\section{Äquivalente Umformungen}
Umformungen von Gleichungen und Ungleichungen gehören in der gesamten Mathematik zum wichtigsten "Werkzeug ", um ein mathematisches Problem zu lösen. Eine Umformung überführt dabei eine Gleichung $G_{1}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{1}$ in eine neue Gleichung $G_{2}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{2}$.
Beispiel 23
- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x=5$. Wird diese Gleichung quadriert, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x^{2}=25$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{5\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{-5,5\}$. Durch die Umformung wurde die zusätzliche Lösung $x=-5$ erzeugt, die die Gleichung $G_{1}$ nicht erfüllt. Es ist also $L_{1} \neq L_{2}$.
- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: 2 \sqrt{x}=6$. Dividiert man diese Gleichung durch die Zahl 2 und quadriert anschließend, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x=9$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{9\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{9\}$. Es ist also $L_{1}=L_{2}$.

Wie aus diesen Beispielen ersichtlich wird, gibt es Umformungen, die zu ungleichen beziehungsweise gleichen Lösungsmengen führen.
Definition 3.1 Gegeben seien zwei Gleichungen $G_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $G_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.
4. Eine äquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $G_{1} \Leftrightarrow G_{2}$.
4 Eine nichtäquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $G_{1} \Rightarrow G_{2}$.

Beispiel 24
Gegeben sei die Gleichung $x^{2}+y^{2}=2 x y$ für $x, y \in \mathbb{R}$. Dann gilt:
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 x y & \mid-2 x y \\ x^{2}+y^{2}-2 x y &=0 & & \mid \text { binomische Formel } \end{aligned}$
$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+y^{2}-2 x y=0 \\ \Leftrightarrow & & (x-y)^{2}=0\end{array}$
$\Leftrightarrow \quad x=y$

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Beispiel 25
Gegeben sei die Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ für $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$. Dann gilt :
$x-2=\sqrt{x} \quad(\quad)^{2}$
$\Rightarrow \quad x^{2}-4 x+4=x \quad \mid-x$
$\Rightarrow \quad x^{2}-5 x+4=0$
$\Rightarrow \quad(x-4)(x-1)=0$
Das Produkt ist genau dann null, wenn $x=4$ oder $x=1$ ist. Beachten Sie dabei, dass nur $x=4$ eine Lösung der Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ ist, während $x=1$ keine Lösung dieser Gleichung darstellt. Das Potenzieren in der ersten Zeile ist in diesem Fall also eine nichtäquivalente Umformung!

In dem Beispiel 25 ist die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung $L_{1}=\{4\}$, während nach der nichtäquivalenten Umformung die Lösungsmenge $L_{2}=\{1,4\}$ entstanden ist. Es wurde also wegen $L_{1} \subset L_{2}$ eine zusätzliche Lösung erzeugt, die aber keine Lösung der Ausgangsgleichung ist. Umgekehrt kann bei nichtäquivalenten Umformungen auch eine Lösung verloren gehen, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 26
Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x^{2}=x$ mit der Lösungsmenge $L_{1}=\{0,1\}$. Nach Division durch $x$ folgt die Gleichung $G_{2}: x=1$ mit der Lösungsmenge $L_{2}=\{1\} \subset L_{1}$. Also wurde wegen $L_{1} \neq L_{2}$ auch hier eine nichtäquivalente Umformung vorgenommen.
Bemerkung:
Äquivalente Umformungen von Gleichungen sind:
- Addition beziehungsweise Subtraktion des gleichen Terms zu beiden Seiten.
- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der niemals den Wert Null annimmt.
- Wurzelziehen aus beiden Seiten nur wenn beide Seiten positiv sind und auf beiden Seiten die positive Wurzel gezogen wird. Bei höheren Wurzeln ist die gleiche Einschränkung bei allen geraden Wurzelexponenten zu beachten.
Nichtäquivalente Umformungen von Gleichungen sind :
- Potenzieren beider Seiten einer Gleichung .
- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der den Wert Null annehmen kann.
Beispiel 27
Ein häufig vorkommendes Beispiel für eine äquivalente Umformung ist die quadratische Gleichung $a x^{2}+b x+c=0$ für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$. Durch die Substitution $p:=\frac{b}{a}$ und $q:=\frac{c}{a}$ lässt sich diese Gleichung in die äquivalente Form $x^{2}+p x+q=0$ überführen. Dann folgt mithilfe der binomischen Ergänzung die bekannte Lösungformel:

