From 8cc31e71349ab8b377134df582c8689515e5da44 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Sven Riwoldt Date: Sat, 28 Feb 2026 13:09:04 +0100 Subject: [PATCH] Berichtigungen --- Beispiele/I_B_10.tex | 2 +- Definitionen.typ | 83 ++++++++++++ Definitionen/I_D_18.tex | 2 +- I_1.typ | 285 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ I_2.tex | 12 +- I_Vorwort.typ | 18 +++ MathIng.typ | 56 ++++++++ 7 files changed, 452 insertions(+), 6 deletions(-) create mode 100644 Definitionen.typ create mode 100644 I_1.typ create mode 100644 I_Vorwort.typ create mode 100644 MathIng.typ diff --git a/Beispiele/I_B_10.tex b/Beispiele/I_B_10.tex index 034044d..3d7e43d 100644 --- a/Beispiele/I_B_10.tex +++ b/Beispiele/I_B_10.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{beispiel}\label{B0010} \begin{itemize} \item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen. - \item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen. + \item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes \textbf{Tripel} $(x, y, z)$ reeller Zahlen. \end{itemize} \end{beispiel} \ No newline at end of file diff --git a/Definitionen.typ b/Definitionen.typ new file mode 100644 index 0000000..658d11d --- /dev/null +++ b/Definitionen.typ @@ -0,0 +1,83 @@ +#set page(paper: "a4") +#set heading(numbering: "1.") +#set math.equation(numbering: "(1)") + + /* \usepackage */utf8inputenc /* \usepackage */amsmath + + /* \usepackage */framed + + /* \usepackage */adjustbox + + /* \usepackage */top=2.5cm,bottom=3cm,left=2.5cm,right=2cm,twoside,a4paper,layout=a4paper, asymmetricgeometry + + /* \usepackage */enumerate /* \usepackage */hyperref +/* \usepackage */amsfonts /* \usepackage */amssymb + + /* \usepackage */makeidx /* \usepackage */graphicx +/* \usepackage */pgf,tikz,pgfplots + + /* \usepackage */tkz-euclide + + /* \usetikzlibrary */angles, arrows.meta, quotes, calc, babel, fadings, quotes + + /* \usetikzlibrary */intersections,through,backgrounds + + /* \usepackage */framemethod=tikzmdframed + + /* \usepackage */marginnote + +/* \pgfplotsset */compat=newest + + /* \usepackage */systeme + /* \usetikzlibrary */arrows /* \usetikzlibrary */positioning /* \usepackage */ngermanbabel /* \usepackage */float + + /* \usepackage */stmaryrd + + /* \usepackage */T1fontenc + /* \usepackage */cmbright + + /* \usepackage */longtable + + /* \usepackage */pgfplots + /* \usepackage */nicefrac + /* \definecolor */burlywoodrgb0.87, 0.72, 0.53 + + /* \usepackage */customcolorshf-tikz + + /* \usepackage */locale=DEsiunitx + + /* \usepackage */empheq /* \usepackage */mosttcolorbox + + /* \definecolor */cobaltrgb0.0, 0.28, 0.67 /* \addtokomafont */chapter#text(fill: cobalt)[] /* \definecolor */coolblackrgb0.0, 0.18, 0.39 /* \addtokomafont */section#text(fill: coolblack)[] + + /* \setlength *//* \parindent */0em + + /* \definecolor */myblueiRGB28,138,207 + + /* \mdtheorem */ backgroundcolor=lightgray!5!white, frametitlefont= /* \color{white} -> white */, linecolor=mybluei, frametitlebackgroundcolor=mybluei, frametitlerule=true, topline=false, rightline=false, leftline=false, definitionDefintionchapter + + /* \mdtheorem */ frametitlebackgroundcolor=blue!20!black, linecolor=blue!60!black, frametitlefont= /* \color{white} -> white */, + frametitlerule=true, topline=false, + rightline=false, leftline=false, beispielBeispielchapter + + /* \mdtheorem */ linecolor=burlywood, frametitlefont= /* \color{white} -> white */, frametitlebackgroundcolor=burlywood, satzSatzchapter + + /* \mdtheorem */ frametitlefont= /* \color{blue} -> blue */, +aufgabeAufgabechapter + + /* \usepackage */amsthm + +display + + /* \usepackage */mathtools + + /* \DeclarePairedDelimiter */ /* \abs */bar.v bar.v +/* \DeclarePairedDelimiter */ /* \norm */bar.v.double bar.v.double + + /* \usepackage */array /* \newcolumntype */x1> /* \arraybackslash */ #h()0ptp\#1 + + /* \@addtoreset */chapterpart + +// Conversion warnings: +// - Unsupported TeX primitive '\everymath' encountered. This may produce incorrect output. + diff --git a/Definitionen/I_D_18.tex b/Definitionen/I_D_18.tex index 8b282ab..2e7b8fd 100644 --- a/Definitionen/I_D_18.tex +++ b/Definitionen/I_D_18.