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Jede mathematische Aussage bedarf eines Beweises. Dazu bedient man sich im wesentlichen dreier Methoden, die in diesem Kapitel vorgestellt werden sollen.

\section{Direkter Beweis}
Das Ziel ist es, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen. Hierzu kann man sich der \textbf{direkten Beweismethode} bedienen, deren Prinzip darin besteht, dass man mit der Aussage $A$ beginnt und diese durch \underline{erlaubte} mathematische Operationen in die Aussage $B$ überführt $(A \Rightarrow B)$.


Der direkte Beweis ist die am häufigsten verwendete Methode wohl aber auch die schwierigste. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele.

\begin{beispiel}\label{B0011}

\textbf{Behauptung}: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist ungerade.


\textbf{Beweis}:
Sei $n$ eine beliebige ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich diese Zahl darstellen als $n=2 k+1$ mit einem $k \in \mathbb{N}_{0}$. Mithilfe der ersten binomischen Formel erhält man

\[
n^{2}=(2 k+1)^{2}=4 k^{2}+4 k+1.
\]

Weil die ersten beiden Summanden $4 k^{2}$ und $4 k$ jeweils eine gerade Zahl darstellen, ist die Summe $4 k^{2}+4 k$ ebenfalls eine gerade Zahl. Addiert man nun zu der geraden Zahl $4 k^{2}+4 k$ die Zahl $1$ , dann ergibt sich immer eine ungerade Zahl. Also ist $n^{2}$ ungerade und damit die Behauptung bewiesen.

\hfill $\blacksquare$
\end{beispiel}	

\textbf{Bemerkung:}

Um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten.
\begin{itemize}
\item w.z.b.w.: \glqq \textbf{w}as \textbf{z}u \textbf{b}eweisen \textbf{w}ar\grqq (und nicht etwa \glqq was zu bezweifeln wäre\grqq).
\item q.e.d: \glqq \textbf{q}uod \textbf{e}rat \textbf{d}emonstrandum\grqq.
\item $\blacksquare$
\end{itemize}
Im Folgenden wird zur Kennzeichnung für das Ende eines Beweises ausschließlich die dritte Variante $\blacksquare$ gewählt.


\begin{beispiel}\label{B0012}

\textbf{Behauptung:} Die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen $S_{n}=1+2+3+\ldots+n$ lässt sich durch die Formel $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ berechnen.

\vspace{2mm}

\textbf{Beweis:} Der Trick (und das macht den direkten Beweis schwierig) auf den man hier erst einmal kommen muss, besteht darin, die Voraussetzung $S_{n}=1+2+3+\ldots+n$ einmal so wie hier und einmal in umgekehrter Reihenfolge aufzuschreiben.


\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}

\begin{align}
S_{n}=1+2+3+\ldots+(n-2)+(n-1)+n\\
S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1
\end{align} 

Die gliedweise Addition der Gleichungen $(i)$ und $($ ii $)$ liefert schließlich die Behauptung. 


\begin{align*}
2 S_n & = (n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)+\ldots+(3+n-2)+(2+n-1)+(1+n) \\ 
& =\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)}_{n \text { gleiche Summanden }}=n(n+1) 
\end{align*}
\hspace{-5mm}\vspace{-6mm}
\begin{align*}
	\Rightarrow \quad S_n=\frac{n(n+1)}{2}
\end{align*}

\hfill $\blacksquare$

\end{beispiel}	

Ein Beweis muss immer allgemeingültig sein und \underline{alle} möglichen Fälle abdecken. Für das Widerlegen einer Behauptung genügt daher nur \underline{ein} einziges Gegenbeispiel!

\begin{beispiel}\label{B0013}

\textbf{Behauptung}: Für alle $n \in \mathbb{N}$ liefert die Formel $p(n):=n^2-n+41$ eine \textbf{Primzahl}. Das heißt eine Zahl, die nur durch $1$ oder sich selbst teilbar ist.


