6.1 Etwas Aussagenlogik
In der Mathematik versteht man unter einer Aussage ein sprachliches Gebilde, für das es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr (W) oder falsch ( $F$ ) ist. Dabei bezeichnet $W$ beziehungsweise $F$ den Wahrheitswert der Aussage. Betrachten Sie die Beispiele:
\begin{tabular}{c|c|c} 
Aussage & Wahrheitswert & Verwendete Sprache \\
\hline Das Jahr 2020 ist ein Schaltjahr . & wahr & Umgangssprache \\
\hline $2^{4}=16$ & wahr & Mathematische Formelsprache \\
\hline Die Zahl 2 teilt die Zahl $9 .$ & falsch & Kombination beider \\
\hline $2 \mathrm{H}_{2}+\mathrm{O}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ & wahr & Chemische Formelsprache \\
\hline Jede gerade Zahl größer 2 ist & & \\
die Summe zweier Primzahlen. & unbekannt &
\end{tabular}
Keine Aussagen dagegen sind beispielsweise die sprachlichen Gebilde:
"Heute haben wir schönes Wetter . "
"Lesen Sie dieses Buch durch!"
Sind $A$ und $B$ zwei beliebige Aussagen, dann lassen sich daraus durch Aussagenverbinder den sogenannten Junktoren neue Aussagen zusammensetzen. Die wichtigsten Junktoren und deren Bedeutung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Die Wahrheitswerte der so zusammengesetzten Aussagen sind festgelegt und der folgenden Wahrheitstafel zu entnehmen .
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
$A$ & $B$ & $\neg A$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\
\hline$W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ \\
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ \\
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

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Es wird hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass diese Tabelle eine Festlegung (Definition) der Bedeutung für die einzelnen Junktoren ist. Für diese Festlegung spricht einzig, dass sie sich als praktisch herausgestellt hat.
Bemerkung:
1) Das Wort oder wird im allgemeinen auf zwei Arten benutzt. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ oder auch beide, das heißt mindestens eine der beiden Alternativen tritt ein. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ aber nicht beide, das heißt oder im ausschließenden Sinn. Hier wird oder nur im nicht ausschließenden Sinn benutzt.
2) Die Wahrheitstafel der materialen Implikation ist vielleicht auf den ersten Blick nicht einzusehen. Wie ist etwa zu verstehen, dass aus etwas Falschem etwas Falsches folgt wahr sein soll (vierte Zeile in $A \Rightarrow B$ )?
Um die Wahrheitstafel der materialen Implikation einzusehen, betrachten Sie die beiden Aussagen:
A : Ich werfe einen Euro in den Getränkeautomaten.
$B$ : Ich erhalte ein Getränk.
Vereinbart man nun der Aussage $A \Rightarrow B$ den Wahrheitswert $W$ zuzuordnen falls man zufrieden ist und den Wahrheitswert $F$ zuzuordnen falls man unzufrieden ist, dann erhält man die obige Festlegung .

Im Weiteren soll nur noch auf die materiale Implikation $\Rightarrow$ und materiale Äquivalenz $\Leftrightarrow$ näher eingegangen werden, weil sie für die Beweisführung (Kapitel 2 ) eine wichtige Rolle spielen. Für die materiale Implikation kurz auch nur Implikation genannt, sind die folgenden Sprechweisen üblich:
(1) Wenn $A$, dann $B$.
(2) Aus $A$ folgt $B$.
(3) $A$ ist hinreichend für $B$.
(4) $B$ ist notwendig für $A$.
Ebenso sind für die materiale Äquivalenz kurz auch nur Äquivalenz genannt, die folgenden Sprechweisen üblich:
(1) $A$ genau dann, wenn $B$.
(2) $A$ ist äquivalent $\mathrm{zu} B$.
(3) $A$ gilt genau dann, wenn $B$ gilt.
(4) $A$ ist hinreichend und notwendig für $B$.
Definition 6.1 Eine Aussageform heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn sie bei jeder Belegung zu einer Aussage mit dem Wahrheitswert W wird.

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Beispiel 69
Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist .
Lösung:
Mittels der Wahrheitstafel gilt :
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\
\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}
Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2)
$$
\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) .
$$
Beispiel 70
Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist.
Lösung:
Mittels der Wahrheitstafel gilt :
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\
\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}
Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden.