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$\begin{aligned} x^{2}+p x+q &=0 \quad \mid \text { binomische Ergänzung } \\ x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q &=0 \\\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2} &=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\-q)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right) &=0 \\ x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \end{aligned}$
$\Leftrightarrow$
$$
\begin{aligned}
&\Leftrightarrow \quad x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q=0 \\
&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2}=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\
&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)=0 \\
&\Leftrightarrow \quad x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}
\end{aligned}
$$
Die Zahl $\Delta:=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q$ heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung .
Mit Ungleichungen kann im Prinzip genauso gerechnet werden wie mit Gleichungen, wobei allerdings einiges zu beachten ist. Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Betrachten Sie beispielsweise die Ungleichung $4<12$. Dann gilt einerseits :
und andererseits :
Definition $3.2$ Gegeben seien zwei Ungleichungen $U_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $U_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.. Eine äquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Gleichung $U_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $U_{1} \Leftrightarrow U_{2}$.
- Eine nichtäquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Ungleichung $U_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $U_{1} \Rightarrow U_{2}$.
Seien $x, y \in \mathbb{R}$ zwei beliebige reelle Zahlen. Für $x<y$ oder $x=y$ schreibt man auch kurz $x \leq y \Leftrightarrow y \geq x$.

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Bemerkung:
Äquivalente Umformungen von Ungleichungen sind:
- Addition beziehungsweise Subtraktion des gleichen Terms zu beiden Seiten.
- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem echt positiven Term.
- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term der echt negativ ist bei gleichzeitiger Umkehrung des Ungleichheitszeichens .
Nichtäquivalente Umformungen von Ungleichungen sind:
- Potenzieren beider Seiten einer Ungleichung .
- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der den Wert Null annehmen kann.
Beispiel 28
Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung $2(x+4)-3(x+2) \geq x$, wenn $x \in \mathbb{R}$ angenommen wird?
Lösung :
$$
\begin{aligned}
2(x+4)-3(x+2) & \geq x & \\
-x+2 & \geq x & \mid-x-2 \\
-2 x & \geq-2 & \mid:(-2) \\
x \leq 1 & &
\end{aligned}
$$
Also ist die Lösungsmenge der Ungleichung das halboffene Intervall $L=(-\infty, 1]$.
3.2 Absolutbetrag reeller Zahlen
Definition 3.3 Der Absolutbetrag einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$ wird definiert durch
$$
|x|:=\left\{\begin{array}{ll}
x & \text { für } x>0, \\
0 & \text { für } x=0, \\
-x & \text { für } x<0 .
\end{array} \Leftrightarrow \quad|x|= \begin{cases}x & \text { für } x \geq 0, \\
-x & \text { für } x<0 .\end{cases}\right.
$$
Unter dem Absolutbetrag oder kurz einfach nur Betrag einer reellen Zahl versteht man geometrisch gesehen die Entfernung dieser Zahl auf dem Zahlenstrahl zum Nullpunkt. Die beiden Zahlen $-5$ und 5 beispielsweise haben zum Nullpunkt (Abbildung 3.1) die selbe Entfernung nämlich $|-5|=|5|=5$.


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\input{Grafiken/I_Abb004.tex}

