Kapitel 2 erweitert

Definitionen/I_D_23.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\begin{definition}\label{D1_23}Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt
+	$$
+	n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
+	$$
+	$\mathbf{n}$ - \textbf{Fakultät}. \textit{Man definiert weiter} $0 !:=1$.
+\end{definition}

Grafiken/I_Abb003.tex

@@ -1,6 +1,5 @@
 
-\begin{figure}[htb]
+
-\centering
 \begin{tikzpicture}
 
 \draw (0,0) -- (2,1) node[anchor=west] {$B_1$};
@@ -27,5 +26,6 @@
 \node (P3) at (7.4,-1.85) {3. Platz};
 
 \end{tikzpicture}
-\caption{Platzierungsmöglichkeiten der drei Bücher $B_{1}, B_{2}, B_{3}$}
+%\caption{Platzierungsmöglichkeiten der drei Bücher $B_{1}, B_{2}, B_{3}$}
-\end{figure}
+
+\captionof{figure}{Meine TikZ-Grafik}

I_1.tex

@@ -191,6 +191,7 @@ Wie an diesen Beispielen zu erkennen ist, braucht man zur Lösung einer Aufgabe
 
 
 Unendliche Intervalle sind Intervalle die $-\infty$ oder $+\infty$ als Intervallgrenzen haben. Bedenken Sie, dass $-\infty$ und $+\infty$ keine reellen Zahlen sind sondern nur Zeichen, die andeuten sollen, das beliebig große negative beziehungsweise positive reelle Zahlen zulässig sind. Wäre nämlich $+\infty$ die größte aller möglichen reellen Zahlen, dann ist $+\infty+1$ noch größer als $+\infty$. Also kann $+\infty$ nicht die größte reelle Zahl sein. Daher ist die Schreibweise $\mathbf[-\infty,+\infty]$ \textbf{verboten}, weil das ja bedeuten würde, dass die \glqq Zahlen\grqq $\pm \infty$ dem Intervall angehören obwohl sie gar nicht existieren!
+\pagebreak                                                                                                                                                                                                                   
 
 \input{Definitionen/I_D_10.tex}
 

I_2.tex

@@ -168,6 +168,8 @@ Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{
 
 \textbf{Lösung:}
 Mit Satz \ref{S0001} gilt
+
+
 $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .	$
 
 \end{beispiel}
@@ -242,7 +244,7 @@ Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußers
 
 Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen.
 
-\begin{beispiel}\label{B0018}
+\begin{beispiel}\label{B0019}
 
 \begin{enumerate}[label=\alph*) ]
 
@@ -253,6 +255,37 @@ Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effiz
 
 \end{beispiel}
 
+Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
+
+\input{Definitionen/I_D_23.tex}
+
+
+Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
+$$
+n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
+$$
+ablesen .
+
+\begin{beispiel}\label{B0020}
+	
+Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
+
+\textbf{Lösung:}
+
+An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .	
+
+An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.
+
+
+\parbox{15cm}{%
+\input{Grafiken/I_Abb003.tex}
+}
+
+
+\end{beispiel}
+
+
+
 %%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
 \newpage
 
@@ -276,29 +309,20 @@ Definition $2.2$
 Beispiel 19
 a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$
 b) $\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{\mu-1} \cdot x_{\mu}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{\mu} x_{k}}$
-Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
+
-Definition 2.3 Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt
+
-$$
+
-n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
+
-$$
+
-n - Fakultät. Man definiert weiter $0 !:=1$.
-Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
-$$
-n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
-$$
-ablesen .
 Beispiel 20
-Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
+
-Lösung:
-An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .
 -21-
 \newpage
 -22-
 
 
-An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.
 