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \begin{definition}\label{D1_1_18} -Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen. Dann gilt für die Menge der geordneten $\mathrm{n}$ - \textbf{Tupel}: +Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen. Dann gilt für die Menge der geordneten $\mathbf{n}$ - \textbf{Tupel}: $$ A_{1} \times \ldots \times A_{n}:=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \mid a_{k} \in A_{k}\right\} . $$ diff --git a/I_1.typ b/I_1.typ new file mode 100644 index 0000000..7b5528d --- /dev/null +++ b/I_1.typ @@ -0,0 +1,285 @@ +#set page(paper: "a4") +#set heading(numbering: "1.") +#set math.equation(numbering: "(1)") + +== Mengenbegriff, Elemente einer Menge + In der Mathematik ist es oft von Vorteil bestimmte Dinge oder Objekte zu einem Ganzen zusammenzufassen. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele: + + - Alle Augenzahlen eines Würfels. Dann sind die Objekte die Zahlen $1,2,3,4,5,6 $. + - Alle weiblichen Teilnehmer der Mathematikvorlesung Analysis für Ingenieure. Die Objekte sind hier die teilnehmenden Studentinnen. + - Alle Lösungen der Gleichung $x^(2)= 4 $. Das sind die Zahlen $x_(1)= - 2 $ und $x_(2)= 2 $. Die Objekte sind hier die beiden Lösungen $- 2,2 $. + - Alle Vokale in unserem Alphabet. Die Objekte sind hier die Buchstaben a, e, i, o, u. + + Der Mengenbegriff wurde durch den Mathematiker Georg Cantor (1845 — 1918)#footnote[Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, deutscher Mathematiker, geb. 3. März 1845 in Sankt Petersburg, gest. 6. Januar 1918 in Halle (Saale). Cantor war Professor in Halle und Begründer der Mengenlehre sowie der /* \Anfz */Wissenschaft des Unendlichen.] eingeführt, der zu den Mitbegründern der Mengenlehre zählt. Von ihm stammt die folgende + +// \input Definitionen/I_(D)_(0)1.tex + +// Aus dieser Definition lassen sich zwei wichtige Eigenschaften sofort ablesen. + +// + Die Forderung nach unterscheidbaren Objekten besagt, dass jedes Element genau nur #underline[einmal] in der Menge vorkommen darf. +// + Die Anordnung beziehungsweise Reihenfolge der Elemente ist dabei #underline[beliebig]. + +// Eine Menge ist dann bekannt, wenn ihre Elemente bekannt sind, das heißt, es muss eine Vorschrift existieren, aus der eindeutig hervorgeht, ob ein Element zur Menge gehört oder nicht. Diese Zuordnung kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen: + +// + Durch die *aufzählende* Form, wobei alle Elemente der Menge in geschweifte Klammern durch Kommata getrennt aufgelistet werden (sofern das überhaupt möglich ist), wie zum Beispiel $A : = a,b,c $. Gelesen als: Die Menge $A $ ist definiert als die Zusammenfassung der drei Elemente $a,b,c $. Dabei steht das Zeichen /* \glqq */:=/* \grqq */ für /* \glqq */ *ist definiert als*/* \grqq */. + +// + Durch die *beschreibende Form*, wobei die einzelnen Elemente nicht aufgezählt werden, sondern ihre Eigenschaft angegeben wird, wie zum Beispiel + +// $ A : = {x thick | thick x thick "ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets." } $ + +// Gelesen als: Die Menge $A $ ist definiert als die Zusammenfassung der Elemente x für die gilt, x ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets. Dabei steht das Zeichen /* \glqq */|/* \grqq */ in den geschweiften Klammern für /* \glqq */ *für die gilt*/* \grqq */. + +// Für das Beispiel alle Lösungen der Gleichung $x^(2)= 4 $ gibt es also zwei Möglichkeiten diese Menge zu definieren. In aufzählender Form $L : = - 2,2 $ oder in beschreibender Form $L = { x | x^(2) = 4 } $. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)2.tex + +// Es lässt sich jetzt eindeutig entscheiden, ob ein Element $x $ zu einer Menge $A $ gehört oder nicht. Betrachten Sie dazu das + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)1.tex + +// Eine Menge kann mehr oder weniger viele Elemente besitzen. Die Menge $A $ aus dem Beispiel @B0001 hat genau vier Elemente, wogegen die Menge $C $ unendlich viele Elemente besitzt. Dazu jetzt die + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)3.tex + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)2.tex + +// Die Menge $U $ aus dem Beispiel @B0002 legt die folgende Definition nahe. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)4.tex + +// == \texorpdfstringDie Zahlenmengen $\mathbbN, \mathbbZ, \mathbbQ, \mathbbR$Die Zahlenmengen N, Z, Q, R + +// Ein Schäfer möchte jeden Abend seine Schafe abzählen, die in mehr oder weniger großen Gruppen auf einer Wiese stehen. Dann reichen ihm die Zahlen $1,2,3,...