Für den Betrag gelten Rechengesetze, die in dem folgenden Satz zusammengefasst sind.
Satz 3.1 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}$gelten folgende Aussagen:
(1) $|x| \geq 0$
(2) $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$
(3) $|x|=|-x|$
(4) $-|x| \leq x \leq|x|$
(5) $|x|=\sqrt{x^{2}}$
(6) $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$
(7) $|x|<a \Leftrightarrow-a<x<a$
(8) $|x|=x \cdot \operatorname{sign}(x)$
Beweis
(1) Für alle $x \geq 0$ gilt $|x|=x \geq 0$ und für alle $x<0$ gilt $|x|=-x>0$. Also ist insgesamt $|x| \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
(2) Aus $|x|=0$ folgt mit Definition $3.3 x=0$. Umgekehrt folgt aus $x=0$ ebenfalls mit Definition $3.3|0|=0$. Also gilt $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$.
(3) Für alle $x \geq 0$ gilt $|x|=x$ und $|-x|=-(-x)=x$. Also ist $|x|=|-x|$. Für alle $x<0$ gilt $|x|=-x$ und $|-x|=-x$. Also ist $|x|=|-x|$. Daraus folgt insgesamt $|x|=|-x|$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
(4) Für alle $x \geq 0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-x \leq x \leq x$. Für alle $x<0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-(-x) \leq x \leq-x \Leftrightarrow x \leq x \leq-x$. Daraus folgt insgesamt für alle $x \in \mathbb{R}$ die Behauptung $-|x| \leq x \leq|x|$.
(5) Für $x=0$ ist die Gleichung $|0|=\sqrt{0}$ offensichtlich erfüllt. Für alle $x>0$ gilt einerseits $|x|=x$ und $\sqrt{x^{2}}=x$ und andererseits wegen (3) auch $|-x|=x$ und $\sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x$. Daraus folgt insgesamt $|x|=\sqrt{x^{2}}$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
(6) Seien $x, y \geq 0$ oder $x, y<0$. Dann gilt $x \cdot y \geq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=\pm x$ und $|y|=\pm y$, womit $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ folgt. Sei eine der beiden Variablen negativ. Angenommen es ist $x<0$, sonst vertausche man einfach $x$ mit $y$, dann gilt $x \cdot y \leq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=-x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=-x$ und $|y|=y$, womit $|x| \cdot|y|=-x \cdot y$ gilt. Daraus erhält man schließlich $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
(7) Für $x \geq 0$ gilt $|x|<a \Leftrightarrow x<a$. Für $x<0$ gilt $|x|<a \Leftrightarrow-x<a \Leftrightarrow x>-a$. Daraus folgt $|x|<a \Leftrightarrow-a<x<a$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

\text { (8) Mit der erst im Abschnitt } 5.4 \text { eingeführten Signumfunktion (Definition } 5.9 \text { ) gilt für }

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$$
\begin{array}{ll}
x=0: & 0 \cdot \operatorname{sign}(0)=0 \cdot 0=0=|0| \\
x>0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot 1=x=|x| \\
x<0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot(-1)=-x=|x|
\end{array}
$$
Daraus folgt $|x|=x \cdot \operatorname{sign}(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
Beispiel 29
Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung ||$x|-1|>2$ für $x \in \mathbb{R}$.
Lösung:
1. Fall Für $x<0$ ist $|x|=-x$ und damit gilt ||$x|-1|=|-x-1|>2 \quad(*)$.
(i) Für $x \leq-1$ ist $|-x-1|=-x-1$ und die Ungleichung $(*)$ wird zu $-x-1>2 \Leftrightarrow x<-3$. Dann lautet die erste Lösungsmenge
$$
L_{1}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x \leq-1 \wedge x<-3\}=(-\infty,-3)
$$
(ii) Für $x>-1$ ist $|-x-1|=-(-x-1)=x+1$ und die Ungleichung (*) wird zu $x+1>2 \Leftrightarrow x>1$. Dann lautet die zweite Lösungsmenge
$$
L_{2}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x>-1 \wedge x>1\}=\{\}
$$
2. Fall Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$ und damit gilt ||$x|-1|=|x-1|>2 \quad(* *)$.
(i) Für $x<1$ ist $|x-1|=-(x-1)=-x+1$ und die Ungleichung (**) wird zu $-x+1>2 \Leftrightarrow x<-1$. Dann lautet die dritte Lösungsmenge
$L_{3}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x<1 \wedge x<-1\}=\{\} .$
(ii) Für $x \geq 1$ ist $|x-1|=x-1$ und die Ungleichung (**) wird zu $x-1>2 \Leftrightarrow x>3$ Dann lautet schließlich die vierte Lösungsmenge
$$
L_{4}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x \geq 1 \wedge x>3\}=(3, \infty)
$$
Insgesamt erhält man die Lösungsmenge $L$ der Ungleichung aus der Vereinigung der vier Lösungsmengen $L_{1}, \ldots, L_{4}$. Es ist
$$
L=\bigcup_{i=1}^{4} L_{i}=(-\infty,-3) \cup\{\} \cup\{\} \cup(3, \infty)=\mathbb{R} \backslash[-3,3]
$$
Eine nicht nur in der Analysis sehr wichtige Ungleichung ist die sogenannte Dreiecksungleichung, die in vielen Beweisen Verwendung findet um Terme abschätzen zu können.

