%!TEX root=../MathIng.tex

\section{Mengenbegriff, Elemente einer Menge}
In der Mathematik ist es oft von Vorteil bestimmte Dinge oder Objekte zu einem Ganzen zusammenzufassen. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele:
\begin{itemize}
	\item Alle Augenzahlen eines Würfels. Dann sind die Objekte die Zahlen $1,2,3,4,5,6$.
	\item Alle weiblichen Teilnehmer der Mathematikvorlesung Analysis für Ingenieure. Die Objekte sind hier die teilnehmenden Studentinnen.
	\item Alle Lösungen der Gleichung $x^2=4$. Das sind die Zahlen $x_1=-2$ und $x_2=2$.
	Die Objekte sind hier die beiden Lösungen $-2,2$.
	\item Alle Vokale in unserem Alphabet. Die Objekte sind hier die Buchstaben a, e, i, o, u.
\end{itemize}

Der Mengenbegriff wurde durch den Mathematiker Georg Cantor (1845 — 1918)\footnote{Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, deutscher Mathematiker, geb. 3. März 1845 in Sankt Petersburg, gest. 6. Januar 1918 in Halle (Saale). Cantor war Professor in Halle und Begründer der Mengenlehre sowie der \Anfz{Wissenschaft des Unendlichen}.}  eingeführt, der zu den Mitbegründern der Mengenlehre zählt. Von ihm stammt die folgende

\input{Definitionen/I_D_01.tex}

Aus dieser Definition lassen sich zwei wichtige Eigenschaften sofort ablesen.
\begin{enumerate}
	\item Die Forderung nach unterscheidbaren Objekten besagt, dass jedes Element genau nur \underline{einmal} in der Menge vorkommen darf.
	\item Die Anordnung beziehungsweise Reihenfolge der Elemente ist dabei \underline{beliebig}.
\end{enumerate}

Eine Menge ist dann bekannt, wenn ihre Elemente bekannt sind, das heißt, es muss eine Vorschrift existieren, aus der eindeutig hervorgeht, ob ein Element zur Menge gehört oder nicht. Diese Zuordnung kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen:

\begin{enumerate}
	\item Durch die \textbf{aufzählende} Form, wobei alle Elemente der Menge in geschweifte Klammern durch Kommata getrennt aufgelistet werden (sofern das überhaupt möglich ist), wie zum Beispiel $A:=a,b,c$.
Gelesen als: Die Menge $A$ ist definiert als die Zusammenfassung der drei Elemente $a,b,c$. Dabei steht das Zeichen \glqq :=\grqq für \glqq\textbf{ist definiert als}\grqq.

\item	Durch die \textbf{beschreibende Form}, wobei die einzelnen Elemente nicht aufgezählt werden, sondern ihre Eigenschaft angegeben wird, wie zum Beispiel

\[A:=\{x\;| \; x\;\text{ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets.} \}\]

Gelesen als: Die Menge $A$ ist definiert als die Zusammenfassung der Elemente x für die gilt, x ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets. Dabei steht das Zeichen \glqq |\grqq in den geschweiften Klammern für \glqq\textbf{für die gilt}\grqq.

\end{enumerate}

Für das Beispiel alle Lösungen der Gleichung $x^2=4$ gibt es also zwei Möglichkeiten diese Menge zu definieren. In aufzählender Form $L:={-2,2}$ oder in beschreibender Form $L = \left\{ {x|{x^2} = 4} \right\}$.


\input{Definitionen/I_D_02.tex}

Es lässt sich jetzt eindeutig entscheiden, ob ein Element $x$ zu einer Menge $A$ gehört oder nicht. Betrachten Sie dazu das

\input{Beispiele/I_B_01.tex}

Eine Menge kann mehr oder weniger viele Elemente besitzen. Die Menge $A$ aus dem
Beispiel \ref{B0001} hat genau vier Elemente, wogegen die Menge $C$ unendlich viele Elemente
besitzt. Dazu jetzt die

\input{Definitionen/I_D_03.tex}

\input{Beispiele/I_B_02.tex}

Die Menge $U$ aus dem Beispiel \ref{B0002} legt die folgende Definition nahe.

