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\section{Grundzüge der Mengenlehre}
\subsection*{Aufgabe 1 a}
Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für
$$
A=\{x \in \mathbb{R}|\;\abs{x}<8\} \text { und } B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\} .
$$

˝extbf{Lösung:}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}

\draw[-latex] (0,0) -- (9,0);

%\foreach\x/\y/\z in {4/2/A,5/3/B,6/4/C,2/.5/D,1/2/E,6/3/F,3/1.5/G,1/4/H}
%  \draw [fill = black] (\x,\y)circle (1 mm) node[left] {\z};

\foreach\x/\y in {1/-8,3/2,5/8,8/\infty}
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[yshift=-1em] {$\y$};


\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/]}
\node at (\x,1.5em) {$\y$};

\draw[blue, thick] (1,0.1) -- (5,0.1);
\draw[red, thick] (3,0.2) -- (8,0.2);


\end{tikzpicture}
\end{figure}

Die Mengen $A$ und $B$ lauten in Intervallschreibweise
$$
\begin{aligned}
&A=\{x \in \mathbb{R}|\;| x \mid<8\}=\{x \in \mathbb{R} \mid-8<x<8\}=]-8,8[ \\
&B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty[
\end{aligned}
$$\footnote{Im Original heißt es auf Seite 113: $B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty] $, was falsch ist da $\infty$ nicht dazugehören kann}
Damit ergeben sich die gesuchten Verknüpfungen
$$
\begin{aligned}
&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=[2,8[, \quad A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=]-8, \infty[, \\
&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=]-8,2[, \quad B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[8, \infty[.
\end{aligned}
$$
\subsubsection*{Lösungen in Mathematica}
\lstset{
	basicstyle=\footnotesize, 
   language=Mathematica,
}

\begin{lstlisting}
	
	In[1]:= Union[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
	
	Out[1]= Interval[{-8, \[Infinity]}]

	In[2]:= IntervalIntersection[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
	
	Out[2]= Interval[{2, 8}]
\end{lstlisting}

$\cup $ $\text{IntervalUnion}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
$\text{Interval}[\{-8,\infty \}]$

$\cap$ $\text{IntervalIntersection}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
$\text{Interval}[\{2,8\}]$

\subsubsection*{Lösungen in Sympy}
\paragraph*{Umschreiben der Ungleichung in ein Intervall}

\lstset{
	basicstyle=\footnotesize, 
	language=Python,
}

\begin{lstlisting}
	from sympy import Symbol, solve_univariate_inequality
	
	x = Symbol('x')
	
	ungleichung = abs(x)<8
\end{lstlisting}



\subsection*{Aufgabe 1 b}
Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für

$$
A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\} \quad \text { und } \quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\} .
$$

Lösung:
In Intervallschreibweise ergeben sich die Mengen $A$ und $B$ zu $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\}=\{1,2,3,4\} \quad$ und $\quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\}=[0,4] .$
Die gesuchten Mengenverknüpfungen lauten dann
$$
\begin{aligned}
&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=\{1,2,3,4\}=A \\
&A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=[0,4]=B \\
&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=\{\}, \\
&B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[0,4] \backslash\{1,2,3,4\} .
\end{aligned}
$$
Aufgabe 2
Die Menge $M:=(] 0,5[\cap([1,3] \cup[4,7])) \cap] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinlachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen.

-113-