Diese Aussage ist offensichtlich falsch, weil $p(41)=41^{2}-41+41=41^{2}$ keine Primzahl ist. Denn die Zahl $41^{2}$ lässt sich neben 1 und $41^{2}$ auch durch die Zahl 41 teilen.

\end{beispiel}
\section{Indirekter Beweis}
Der indirekte Beweis oder auch Widerspruchsbeweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise. Wie bei dem direkten Beweis ist es auch hier das Ziel, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen.


Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, das man annimmt, die Behauptung $B$ sei falsch und stattdessen das logische Gegenteil $\neg B$ richtig. Durch \underline{erlaubte} mathematische Operationen führt man unter Benutzung der zusätzlichen Voraussetzung $\neg B$ einen Widerspruch her. Die Folgerung ist, dass $B$ richtig sein muss.


\begin{beispiel}\label{B0014}
	
\textbf{Behauptung}: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl $n$ eine natürliche Zahl, so ist diese gerade.

\textbf{Beweis} : Nimmt man an, dass $k=\sqrt{n}$ eine ungerade Zahl ist, dann ist wegen der in Beispiel 11 bewiesenen Behauptung auch $k^2=n$ ungerade und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $n$ gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch und das heißt $\sqrt{n}$ ist eine gerade Zahl.

\hfill $\blacksquare$
\end{beispiel}

Bei diesem Beweisverfahren schleicht sich oft ein häufig gemachter Fehler ein, indem die Behauptung falsch negiert wird. Dazu das folgende

\begin{beispiel}\label{B0015}
\textbf{Behauptung}: Die Zahl $1$ ist die größte reelle Zahl.

\textbf{Beweis}: Angenommen die Behauptung ist falsch, dass heißt es gibt eine andere größte Zahl $y$, mit $1<y$. Weil die Zahl $y$ positiv ist, kann die Ungleichung $1<y$ mit $y$ multipliziert werden und man erhält $y<y^{2}$. Das ist offenbar ein Widerspruch zur Annahme, dass $y$ die größte Zahl ist, weil $y^{2}$ ja noch größer als $y$ ist. Also folgt die Behauptung und somit ist die Zahl $1$ die größte reelle Zahl.

\textbf{Wo liegt hier der Fehler ?}
Die Negation der Behauptung ist falsch! Die richtige Negation muss lauten : $1$ ist nicht die größte reelle Zahl.


\end{beispiel}

\section{Vollständige Induktion}
Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe definiert, die in den zu beweisenden Behauptungen immer wieder auftauchen.


\input{Definitionen/I_D_21.tex}

Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen.

\begin{beispiel}\label{B0016}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
	\item $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$
	\item $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$
	\item $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$
\end{enumerate}
\end{beispiel}

\newpage
Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengestellten Gesetze.

\begin{satz}\label{S0001}
	\begin{align}
		\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\
		\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\
		\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\
		\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\
		\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i}
	\end{align}
	
	Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt:
\begin{align}
	\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l}
\end{align}
\end{satz}

\textbf{Beweis}:

Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt :




\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
	
\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n a_k+\sum_{k=m}^n b_k & =a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n+b_m+b_{m+1}+\ldots+b_n \\ & =a_m+b_m+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_n+b_n=\sum_{k=m}^n\left(a_k+b_k\right)\end{aligned}$
	

\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n c \cdot a_k & =c \cdot a_m+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_n \\ & =c \cdot\left(a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\right)=c \sum_{k=m}^n a_k\end{aligned}$

\item $\sum_{k=m}^n a_k=\sum_{i=m}^n a_i=\sum_{j=m}^n a_j=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n$


\item $\sum_{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_u+a_{u+1}+\ldots+a_n=\sum_{k=m}^u a_k+\sum_{k=u+1}^n a_k$