\input{Definitionen/I_D_04.tex}

\section{\texorpdfstring{Die Zahlenmengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$}{Die Zahlenmengen N, Z, Q, R}}

Ein Schäfer möchte jeden Abend seine Schafe abzählen, die in mehr oder weniger großen Gruppen auf einer Wiese stehen. Dann reichen ihm die Zahlen $1,2,3,\ldots$ völlig aus, um die Gesamtzahl der Schafe durch Abzählen zu ermitteln. Zum Beispiel zählt er in der ersten Gruppe $12$ Schafe, in der zweiten Gruppe $3$4 Schafe und in der dritten Gruppe $51$ Schafe. Dann besitzt der Schäfer genau $12\ +34\ +51\ =\ 97$ Schafe. Das führt auf die

\input{Definitionen/I_D_05.tex}

In der Menge $\mathbb{N}$ lässt sich sogar rechnen. Seien $a$ und $b$ zwei beliebige natürliche Zahlen, dann ist die Summe und das Produkt dieser Zahlen jeweils wieder in der Menge der natürlichen Zahlen zu finden. Formal lässt sich das so ausdrücken:


\[\forall a,b\in \mathbb{N} \text { folgt } a+b\in \mathbb{N} \text{ und } a\cdot b\in\ \mathbb{N}\]

Das Zeichen \Anfz{$\forall$} steht für die Abkürzung \Anfz{\textbf{für alle}}. Man sagt auch, dass die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.


Trotzdem ist die Menge $\mathbb{N}$ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a,b\in \mathbb{N}$ die Gleichung

\[
a+x=b
\]
Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x$ in der Menge der natürlichen Zahlen? 
Die Antwort ist manchmal ja, aber auch manchmal nein. Die Gleichung $3+x=9$ hat die 
Lösung $x=6 \in \mathbb{N}$ und die Gleichung $10+x=2$ hat die Lösung $x=-8 \notin \mathbb{N}$. 
Dieser Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a+x=b$ für beliebige Zahlen $a, b \in \mathbb{N}$ in der Menge $\mathbb{N}$ lösbar ist, erzwingt eine Erweiterung der natürlichen Zahlenmenge um die negativen Zahlen $\{-n \mid n \in \mathbb{N}\}$ und insbesondere der Zahl Null.

\input{Definitionen/I_D_06.tex}


Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt:
$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ folgt $a+b \in \mathbb{Z}$ und $a \cdot b \in \mathbb{Z}$.
Auch jede Gleichung der Form $a+x=b$ für beliebige $a, b \in \mathbb{Z}$ ist in der Menge der ganzen Zahlen lösbar. Sie hat die Lösung $x=b-a \in \mathbb{Z}$. Trotzdem ist auch die Menge $\mathbb{Z}$ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a, b \in \mathbb{Z}$ die Gleichung
$$
a \cdot x=b
$$
Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x$ in der Menge der ganzen Zahlen? Die Antwort ist auch hier manchmal ja, aber auch manchmal nein. Zum Beispiel hat die Gleichung $3 \cdot x=-30$ die Lösung $x=-10 \in \mathbb{Z}$ und die Gleichung $2 \cdot x=3$ die Lösung $x=\frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$.
Der unbefriedigende Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a \cdot x=b$ mit beliebigen Zahlen $a, b \in \mathbb{Z}$ und $a \neq 0$ in der Menge $\mathbb{Z}$ lösbar ist, erzwingt auch eine Erweiterung dieser Zahlenmenge um die noch fehlenden Brüche.

\input{Definitionen/I_D_07.tex}

Offensichtlich stehen in dieser Menge auch alle ganzen Zahlen, denn jede beliebige ganze Zahl $p \in \mathbb{Z}$ lässt sich ja durch den Bruch $x=\frac{p}{1}$ darstellen. Allerdings können verschiedene Brüche wie zum Beispiel $\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}=\frac{512}{1024}$ dieselbe rationale Zahl darstellen. Eine eindeutige Darstellung einer rationalen Zahl $x$ ist erreichbar durch die zusätzliche Forderung $x=\frac{p}{q}$ mit $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ und $p, q$ teilerfremd.
Auf die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ soll im Folgenden noch etwas ausführlicher eingegangen werden.
\begin{enumerate}
\item In der Zahlenmenge $\mathbb{Q}$ sind nur die Brüche $x=\frac{p}{q}$ zugelassen für die $q \neq 0$ gilt. Warum ist $q=0$ \textbf{verboten}? Oder anders formuliert: Warum darf man nicht durch die Zahl Null dividieren? Betrachten Sie dazu die folgende Rechnung:

