Wieder ein wenig erweitert

I_2.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-%!TEX root=../MathIng.tex
+%!TEX root=MathIng.tex
 
 Jede mathematische Aussage bedarf eines Beweises. Dazu bedient man sich im wesentlichen dreier Methoden, die in diesem Kapitel vorgestellt werden sollen.
 
@@ -141,6 +141,22 @@ Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengest
 \end{align}
 \end{satz}
 
+\textbf{Beweis}:
+
+Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt :
+
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}=a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)$
+\item $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}=c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k}$
+
+\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}$
+
+\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{u}+a_{u+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k}$
+
+\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \cdot\left(b_{u}+b_{u+1}+\ldots+b_{v}\right)$
+\end{enumerate}
+
 
 %%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
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@@ -152,29 +168,11 @@ Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengest
 
 
 
-\textbf{Beweis}:
 
-Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt :
-
-
-\begin{enumerate}[(1)]
-\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$
-$$
-=a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)
-$$
-\item $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$
-$$
-=c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k}
-$$
-\end{enumerate}
 
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-(3) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}$
-(4) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{u}+a_{u+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k}$
-(5) $\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \cdot\left(b_{u}+b_{u+1}+\ldots+b_{v}\right)$
 $$
 \begin{aligned}
 &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k} b_{u}+a_{k} b_{u+1}+\ldots+a_{k} b_{v}\right)=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i} \\