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Satz 3.2 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ gilt die Dreiecksungleichung
$$
|x+y| \leq|x|+|y|
$$
Beweis
Für den Fall $x+y \geq 0$ folgt mit Satz $3.1$ wegen $x \leq|x|$ und $y \leq|y|$
$$
|x+y|=x+y \leq|x|+|y| .
$$
Für den Fall $x+y<0$, folgt mit Satz $3.1$ wegen $-x \leq|-x|=|x|$ und $-y \leq|-y|=|y|$
$$
|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y) \leq|x|+|y| \text {. }
$$
Der Name Dreiecksungleichung leitet sich von der geometrischen Addition zweier Vektoren ab. Addiert man zwei beliebige Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$, dann bildet der Summenvektor $\vec{x}+\vec{y}$ zusammen mit den Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ ein Dreieck.


\input{Grafiken/I_Abb005.tex}

Aus der Abbildung $3.2$ lässt sich entnehmen, dass die Summe der Längen der Vektorpfeile $\vec{x}$ und $\vec{y}$ größer oder höchstens gleich der Länge des Summenvektors $\vec{x}+\vec{y}$ ist. Das heißt es gilt stets $|\vec{x}+\vec{y}| \leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$.
Beispiel $\mathbf{3 0}$
Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen die Ungleichung ||$x|-| y|| \leq|x-y|$ gilt .
Beweis:
Mithilfe der Dreiecksungleichung aus Satz 3.2 folgt
$|x|=|x-y+y| \leq|x-y|+|y| \Leftrightarrow|x|-|y| \leq|x-y| \quad$ und
$|y|=|y-x+x| \leq|y-x|+|x|=|x-y|+|x| \Leftrightarrow-|x|+|y| \leq|x-y|$.
Insgesamt erhält man also $\| x|-| y|| \leq|x-y|$.

3.3 Kreis- und Ellipsengleichung
Definition 3.4 Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt $M$ (Mittelpunkt) gleichen Abstand $r>0$ (Radius des Kreises) haben.
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\input{Grafiken/I_Abb006.tex}


Die Abbildung $3.3$ zeigt einen verschobenen Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$. Nach dem Satz von Pythagoras ( etwa $570-510$ v. Chr.) ${ }^{*}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck die Gleichung $a^{2}+b^{2}=r^{2}$. Mit $a=x-x_{m}$ und $b=y-y_{m}$ lässt sich der Kreis beschreiben durch die Menge aller geordneten Paare
$$
K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}\right\}
$$
Abbildung 3.3 Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$.
Beispiel 31
Bestimmen Sie für den Kreis $2 x^{2}+2 y^{2}+8 x-12 y=6$ den Mittelpunkt und den Radius.
Lösung :
$\begin{array}{lrl} & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+y^{2}-6 y=3 & \mid \text { binomische Ergänzung } \\ & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+4-4+y^{2}-6 y+9-9=3 & \mid+13\end{array}$
$\Leftrightarrow \quad(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Durch Vergleich mit $K$ ergibt sich $-x_{m}=2 \Leftrightarrow x_{m}=-2$ und $-y_{m}=-3 \Leftrightarrow y_{m}=3$ sowie $r^{2}=16 \Rightarrow r=4$. Also ist der Mittelpunkt $M(-2,3)$ und der Radius $r=4$.
Bemerkung:
Sei $K$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ der Ebene kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb des Kreises liegen. Wie aus der Abbildung $3.3$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln:


*) Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös - philosophischen Bewegung. Trotz intensiver Bemühungen der Forschung gehört er noch heute zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike. Manche Historiker zählen ihn zu den Pionieren der beginnenden griechischen Philosophie, Mathematik und Naturwissenschaften, andere meinen, er sei vorwiegend oder ausschließlich ein Vorkünder religiöser Lehren gewesen.
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 $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}<r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt innerhalb von $K$,
 $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt auf $K$,
 $\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}>r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $K$.
Beispiel 32
Beschreiben Sie die Menge $A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1\right\}$.
Lösung :
$x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1$
$x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 \quad \mid$ binomische Ergänzung
$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 & \mid \text { bino } \\ \Leftrightarrow & x^{2}+2 x+1-1+y^{2}-2 y+1-1 \geq-1 & \mid+2\end{array}$
$(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \geq 1$
Also beschreibt die Menge $A$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die entweder außerhalb oder auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M(-1,1)$ und Radius $r=1$ liegen.
Definition 3.5 Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten $F_{1}, F_{2}$ (Brennpunkte) eine konstante Summe haben, die größer als der Abstand dieser Punkte ist.
Zur Herleitung der Ellipsengleichung sei aus rechnerisch praktischen Gründen der Abstand der Brennpunkte $d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 e$ und die Summe der Entfernungen von einem beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse zu den Brennpunkten $d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a$. Betrachten Sie jetzt die folgenden zwei Abbildungen .

