-1,1]$ & {$[0,4]$} & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline +\end{tabular} +Aufgabe 121 +Entscheiden Sie über Injektivität, Surjektivität beziehungsweise Bijektivität der Funktion +$$ +g: A \rightarrow B \quad \text { mit } \quad x \mapsto \exp \left(-x^{2}\right), +$$ +wenn folgende Mengen $A$ und $B$ vorgegeben sind. Kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort in der Tabelle an. Bestimmen Sie weiterhin die Umkehrfunktion für die bijektive Abbildung $g: A \rightarrow B$. +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} +\hline$A$ & $B$ & injektiv & surjektiv & bijektiv \\ +\hline$[1, \infty[$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline$\left.]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ & ] $\left.0, \frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline$]-\infty, \frac{1}{2}[$ & ] $0,1]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\ +\hline +\end{tabular} +Aufgabe 122 +Ist die Abbildung $f$ injektiv und/oder surjektiv? +$$ +f: \mathbb{Z} \rightarrow\{q \in \mathbb{Q} \mid 0 \leq q \leq 1\} \quad \text { mit } \quad f(a)=\frac{|a|}{2 a^{2}+2} . +$$ + +-95- +\newpage +-96- + +Aufgabe 123 +a) Betrachten Sie die Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ mit $f(x):=\sin (x)$. Wie kann man die Mengen $A$ und $B$ wählen, so dass die Funktion $f(x)$ +i) injektiv, ii) surjektiv, oder iii) bijektiv ist? +b) Beweisen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=x+2$ bijektiv ist. +Aufgabe 124 +a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktion und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. +$$ +f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x) +$$ +b) Welche Teilmenge $A \subset \mathbb{R}$ kann man maximal als Definitions- und Wertebereich wählen, damit $f: A \rightarrow A, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x)$ eine bijektive Funktion ist? +Aufgabe 125 +Sind die folgenden Zuordnungen injektive, surjektive oder gar keine Funktionen? Begründen Sie Ihre Antworten anhand einer Skizze! +a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+1 & \text { für } & x \geq 1, \\ 2 & \text { für } & x<1 .\end{array}\right.$ b) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=-x^{5}$. +d) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan (x) .$ +Aufgabe 126 +a) Gegeben seien die Funktionen +$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+(\sin x \cdot \cos x)^{2} .$ +Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=f \circ g$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an. +b) Gegeben seien die Funktionen +$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{3} .$ +Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=g \circ f$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an. +Aufgabe 127 +Welche der folgenden Zuordnungsvorschriften definieren eine Funktion $y=f(x)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ? Welche Funktionen sind injektiv ? Berechnen Sie falls möglich die Inverse. +a) $y=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { für } & x \leq-\frac{\pi}{2}, \\ \sin x & \text { für } & x>-\frac{\pi}{2} .\end{array}\right.$ +b) $y=\left\{\begin{array}{lll}-x^{2} & \text { für } & x \geq 0, \\ x & \text { für } & x>0 .\end{array}\right.$ +C) $\cos y=x$ + +-96- +\newpage + +-97- + +Aufgabe 128 +Sei $H$ die Menge aller lebenden Menschen, sowie $W$ die Menge aller lebenden Menschen weiblichen Geschlechts und $M:=H \backslash W$ die Menge aller lebenden Menschen männlichen Geschlechts. Betrachten Sie die folgenden Abbildungen : +$m: H \rightarrow W$ mit $m(x)$ ist die leibliche Mutter von $x$. +$f: H \rightarrow M$ mit $f(x)$ ist der leiblicher Vater von $x .$ +a) Beschreiben Sie in Worten die zusammengesetzten Abbildungen (Kompositionen ) $m^{2}:=m \circ m, \quad g:=f \circ m, \quad h:=m \circ f, \quad$ gilt $g=h ?$ +b) Welche der Abbildungen $m, f, m^{2}, g, h$ sind injektiv, surjektiv oder bijektiv? +c) Welche Menge wird durch $m^{-1}(W)$ beschrieben ? +Aufgabe 129 +Es seien $X, Y$ Mengen $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion und $A \subseteq X$. Begründen Sie: +a) Ist $f$ injektiv, so ist $f^{-1}(f(A))=A$. +b) Im Allgemeinen gilt $f^{-1}(f(A))=A$ nicht. +Aufgabe 130 +a) Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3+4 x$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([-5,5])$. +b) Gegeben sei die Funktion $f:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{2}-3\right.