Seien $a, b \in \mathbb{Q}$ zwei beliebige ganze Zahlen, die die Bedingung $a=b \neq 0$ erfüllen, also zwei gleiche ganze Zahlen. Mit der dritten binomischen Formel $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ folgt dann durch elementare Umformungen
	
	
\begin{align} 
a &=b && | \cdot a \nonumber \\
a^{2} &=a \cdot b && | -b^{2}  \nonumber  \\
a^{2}-b^{2} & = a \cdot b-b^{2} && \nonumber  \\
a^{2}-b^{2} &= b(a-b) && | \text { dritte binomische Formel }  \nonumber  \\
(a-b)(a+b) &=b(a-b) && | :(a-b) \nonumber \\
a+b &=b && | a=b \text { nach Voraussetzung }  \nonumber \\
b+b &=b && \nonumber \\
2 b & =b && | :b \nonumber\\ 
2 & =1 \;\lightning && \nonumber  
\end{align}


Offensichtlich ist das Ergebnis falsch! Aber wo liegt hier der Fehler? In der fünften Zeile wurde wegen der Voraussetzung $a=b$ durch den Term $a-b=0$ geteilt, was zu einem völlig unsinnigen Ergebnis führt. Deshalb ist die Division durch Null immer verboten!

		
\item In welche Menge passt die Dezimalzahl $1,25$? Diese Dezimalzahl lässt sich durch Erweiterung mit dem Bruch $\frac{100}{100}$ schreiben als $1,25=\frac{1,25}{1} \cdot \frac{100}{100}=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \in \mathbb{Q}$. Also ist diese Dezimalzahl eine rationale Zahl.
Die Dezimalzahl $103,5643051$ lässt sich ebenfalls durch die Erweiterung mit dem Bruch $\frac{10000000}{10000000}$ schreiben als $103,5643051=\frac{103,5643051}{1} \cdot \frac{10000000}{10000000}=\frac{1035643051}{10000000} \in \mathbb{Q}$. Also ist auch diese Dezimalzahl eine rationale Zahl.

\item Auch periodische Dezimalzahlen wie zum Beispiel $x=11,42232232232 \cdots=11,42 \overline{232}$ sind rationale Zahlen. Denn es gilt
$$
\begin{aligned}
100000 x &=1142232, \overline{232}=1142232+0, \overline{232} \quad \text { und } \\
100 x &=1142, \overline{232}=1142+0, \overline{232}
\end{aligned}
$$
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt

$$
100000 x-100 x=99900 x=(1142232+0, \overline{232})-(1142+0, \overline{232})=1141090
$$
und damit ist $x=\frac{1141090}{99900}=\frac{114109}{9990} \in \mathbb{Q}$.
Mit diesen Verfahren lässt sich im Prinzip jede Dezimalzahl mit endlich vielen Ziffern oder jede periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma in eine rationale Zahl überführen. Dagegen lässt sich jede nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma, wie zum Beispiel die Zahl $x=5,1201001000100001 \cdots$, nicht als rationale Zahl darstellen .
\end{enumerate}


Die Menge der rationalen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt:


$\forall a, b \in \mathbb{Q}$ folgt $a+b \in \mathbb{Q}$ und $a \cdot b \in \mathbb{Q}$.
Für alle $a, b \in \mathbb{Z}$ ist auch jede Gleichung der Form $a+x=b$ oder $a \cdot x=b, a \neq 0$ in der Menge der rationalen Zahlen immer lösbar. Sie haben die Lösungen $x=b-a \in \mathbb{Q}$ beziehungsweise $x=\frac{b}{a} \in \mathbb{Q}$.


Auch die Zahlenmenge der rationalen Zahlen ist noch unvollständig, schon deshalb, weil es nichtperiodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma gibt, wie zum Beispiel $2,01001000100001\ldots$, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.


Aber auch Gleichungen wie zum Beispiel $x^{2}=2, x^{2}=3, x^{3}=2$ usw. haben in der Menge $Q$ keine Lösung. Exemplarisch soll das für die Gleichung $x^{2}=2$ durch einen indirekten Beweis (näheres dazu im Abschnitt \textbf{\textcolor{red}{2.2})} gezeigt werden. Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, dass man annimmt, die Aussage ist falsch und stattdessen das logische Gegenteil richtig.



\textbf{Behauptung:}
Die Gleichung $x^{2}=2$ hat keine rationale Zahl als Lösung (Dilemma des Pythagoras).