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Beispiel 69
Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist .
Lösung:
Mittels der Wahrheitstafel gilt :
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\
\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}
Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2)
$$
\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) .
$$
Beispiel 70
Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist.
Lösung:
Mittels der Wahrheitstafel gilt :
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\
\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}
Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden.

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6.2 Beweis der vollständigen Induktion
In Abschnitt $2.3$ wurde die Beweismethode der vollständigen Induktion vorgestellt, ohne aber den Wahrheitsgehalt dieser Beweismethode zu beweisen. Es hieß dort:

Es sei $A(n)$ eine Aussage, welche von natürlichen Zahlen $n$ abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " ..
Satz 6.1 A( $n$ ) sei eine Aussageform, die durch Belegung mit beliebigen Elementen aus dem Zahlenabschnitt $\mathbb{Z}_{c}$ jeweils zu einer Aussage wird. Dann gilt:
$$
\left(A(c) \wedge \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}[A(n) \Rightarrow A(n+1)]\right) \Rightarrow \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}} A(n)
$$
Bemerkung:
Das Zeichen $\bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}$ bedeutet dabei ", für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ " und korrespondiert mit $\forall n \in \mathbb{Z}_{c}$.
Beweis :
Es wird angenommen, es gibt Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$, für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Sei also $K:=\left\{n \mid n \in \mathbb{Z}_{c}, \neg A(n)\right\}$ die Menge aller Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$ für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Dann ist zu zeigen, dass $K=\{\}$ ist und somit $A(n)$ für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ gilt.
Der Beweis von $K=\{\}$ erfolgt hier indirekt .
- Wegen $K \subset \mathbb{Z}_{c}$ gibt es eine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt. Nach Voraussetzung gilt die Aussage $A(c)$ und damit ist sicher, dass $c \notin K$ ist. Dann muss $n_{0}>c$ sein, woraus $n_{0}-1 \geq c$ folgt.
- Wegen $n_{0}-1 \notin K$ gilt also die Aussage $A\left(n_{0}-1\right)$. Dann folgt aus der Voraussetzung $A\left(n_{0}-1\right) \Rightarrow A\left(n_{0}\right)$, dass auch die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ gilt und damit der Widerspruch $n_{0} \notin K$. Also existiert keine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt, womit $K=\{\}$ bewiesen ist.


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6.3 Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 3 oder 4
In Abschnitt 4.7 über Polynome im Komplexen, wurden bereits die Lösungsverfahren für spezielle Typen von Gleichungen dritten und vierten Grades besprochen. Liegt allerdings keiner dieser speziellen Typen vor, dann können die in diesem Abschnitt hergeleiteten Lösungsformeln, die jedoch mit einem relativ hohen Rechenaufwand verbunden sind, benutzt werden.
1) Allgemeine Gleichung 3 - ten Grades
Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung dritten Grades $z^{3}+a z^{2}+b z+c=0 \quad$ für beliebige $a, b, c \in \mathbb{C}$.
(1)
Im ersten Schritt wird mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass das quadratische Glied in der Gleichung verschwindet.
$$
\begin{aligned}
0 &=(w+\lambda)^{3}+a(w+\lambda)^{2}+b(w+\lambda)+c \\
&=\left[w^{3}+3 \lambda w^{2}+3 \lambda^{2} w+\lambda^{3}\right]+\left[a w^{2}+2 a \lambda w+a \lambda^{2}\right]+[b w+b \lambda]+c \\
&=w^{3}+(3 \lambda+a) w^{2}+\underbrace{\left(3 \lambda^{2}+2 a \lambda+b\right)}_{=: p} w+\underbrace{\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c}_{=: q}
\end{aligned}
$$
Der quadratische Term $(3 \lambda+a) w^{2}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{3}$. Eingesetzt in $p$ und $q$ ergibt
$$
\begin{aligned}
&p=3\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+2 a\left(-\frac{a}{3}\right)+b=\frac{a^{2}}{3}-\frac{2 a^{2}}{3}+b=-\frac{a^{2}}{3}+b \quad \text { und } \\
&q=\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}+a\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c=-\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{a b}{3}+c=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c .
\end{aligned}
$$
Die Lösungen der Gleichung ( 1 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{3}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung
$$
w^{3}+\left(-\frac{a^{2}}{3}+b\right) w+\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=w^{3}+p w+q=0
$$
folgt. Für den speziellen Fall $p=0$ ergeben sich die Lösungen für $w$ aus den dritten Wurzeln von $-q$ (vgl. Abschnitt $4.6)$. Sei also im weiteren $p \neq 0$ angenommen. Durch eine zweite Substitution $w:=u+v$ folgt aus der Gleichung (2)
$$
\begin{aligned}
0 &=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+3 u^{2} v+3 u v^{2}+v^{3}+p(u+v)+q \\
&=u^{3}+3 u v(u+v)+v^{3}+p(u+v)+q \\
&=u^{3}+v^{3}+q+(3 u v+p)(u+v) .
\end{aligned}
$$
Weil über die Variablen $u$ und $v$ frei verfügt werden kann, können sie so gewählt werden, dass der Term $u+v$ verschwindet. Wählt man also
$p=-3 u v \Leftrightarrow u v=-\frac{p}{3} \quad(3)$, so folgt $\quad u^{3}+v^{3}+q=0 \Leftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q$ (4).