\right.$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([1,5])$. +Aufgabe 131 +a) Für welche $y \in \mathbb{R}$ ist die Gleichung $x^{2}+2 x=y$ lösbar? Für welche $y$ ist sie eindeutig lösbar? +b) Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x$. Bestimmen Sie $f(\mathbb{R})$. Ist $f$ injektiv ? +c) Hat $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=7 x+5$ eine Umkehrfunktion? Falls ja, welche? +d) Welche der Funktionen sind injektiv ? Bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion inklusive ihres maximalen Definitionsbereichs. +$$ +\begin{array}{rlrl} +g:[-1,5[ & \rightarrow \mathbb{R} & h:[3,8] & \rightarrow \mathbb{R} \\ +x & \mapsto x^{2} & & \mapsto(x-3)^{2} +\end{array} +$$ + +-97- + +\newpage + +-98- + +Aufgabe 132 +Sei $f: D \rightarrow W$ gegeben durch: +a) $x \mapsto \sqrt{x}$ +b) $x \mapsto \sqrt{5-x^{2}}$ +c) $x \mapsto \frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-5)(x+2)}$ +Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ und minimalen Wertebereich $W \subset \mathbb{R}$ der jeweiligen Abbildung. Welche der Abbildungen sind injektiv? Geben Sie falls möglich die Umkehrabbildung an . +Aufgabe 133 +Sind die folgenden Funktionen injektiv? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion einschließlich ihres maximalen Definitionsbereichs ! +a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ +b) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ +c) $h:[2, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$ +$x \mapsto x^{3}+5$ +$x \mapsto-5 x^{2}-9$ +$x \mapsto x^{2}+6 x+19$ +d) $k:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$ +$$ +x \mapsto \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x} +$$ +Aufgabe 134 +Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl . +a) $f^{-1}(] 0,1[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}-4$. +b) $f\left(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]\right) \cap\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-\frac{1}{4} \geq 0\right\}$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x$. +c) $f^{-1}(] 1,2[) \cap f([1,2])$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto 3 x-3$. +Aufgabe 135 +Bestimmen Sie folgende Urbilder der Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Beachten Sie dabei, dass $f^{-1}$ im Allgemeinen keine Funktion ist. +a) $f^{-1}([-9,0])$ mit $f(x)=3 x^{2}-12$ und $D=\mathbb{R}$. +b) $f^{-1}([0,1])$ mit $f(x)=\tan x$, einmal mit $\left.D=\right]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ und dann mit $D=]-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\left[\backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right.$. +c) $f^{-1}([2,5])$ mit $f(x)=x^{2}+1$ und $D=\mathbb{R}$. +d) $f^{-1}(\{1\})$ mit $f(x)=\sin x$ und $D=\mathbb{R}$. +Aufgabe 136 +Ordnen Sie jeder der fünf Mengen +$\left.\left.\mathbb{R}, \mathbb{N}_{0},\right]-1,0\right],\{\}$,$\quad und \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}=\{x \in \mathbb{R} \mid x$ ist keine ganze Zahl $\}$ genau eine der Variablen $A, B, C, D$ und $E$ zu, so dass gilt: +$A \backslash\left(B \cup f^{-1}(C \cap D)\right)=E \quad$ mit $\quad f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sin (\pi x) .$ + +-98- +\newpage + +-99- + +Aufgabe 137 +Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung und/oder Durchschnitt von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl. +a) $\left.\left.f^{-1}([-1,1] \backslash\{0\}) \cap\right] 0,2 \pi\right]$ mit $f(x):=\sin x$. +b) $f^{-1}(] 2,5[)$ mit $f(x):=|x|$. +c) $f([-2,2]) \cup] 0,10]$ mit $f(x):=x^{2}$. +d) $f^{-1}(] 0, \infty[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x^{2}-x$. + +-99- + +\newpage + +-100- \ No newline at end of file diff --git a/I_Anhang.tex b/I_Anhang.tex new file mode 100644 index 0000000..6ad3f07 --- /dev/null +++ b/I_Anhang.tex @@ -0,0 +1,411 @@ +6.1 Etwas Aussagenlogik +In der Mathematik versteht man unter einer Aussage ein sprachliches Gebilde, für das es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr (W) oder falsch ( $F$ ) ist. Dabei bezeichnet $W$ beziehungsweise $F$ den Wahrheitswert der Aussage. Betrachten Sie die Beispiele: +\begin{tabular}{c|c|c} +Aussage & Wahrheitswert & Verwendete Sprache \\ +\hline Das Jahr 2020 ist ein Schaltjahr . & wahr & Umgangssprache \\ +\hline $2^{4}=16$ & wahr & Mathematische Formelsprache \\ +\hline Die Zahl 2 teilt die Zahl $9 .