\textbf{Beweis:}
Angenommen die Gleichung $x^{2}=2(*)$ hat eine rationale Zahl als Lösung, dann lässt sich die Lösung $x$ als teilerfremden Bruch in der Form $x=\frac{p}{q}$ mit $p, q \in \mathbb{Q}$ und $q \neq 0$ darstellen. Auflösen nach $p$ und anschließendes Quadrieren ergibt zunächst

$$
p^{2}=q^{2} x^{2} \stackrel{(*)}{=} 2 q^{2} \quad(* *)
$$

Weil die Zahl $2 q^{2}$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^{2}$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^{2}$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p$ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade!
Die Zahl $p$ muss daher von der Form $p=2 k$ mit $k \in \mathbb{Z}$ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^{2}=2 q^{2}$ und nach Division folgt $2 k^{2}=q^{2}$.
Weil $2 k^{2}$ gerade ist und damit auch $q^{2}$, muss $q$ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q$ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x$ der Gleichung $x^{2}=2$ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x$ also keine rationale Zahl sein kann.
\hfill $\blacksquare$

\vspace{2em}


Das Symbol $\blacksquare$ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen.
Die Lösungen der Gleichung $x^{2}=2$, also $x_{1,2}=\pm \sqrt{2}$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $\pi=3,14159 \cdots$ oder $e=2,71828 \cdots$ usw..

\textbf{Bemerkung:}

Die Bedeutung der irrationalen Zahlen ist für den in der Praxis stehenden Ingenieur eher gering, weil man durch Abbrechen des Dezimalbruchs an einer geeigneten Stelle immer eine rationale Annäherung mit beliebiger Genauigkeit erzielen kann.

\input{Definitionen/I_D_08.tex}

Wie man jetzt vielleicht denken mag, schließt sich hier der Kreis, denn in der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind alle die Ihnen aus der Schule her vertrauten Rechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen möglich. Es zeigt sich aber, dass auch die Menge der reellen Zahlen noch unvollständig ist.
Betrachten Sie dazu beispielsweise die Gleichung $x^{2}=-1$. Offensichtlich gibt es keine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ die diese Gleichung zu lösen vermag. Im \ref{Chap4} wird eine weitere Zahlenbereichserweiterung der reellen Zahlen vorgenommen und man gelangt dann zu der komplexen Zahlenmenge $\mathbb{C}$, in der auch diese Gleichung lösbar ist.

\input{Beispiele/I_B_03.tex}

Wie an diesen Beispielen zu erkennen ist, braucht man zur Lösung einer Aufgabe häufig nicht immer alle reellen Zahlen, sondern häufig nur Teilbereiche der reellen Zahlen, sogenannte Intervalle. Man unterscheidet dabei in endliche und unendliche Intervalle. Für  \textbf{endliche} Intervalle gilt:

\input{Definitionen/I_D_09.tex}


Unendliche Intervalle sind Intervalle die $-\infty$ oder $+\infty$ als Intervallgrenzen haben. Bedenken Sie, dass $-\infty$ und $+\infty$ keine reellen Zahlen sind sondern nur Zeichen, die andeuten sollen, das beliebig große negative beziehungsweise positive reelle Zahlen zulässig sind. Wäre nämlich $+\infty$ die größte aller möglichen reellen Zahlen, dann ist $+\infty+1$ noch größer als $+\infty$. Also kann $+\infty$ nicht die größte reelle Zahl sein. Daher ist die Schreibweise $\mathbf[-\infty,+\infty]$ \textbf{verboten}, weil das ja bedeuten würde, dass die \glqq Zahlen\grqq $\pm \infty$ dem Intervall angehören obwohl sie gar nicht existieren!
\pagebreak                                                                                                                                                                                                                   

\input{Definitionen/I_D_10.tex}

Als sehr vorteilhaft erweisen sich auch noch die beiden Abkürzungen $\mathbb{R}^{+}:=(0, \infty)$ und $\mathbb{R}_{0}^{+}:=\left[0, \infty\right).$

\section{Mengenverknüpfungen}

Betrachten Sie die beiden Mengen $M:=\{2,4,8,16\}$ und $N:=\left\{2,2^{2}, 2^{3}, 2^{4}\right\} .$ Man erkennt sofort, dass jedes Element der Menge $M$ auch ein Element der Menge $N$ ist und umgekehrt. Solche Mengen nennt man gleich.