\input{Grafiken/I_Abb007.tex}


Aus dem linken Bild ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras $e^{2}=a^{2}-b^{2}(*)$. Aus dem rechten Bild ergibt sich ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras

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$$
\begin{aligned}
\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\
\Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} .
\end{aligned}
$$
Quadrieren dieser Gleichung liefert:
$$
\begin{aligned}
&(x+e)^{2}+y^{2}=4 a^{2}+(x-e)^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\
\Leftrightarrow \quad & x^{2}+2 e x+e^{2}+y^{2}=4 a^{2}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\
\Leftrightarrow \quad 4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=4 a^{2}-4 e x \\
\Leftrightarrow & a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=a^{2}-e x
\end{aligned}
$$
Nochmaliges Quadrieren ergibt unter der Voraussetzung $a b>0$ mit der Gleichung $(*)$ schließlich die Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung .
$\begin{aligned} a^{2}\left[(x-e)^{2}+y^{2}\right] &=\left(a^{2}-e x\right)^{2} \\ \text { ex } a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{4}-2 e x a^{2}+e^{2} x^{2} \end{aligned}$
$\begin{array}{lr}\Leftrightarrow & a^{2} x^{2}-2 e x a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}-2 e x a^{2} \\ \Leftrightarrow & a^{2} x^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}+e^{2} x^{2}\end{array}$
$\Leftrightarrow \quad a^{2} x^{2}+a^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)+a^{2} y^{2}=a^{4}+\left(a^{2}-b^{2}\right) x^{2}$
$\Leftrightarrow \quad b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$
$\Leftrightarrow \quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
Die Parameter $a$ und $b$ werden als Halbachsen der Ellipse bezeichnet. Sie geben die Schnittstellen der Ellipse mit der $x$ - beziehungsweise $y$ - Achse an. Für den Spezialfall $a=b$ folgt aus Gleichung $(*)$ sofort $e=0$. In diesem Fall liegen die beiden Brennpunkte nämlich im Ursprung des Koordinatensystems und die Ellipse entartet zum Kreis mit dem Radius $r=a$.

Um die Gleichung der verschobenen Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b$ zu finden, betrachten Sie die Abbildung $3.5$

\input{Grafiken/I_Abb008.tex}
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Im $\eta, \xi$ - Koordinatensystem gilt die Gleichung der unverschobenen Ellipse
$$
\frac{\eta^{2}}{a^{2}}+\frac{\xi^{2}}{b^{2}}=1
$$
Mit $\eta=x-x_{m}$ und $\xi=y-y_{m}$ wird die verschobene Ellipse beschrieben durch die Menge der geordneten Paare
$$
E:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1\right\}
$$
Bemerkung:
Sei $E$ eine Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb der Ellipse liegen. Wie aus der Abbildung $3.5$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln.
 $\frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}<1 \Leftrightarrow P$ liegt innerhalb von $E$,
$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow P$ liegt auf $E$,
$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}>1 \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $E$.
Beispiel 33
Beschreiben Sie die Menge $B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x\right\}$.
Lösung:
$$
\begin{array}{lcl} 
& 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x & \mid+3 x^{2}-12 x \\
\Leftrightarrow & \mid \text { binomische Ergänzung } \\
\Leftrightarrow & 3\left(x^{2}-4 x+4-4\right)+4 y^{2}<0 & +12 \\
\Leftrightarrow & 3(x-2)^{2}+4 y^{2}<12 & : 12 \\
\Leftrightarrow & \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}<1 &
\end{array}
$$
Also beschreibt die Menge $B$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die innerhalb der Ellipse mit Mittelpunkt M(2,0) und den Halbachsen $a=2, b=\sqrt{3}$ liegen.