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Aus den beiden Gleichungen (3) und (4) folgt:
$$
\begin{aligned}
q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3} &=\left(u^{3}+v^{3}\right)^{2}-4(u v)^{3}=u^{6}+2 u^{3} v^{3}+v^{6}-4 u^{3} v^{3} \\
&=u^{6}-2 u^{3} v^{3}+v^{6}=\left(u^{3}-v^{3}\right)^{2} \\
& \Rightarrow u^{3}-v^{3}=\pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}
\end{aligned}
$$
Durch Addition beziehungsweise Subtraktion der Gleichungen (4) und (5) erhält man
$$
\begin{aligned}
&2 u^{3}=-q \pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow u^{3}=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \text { und } \\
&2 v^{3}=-q \mp \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow v^{3}=-\frac{q}{2} \mp \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} .
\end{aligned}
$$
Wegen Gleichung (4) muss $u^{3}+v^{3}=-q$ gelten, was nur möglich ist für die beiden Kombinationen
$$
\begin{aligned}
&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \\
&u^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}
\end{aligned}
$$ oder
Die zweite Kombination ist äquivalent zur ersten Kombination, weil $u$ und $v$ in $w=u+v$ ausgetauscht werden können. Zieht man jetzt noch die dritten Wurzeln, so erhält man für $u$ und $v$ jeweils drei verschiedene Lösungen $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ beziehungsweise $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ (vgl. Abschnitt $4.6$ ) die so kombiniert werden müssen, dass die Bedingung $3 u v=-p$ erfüllt wird. Aus jedem solchen Paar erhält man mit $z=w-\frac{a}{3}$ eine Lösung der Gleichung (1).
Beispiel 71
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0$.
Lösung :
Aus den Koeffizienten $a=9, b=24, c=-9$ ergibt sich mit
$$
z=w-\frac{a}{3}=w-3, \quad p=-\frac{a^{2}}{3}+b=-3, \quad q=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=-27
$$
die reduzierte Gleichung $w^{3}+p w+q=w^{3}-3 w-27=0$, deren Lösungen aus
$$
\begin{aligned}
&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}+\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29}) \text { und } \\
&v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}-\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})
\end{aligned}
$$

