Kapitel 2 erweitert

I_2.tex

@@ -168,6 +168,8 @@ Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{
 
 \textbf{Lösung:}
 Mit Satz \ref{S0001} gilt
+
+
 $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .	$
 
 \end{beispiel}
@@ -242,7 +244,7 @@ Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußers
 
 Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen.
 
-\begin{beispiel}\label{B0018}
+\begin{beispiel}\label{B0019}
 
 \begin{enumerate}[label=\alph*) ]
 
@@ -253,6 +255,37 @@ Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effiz
 
 \end{beispiel}
 
+Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
+
+\input{Definitionen/I_D_23.tex}
+
+
+Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
+$$
+n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
+$$
+ablesen .
+
+\begin{beispiel}\label{B0020}
+	
+Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
+
+\textbf{Lösung:}
+
+An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .	
+
+An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.
+
+
+\parbox{15cm}{%
+\input{Grafiken/I_Abb003.tex}
+}
+
+
+\end{beispiel}
+
+
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 %%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
 \newpage
 
@@ -276,29 +309,20 @@ Definition $2.2$
 Beispiel 19
 a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$
 b) $\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{\mu-1} \cdot x_{\mu}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{\mu} x_{k}}$
-Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
-Definition 2.3 Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt
-$$
-n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
-$$
-n - Fakultät. Man definiert weiter $0 !:=1$.
-Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
-$$
-n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
-$$
-ablesen .
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 Beispiel 20
-Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
-Lösung:
-An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .
+
 -21-
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-An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.
 
-\input{Grafiken/I_Abb003.tex}
+
 
 Man erkennt aus dieser Abbildung, dass es genau $3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Anders formuliert kann man diese Aufgabe auch so interpretieren: Wie viele verschiedene Tripel lassen sich aus der Menge $\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\right\}$ bilden, wenn jedes Element nur einmal vorkommen darf? Es sind genau 3 ! solcher Tripel, nämlich
 $$