$3.4$ Übungsaufgaben
Aufgabe 37
Sie sind im Wohnzimmer von Prof. Ungleich. Der Kronleuchter ist mehr wert als der Ohrensessel und der Couchtisch zusammen. Zudem sind die Couch und der Couchtisch gemeinsam mehr wert als der Ohrensessel und der Kronleuchter. Der Ohrensessel und die Couch jedoch haben zusammen denselben Wert wie der Kronleuchter und der Couchtisch.

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a) Ordnen Sie jedem Gegenstand das richtige Symbol zu, so dass folgende Unglei. chungen erfüllt sind. Machen Sie sich selbst klar, dass der Text diese Ungleichungen beschreibt.
$$
Z>X+W \quad Y+X>W+Z \quad Z+X=W+Y
$$
b) Wie lassen sich diese vier Gegenstände gemäß ihrer Wertverhältnisse ordnen?
Aufgabe 38 wenn sie für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ gilt. Geben Sie für eine falsche Aussage ein Gegenbeispiel an!
a) $a<b \wedge c \geq 0 \Rightarrow a \cdot c<b \cdot c$
d) $a^{2}<b^{2} \wedge b>0 \Rightarrow a<b$
$b) \quad a<b \Rightarrow|a|<|b|$
c) $\left.a<b<0 \Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{1}{a}<0 \quad f\right) \quad|a| \geq a-1$
Aufgabe 39
Für welche ganzen Zahlen $n \in \mathbb{Z}$ gelten folgende Ungleichungen?
a) $\frac{2}{n}+n \leq 2$
b) $\left|\frac{n-1}{n+3}\right|<1$
c) $|n|+n \geq 3$
d) $|n-3| \leq-2 n+5$
e) $|n-7|<n+7$
f) $|n-3|<n+1$
Aufgabe 40
Zeigen Sie, dass für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $0 \leq a \leq b$ gilt :

$$
a \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq b
$$
und dass genau dann Gleichheit gilt, wenn $a=b$ ist.
Aufgabe 41
Seien $a$ und $b$ zwei beliebige positive reelle Zahlen. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung.
$$
\sqrt{|a|+|b|}<\sqrt{a}+\sqrt{b}
$$
Aufgabe 42
Seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $0<a<b$. Zeigen Sie, dass
$\left|1-\frac{a}{b}\right|<\left|1-\frac{b}{a}\right| \quad$ d.h.,$\quad \frac{a}{b}$ liegt näher an 1 als $\frac{b}{a}$.


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Aufgabe 43
Für zwei beliebige positive reelle Zahlen $a$ und $b$ wird definiert:
Das harmonische Mittel als : $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ und das arithmetische Mittel als $: \frac{1}{2}(a+b)$. Ist das harmonische Mittel größer, kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ?
Aufgabe 44
Sei $a \in \mathbb{R}$. Ermitteln Sie alle $x \in \mathbb{R}$, die die folgende Ungleichung erfüllen.
a) $1+x>a|1-x|, a>1$
b) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+a}$
c) $\frac{1}{|x|}<\frac{1}{|x+a|}, a>0$
Aufgabe 45
Welche Zahl $c \in \mathbb{R}$ ergibt für die Ungleichung $x^{2}-6 x+c \leq 0$
a) genau eine Zahl als Lösung,
b) eine leere Lösungsmenge.
Aufgabe 46
Bestimmen Sie $N \cap M$ sowie $N \cup M$ für
$N=\left\{x \in \mathbb{R}|| x-\frac{1}{3} \mid<\frac{3}{2}\right\} \quad$ und $\quad M=\left\{x \in \mathbb{R}|| x+1 \mid<\frac{1}{2}\right\} .$
Aufgabe 47
Für welche reellen Zahlen ist sowohl die Ungleichung
$x^{2}+5>\frac{5-3 x^{2}}{2 x+1}, \quad$ als auch $\quad x^{2} \geq 6 x-5$ erfüllt?
Geben Sie die Lösungsmenge auch zeichnerisch wieder .
Aufgabe 48
Bestimmen Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung in Intervallschreibweise.
a) $2-x>|2 x+1|$
b) $\frac{2 x-1}{\left|2 x^{2}+1\right|}<1$
c) Bilden Sie $M \cup N$ und $M \cap N$, wobei $M$ für die Lösungsmenge von a) und $N$ für die Lösungsmenge von b) steht.


