\begin{beispiel}
Gegeben seien die beiden Mengen $A:=\{x \in \mathbb{R} \mid \sin (\pi x)=0\}$ und $B:=\mathbb{Z} .$ Zeigen Sie das diese Mengen gleich sind.


\textbf{Lösung:}


Aus der Schule her sollte bekannt sein, dass die Nullstellen der Sinusfunktion ganzzahlige Vielfache der irrationalen Zahl $\pi$ sind.

Setzt man $z:=\pi x$ ergeben sich die Lösungen der Gleichung $\sin z=0$  zu $z=k \pi$ für alle $k \in \mathbb{Z}$. Dann folgt aus $z=\pi x=k \pi$ sofort $x=k \in \mathbb{Z}$. Also ist jedes Element der Menge $A$ auch in der Menge $B$ enthalten.

Sei nun umgekehrt $x \in B=\mathbb{Z}$. Dann gilt für alle $x \in B$ offensichtlich $\sin (\pi x)=0$. Damit ist jedes Element der Menge $B$ auch Element der Menge $A$, womit $A=B$ gilt.
\end{beispiel}