$ & falsch & Kombination beider \\ +\hline $2 \mathrm{H}_{2}+\mathrm{O}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ & wahr & Chemische Formelsprache \\ +\hline Jede gerade Zahl größer 2 ist & & \\ +die Summe zweier Primzahlen. & unbekannt & +\end{tabular} +Keine Aussagen dagegen sind beispielsweise die sprachlichen Gebilde: +"Heute haben wir schönes Wetter . " +"Lesen Sie dieses Buch durch!" +Sind $A$ und $B$ zwei beliebige Aussagen, dann lassen sich daraus durch Aussagenverbinder den sogenannten Junktoren neue Aussagen zusammensetzen. Die wichtigsten Junktoren und deren Bedeutung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. + +Die Wahrheitswerte der so zusammengesetzten Aussagen sind festgelegt und der folgenden Wahrheitstafel zu entnehmen . +\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c} +$A$ & $B$ & $\neg A$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\ +\hline$W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ \\ +\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ \\ +\hline$F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +-100- + +\newpage + +-101- + +Es wird hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass diese Tabelle eine Festlegung (Definition) der Bedeutung für die einzelnen Junktoren ist. Für diese Festlegung spricht einzig, dass sie sich als praktisch herausgestellt hat. +Bemerkung: +1) Das Wort oder wird im allgemeinen auf zwei Arten benutzt. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ oder auch beide, das heißt mindestens eine der beiden Alternativen tritt ein. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ aber nicht beide, das heißt oder im ausschließenden Sinn. Hier wird oder nur im nicht ausschließenden Sinn benutzt. +2) Die Wahrheitstafel der materialen Implikation ist vielleicht auf den ersten Blick nicht einzusehen. Wie ist etwa zu verstehen, dass aus etwas Falschem etwas Falsches folgt wahr sein soll (vierte Zeile in $A \Rightarrow B$ )? +Um die Wahrheitstafel der materialen Implikation einzusehen, betrachten Sie die beiden Aussagen: +A : Ich werfe einen Euro in den Getränkeautomaten. +$B$ : Ich erhalte ein Getränk. +Vereinbart man nun der Aussage $A \Rightarrow B$ den Wahrheitswert $W$ zuzuordnen falls man zufrieden ist und den Wahrheitswert $F$ zuzuordnen falls man unzufrieden ist, dann erhält man die obige Festlegung . + +Im Weiteren soll nur noch auf die materiale Implikation $\Rightarrow$ und materiale Äquivalenz $\Leftrightarrow$ näher eingegangen werden, weil sie für die Beweisführung (Kapitel 2 ) eine wichtige Rolle spielen. Für die materiale Implikation kurz auch nur Implikation genannt, sind die folgenden Sprechweisen üblich: +(1) Wenn $A$, dann $B$. +(2) Aus $A$ folgt $B$. +(3) $A$ ist hinreichend für $B$. +(4) $B$ ist notwendig für $A$. +Ebenso sind für die materiale Äquivalenz kurz auch nur Äquivalenz genannt, die folgenden Sprechweisen üblich: +(1) $A$ genau dann, wenn $B$. +(2) $A$ ist äquivalent $\mathrm{zu} B$. +(3) $A$ gilt genau dann, wenn $B$ gilt. +(4) $A$ ist hinreichend und notwendig für $B$. +Definition 6.1 Eine Aussageform heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn sie bei jeder Belegung zu einer Aussage mit dem Wahrheitswert W wird. + +-101- + +\newpage + +-102- + +Beispiel 69 +Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist . +Lösung: +Mittels der Wahrheitstafel gilt : +\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c} +$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\ +\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} +Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2) +$$ +\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) . +$$ +Beispiel 70 +Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist. +Lösung: +Mittels der Wahrheitstafel gilt : +\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c} +$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\ +\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} +Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden. + +-102- + +\newpage + +-103- + +Beispiel 69 +Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist . +Lösung: +Mittels der Wahrheitstafel gilt : +\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c} +$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\ +\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} +Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2) +$$ +\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) . +$$ +Beispiel 70 +Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist. +Lösung: +Mittels der Wahrheitstafel gilt : +\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c} +$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\ +\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ +\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ +\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} +Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden. + +-103- + +\newpage + +-104- + +6.2 Beweis der vollständigen Induktion +In Abschnitt $2.3$ wurde die Beweismethode der vollständigen Induktion vorgestellt, ohne aber den Wahrheitsgehalt dieser Beweismethode zu beweisen. Es hieß dort: + +Es sei $A(n)$ eine Aussage, welche von natürlichen Zahlen $n$ abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " .. +Satz 6.1 A( $n$ ) sei eine Aussageform, die durch Belegung mit beliebigen Elementen aus dem Zahlenabschnitt $\mathbb{Z}_{c}$ jeweils zu einer Aussage wird. Dann gilt: +$$ +\left(A(c) \wedge \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}[A(n) \Rightarrow A(n+1)]\right) \Rightarrow \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}} A(n) +$$ +Bemerkung: +Das Zeichen $\bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}$ bedeutet dabei ", für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ " und korrespondiert mit $\forall n \in \mathbb{Z}_{c}$. +Beweis : +Es wird angenommen, es gibt Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$, für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Sei also $K:=\left\{n \mid n \in \mathbb{Z}_{c}, \neg A(n)\right\}$ die Menge aller Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$ für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Dann ist zu zeigen, dass $K=\{\}$ ist und somit $A(n)$ für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ gilt. +Der Beweis von $K=\{\}$ erfolgt hier indirekt . +- Wegen $K \subset \mathbb{Z}_{c}$ gibt es eine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt. Nach Voraussetzung gilt die Aussage $A(c)$ und damit ist sicher, dass $c \notin K$ ist. Dann muss $n_{0}>c$ sein, woraus $n_{0}-1 \geq c$ folgt. +- Wegen $n_{0}-1 \notin K$ gilt also die Aussage $A\left(n_{0}-1\right)$. Dann folgt aus der Voraussetzung $A\left(n_{0}-1\right) \Rightarrow A\left(n_{0}\right)$, dass auch die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ gilt und damit der Widerspruch $n_{0} \notin K$. Also existiert keine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt, womit $K=\{\}$ bewiesen ist. + + +-104- + +\newpage + +-105- + +6.3 Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 3 oder 4 +In Abschnitt 4.7 über Polynome im Komplexen, wurden bereits die Lösungsverfahren für spezielle Typen von Gleichungen dritten und vierten Grades besprochen. Liegt allerdings keiner dieser speziellen Typen vor, dann können die in diesem Abschnitt hergeleiteten Lösungsformeln, die jedoch mit einem relativ hohen Rechenaufwand verbunden sind, benutzt werden. +1) Allgemeine Gleichung 3 - ten Grades +Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung dritten Grades $z^{3}+a z^{2}+b z+c=0 \quad$ für beliebige $a, b, c \in \mathbb{C}$. +(1) +Im ersten Schritt wird mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass das quadratische Glied in der Gleichung verschwindet. +$$ +\begin{aligned} +0 &=(w+\lambda)^{3}+a(w+\lambda)^{2}+b(w+\lambda)+c \\ +&=\left[w^{3}+3 \lambda w^{2}+3 \lambda^{2} w+\lambda^{3}\right]+\left[a w^{2}+2 a \lambda w+a \lambda^{2}\right]+[b w+b \lambda]+c \\ +&=w^{3}+(3 \lambda+a) w^{2}+\underbrace{\left(3 \lambda^{2}+2 a \lambda+b\right)}_{=: p} w+\underbrace{\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c}_{=: q} +\end{aligned} +$$ +Der quadratische Term $(3 \lambda+a) w^{2}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{3}$. Eingesetzt in $p$ und $q$ ergibt +$$ +\begin{aligned} +&p=3\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+2 a\left(-\frac{a}{3}\right)+b=\frac{a^{2}}{3}-\frac{2 a^{2}}{3}+b=-\frac{a^{2}}{3}+b \quad \text { und } \\ +&q=\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}+a\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c=-\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{a b}{3}+c=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c . +\end{aligned} +$$ +Die Lösungen der Gleichung ( 1 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{3}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung +$$ +w^{3}+\left(-\frac{a^{2}}{3}+b\right) w+\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=w^{3}+p w+q=0 +$$ +folgt. Für den speziellen Fall $p=0$ ergeben sich die Lösungen für $w$ aus den dritten Wurzeln von $-q$ (vgl. Abschnitt $4.6)$. Sei also im weiteren $p \neq 0$ angenommen. Durch eine zweite Substitution $w:=u+v$ folgt aus der Gleichung (2) +$$ +\begin{aligned} +0 &=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+3 u^{2} v+3 u v^{2}+v^{3}+p(u+v)+q \\ +&=u^{3}+3 u v(u+v)+v^{3}+p(u+v)+q \\ +&=u^{3}+v^{3}+q+(3 u v+p)(u+v) . +\end{aligned} +$$ +Weil über die Variablen $u$ und $v$ frei verfügt werden kann, können sie so gewählt werden, dass der Term $u+v$ verschwindet. Wählt man also +$p=-3 u v \Leftrightarrow u v=-\frac{p}{3} \quad(3)$, so folgt $\quad u^{3}+v^{3}+q=0 \Leftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q$ (4). + +-105- + +\newpage + +-106- + +Aus den beiden Gleichungen (3) und (4) folgt: +$$ +\begin{aligned} +q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3} &=\left(u^{3}+v^{3}\right)^{2}-4(u v)^{3}=u^{6}+2 u^{3} v^{3}+v^{6}-4 u^{3} v^{3} \\ +&=u^{6}-2 u^{3} v^{3}+v^{6}=\left(u^{3}-v^{3}\right)^{2} \\ +& \Rightarrow u^{3}-v^{3}=\pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} +\end{aligned} +$$ +Durch Addition beziehungsweise Subtraktion der Gleichungen (4) und (5) erhält man +$$ +\begin{aligned} +&2 u^{3}=-q \pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow u^{3}=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \text { und } \\ +&2 v^{3}=-q \mp \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow v^{3}=-\frac{q}{2} \mp \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} . +\end{aligned} +$$ +Wegen Gleichung (4) muss $u^{3}+v^{3}=-q$ gelten, was nur möglich ist für die beiden Kombinationen +$$ +\begin{aligned} +&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \\ +&u^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} +\end{aligned} +$$ oder +Die zweite Kombination ist äquivalent zur ersten Kombination, weil $u$ und $v$ in $w=u+v$ ausgetauscht werden können. Zieht man jetzt noch die dritten Wurzeln, so erhält man für $u$ und $v$ jeweils drei verschiedene Lösungen $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ beziehungsweise $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ (vgl. Abschnitt $4.6$ ) die so kombiniert werden müssen, dass die Bedingung $3 u v=-p$ erfüllt wird. Aus jedem solchen Paar erhält man mit $z=w-\frac{a}{3}$ eine Lösung der Gleichung (1). +Beispiel 71 +Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0$. +Lösung : +Aus den Koeffizienten $a=9, b=24, c=-9$ ergibt sich mit +$$ +z=w-\frac{a}{3}=w-3, \quad p=-\frac{a^{2}}{3}+b=-3, \quad q=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=-27 +$$ +die reduzierte Gleichung $w^{3}+p w+q=w^{3}-3 w-27=0$, deren Lösungen aus +$$ +\begin{aligned} +&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}+\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29}) \text { und } \\ +&v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}-\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29}) +\end{aligned} +$$ + +-106- + +\newpage + +-107- + +folgen. Mit der dritten Einheitswurzel $\omega=-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})$ (vgl. Abschnitt 4.6) ergeben sich damit für $u$ und $v$ jeweils die drei Lösungen +$$ +\begin{array}{lll} +u_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})} \\ +v_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})} . +\end{array} +$$ +Wegen $w=u+v$ können für $w$ eigentlich neun verschiedene Werte gebildet werden. Weil die Größen $u$ und $v$ aber noch die Gleichung $u v=-\frac{p}{3}=1$ erfüllen müssen, beschränkt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen von $u$ und $v$ auf die drei Lösungen +$$ +w_{1}=u_{1}+v_{1}, \quad w_{2}=u_{2}+v_{3} \quad \text { und } w_{3}=u_{3}+v_{2} . +$$ +Mit $z=w-3$ lauten die drei Lösungen der betrachteten Gleichung endlich +$$ +\begin{aligned} +z_{1}=w_{1}-3=& \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3}, \\ +z_{2}=w_{2}-3=&-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\ +=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\ +&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}\right] \\ +z_{3}=w_{3}-3=&\left.-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5} \sqrt{29}\right)-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\ +=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\ +&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] +\end{aligned} +$$ +Bemerkung: +1) Wie an den Lösungen aus diesem Beispiel zu erkennen ist, wäre es nahezu unmöglich, ja wenn nicht sogar unmöglich, eine dieser Lösungen zu erraten und dann mit dem Verfahren der Polynomdivision fortzufahren. +2) Die reelle Wurzel der Gleichung $w^{3}+p w+q=0$, das heißt die Wurzel +$$ +w=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}} +$$ + +-107- + +\newpage + +-108- + +ist unter dem Namen Cardanische Formel bekannt. Sie wurde benannt nach dem Mathematiker Gerolamo Cardano $(1501-1576)^{*}$, dem fälschlicherweise die Entdeckung dieser Lösungsformel zugeschrieben wurde. In Wahrheit stammt die Formel von dem Bologneser Mathematikprofessor Scipione del Ferro $(1465-1526)^{* *}$, dem das Auffinden dieses genialen Lösungsweges vorbehalten blieb. +2) Allgemeine Gleichung 4 - ten Grades +Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung vierten Grades $z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+c z+d=0 \quad$ für beliebige $a, b, c, d \in \mathbb{C} .$ +Auch hier wird im ersten Schritt mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass der kubische Term in der Gleichung verschwindet. +$$ +\begin{aligned} +0=&(w+\lambda)^{4}+a(w+\lambda)^{3}+b(w+\lambda)^{2}+c(w+\lambda)+d \\ +=& {\left[w^{4}+4 w^{3} \lambda+6 w^{2} \lambda^{2}+4 w \lambda^{3}+\lambda^{4}\right]+\left[a w^{3}+3 a w^{2} \lambda+3 a w \lambda^{2}+a \lambda^{3}\right] } \\ +&+\left[b w^{2}+2 b w \lambda+b \lambda^{2}\right]+[c w+c \lambda]+d \\ +=& w^{4}+(4 \lambda+a) w^{3}+\underbrace{\left(6 \lambda^{2}+3 a \lambda+b\right)}_{=: p} w^{2}+\underbrace{\left(4 \lambda^{3}+3 a \lambda^{2}+2 b \lambda+c\right)}_{=: q} w \\ +&+\underbrace{\lambda^{4}+a \lambda^{3}+b \lambda^{2}+c \lambda+d}_{=: r} +\end{aligned} +$$ +Der kubische Term $(4 \lambda+a) w^{3}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{4}$. Eingesetzt ergibt für $p, q$ und $r$ +$$ +\begin{aligned} +&p=6\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)+b=\frac{3 a^{2}}{8}-\frac{3 a^{2}}{4}+b=-\frac{3 a^{2}}{8}+b, \\ +&q=4\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+2 b\left(-\frac{a}{4}\right)+c=-\frac{a^{3}}{16}+\frac{3 a^{3}}{16}-\frac{a b}{2}+c=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c, \\ +&r=\left(-\frac{a}{4}\right)^{4}+a\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+b\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+c\left(-\frac{a}{4}\right)+d=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d . +\end{aligned} +$$ +Die Lösungen der Gleichung ( 6 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{4}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung +$$ +f(w):=w^{4}+p w^{2}+q w+r=0 +$$ +folgt. Falls $q=0$ oder $r=0$ ist, ergeben sich Sonderfälle der Gleichung (6) die bereits in Abschnitt $4.7$ besprochen wurden. Seien also im Weiteren $q \neq 0$ und $r \neq 0$ angenommen. +*) Gerolamo Cardano, italienischer Mathematiker, Arzt und Philosoph, geb. 24. September 1501 in Pavia, gest. 21. September 1576 in Rom . +**) Scipione del Ferro, geb. 6. Februar 1465 in Bologna, gest. 5. November 1526 in Bologna. Um 1500 entdeckte er die Methode zur Auflösung der Gleichung dritten Grades, veröffentlichte sie jedoch nicht. + +-108- +\newpage + +-109- + +Der Mathematiker