Aufgabe 49
Ermitteln Sie sämtliche reellen Lösungen $x$ der nachfolgenden Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen.
a) $\sqrt{2 x-4}-\sqrt{x-1}=1$
b) $3-x<4-2 x$
c) $x^{3}-x^{2}<2 x-2$
d) ||$x|-|-5||<1$
e) $1 \leq|x|<3$
f) $\{x|| x-3|=| x+1 \mid\} \cap[0,3]$
g) $|x+1|-|x-1|=1$ h) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+1}$
i) $6 x^{2}-13 x+6<0$
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3 Gleichungen und Ungleichungen
j) $2=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x \sqrt{2 x}}}}$
k) $\left(2^{x}-5\right)^{2}=100$
l) $\sqrt{x+5}=x-1$
m) $-(x+3)^{2} \geq-6 x$
n) $|x+2|>5$
o) $x^{2}+4 x+2<2$
Aufgabe 50
Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Ungleichungen für reelle Zahlen $x$. Be. schreiben Sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise und skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl.
a) $\frac{x}{|x+3|}<\frac{1}{|x-1|}$
b) $\frac{|x-2|}{x+2} \leq 4$
c) $\frac{1}{|2 x-3|}>4$
d) $|x+4|<|x-1|+|x-2|$
e) $\left|\frac{1}{x-6}\right|<2 \quad$ f) $\frac{|x-4|}{3-x}>x$
g) $(x-3)(x-1)>(x-1)(x+5) \quad h) \frac{1}{x-\frac{2}{3}} \geq 3 x$
i) $\frac{|x-2|}{x+6} \leq 1$
j) $|x-1|(x+4) \leq 0$
k) $\frac{|x|}{|x-3|}>10$
l) $\frac{x-5}{2 x} \leq 11$
m) $|x-4| \geq 2|x+1|$
n) $\frac{1}{|x-1|}<2$
o) $\frac{|x|}{|x|-1}<x$
p) $\frac{4}{|2-x|}<\frac{2}{|x+4|}$
q) ||$x|-3|>1$
r) $|3 x-1| \geq|x+1|$
s) $|3 x-2|-2 \leq|1-2 x|$
t) $\left|x+\frac{1}{x}\right| \geq 4$
u) $x(x+1)<6$
v) $|-2| \cdot|x+1| \geq|x-1|+1$
w) $|x-1|>3$
x) $\frac{|x-2|}{x-2} \geq x|x|$
y) $\left(x^{2}+x-2\right)(x-4)(-x-3) \geq 0$
z) $\frac{5-|x-5|}{x+2}<3$
Aufgabe 51
Bestimmen Sie jeweils die Menge der Paare $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, die die folgenden Ungleichungen erfüllen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem.

a) $|x|<|y|$
b) $y \geq(x-1)^{2} \wedge y^{2}+(x-1)^{2} \leq 1$
c) $|x|+|y| \leq 4$
d) $|x-y|^{2}-|x+y|^{2} \leq 1$
e) $x^{2}-2|y|>1$
f) $|x-1|+|y+1| \leq 1$
g) $|x| \leq 5 \wedge|y| \leq 5$
h) $|x| \leq 5 \quad \vee \quad|y| \leq 5$
i) $|x y| \geq 1$
j) $\frac{x}{y} \leq \frac{y}{x}$
k) $|x-1| y \geq 1$
l) $(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 4$

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Aufgabe 52
Beschreiben Sie die folgenden durch Ungleichungen definierten Mengen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem.
a) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)^{2}(y+5)>1\right\}$
b) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \leq \sqrt{1-x^{2}} \wedge x y>0\right\}$
c) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{|x|}{|y-2|} \leq 3 \vee y=2\right\}$
d) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 1-x \wedge 2 y<5 x+1\right\}$
e) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 2-x^{2} \wedge x^{2}+(y-2)^{2} \geq 4\right\}$
f) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y-2 x+1<0 \wedge y+x^{2}<0\right\}$
g) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-3)^{2} \leq 2-y \wedge 3 \geq x-y \wedge 2 y \geq 4-x\right\}$
h) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>(x-1)^{2}-2 \wedge x>0 \wedge y<\frac{3 x}{2}\right\}$

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