$ völlig aus, um die Gesamtzahl der Schafe durch Abzählen zu ermitteln. Zum Beispiel zählt er in der ersten Gruppe $1 2 $ Schafe, in der zweiten Gruppe $3 $4 Schafe und in der dritten Gruppe $5 1 $ Schafe. Dann besitzt der Schäfer genau $1 2 + 3 4 + 5 1 = 9 7 $ Schafe. Das führt auf die + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)5.tex + +// In der Menge $NN $ lässt sich sogar rechnen. Seien $a $ und $b $ zwei beliebige natürliche Zahlen, dann ist die Summe und das Produkt dieser Zahlen jeweils wieder in der Menge der natürlichen Zahlen zu finden. Formal lässt sich das so ausdrücken: + +// $ forall a,b in NN "folgt" a + b in NN "und" a dot b in NN $ + +// Das Zeichen /* \Anfz */$forall $ steht für die Abkürzung /* \Anfz */*für alle*. Man sagt auch, dass die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist. + +// Trotzdem ist die Menge $NN $ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a,b in NN $ die Gleichung + +// $ a + x = b $ Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x $ in der Menge der natürlichen Zahlen? Die Antwort ist manchmal ja, aber auch manchmal nein. Die Gleichung $3 + x = 9 $ hat die Lösung $x = 6 in NN $ und die Gleichung $1 0 + x = 2 $ hat die Lösung $x = - 8 in.not NN $. Dieser Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a + x = b $ für beliebige Zahlen $a, b in NN $ in der Menge $NN $ lösbar ist, erzwingt eine Erweiterung der natürlichen Zahlenmenge um die negativen Zahlen ${- n divides n in NN }$ und insbesondere der Zahl Null. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)6.tex + +// Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt: $forall a, b in ZZ $ folgt $a + b in ZZ $ und $a dot b in ZZ $. Auch jede Gleichung der Form $a + x = b $ für beliebige $a, b in ZZ $ ist in der Menge der ganzen Zahlen lösbar. Sie hat die Lösung $x = b - a in ZZ $. Trotzdem ist auch die Menge $ZZ $ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a, b in ZZ $ die Gleichung $ a dot x = b $ Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x $ in der Menge der ganzen Zahlen? Die Antwort ist auch hier manchmal ja, aber auch manchmal nein. Zum Beispiel hat die Gleichung $3 dot x = - 3 0 $ die Lösung $x = - 1 0 in ZZ $ und die Gleichung $2 dot x = 3 $ die Lösung $x = 3/2 in.not ZZ $. Der unbefriedigende Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a dot x = b $ mit beliebigen Zahlen $a, b in ZZ $ und $a != 0 $ in der Menge $ZZ $ lösbar ist, erzwingt auch eine Erweiterung dieser Zahlenmenge um die noch fehlenden Brüche. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)7.tex + +// Offensichtlich stehen in dieser Menge auch alle ganzen Zahlen, denn jede beliebige ganze Zahl $p in ZZ $ lässt sich ja durch den Bruch $x = p/1$ darstellen. Allerdings können verschiedene Brüche wie zum Beispiel $1/2= frac(- 3, - 6)= frac(5 1 2, 1 0 2 4)$ dieselbe rationale Zahl darstellen. Eine eindeutige Darstellung einer rationalen Zahl $x $ ist erreichbar durch die zusätzliche Forderung $x = p/q$ mit $p in ZZ, q in NN $ und $p, q $ teilerfremd. Auf die Menge der rationalen Zahlen $QQ $ soll im Folgenden noch etwas ausführlicher eingegangen werden. + +// + In der Zahlenmenge $QQ $ sind nur die Brüche $x = p/q$ zugelassen für die $q != 0 $ gilt. Warum ist $q = 0 $ *verboten*? Oder anders formuliert: Warum darf man nicht durch die Zahl Null dividieren? Betrachten Sie dazu die folgende Rechnung: + +// Seien $a, b in QQ $ zwei beliebige ganze Zahlen, die die Bedingung $a = b != 0 $ erfüllen, also zwei gleiche ganze Zahlen. Mit der dritten binomischen Formel $(a - b)(a + b)= a^(2)- b^(2)$ folgt dann durch elementare Umformungen + +// $ a & = b & & | dot a nonumber \ a^(2) & = a dot b & & | - b^(2) nonumber \ a^(2)- b^(2) & = a dot b - b^(2) & & nonumber \ a^(2)- b^(2) & = b(a - b) & & | "dritte binomische Formel" nonumber \(a - b)(a + b) & = b(a - b) & & | :(a - b) nonumber \ a + b & = b & & | a = b "nach Voraussetzung" nonumber \ b + b & = b & & nonumber \ 2 b & = b & & | : b nonumber \ 2 & = 1 thick lightning& & nonumber $ + +// Offensichtlich ist das Ergebnis falsch! Aber wo liegt hier der Fehler? In der fünften Zeile wurde wegen der Voraussetzung $a = b $ durch den Term $a - b = 0 $ geteilt, was zu einem völlig unsinnigen Ergebnis führt. Deshalb ist die Division durch Null immer verboten! + +// + In welche Menge passt die Dezimalzahl $1,2 5 $? Diese Dezimalzahl lässt sich durch Erweiterung mit dem Bruch $frac(1 0 0, 1 0 0)$ schreiben als $1,2 5 = frac(1,2 5, 1) dot frac(1 0 0, 1 0 0)= frac(1 2 5, 1 0 0)= 5/4 in QQ $. Also ist diese Dezimalzahl eine rationale Zahl. Die Dezimalzahl $1 0 3,5 6 4 3 0 5 1 $ lässt sich ebenfalls durch die Erweiterung mit dem Bruch $frac(1 0 0 0 0 0 0 0, 1 0 0 0 0 0 0 0)$ schreiben als $1 0 3,5 6 4 3 0 5 1 = frac(1 0 3,5 6 4 3 0 5 1, 1) dot frac(1 0 0 0 0 0 0 0, 1 0 0 0 0 0 0 0)= frac(1 0 3 5 6 4 3 0 5 1, 1 0 0 0 0 0 0 0) in QQ $. Also ist auch diese Dezimalzahl eine rationale Zahl. + +// + Auch periodische Dezimalzahlen wie zum Beispiel $x = 1 1,4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 ...