Formatierungen

I_2.tex

@@ -116,7 +116,7 @@ Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe
 Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen.
 
 \begin{beispiel}\label{B0016}
-\begin{enumerate}[a)]
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
 	\item $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$
 	\item $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$
 	\item $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$
@@ -146,89 +146,102 @@ Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengest
 Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt :
 
 
-\begin{enumerate}[(1)]
-\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}=a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)$
-\item $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}=c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k}$
-
-\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}$
-
-\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{u}+a_{u+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k}$
-
-\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \cdot\left(b_{u}+b_{u+1}+\ldots+b_{v}\right)$
-\end{enumerate}
 
 
-%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
-\newpage
+\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+	
+\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n a_k+\sum_{k=m}^n b_k & =a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n+b_m+b_{m+1}+\ldots+b_n \\ & =a_m+b_m+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_n+b_n=\sum_{k=m}^n\left(a_k+b_k\right)\end{aligned}$
+	
+
+\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n c \cdot a_k & =c \cdot a_m+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_n \\ & =c \cdot\left(a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\right)=c \sum_{k=m}^n a_k\end{aligned}$
+
+\item $\sum_{k=m}^n a_k=\sum_{i=m}^n a_i=\sum_{j=m}^n a_j=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n$
 
 
+\item $\sum_{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_u+a_{u+1}+\ldots+a_n=\sum_{k=m}^u a_k+\sum_{k=u+1}^n a_k$
 
-\newpage
+\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n a_k \sum_{i=u}^v b_i & =\sum_{k=m}^n a_k \cdot\left(b_u+b_{u+1}+\ldots+b_v\right) \\ & =\sum_{k=m}^n\left(a_k b_u+a_k b_{u+1}+\ldots+a_k b_v\right)=\sum_{k=m}^n \sum_{i=u}^v a_k b_i \\ \sum_{i=u}^v \sum_{k=m}^n a_k b_i & =\sum_{i=u}^v\left(a_m b_i+a_{m+1} b_i+\ldots+a_n b_i\right) \\ & \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=u}^v a_m b_i+\sum_{i=u}^v a_{m+1} b_i+\ldots+\sum_{i=u}^v a_n b_i \\ & \stackrel{(2)}{=} a_m \sum_{i=u}^v b_i+a_{m+1} \sum_{i=u}^v b_i+\ldots+a_n \sum_{i=u}^v b_i \\ & =\left(a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\right) \sum_{i=u}^v b_i=\sum_{k=m}^n a_k \sum_{i=u}^v b_i\end{aligned}$
+\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m+l}^{n+l} a_{k-l} & =a_{m+l-l}+a_{m+l+1-l}+\ldots+a_{n+l-l} \\ & =a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n=\sum_{k=m}^n a_k\end{aligned}$
 
+\end{enumerate}\hfill $\blacksquare$
 
-
-
-
-
--18-
-\newpage
--19-
-$$
-\begin{aligned}
-&=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k} b_{u}+a_{k} b_{u+1}+\ldots+a_{k} b_{v}\right)=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i} \\
-\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} &=\sum_{i=u}^{v}\left(a_{m} b_{i}+a_{m+1} b_{i}+\ldots+a_{n} b_{i}\right) \\
-& \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=u}^{v} a_{m} b_{i}+\sum_{i=u}^{v} a_{m+1} b_{i}+\ldots+\sum_{i=u}^{v} a_{n} b_{i} \\
-& \stackrel{(2)}{=} a_{m} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+a_{m+1} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+\ldots+a_{n} \sum_{i=u}^{v} b_{i} \\
-&=\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right) \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}
-\end{aligned}
-$$
-(6) $\sum_{k=m+l}^{n+l} a_{k-l}=a_{m+l-l}+a_{m+l+1-l}+\ldots+a_{n+l-l}$
-$$
-=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{n} a_{k}
-$$
-Beispiel 17
+\begin{beispiel}\label{B0017}
 Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4$ soweit wie möglich.
-Lösung:
-Mit Satz $2.1$ gilt
-$$
-\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .
-$$
+
+\textbf{Lösung:}
+Mit Satz \ref{S0001} gilt
+$\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .	$
+
+\end{beispiel}
+
 Eine der wichtigsten Summen überhaupt in der Mathematik ist die Summe
 $$
 S_{n}:=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n},
 $$
-die auch als geometrische Summe bezeichnet wird.
+die auch als \textbf{geometrische Summe }bezeichnet wird.
 
