From 989b86c781353ccf4153fd0abfab8b4f592bdd98 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Sven Riwoldt Date: Mon, 9 Mar 2026 08:31:19 +0100 Subject: [PATCH] Kapitel 2 fortgesetzt --- .gitignore | 5 ++++ I_1.typ | 2 +- I_2.tex | 74 ++++++++++++++++++++++++++--------------------------- MathIng.typ | 4 +-- 4 files changed, 44 insertions(+), 41 deletions(-) create mode 100644 .gitignore diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..809a6fa --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,5 @@ + .DS_Store + *.aux + *.log + *.synctex.gz + *.toc diff --git a/I_1.typ b/I_1.typ index 7b5528d..790a140 100644 --- a/I_1.typ +++ b/I_1.typ @@ -100,7 +100,7 @@ // $ p^(2)= q^(2) x^(2) limits(=)^((*)) 2 q^(2) quad(* *) $ // Weil die Zahl $2 q^(2)$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^(2)$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^(2)$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p $ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade! Die Zahl $p $ muss daher von der Form $p = 2 k $ mit $k in ZZ $ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^(2)= 2 q^(2)$ und nach Division folgt $2 k^(2)= q^(2)$. Weil $2 k^(2)$ gerade ist und damit auch $q^(2)$, muss $q $ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q $ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x $ der Gleichung $x^(2)= 2 $ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x $ also keine rationale Zahl sein kann. $square.filled $ - + // #v(2em) // Das Symbol $square.filled $ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen. Die Lösungen der Gleichung $x^(2)= 2 $, also $x_(1,2)= plus.minus sqrt(2)$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $pi = 3,1 4 1 5 9 ...$ oder $e = 2,7 1 8 2 8 ...$ usw.. diff --git a/I_2.tex b/I_2.tex index dd1efa3..e92add2 100644 --- a/I_2.tex +++ b/I_2.tex @@ -112,63 +112,61 @@ Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe \input{Definitionen/I_D_21.tex} -%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%% - --16- -\newpage --17- - - - - -Beispiel 15 - - - -2.3 Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen. -Beispiel 16 -a) $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$ - --17- +\begin{beispiel}\label{B0016} +\begin{enumerate}[a)] + \item $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$ + \item $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$ + \item $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$ +\end{enumerate} +\end{beispiel} \newpage --18- - -b) $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$ -c) $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$ Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengestellten Gesetze. \begin{satz}\label{S0001} + \begin{align} + \sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\ + \sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\ + \sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\ + \sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\ + \sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} + \end{align} + + Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt: \begin{align} -\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\ -\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\ -\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\ -\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\ -\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} -\end{align} - -Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt: - -\begin{align} -\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l} + \sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l} \end{align} \end{satz} -Beweis: -Mit der Definition $2.1$ gilt : -(1) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$ +%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%% +\newpage + + + +\newpage + + + + +\textbf{Beweis}: + +Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt : + + +\begin{enumerate}[(1)] +\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$ $$ =a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) $$ -(2) $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$ +\item $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$ $$ =c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} $$ - +\end{enumerate} -18- \newpage diff --git a/MathIng.typ b/MathIng.typ index 5a68266..63dd27d 100644 --- a/MathIng.typ +++ b/MathIng.typ @@ -25,13 +25,13 @@ #text(2em, weight: "bold")[Band I - Mengen] ] #v(2em) -#include("Definitionen.typ") +//#include("Definitionen.typ") = Vorwort #include("I_Vorwort.typ") = Grundzüge der Mengenlehre - //#include("I_1.typ") + #include("I_1.typ") /* \input */ /*= Mathematische Beweismethoden /* \input */I_(2).tex