= 1 1,4 2 overline(2 3 2) $ sind rationale Zahlen. Denn es gilt $ 1 0 0 0 0 0 x & = 1 1 4 2 2 3 2, overline(2 3 2) = 1 1 4 2 2 3 2 + 0, overline(2 3 2) quad "und" \ 1 0 0 x & = 1 1 4 2, overline(2 3 2) = 1 1 4 2 + 0, overline(2 3 2) $ Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt + +// $ 1 0 0 0 0 0 x - 1 0 0 x = 9 9 9 0 0 x =(1 1 4 2 2 3 2 + 0, overline(2 3 2))-(1 1 4 2 + 0, overline(2 3 2))= 1 1 4 1 0 9 0 $ und damit ist $x = frac(1 1 4 1 0 9 0, 9 9 9 0 0)= frac(1 1 4 1 0 9, 9 9 9 0) in QQ $. Mit diesen Verfahren lässt sich im Prinzip jede Dezimalzahl mit endlich vielen Ziffern oder jede periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma in eine rationale Zahl überführen. Dagegen lässt sich jede nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma, wie zum Beispiel die Zahl $x = 5,1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ...$, nicht als rationale Zahl darstellen . + +// Die Menge der rationalen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt: + +// $forall a, b in QQ $ folgt $a + b in QQ $ und $a dot b in QQ $. Für alle $a, b in ZZ $ ist auch jede Gleichung der Form $a + x = b $ oder $a dot x = b, a != 0 $ in der Menge der rationalen Zahlen immer lösbar. Sie haben die Lösungen $x = b - a in QQ $ beziehungsweise $x = b/a in QQ $. + +// Auch die Zahlenmenge der rationalen Zahlen ist noch unvollständig, schon deshalb, weil es nichtperiodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma gibt, wie zum Beispiel $2,0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ...$, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. + +// Aber auch Gleichungen wie zum Beispiel $x^(2)= 2, x^(2)= 3, x^(3)= 2 $ usw. haben in der Menge $Q $ keine Lösung. Exemplarisch soll das für die Gleichung $x^(2)= 2 $ durch einen indirekten Beweis (näheres dazu im Abschnitt *#text(fill: red)[2.2])* gezeigt werden. Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, dass man annimmt, die Aussage ist falsch und stattdessen das logische Gegenteil richtig. + +// *Behauptung:* Die Gleichung $x^(2)= 2 $ hat keine rationale Zahl als Lösung (Dilemma des Pythagoras). + +// *Beweis:* Angenommen die Gleichung $x^(2)= 2(*)$ hat eine rationale Zahl als Lösung, dann lässt sich die Lösung $x $ als teilerfremden Bruch in der Form $x = p/q$ mit $p, q in QQ $ und $q != 0 $ darstellen. Auflösen nach $p $ und anschließendes Quadrieren ergibt zunächst + +// $ p^(2)= q^(2) x^(2) limits(=)^((*)) 2 q^(2) quad(* *) $ + +// Weil die Zahl $2 q^(2)$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^(2)$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^(2)$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p $ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade! Die Zahl $p $ muss daher von der Form $p = 2 k $ mit $k in ZZ $ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^(2)= 2 q^(2)$ und nach Division folgt $2 k^(2)= q^(2)$. Weil $2 k^(2)$ gerade ist und damit auch $q^(2)$, muss $q $ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q $ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x $ der Gleichung $x^(2)= 2 $ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x $ also keine rationale Zahl sein kann. $square.filled $ + +// #v(2em) + +// Das Symbol $square.filled $ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen. Die Lösungen der Gleichung $x^(2)= 2 $, also $x_(1,2)= plus.minus sqrt(2)$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $pi = 3,1 4 1 5 9 ...$ oder $e = 2,7 1 8 2 8 ...$ usw.. + +// *Bemerkung:* + +// Die Bedeutung der irrationalen Zahlen ist für den in der Praxis stehenden Ingenieur eher gering, weil man durch Abbrechen des Dezimalbruchs an einer geeigneten Stelle immer eine rationale Annäherung mit beliebiger Genauigkeit erzielen kann. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)8.tex + +// Wie man jetzt vielleicht denken mag, schließt sich hier der Kreis, denn in der Menge der reellen Zahlen $RR $ sind alle die Ihnen aus der Schule her vertrauten Rechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen möglich. Es zeigt sich aber, dass auch die Menge der reellen Zahlen noch unvollständig ist. Betrachten Sie dazu beispielsweise die Gleichung $x^(2)= - 1 $. Offensichtlich gibt es keine reelle Zahl $x in RR $ die diese Gleichung zu lösen vermag. Im @Chap4 wird eine weitere Zahlenbereichserweiterung der reellen Zahlen vorgenommen und man gelangt dann zu der komplexen Zahlenmenge $CC $, in der auch diese Gleichung lösbar ist. + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)3.tex + +// Wie an diesen Beispielen zu erkennen ist, braucht man zur Lösung einer Aufgabe häufig nicht immer alle reellen Zahlen, sondern häufig nur Teilbereiche der reellen Zahlen, sogenannte Intervalle. Man unterscheidet dabei in endliche und unendliche Intervalle. Für *endliche* Intervalle gilt: + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(0)9.tex + +// Unendliche Intervalle sind Intervalle die $- infinity$ oder $+ infinity$ als Intervallgrenzen haben. Bedenken Sie, dass $- infinity$ und $+ infinity$ keine reellen Zahlen sind sondern nur Zeichen, die andeuten sollen, das beliebig große negative beziehungsweise positive reelle Zahlen zulässig sind. Wäre nämlich $+ infinity$ die größte aller möglichen reellen Zahlen, dann ist $+ infinity+ 1 $ noch größer als $+ infinity$. Also kann $+ infinity$ nicht die größte reelle Zahl sein. Daher ist die Schreibweise $- infinity,+ infinity]$ *verboten*, weil das ja bedeuten würde, dass die /* \glqq */ Zahlen/* \grqq */$plus.minus infinity$ dem Intervall angehören obwohl sie gar nicht existieren! + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)0.tex + +// Als sehr vorteilhaft erweisen sich auch noch die beiden Abkürzungen $RR^(+): =(0, infinity)$ und $RR_(0)^(+): = lr([ 0, infinity)) . $ + +// == Mengenverknüpfungen + +// Betrachten Sie die beiden Mengen $M : = {2,4,8,1 6 }$ und $N : = { 2,2^(2), 2^(3), 2^(4) } . $ Man erkennt sofort, dass jedes Element der Menge $M $ auch ein Element der Menge $N $ ist und umgekehrt. Solche Mengen nennt man gleich. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)1.tex + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)4.tex + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)5.tex + +// Für die Zahlenmengen $NN = {1,2,3, ... }$ und $ZZ = {...,- 2,- 1,0,1,2, ... }$ stellt man fest, dass jedes Element der Menge $NN $ auch in der Menge $ZZ $ zu finden ist. Ebenso ist jedes Element der Menge $ZZ $ auch ein Element der Menge $QQ $ und jedes Element der Menge $QQ $ wiederum ein Element der Menge $RR $. Das führt auf die folgende + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)2.tex + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)6.tex + +// Der Mathematiker *John Venn* (1834-1923)#footnote[John Venn, englischer Mathematiker, geb. 4. August 1834 in Drypool (Hull, Humberside), gest. 4. April 1923 in Cambridge. Venn war in Cambridge mehr als 30 Jahre Professor für Logik und Naturphilosophie.] abstrahierte Mengen als ein Flächenstück in der Ebene. Man legt fest, das alle Elemente die zu einer Menge gehören innerhalb dieser Fläche liegen. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass eine solche Darstellung lediglich der Veranschaulichung dienen soll und *keinesfalls* die exakte Schreibweise für Mengen ersetzen kann. Die Teilmengenbeziehung lässt sich dann geometrisch durch sogenannte Venn - Diagramme darstellen wie etwa in der nachfolgenden Abbildung @Abb001. + +// Nach der Definition@D1-1-12 gilt für jede beliebige Menge $A $ selbstverständlich auch $A subset A $. Also ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Man unterscheidet nun zwischen echten und sogenannten unechten Teilmengen. + +// /* \input */Grafiken/I_(A)bb001.tex + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)3.tex + +// Mit dieser Definition sind also die leere Menge ${}$ und die Menge $A $ selbst unechte Teilmengen von $A $. Hier stellt sich gleich die Frage, wie viele echte und unechte Teilmengen hat eine endliche Menge überhaupt? + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)7.tex + +// Alle möglichen Teilmengen einer Menge bilden selbst wieder eine Menge, die sogenannte Potenzmenge. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)4.tex + +// Die Potenzmenge $cal(P)(A)$ der Menge $A $ aus dem Beispiel@B0007 lautet dann $ cal(P)(A)= {{},{a },{b },{c },{a, b },{a, c },{b, c },{a, b, c }} . $ + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)8.tex + +// Das führt auf die + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)5.tex + +// Dabei steht das Zeichen $and $ für *und* beziehungsweise das Zeichen $or $ für *oder*. + +// Die Fragen und Ergebnisse aus dem Beispiel @B0008 lassen sich damit kurz formulieren als + +// $ A sect B = {5 }, quad A union B = {1,3,4,5,6 } quad "und" quad A backslash B = {1,3 } $. + +// Durchschnitt, Vereinigung und Differenz zweier Mengen $A, B $ lassen sich wieder recht anschaulich durch Venn - Diagramme darstellen. + +// /* \input */Grafiken/I_(A)bb002.tex + +// *Bemerkung:* Ist der Durchschnitt zweier Mengen $A, B $ die leere Menge, also $A sect B = {}$, dann heißen die Mengen *unvereinbar* oder auch *disjunkt*. + +// Selbstverständlich lässt sich die Durchschnitts- und Vereinigungsmenge auch von endlich vielen Mengen $A_(1), A_(2), ..., A_(n)$ bilden. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)6.tex + +// Seien $A, B $ zwei beliebige Mengen und $a in A, b in B $. + +// Ein *geordnetes Paar* besteht aus zwei Elementen von denen eines, etwa $a $ als erstes gekennzeichnet ist und das andere als zweites. Man schreibt dann $(a, b)$ und ist nicht zu verwechseln mit der Menge ${a, b }$ beziehungsweise dem offenen Intervall $(a, b)$. Zwei geordnete Paare $(a, b)$ und $(c, d)$ sind genau dann gleich, wenn $a = c $ und $b = d $ gilt. + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(0)9.tex + +// Beachten Sie, dass die geordneten Paare $(1, alpha)$ und $(alpha, 1)$ verschieden sind. Dagegen sind die Mengen ${1, alpha }$ und ${alpha, 1 }$ gleich, weil sie die gleichen Elemente besitzen! + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)7.tex + +// Der Begriff der Produktmenge lässt sich auf natürliche Weise auch für mehr als zwei Mengen erweitern. + +// /* \input */Definitionen/I_(D)_(1)8.tex + +// /* \input */Beispiele/I_(B)_(1)0.tex + +// #pagebreak() + +// == Übungsaufgaben +// /* Begin aufgabe */ +// Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge $A sect B $, die Vereinigungsmenge $A union B $ und die beiden Differenzmengen $A backslash B $ beziehungsweise $B backslash A $ für: +// a) +// + $A = {x in RR | thick absx < 8 }$ und $B = {x in RR divides x >= 2 }$, +// + $A = {x in NN divides x <= 4 }$ und $B = {x in RR divides 0 <= x <= 4 }$. + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// Die Menge $M : =(floor.l 0,5[sect([1,3 ] union[4,7 ])) sect ] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinfachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen. + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// Vereinfachen Sie die nachfolgenden Mengen soweit wie möglich und skizzieren Sie Ihre Lösungen auf dem Zahlenstrahl. + +// a) +// + $M_(1): = X backslash(C sect(A backslash B))$ mit $X = RR, quad A =[0, infinity[, quad B = {1,3 }, quad C = ]- infinity, 3 ] . $ +// + $M_(2): = X backslash(D union((B backslash C) sect(A sect E)))$ mit $X = RR, quad A =[3, infinity[, quad B = NN, quad C = {4,5 }, quad D = ]- infinity, 1 ], quad E =[1,8 ] . $ + +// + $M_(3): =(A backslash B) sect(C union D)$ und $M_(4): =((D backslash A) sect(B backslash A)) union D $ mit $A =[- 3,1 ], quad B = {1,3,5 }, quad C = 1 5, infinity[, quad D = ]- infinity, 1 ] . $ + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// a) +// + Geben Sie die Potenzmenge $cal(P)(M)$ für die Menge $M : = { 1/2, sqrt(3) } $ an. +// + Wie viele Elemente (Mächtigkeit) $\# cal(P)(M)$ hat die Potenzmenge einer Menge $M $ mit $n in NN $ Elementen? Geben Sie dafür einen anschaulichen Beweis an. + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// Geben Sie die Menge $M $ konkret an und begründen Sie Ihre Argumentation sorgfältig ! + +// $ M : = { mat(delim: #none, n in NN, lr(frac(n - 1, 2^(n))< frac(1, 1 0) })) } $ +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// Bestimmen Sie die folgenden Mengen. + +// a) +// + $M_(1): = {x in RR divides x $ ist durch 2 teilbar $} sect {x in NN divides x $ ist durch 3 teilbar $}$ +// + $M_(2): = {n in NN divides n $ ist Primzahl $} sect {n in NN divides n $ ist gerade $}$ + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// Welche Mengen werden beschrieben durch: + +// a) +// + $M : = union.big_(k = 0)^(infinity) M_(k) quad $ mit $lr(quad M_(k): = {x in ] k pi,(k + 2) pi[ thin divides sin x = cos(x - pi/2) }) $. +// + $N : = sect.big_(k = 1)^(infinity) N_(k) quad $ mit $quad N_(k): = { 0, 1/k, frac(1, k + 1), frac(1, k + 