--19-
-\newpage
--20-
-Satz $2.2$ Sei $q \in \mathbb{R}$. Dann gilt für die geometrische Summe die Summenformel
+\begin{satz}\label{S0002}
+Sei $q \in \mathbb{R}$. Dann gilt für die geometrische Summe die Summenformel
 $$
 S_{n}=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\left\{\begin{array}{lll}
-n+1 & \text { für } & q=1 \\
-\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text { für } & q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}
+	n+1 & \text { für } & q=1 \\
+	\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text { für } & q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}
 \end{array}\right.
 $$
-Beweis:
+\end{satz}
+
+
+\textbf{Beweis}:
+
 Der Beweis wird hier direkt geführt. Dazu schreibt man die beiden Summen $S_{n}$ und $q \cdot S_{n}$ untereinander auf.
-$$
-\begin{aligned}
-S_{n} &=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+q^{n} \\
-q \cdot S_{n} &=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}
-\end{aligned}
-$$
-Subtrahiert man jetzt von der Gleichung ( $i$ ) die Gleichung (ii), dann heben sich die Summanden $q, q^{2}, \ldots, q^{n}$ heraus und dann folgt für alle $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$
+
+\begin{subequations}
+	% Dieser Befehl ändert die Anzeige der Nummer auf kleine römische Zahlen:
+	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
+	
+	\begin{align}
+		S_{n} &=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+q^{n} \label{eq:punkt1} \\
+		q \cdot S_{n} &=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}  \label{eq:punkt2} 
+	\end{align}
+\end{subequations}
+
+Subtrahiert man jetzt von der Gleichung (\ref{eq:punkt1}) die Gleichung (\ref{eq:punkt2}) dann heben sich die Summanden $q, q^{2}, \ldots, q^{n}$ heraus und dann folgt für alle $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$
 $$
 S_{n}-q \cdot S_{n}=1-q^{n+1} \Rightarrow(1-q) S_{n}=1-q^{n+1} \quad \Rightarrow \quad S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
 $$
 Für $q=1$ erhält man $S_{n}=1+1+1+\ldots+1=(n+1) \cdot 1=n+1$.
+
+\hfill $\blacksquare$
+
 Auch im alltäglichen Leben spielt die geometrische Summe eine wichtige Rolle. Zum Beispiel bei der Verzinsung eines Kapitals über mehrere Jahre hinweg. Betrachten Sie dazu das folgende
-Beispiel 18
+
+\begin{beispiel}\label{B0018}
 Ein Anleger bringt zu Beginn eines jeden Jahres den festen Betrag $B$ zur Bank, der mit dem festen Zinssatz $p$ am Ende eines jeden Jahres verzinst wird und seinem Konto gutgeschrieben wird. Bestimmen Sie den ersparten Betrag $K_{n}$ nach $n$ Jahren.
-Lösung:
+
+\textbf{Lösung:}
+
 Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden Jahres multipliziert werden muss. Dann ergibt sich die folgende Kapitalentwicklung jeweils am Ende des
-1. Jahr $\quad K_{1}=B q$
-2. Jahr $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$
+
+\begin{tabular}{ll}
+1. Jahr	& $ K_{1}=B q$ \\
+
+2. Jahr 	&  $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$\\
+
+	&  \\
+	\hline
+	&  \\
+\end{tabular}
+\end{beispiel}
+
+%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
+\newpage
+
+\newpage\newpage\newpage\newpage\newpage
+
+
+
+ 
+
 3. Jahr $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$
 $$
 \text { n. Jahr } \begin{aligned}
@@ -508,7 +521,7 @@ $$
 
 Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe eines Produktzeichens.
 
-\begin{enumerate}[a)]
+\begin{enumerate}[label=a)]
 \item $1 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 81 \cdot 121 \cdot 169$
 \item $\frac{1}{4-2} \cdot \frac{1}{9-3} \cdot \frac{1}{16-4} \cdot \frac{1}{25-5} \cdot \frac{1}{36-6}$
 \end{enumerate}
@@ -516,7 +529,7 @@ Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe eines Produktzeichens.
 
 \begin{aufgabe}\label{A0010}
 Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens.
-\begin{enumerate}[a)]
+\begin{enumerate}[label=a)]
 \item $1+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{28}+\frac{1}{45}+\frac{1}{66}$
 \item $\frac{18}{27}+\frac{32}{64}+\frac{50}{125}+\frac{72}{216}+\frac{98}{343}+\frac{128}{512}$
 \end{enumerate}