-\input{Grafiken/I_Abb003.tex}
+
 
 Man erkennt aus dieser Abbildung, dass es genau $3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Anders formuliert kann man diese Aufgabe auch so interpretieren: Wie viele verschiedene Tripel lassen sich aus der Menge $\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\right\}$ bilden, wenn jedes Element nur einmal vorkommen darf? Es sind genau 3 ! solcher Tripel, nämlich
 $$

I_Anhang.tex

@@ -1,5 +1,8 @@
-6.1 Etwas Aussagenlogik
+\section{Etwas Aussagenlogik}
-In der Mathematik versteht man unter einer Aussage ein sprachliches Gebilde, für das es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr (W) oder falsch ( $F$ ) ist. Dabei bezeichnet $W$ beziehungsweise $F$ den Wahrheitswert der Aussage. Betrachten Sie die Beispiele:
+In der Mathematik versteht man unter einer \textbf{Aussage} ein sprachliches Gebilde, für das es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr (W) oder falsch ( $F$ ) ist. Dabei bezeichnet $W$ beziehungsweise $F$ den \textbf{Wahrheitswert} der Aussage. Betrachten Sie die Beispiele:
+
+\begin{center}
+	
 \begin{tabular}{c|c|c} 
 Aussage & Wahrheitswert & Verwendete Sprache \\
 \hline Das Jahr 2020 ist ein Schaltjahr . & wahr & Umgangssprache \\
@@ -9,12 +12,22 @@ Aussage & Wahrheitswert & Verwendete Sprache \\
 \hline Jede gerade Zahl größer 2 ist & & \\
 die Summe zweier Primzahlen. & unbekannt &
 \end{tabular}
-Keine Aussagen dagegen sind beispielsweise die sprachlichen Gebilde:
-"Heute haben wir schönes Wetter . "
-"Lesen Sie dieses Buch durch!"
-Sind $A$ und $B$ zwei beliebige Aussagen, dann lassen sich daraus durch Aussagenverbinder den sogenannten Junktoren neue Aussagen zusammensetzen. Die wichtigsten Junktoren und deren Bedeutung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
 
-Die Wahrheitswerte der so zusammengesetzten Aussagen sind festgelegt und der folgenden Wahrheitstafel zu entnehmen .
+
+\end{center}
+
+Keine Aussagen dagegen sind beispielsweise die sprachlichen Gebilde:
+\begin{itemize}
+	\item \Anfz{Heute haben wir schönes Wetter. }
+	\item  \Anfz{Lesen Sie dieses Buch durch!}
+\end{itemize}
+
+
+Sind $A$ und $B$ zwei beliebige Aussagen, dann lassen sich daraus durch Aussagenverbinder den sogenannten \textbf{Junktoren} neue Aussagen zusammensetzen. Die wichtigsten Junktoren und deren Bedeutung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
+
+Die Wahrheitswerte der so zusammengesetzten Aussagen sind festgelegt und der folgenden \textbf{Wahrheitstafel} zu entnehmen .
+
+\begin{center}
 \begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
 $A$ & $B$ & $\neg A$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\
 \hline$W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
@@ -23,11 +36,7 @@ $A$ & $B$ & $\neg A$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftr
 \hline$F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$
 \end{tabular}
 
--100-
+\end{center}
-
-\newpage
-
--101-
 
 Es wird hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass diese Tabelle eine Festlegung (Definition) der Bedeutung für die einzelnen Junktoren ist. Für diese Festlegung spricht einzig, dass sie sich als praktisch herausgestellt hat.
 Bemerkung:

I_Loesungen.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ $$
 A=\{x \in \mathbb{R}|\;\abs{x}<8\} \text { und } B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\} .
 $$
 
-˝extbf{Lösung:}
+\textbf{Lösung:}
 \begin{figure}[ht]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
@@ -21,7 +21,7 @@ $$
 \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[yshift=-1em] {$\y$};
 
 
-\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/]}
+\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/)}
 \node at (\x,1.5em) {$\y$};
 
 \draw[blue, thick] (1,0.1) -- (5,0.1);