2), ... } $. +// + Bildet die Vereinigung $M union N $ der Mengen aus a) und b) ein Intervall? + +// /* End aufgabe */ + +// /* Begin aufgabe */ +// + +// Bestimmen Sie die folgenden Mengen. + +// a) +// + $M_(1): = union.big_(m in ZZ backslash {0 }){x in RR divides m dot x in NN }$ +// + $lr(lr(M_(2): = union.big_(k = 1)^(infinity)thick ]) k - 1, k + 1 ]) $ +// + $M_(3): = sect.big_(a in RR){x divides(x - a)(x - 1)= 0 }$ +// + $M_(4): = sect.big_(k = 0)^(infinity){ x in RR divides sin(k dot x)= 0 and k in NN_(0) } $ +// + $M_(5): = union.big_(k = 1)^(infinity) B_(k) quad $ mit $quad B_(k)= {- k,- k + 1, ..., k - 1, k } quad $ und $quad k in NN $. +// + $M_(6): = sect.big_(v = 1)^(infinity) N_(v) quad $ mit $quad N_(v)= {0,1,2, ..., v } quad $ und $quad v in NN $. + +// /* End aufgabe */ + +// #pagebreak() + diff --git a/I_2.tex b/I_2.tex index 54f136c..c709fc8 100644 --- a/I_2.tex +++ b/I_2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ Jede mathematische Aussage bedarf eines Beweises. Dazu bedient man sich im wesentlichen dreier Methoden, die in diesem Kapitel vorgestellt werden sollen. \section{Direkter Beweis} -Das Ziel ist es, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen. Hierzu kann man sich der direkten Beweismethode bedienen, deren Prinzip darin besteht, dass man mit der Aussage $A$ beginnt und diese durch erlaubte mathematische Operationen in die Aussage $B$ überführt $(A \Rightarrow B)$. +Das Ziel ist es, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen. Hierzu kann man sich der \textbf{direkten Beweismethode} bedienen, deren Prinzip darin besteht, dass man mit der Aussage $A$ beginnt und diese durch \underline{erlaubte} mathematische Operationen in die Aussage $B$ überführt $(A \Rightarrow B)$. Der direkte Beweis ist die am häufigsten verwendete Methode wohl aber auch die schwierigste. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele. @@ -54,10 +54,14 @@ S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1 Die gliedweise Addition der Gleichungen $(i)$ und $($ ii $)$ liefert schließlich die Behauptung. + \begin{align*} -2 S_{n}&=(n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)+\ldots+(3+n-2)+(2+n-1)+(1+n)\\ -&=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)}_{n\; \text{gleiche Summanden}}=n(n+1)\\ -\Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)}{2} +2 S_n & = (n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)+\ldots+(3+n-2)+(2+n-1)+(1+n) \\ +& =\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)}_{n \text { gleiche Summanden }}=n(n+1) +\end{align*} +\hspace{-5mm}\vspace{-6mm} +\begin{align*} + \Rightarrow \quad S_n=\frac{n(n+1)}{2} \end{align*} \hfill $\blacksquare$ diff --git a/I_Vorwort.typ b/I_Vorwort.typ new file mode 100644 index 0000000..5d2cb06 --- /dev/null +++ b/I_Vorwort.typ @@ -0,0 +1,18 @@ +#set page(paper: "a4") +#set heading(numbering: "1.") +#set math.equation(numbering: "(1)") + +Die Reihe angewandte Mathematik für Ingenieure richtet sich in erster Linie an Studierende der ingenieurwissenschaftlichen Fakultäten an Universitäten, aber auch an diejenigender Fachhochschulen, die sich im Grundstudium ihrer Ausbildung befinden. Der direkte Wechsel von der Schulmathematik in die Hochschulmathematik bereitet vielen Studierenden erhebliche Schwierigkeiten, weil sie zum einen mit dem Tempo des in der Vorlesung behandelten Stoffes und zum anderen mit der enorm gestiegenen Abstraktionsfähigkeit überfordert sind. Von den Studierenden wurde vielfach der Wunsch geäußert, ein Buch zu schreiben, das die für den Ingenieur wichtigen mathematischen Teilgebiete in möglichst anschaulicher Weise darstellt und eine große Anzahl an Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen bereitstellt. Aus diesem Anliegen sind schließlich 13 Bände geworden, die den Inhalt der Lehrveranstaltungen Analysis, lineare Algebra und Differenzialgleichungen im Grundstudium zum größten Teil abdecken. + + Für den Ingenieur werden die zum Teil sehr abstrakten Beweise der Sätze oft nur als lästiger Ballast empfunden und werden daher allzu gerne überflogen oder sogar vollständig ignoriert, obwohl sie für das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge unverzichtbar sind. Daher wurde hier besonders Wert auf eine anschauliche Beweisführung gelegt, die auch für Nichtmathematiker verständlich und nachvollziehbar ist. Das Hauptanliegen dieser Reihe besteht aber vor allem darin, das mathematische /* \glqq */ Handwerkszeug/* \grqq */‚ das zum Lösen einer Aufgabe unabdingbar ist, zu vermitteln. Dazu finden Sie im Text neben den zahlreich eingefügten Beispielen nach jedem Kapitel eine Vielzahl von Übungsaufgaben, an denen Sie den vermittelten Stoff festigen können. Im Unterschied zu den meisten anderen Lehrbüchern der Mathematik sind hier die ausführlichen Lösungen aller Übungsaufgaben im letzten Kapitel angegeben und nehmen auch den größten Umfang dieses Bandes ein. Damit sich die Lösung einer Übungsaufgabe schnell finden lässt, ist im Kapitel Lösungen der Übungsaufgaben zur Orientierung die Aufgabennummer links beziehungsweise rechts oben auf jeder Seite auf schwarzem Hintergrund dargestellt. + + Bevor Sie eine Übungsaufgabe bearbeiten, sollten Sie sich zuerst mit den Grundlagen, die für die Lösung dieser Aufgabe nötig sind, genaustens vertraut machen. Dazu dienen neben diesem Buch in erster Linie die Vorlesungsskripte und die Ihnen angebotenen Tutorien, aber auch andere geeignete Mathematikbücher können dabei hilfreich sein. Machen Sie auf keinen Fall den Fehler, sich sofort die Lösung einer Übungsaufgabe anzuschauen, sondern versuchen Sie selbst erst einmal einen Lösungsansatz zu finden. Das kann unter Umständen schon einmal bis zu mehreren Stunden dauern. Oft gibt es auch mehrere Lösungswege, die zum Ziel führen, die vielleicht auch kürzer sind als die Lösung, die in diesem Buch angeboten wird. Eine gewisse Routine bei der Lösung eines mathematischen Problems stellt sich erfahrungsgemäß aber erst dann ein, wenn Sie eine größere Anzahl von Übungsaufgaben selbstständig bearbeitet haben. + + Dieser erste Band angewandte Mathematik für Ingenieure ist als Einstieg in die sogenannte höhere Mathematik zu verstehen. Vermittelt werden hier zunächst einige Grundlagen aus der Mengenlehre und die drei wichtigsten Beweismethoden (direkter Beweis, indirekter Beweis, vollständige Induktion), ohne die die höhere Mathematik nicht zu betreiben wäre. Neben Gleichungen spielen in der Mathematik Ungleichungen eine außerordentlich wichtige Rolle, da sich viele Aussagen erst mithilfe von Ungleichungen beweisen lassen. Daher ist diesem Themenkomplex ein eigenes Kapitel gewidmet worden. Für manche Anwendungen, zum Beispiel aus der Elektrotechnik oder aus der Mechanik, ist es von Vorteil, die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der komplexen Zahlen zu erweitern, da sich dadurch erhebliche Rechenvorteile ergeben. Aus diesem Grund nehmen die komplexen Zahlen einen relativ großen Raum in diesem Buch ein. Vorausgesetzt werden hier gewisse mathematische Grundkenntnisse, wie sie etwa in Grundkursen der gymnasialen Oberstufe oder der Fachoberschulen vermittelt werden. Das sind insbesondere die Potenz- und Wurzelrechnung, binomischen Formeln, binomische Ergänzung, Polynomdivision, das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen sowie die Grundlagen der Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen. Falls Ihnen diese Grundlagen nicht oder nur lückenhaft vertraut sein sollten, empfehlen sich zur Aufarbeitung die ausgezeichneten und leicht verständlichen Lehrbücher von Lothar Kusch. + + #v(5mm) Berlin im Winter 2016 + + #v(2em) Dietmar Haase + +#pagebreak() + diff --git a/MathIng.typ b/MathIng.typ new file mode 100644 index 0000000..5a68266 --- /dev/null +++ b/MathIng.typ @@ -0,0 +1,56 @@ +#set document( + title: "Angewandte Mathematik für Ingenieure - Ein Lehr- und Übungsbuch ab dem ersten Semester", + author: "Dietmar Haase", +) + +#set page(paper: "a4") +#set heading(numbering: "1.") +#set math.equation(numbering: "(1)") + +#align(center)[ + #text(size: 2em, weight: "bold")[Angewandte Mathematik für Ingenieure - Ein Lehr- und Übungsbuch ab dem ersten Semester] + + #text(size: 1.2em)[Dietmar Haase] + +] + + /* \RedeclareSectionCommand */ + +/* \maketitle */ + +#v(2em) +#align(center)[ + #text(1.2em)[Part I] + #v(0.5em) + #text(2em, weight: "bold")[Band I - Mengen] +] +#v(2em) +#include("Definitionen.typ") += Vorwort + +#include("I_Vorwort.typ") + += Grundzüge der Mengenlehre + //#include("I_1.typ") + /* \input */ +/*= Mathematische Beweismethoden + /* \input */I_(2).tex + += Gleichungen und Ungleichungen + /* \input */I_(3).tex + += Komplexe Zahlen + + + /* \input */I_(4).tex + += Abbildungen + /* \input */I_(5).tex + += Anhang + /* \input */I_(A)nhang.tex + += Lösungen der Übungsaufgaben + /* \input */I_(L)oesungen.tex + +*/ \ No newline at end of file