Lodovico Ferrari $(1522-1565)$ * hatte die geniale Idee, die Gleichung +(7) in die Form +$$ +f(w)=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=w^{4}+\left(u-v^{2}\right) w^{2}-2 t v w+\frac{u^{2}}{4}-t^{2} +$$ +zu bringen. Der Koeffizientenvergleich mit ( 7 ) liefert dann das Gleichungssystem: +$$ +\begin{aligned} +&p=u-v^{2} \quad \Leftrightarrow \quad v^{2}=u-p \\ +&q=-2 t v \\ +&r=\frac{u^{2}}{4}-t^{2} \quad \Leftrightarrow \quad t^{2}=\frac{u^{2}}{4}-r +\end{aligned} +$$ +Aus (9) folgt mit (8) und (10) die Gleichung: +$$ +\begin{gathered} +q^{2}=4 t^{2} v^{2}=4\left(\frac{u^{2}}{4}-r\right)(u-p)=\left(u^{2}-4 r\right)(u-p)=u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p \\ +\Leftrightarrow u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=0 +\end{gathered} +$$ +Das ist eine Gleichung dritten Grades, deren Lösung oben behandelt worden ist. Von (11) reicht nur eine Lösung $u$ aus, um die vier Lösungen $w$ aus der Gleichung ( 7 ) zu gewinnen. Aus (8) folgt zunächst $v=\pm \sqrt{u-p}$. Setzt man $v=\sqrt{u-p}$, dann folgt wegen der Voraussetzung $q \neq 0$ aus $(9)$ sofort $t=-\frac{q}{2 v}(v \neq 0$ wegen $-2 t v=q \neq 0)$. Dann gelten die obigen Gleichungen für $p, q$ und $r$. Die Lösungen der Gleichung (7) ergeben sich also aus +$$ +\begin{aligned} +f(w)=w^{4}+p w^{2}+q w+r=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=0 \\ +& \Leftrightarrow\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}=(v w+t)^{2} \Leftrightarrow w^{2}+\frac{u}{2}=\pm(v w+t) \\ +& \Leftrightarrow w^{2}-v w+\frac{u}{2}-t=0 \quad \text { oder } w^{2}+v w+\frac{u}{2}+t=0 . +\end{aligned} +$$ +Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sowie den beiden Beziehungen $v=\sqrt{u-p}$ und $t=-\frac{q}{2 v}=-\frac{q}{2 \sqrt{u-p}}$ liefert mit $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ die vier Lösungen +$$ +\begin{aligned} +w_{1,2,3,4} &=\epsilon \frac{v}{2}+\delta \sqrt{\frac{v^{2}}{4}-\frac{u}{2}+\epsilon t}=\frac{1}{2}\left(\epsilon v+\delta \sqrt{v^{2}-2 u+4 \epsilon t}\right) \\ +&=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u-p}+\delta \sqrt{-p-u-\epsilon \frac{2 q}{\sqrt{u-p}}}\right) . +\end{aligned} +$$ +*) Lodovico Ferrari, italienischer Mathematiker, geb. 2. Februar 1522 in Bologna, gest. 5. Oktober 1565 in Bologna. Er fand mithilfe von Cardano die Auflösung der Gleichung vierten Grades. + +-109- + +\newpage + +-110- + +Die Lösungen von $(6)$ sind dann $z_{k}=w_{k}-\frac{a}{4}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$. +Beispiel 72 +Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{4}-4 z^{3}-3 z^{2}+29 z-29=0$. +Lösung : +Aus den Koeffizienten $a=-4, b=-3, c=29$ und $d=-29$ ergibt sich mit +$$ +\begin{array}{ll} +z=w-\frac{a}{4}=w+1, & p=-\frac{3 a^{2}}{8}+b=-9, \\ +q=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c=15, & r=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d=-6 +\end{array} +$$ +die reduzierte Gleichung $w^{4}-9 w^{2}+15 w-6=0$ und die zugehörige zu lösende Gleichung dritten Grades +$$ +u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=u^{3}+9 u^{2}+24 u-9=0 . +$$ +Die Lösungen der letzten Gleichung wurden schon im Beispiel 71 berechnet. Weil nur eine Lösung $u$ benötigt wird, kann die reelle Lösung +$$ +u=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-3 +$$ +benutzt werden, um die $w_{k}$ und damit schließlich die $z_{k}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$ zu bestimmen. Für $p=-9, q=1$ und $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ ergeben sich die Lösungen damitzu +$$ +z_{k}=w_{k}+1=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u+9}+\delta \sqrt{9-u-\epsilon \frac{30}{\sqrt{u+9}}}\right)+1 +$$ +Bemerkung: +1) Für Gleichungen vom Grad $n=1,2,3,4$ kann eine allgemeine Lösungsformel angegeben werden. Im Fall $n=3$ beispielsweise besteht sie aus einer Verschachtelung von Wurzeln ( sogenannte Radikale ) der Form $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$. Offensichtlich gibt es eine unerschöpfliche Mannigfaltigkeit von Radikalen, sodass man annehmen könnte, dass sich durch irgendeine Kombination dieser Radikale auch die allgemeine Gleichung fünften Grades lösen lässt. Es ist im Gegenteil bewiesen worden (u.a. von Carl Friedrich Gauß ), dass