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folgen. Mit der dritten Einheitswurzel $\omega=-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})$ (vgl. Abschnitt 4.6) ergeben sich damit für $u$ und $v$ jeweils die drei Lösungen
$$
\begin{array}{lll}
u_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})} \\
v_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})} .
\end{array}
$$
Wegen $w=u+v$ können für $w$ eigentlich neun verschiedene Werte gebildet werden. Weil die Größen $u$ und $v$ aber noch die Gleichung $u v=-\frac{p}{3}=1$ erfüllen müssen, beschränkt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen von $u$ und $v$ auf die drei Lösungen
$$
w_{1}=u_{1}+v_{1}, \quad w_{2}=u_{2}+v_{3} \quad \text { und } w_{3}=u_{3}+v_{2} .
$$
Mit $z=w-3$ lauten die drei Lösungen der betrachteten Gleichung endlich
$$
\begin{aligned}
z_{1}=w_{1}-3=& \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3}, \\
z_{2}=w_{2}-3=&-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\
=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\
&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}\right] \\
z_{3}=w_{3}-3=&\left.-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5} \sqrt{29}\right)-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\
=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\
&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right]
\end{aligned}
$$
Bemerkung:
1) Wie an den Lösungen aus diesem Beispiel zu erkennen ist, wäre es nahezu unmöglich, ja wenn nicht sogar unmöglich, eine dieser Lösungen zu erraten und dann mit dem Verfahren der Polynomdivision fortzufahren.
2) Die reelle Wurzel der Gleichung $w^{3}+p w+q=0$, das heißt die Wurzel
$$
w=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}
$$

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ist unter dem Namen Cardanische Formel bekannt. Sie wurde benannt nach dem Mathematiker Gerolamo Cardano $(1501-1576)^{*}$, dem fälschlicherweise die Entdeckung dieser Lösungsformel zugeschrieben wurde. In Wahrheit stammt die Formel von dem Bologneser Mathematikprofessor Scipione del Ferro $(1465-1526)^{* *}$, dem das Auffinden dieses genialen Lösungsweges vorbehalten blieb.
2) Allgemeine Gleichung 4 - ten Grades
Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung vierten Grades $z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+c z+d=0 \quad$ für beliebige $a, b, c, d \in \mathbb{C} .$
Auch hier wird im ersten Schritt mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass der kubische Term in der Gleichung verschwindet.
$$
\begin{aligned}
0=&(w+\lambda)^{4}+a(w+\lambda)^{3}+b(w+\lambda)^{2}+c(w+\lambda)+d \\
=& {\left[w^{4}+4 w^{3} \lambda+6 w^{2} \lambda^{2}+4 w \lambda^{3}+\lambda^{4}\right]+\left[a w^{3}+3 a w^{2} \lambda+3 a w \lambda^{2}+a \lambda^{3}\right] } \\
&+\left[b w^{2}+2 b w \lambda+b \lambda^{2}\right]+[c w+c \lambda]+d \\
=& w^{4}+(4 \lambda+a) w^{3}+\underbrace{\left(6 \lambda^{2}+3 a \lambda+b\right)}_{=: p} w^{2}+\underbrace{\left(4 \lambda^{3}+3 a \lambda^{2}+2 b \lambda+c\right)}_{=: q} w \\
&+\underbrace{\lambda^{4}+a \lambda^{3}+b \lambda^{2}+c \lambda+d}_{=: r}
\end{aligned}
$$
Der kubische Term $(4 \lambda+a) w^{3}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{4}$. Eingesetzt ergibt für $p, q$ und $r$
$$
\begin{aligned}
&p=6\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)+b=\frac{3 a^{2}}{8}-\frac{3 a^{2}}{4}+b=-\frac{3 a^{2}}{8}+b, \\
&q=4\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+2 b\left(-\frac{a}{4}\right)+c=-\frac{a^{3}}{16}+\frac{3 a^{3}}{16}-\frac{a b}{2}+c=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c, \\
&r=\left(-\frac{a}{4}\right)^{4}+a\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+b\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+c\left(-\frac{a}{4}\right)+d=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d .
\end{aligned}
$$
Die Lösungen der Gleichung ( 6 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{4}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung
$$
f(w):=w^{4}+p w^{2}+q w+r=0
$$
folgt. Falls $q=0$ oder $r=0$ ist, ergeben sich Sonderfälle der Gleichung (6) die bereits in Abschnitt $4.7$ besprochen wurden. Seien also im Weiteren $q \neq 0$ und $r \neq 0$ angenommen.
*) Gerolamo Cardano, italienischer Mathematiker, Arzt und Philosoph, geb. 24. September 1501 in Pavia, gest. 21. September 1576 in Rom .
**) Scipione del Ferro, geb. 6. Februar 1465 in Bologna, gest. 5. November 1526 in Bologna. Um 1500 entdeckte er die Methode zur Auflösung der Gleichung dritten Grades, veröffentlichte sie jedoch nicht.

