Bis Definition 2.2

Definitionen/I_D_22.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_22}
+
+Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{N}_{0}$ und $m, n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Produktzeichen definiert als
+$$
+\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_{n} .
+$$
+
+Für den Fall $m>n$ setzt man $\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=1$.
+
+\end{definition}

I_2.tex

@@ -227,12 +227,21 @@ Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden J
 
 2. Jahr 	&  $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$\\
 
-	&  \\
+3. Jahr	&  $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$\\
-	\hline
+& $\vdots$ \\ 
-	&  \\
+	
+n. Jahr	& $\begin{aligned}[t]
+K_{n} &=B q^{n}+B q^{n-1}+\ldots+B q=q B\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}\right) \\
+&=q B \sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=q B \frac{1-q^{n}}{1-q}
+\end{aligned}$ 
 \end{tabular}
 \end{beispiel}
 
+
+Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußerst effizient Produkte schreiben lassen.
+
+\input{Definitionen/I_D_22.tex}
+
 %%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
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@@ -242,24 +251,17 @@ Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden J
 
  
 
-3. Jahr $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$
 $$
-\text { n. Jahr } \begin{aligned}
+\text { }
-K_{n} &=B q^{n}+B q^{n-1}+\ldots+B q=q B\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}\right) \\
-&=q B \sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=q B \frac{1-q^{n}}{1-q}
-\end{aligned}
 $$
 -20-
 
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 -21-
-Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußerst effizient Produkte schreiben lassen.
+
-Definition $2.2$ Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{N}_{0}$ und $m, n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Produktzeichen definiert als
+Definition $2.2$
-$$
+
-\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_{n} .
-$$
-Für den Fall $m>n$ setzt man $\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=1$.
 Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen .
 Beispiel 19
 a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$