sich die Lösungen von Gleichungen höher als vierten Grades $\mathrm{im}$ Allgemeinen nicht durch Radikale darstellen lassen. Die Wurzeln der Gleichung vierten Grades sind ihrer algebraischen Struktur nach schon recht kompliziert. Die Lösungen von Gleichungen höherer Grade als vier sind im Allgemeinen wesentlich komplizierter . Man sagt auch, sie gehören einer weitaus verwickelterer Kategorie von Zahlen an. +2) Der Einblick in die Lösungsverhältnisse von Gleichungen höherer Grade ist darum schwierig zu gewinnen, weil sich spezielle Gleichungen sehr wohl durch Radikale lösen lassen. Der genaue und vollständige Überblick über alle durch Radikale lösbaren Gleichungen sämtlicher Grade wird durch die Galoissche Theorie [2] beschrieben. + +-110- + +-111- + +$6.4$ Computer - Algebra - Systeme +Mit modernen Computer - Algebra - Systemen (CAS), wie zum Beispiel das in diesem Buch verwendete Mathematica, lassen sich interessante mathematische Experimente betreiben und können für die Ingenieurmathematik ein äußerst nützliches Werkzug sein. Vor allem können diese Systeme Sie von der fehleranfälligen stupiden Routine - Rechenarbeit entlasten und Sie können sich dann auf die wesentlichen Konzepte konzentrieren. Jedoch lassen sich mit einem so mächtigen Werkzeug im Allgemeinen keine Beweise führen, womit Sie dann doch noch Ihren Kopf anstrengen müssen um so manche Aufgabe bewältigen zu können. + +In diesem Abschnitt soll keine Einführung in die Programmiersprache Mathematica gegeben werden, sondern vielmehr an einem Beispiel gezeigt werden, wie wirkungsvoll der Einsatz eines CAS ist. Für die Vielzahl der zur Verfügung stehenden Befehle und Optionen sei auf das ausgezeichnete Buch [3] verwiesen. Die Syntax der in dem folgenden Beispiel verwendeten Befehle ist allerdings so einfach, dass man sie auch verstehen kann, wenn man zuvor noch kein CAS benutzt hat . +Beispiel 73 +Betrachtet werde die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(z):=z^{3}+9 z^{2}+24 z-9$. Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Intervall $[-7,2]$. +Mathematica erledigt diese Aufgabe einfach durch Eingabe des Befehls: +$$ +\text { In }[1]:=\text { Plot }\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9,\{z,-7,2\}, \text { PlotRange } \rightarrow\{-40,40\}\right] +$$ +Out $[1]=$ - Graphics - +Jetzt interessieren uns die Nullstellen der Funktion $f$, also für die $f(z)=0$ gilt. Mit Mathematica ergeben sie sich durch Eingabe des Befehls + +-111- + + + +-112- + +In $[2]:=$ Solve $\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0, z\right]$; +Tableform [\%] +Out [3] $/ /$ TableForm $=$ +$$ +\begin{aligned} +&z \rightarrow-3+\frac{1}{3}\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}+\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\ +&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1-i i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\ +&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1-i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} +\end{aligned} +$$ +Vergleichen Sie diese Lösungen mit denen aus dem Beispiel 71 ! + +-112- + diff --git a/I_Loesungen.tex b/I_Loesungen.tex new file mode 100644 index 0000000..70bfe82 --- /dev/null +++ b/I_Loesungen.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +%!TEX root=../MathIng.tex + +\section{Grundzüge der Mengenlehre} +\subsection*{Aufgabe 1 a} +Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für +$$ +A=\{x \in \mathbb{R}|\;\abs{x}<8\} \text { und } B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\} . +$$ + +˝extbf{Lösung:} +\begin{figure}[ht] +\centering +\begin{tikzpicture} + +\draw[-latex] (0,0) -- (9,0); + +%\foreach\x/\y/\z in {4/2/A,5/3/B,6/4/C,2/.5/D,1/2/E,6/3/F,3/1.5/G,1/4/H} +% \draw [fill = black] (\x,\y)circle (1 mm) node[left] {\z}; + +\foreach\x/\y in {1/-8,3/2,5/8,8/\infty} +\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[yshift=-1em] {$\y$}; + + +\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/]} +\node at (\x,1.5em) {$\y$}; + +\draw[blue, thick] (1,0.1) -- (5,0.1); +\draw[red, thick] (3,0.15) -- (8,0.15); + + +\end{tikzpicture} +\end{figure} + +Die Mengen $A$ und $B$ lauten in Intervallschreibweise +$$ +\begin{aligned} +&A=\{x \in \mathbb{R}|\;| x \mid<8\}=\{x \in \mathbb{R} \mid-8