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Der Mathematiker Lodovico Ferrari $(1522-1565)$ * hatte die geniale Idee, die Gleichung
(7) in die Form
$$
f(w)=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=w^{4}+\left(u-v^{2}\right) w^{2}-2 t v w+\frac{u^{2}}{4}-t^{2}
$$
zu bringen. Der Koeffizientenvergleich mit ( 7 ) liefert dann das Gleichungssystem:
$$
\begin{aligned}
&p=u-v^{2} \quad \Leftrightarrow \quad v^{2}=u-p \\
&q=-2 t v \\
&r=\frac{u^{2}}{4}-t^{2} \quad \Leftrightarrow \quad t^{2}=\frac{u^{2}}{4}-r
\end{aligned}
$$
Aus (9) folgt mit (8) und (10) die Gleichung:
$$
\begin{gathered}
q^{2}=4 t^{2} v^{2}=4\left(\frac{u^{2}}{4}-r\right)(u-p)=\left(u^{2}-4 r\right)(u-p)=u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p \\
\Leftrightarrow u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=0
\end{gathered}
$$
Das ist eine Gleichung dritten Grades, deren Lösung oben behandelt worden ist. Von (11) reicht nur eine Lösung $u$ aus, um die vier Lösungen $w$ aus der Gleichung ( 7 ) zu gewinnen. Aus (8) folgt zunächst $v=\pm \sqrt{u-p}$. Setzt man $v=\sqrt{u-p}$, dann folgt wegen der Voraussetzung $q \neq 0$ aus $(9)$ sofort $t=-\frac{q}{2 v}(v \neq 0$ wegen $-2 t v=q \neq 0)$. Dann gelten die obigen Gleichungen für $p, q$ und $r$. Die Lösungen der Gleichung (7) ergeben sich also aus
$$
\begin{aligned}
f(w)=w^{4}+p w^{2}+q w+r=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=0 \\
& \Leftrightarrow\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}=(v w+t)^{2} \Leftrightarrow w^{2}+\frac{u}{2}=\pm(v w+t) \\
& \Leftrightarrow w^{2}-v w+\frac{u}{2}-t=0 \quad \text { oder } w^{2}+v w+\frac{u}{2}+t=0 .
\end{aligned}
$$
Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sowie den beiden Beziehungen $v=\sqrt{u-p}$ und $t=-\frac{q}{2 v}=-\frac{q}{2 \sqrt{u-p}}$ liefert mit $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ die vier Lösungen
$$
\begin{aligned}
w_{1,2,3,4} &=\epsilon \frac{v}{2}+\delta \sqrt{\frac{v^{2}}{4}-\frac{u}{2}+\epsilon t}=\frac{1}{2}\left(\epsilon v+\delta \sqrt{v^{2}-2 u+4 \epsilon t}\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u-p}+\delta \sqrt{-p-u-\epsilon \frac{2 q}{\sqrt{u-p}}}\right) .
\end{aligned}
$$
*) Lodovico Ferrari, italienischer Mathematiker, geb. 2. Februar 1522 in Bologna, gest. 5. Oktober 1565 in Bologna. Er fand mithilfe von Cardano die Auflösung der Gleichung vierten Grades.