\input{Definitionen/I_D_11.tex}

\input{Beispiele/I_B_04.tex}

\input{Beispiele/I_B_05.tex}

Für die Zahlenmengen $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ und $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ stellt man fest, dass jedes Element der Menge $\mathbb{N}$ auch in der Menge $\mathbb{Z}$ zu finden ist. Ebenso ist jedes Element der Menge $\mathbb{Z}$ auch ein Element der Menge $\mathbb{Q}$ und jedes Element der Menge $\mathbb{Q}$ wiederum ein Element der Menge $\mathbb{R}$. Das führt auf die folgende

\input{Definitionen/I_D_12.tex}

\input{Beispiele/I_B_06.tex}

Der Mathematiker \textbf{John Venn} (1834-1923)\footnote{John Venn, englischer Mathematiker, geb. 4. August 1834 in Drypool (Hull, Humberside), gest. 4. April 1923 in Cambridge. Venn war in Cambridge mehr als 30 Jahre Professor für Logik und Naturphilosophie.} abstrahierte Mengen als ein Flächenstück in der Ebene. Man legt fest, das alle Elemente die zu einer Menge gehören innerhalb dieser Fläche liegen. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass eine solche Darstellung lediglich der Veranschaulichung dienen soll und \textbf{keinesfalls} die exakte Schreibweise für Mengen ersetzen kann. Die Teilmengenbeziehung lässt sich dann geometrisch durch sogenannte Venn - Diagramme darstellen wie etwa in der nachfolgenden Abbildung \ref{Abb001}.

Nach der Definition\ref{D1_1_12} gilt für jede beliebige Menge $A$ selbstverständlich auch $A \subset A$. Also ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Man unterscheidet nun zwischen echten und sogenannten unechten Teilmengen.

\input{Grafiken/I_Abb001.tex}

\input{Definitionen/I_D_13.tex}

Mit dieser Definition sind also die leere Menge $\{\}$ und die Menge $A$ selbst unechte Teilmengen von $A$. Hier stellt sich gleich die Frage, wie viele echte und unechte Teilmengen hat eine endliche Menge überhaupt?

\input{Beispiele/I_B_07.tex}

Alle möglichen Teilmengen einer Menge bilden selbst wieder eine Menge, die sogenannte Potenzmenge.

\input{Definitionen/I_D_14.tex}

Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge $A$ aus dem Beispiel\ref{B0007} lautet dann
\[
\mathcal{P}(A)=\{\{\},\{a\},\{b\},\{c\},\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\},\{a, b, c\}\} .
\]

\input{Beispiele/I_B_08.tex}

Das führt auf die

\input{Definitionen/I_D_15.tex}

Dabei steht das Zeichen $\wedge$ für \textbf{und} beziehungsweise das Zeichen $\vee$ für \textbf{oder}.

Die Fragen und Ergebnisse aus dem Beispiel \ref{B0008} lassen sich damit kurz formulieren als

$$A \cap B=\{5\}, \quad A \cup B=\{1,3,4,5,6\} \quad \text{ und }\quad A \backslash B=\{1,3\}$$.

Durchschnitt, Vereinigung und Differenz zweier Mengen $A, B$ lassen sich wieder recht anschaulich durch Venn - Diagramme darstellen.

\input{Grafiken/I_Abb002.tex}

\textbf{Bemerkung:} Ist der Durchschnitt zweier Mengen $A, B$ die leere Menge, also $A \cap B=\{\}$, dann heißen die Mengen \textbf{unvereinbar} oder auch \textbf{disjunkt}.

Selbstverständlich lässt sich die Durchschnitts- und Vereinigungsmenge auch von endlich vielen Mengen $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ bilden.

\input{Definitionen/I_D_16.tex}

Seien $A, B$ zwei beliebige Mengen und $a \in A, b \in B$.


Ein \textbf{geordnetes Paar} besteht aus zwei Elementen von denen eines, etwa $a$ als erstes gekennzeichnet ist und das andere als zweites. Man schreibt dann $(a, b)$ und ist nicht zu verwechseln mit der Menge $\{a, b\}$ beziehungsweise dem offenen Intervall $(a, b)$. Zwei geordnete Paare $(a, b)$ und $(c, d)$ sind genau dann gleich, wenn $a=c$ und $b=d$ gilt.

\input{Beispiele/I_B_09.tex}

Beachten Sie, dass die geordneten Paare $(1, \alpha)$ und $(\alpha, 1)$ verschieden sind. Dagegen sind die Mengen $\{1, \alpha\}$ und $\{\alpha, 1\}$ gleich, weil sie die gleichen Elemente besitzen!


\input{Definitionen/I_D_17.tex}

Der Begriff der Produktmenge lässt sich auf natürliche Weise auch für mehr als zwei Mengen erweitern.