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Die Lösungen von $(6)$ sind dann $z_{k}=w_{k}-\frac{a}{4}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$.
Beispiel 72
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{4}-4 z^{3}-3 z^{2}+29 z-29=0$.
Lösung :
Aus den Koeffizienten $a=-4, b=-3, c=29$ und $d=-29$ ergibt sich mit
$$
\begin{array}{ll}
z=w-\frac{a}{4}=w+1, & p=-\frac{3 a^{2}}{8}+b=-9, \\
q=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c=15, & r=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d=-6
\end{array}
$$
die reduzierte Gleichung $w^{4}-9 w^{2}+15 w-6=0$ und die zugehörige zu lösende Gleichung dritten Grades
$$
u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=u^{3}+9 u^{2}+24 u-9=0 .
$$
Die Lösungen der letzten Gleichung wurden schon im Beispiel 71 berechnet. Weil nur eine Lösung $u$ benötigt wird, kann die reelle Lösung
$$
u=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-3
$$
benutzt werden, um die $w_{k}$ und damit schließlich die $z_{k}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$ zu bestimmen. Für $p=-9, q=1$ und $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ ergeben sich die Lösungen damitzu
$$
z_{k}=w_{k}+1=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u+9}+\delta \sqrt{9-u-\epsilon \frac{30}{\sqrt{u+9}}}\right)+1
$$
Bemerkung:
1) Für Gleichungen vom Grad $n=1,2,3,4$ kann eine allgemeine Lösungsformel angegeben werden. Im Fall $n=3$ beispielsweise besteht sie aus einer Verschachtelung von Wurzeln ( sogenannte Radikale ) der Form $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$. Offensichtlich gibt es eine unerschöpfliche Mannigfaltigkeit von Radikalen, sodass man annehmen könnte, dass sich durch irgendeine Kombination dieser Radikale auch die allgemeine Gleichung fünften Grades lösen lässt. Es ist im Gegenteil bewiesen worden (u.a. von Carl Friedrich Gauß ), dass sich die Lösungen von Gleichungen höher als vierten Grades $\mathrm{im}$ Allgemeinen nicht durch Radikale darstellen lassen. Die Wurzeln der Gleichung vierten Grades sind ihrer algebraischen Struktur nach schon recht kompliziert. Die Lösungen von Gleichungen höherer Grade als vier sind im Allgemeinen wesentlich komplizierter . Man sagt auch, sie gehören einer weitaus verwickelterer Kategorie von Zahlen an.
2) Der Einblick in die Lösungsverhältnisse von Gleichungen höherer Grade ist darum schwierig zu gewinnen, weil sich spezielle Gleichungen sehr wohl durch Radikale lösen lassen. Der genaue und vollständige Überblick über alle durch Radikale lösbaren Gleichungen sämtlicher Grade wird durch die Galoissche Theorie [2] beschrieben.

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$6.4$ Computer - Algebra - Systeme
Mit modernen Computer - Algebra - Systemen (CAS), wie zum Beispiel das in diesem Buch verwendete Mathematica, lassen sich interessante mathematische Experimente betreiben und können für die Ingenieurmathematik ein äußerst nützliches Werkzug sein. Vor allem können diese Systeme Sie von der fehleranfälligen stupiden Routine - Rechenarbeit entlasten und Sie können sich dann auf die wesentlichen Konzepte konzentrieren. Jedoch lassen sich mit einem so mächtigen Werkzeug im Allgemeinen keine Beweise führen, womit Sie dann doch noch Ihren Kopf anstrengen müssen um so manche Aufgabe bewältigen zu können.

In diesem Abschnitt soll keine Einführung in die Programmiersprache Mathematica gegeben werden, sondern vielmehr an einem Beispiel gezeigt werden, wie wirkungsvoll der Einsatz eines CAS ist. Für die Vielzahl der zur Verfügung stehenden Befehle und Optionen sei auf das ausgezeichnete Buch [3] verwiesen. Die Syntax der in dem folgenden Beispiel verwendeten Befehle ist allerdings so einfach, dass man sie auch verstehen kann, wenn man zuvor noch kein CAS benutzt hat .
Beispiel 73
Betrachtet werde die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(z):=z^{3}+9 z^{2}+24 z-9$. Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Intervall $[-7,2]$.
Mathematica erledigt diese Aufgabe einfach durch Eingabe des Befehls:
$$
\text { In }[1]:=\text { Plot }\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9,\{z,-7,2\}, \text { PlotRange } \rightarrow\{-40,40\}\right]
$$
Out $[1]=$ - Graphics -
Jetzt interessieren uns die Nullstellen der Funktion $f$, also für die $f(z)=0$ gilt. Mit Mathematica ergeben sie sich durch Eingabe des Befehls

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In $[2]:=$ Solve $\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0, z\right]$;
Tableform [\%]
Out [3] $/ /$ TableForm $=$
$$
\begin{aligned}
&z \rightarrow-3+\frac{1}{3}\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}+\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\
&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1-i i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\
&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1-i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3}
\end{aligned}
$$
Vergleichen Sie diese Lösungen mit denen aus dem Beispiel 71 !

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