\input{Definitionen/I_D_18.tex}

\input{Beispiele/I_B_10.tex}	

%%%%%hier%%%%%
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\section{Übungsaufgaben}
\begin{aufgabe}\label{A1_1_01}
Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $A=\{x \in \mathbb{R}|\; \abs{x} <8\}$ und $B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}$,
\item $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\}$ und $B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\}$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\label{A1_1_02}

Die Menge $M:=(] 0,5[ \cap([1,3] \cup[4,7])) \cap] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinfachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen.

\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\label{A1_1_03}
Vereinfachen Sie die nachfolgenden Mengen soweit wie möglich und skizzieren Sie Ihre Lösungen auf dem Zahlenstrahl.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $M_{1}:=X \backslash(C \cap(A \backslash B))$ mit $X=\mathbb{R}, \quad A=[0, \infty[, \quad B=\{1,3\}, \quad C=]-\infty, 3] .$
\item $M_{2}:=X \backslash(D \cup((B \backslash C) \cap(A \cap E)))$ mit $X=\mathbb{R}, \quad A=[3, \infty[, \quad B=\mathbb{N}, \quad C=\{4,5\}, \quad D=]-\infty, 1], \quad E=[1,8] .$

\item $M_{3}:=(A \backslash B) \cap(C \cup D)$ und $M_{4}:=((D \backslash A) \cap(B \backslash A)) \cup D$ mit $A=[-3,1], \quad B=\{1,3,5\}, \quad C=15, \infty[, \quad D=]-\infty, 1] .$

\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\label{A1_1_04}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Geben Sie die Potenzmenge $\mathcal{P}(M)$ für die Menge $M:=\left\{\frac{1}{2}, \sqrt{3}\right\}$ an.
\item Wie viele Elemente (Mächtigkeit) $\# \mathcal{P}(M)$ hat die Potenzmenge einer Menge $M$ mit $n \in \mathbb{N}$ Elementen? Geben Sie dafür einen anschaulichen Beweis an.

\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}\label{A1_1_05}

Geben Sie die Menge $M$ konkret an und begründen Sie Ihre Argumentation sorgfältig !

$$
M:=\left\{\begin{array}{l|l}
n \in \mathbb{N} & \left.\frac{n-1}{2^{n}}<\frac{1}{10}\right\}
\end{array}\right\}
$$
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}\label{A1_1_06}

Bestimmen Sie die folgenden Mengen.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item  $M_{1}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x$ ist durch 2 teilbar $\} \cap\{x \in \mathbb{N} \mid x$ ist durch 3 teilbar $\}$
\item $M_{2}:=\{n \in \mathbb{N} \mid n$ ist Primzahl $\} \cap\{n \in \mathbb{N} \mid n$ ist gerade $\}$ 
\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}\label{A1_1_07}

Welche Mengen werden beschrieben durch:

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $M:=\bigcup_{k=0}^{\infty} M_{k} \quad$ mit $\left.\quad M_{k}:=\{x \in] k \pi,(k+2) \pi[ \,\mid \sin x=\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right\}$.
\item $N:=\bigcap_{k=1}^{\infty} N_{k} \quad$ mit $\quad N_{k}:=\left\{0, \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k+2}, \ldots\right\}$.
\item Bildet die Vereinigung $M \cup N$ der Mengen aus a) und b) ein Intervall?
\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}\label{A1_1_08}

Bestimmen Sie die folgenden Mengen.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $M_{1}:=\bigcup_{m \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}}\{x \in \mathbb{R} \mid m \cdot x \in \mathbb{N}\}$
\item $\left.\left.M_{2}:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\;\right] k-1, k+1\right]$
\item $M_{3}:=\bigcap_{a \in \mathbb{R}}\{x \mid(x-a)(x-1)=0\}$
\item  $M_{4}:=\bigcap_{k=0}^{\infty}\left\{x \in \mathbb{R} \mid \sin (k \cdot x)=0 \wedge k \in \mathbb{N}_{0}\right\}$
\item $M_{5}:=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \quad$ mit $\quad B_{k}=\{-k,-k+1, \ldots, k-1, k\} \quad$ und $\quad k \in \mathbb{N}$.
\item $M_{6}:=\bigcap_{v=1}^{\infty} N_{v} \quad$ mit $\quad N_{v}=\{0,1,2, \ldots, v\} \quad$ und $\quad v \in \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\newpage