\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m}^n a_k \sum_{i=u}^v b_i & =\sum_{k=m}^n a_k \cdot\left(b_u+b_{u+1}+\ldots+b_v\right) \\ & =\sum_{k=m}^n\left(a_k b_u+a_k b_{u+1}+\ldots+a_k b_v\right)=\sum_{k=m}^n \sum_{i=u}^v a_k b_i \\ \sum_{i=u}^v \sum_{k=m}^n a_k b_i & =\sum_{i=u}^v\left(a_m b_i+a_{m+1} b_i+\ldots+a_n b_i\right) \\ & \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=u}^v a_m b_i+\sum_{i=u}^v a_{m+1} b_i+\ldots+\sum_{i=u}^v a_n b_i \\ & \stackrel{(2)}{=} a_m \sum_{i=u}^v b_i+a_{m+1} \sum_{i=u}^v b_i+\ldots+a_n \sum_{i=u}^v b_i \\ & =\left(a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\right) \sum_{i=u}^v b_i=\sum_{k=m}^n a_k \sum_{i=u}^v b_i\end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t] \sum_{k=m+l}^{n+l} a_{k-l} & =a_{m+l-l}+a_{m+l+1-l}+\ldots+a_{n+l-l} \\ & =a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n=\sum_{k=m}^n a_k\end{aligned}$

\end{enumerate}\hfill $\blacksquare$

\begin{beispiel}\label{B0017}
Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4$ soweit wie möglich.

\textbf{Lösung:}
Mit Satz \ref{S0001} gilt
$\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .	$

\end{beispiel}

Eine der wichtigsten Summen überhaupt in der Mathematik ist die Summe
$$
S_{n}:=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n},
$$
die auch als \textbf{geometrische Summe }bezeichnet wird.

\begin{satz}\label{S0002}
Sei $q \in \mathbb{R}$. Dann gilt für die geometrische Summe die Summenformel
$$
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\left\{\begin{array}{lll}
	n+1 & \text { für } & q=1 \\
	\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text { für } & q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}
\end{array}\right.
$$
\end{satz}


\textbf{Beweis}:

Der Beweis wird hier direkt geführt. Dazu schreibt man die beiden Summen $S_{n}$ und $q \cdot S_{n}$ untereinander auf.

\begin{subequations}
	% Dieser Befehl ändert die Anzeige der Nummer auf kleine römische Zahlen:
	\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
	
	\begin{align}
		S_{n} &=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+q^{n} \label{eq:punkt1} \\
		q \cdot S_{n} &=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}  \label{eq:punkt2} 
	\end{align}
\end{subequations}

Subtrahiert man jetzt von der Gleichung (\ref{eq:punkt1}) die Gleichung (\ref{eq:punkt2}) dann heben sich die Summanden $q, q^{2}, \ldots, q^{n}$ heraus und dann folgt für alle $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$
$$
S_{n}-q \cdot S_{n}=1-q^{n+1} \Rightarrow(1-q) S_{n}=1-q^{n+1} \quad \Rightarrow \quad S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
$$
Für $q=1$ erhält man $S_{n}=1+1+1+\ldots+1=(n+1) \cdot 1=n+1$.

\hfill $\blacksquare$

Auch im alltäglichen Leben spielt die geometrische Summe eine wichtige Rolle. Zum Beispiel bei der Verzinsung eines Kapitals über mehrere Jahre hinweg. Betrachten Sie dazu das folgende

\begin{beispiel}\label{B0018}
Ein Anleger bringt zu Beginn eines jeden Jahres den festen Betrag $B$ zur Bank, der mit dem festen Zinssatz $p$ am Ende eines jeden Jahres verzinst wird und seinem Konto gutgeschrieben wird. Bestimmen Sie den ersparten Betrag $K_{n}$ nach $n$ Jahren.

\textbf{Lösung:}

Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden Jahres multipliziert werden muss. Dann ergibt sich die folgende Kapitalentwicklung jeweils am Ende des

\begin{tabular}{ll}
1. Jahr	& $ K_{1}=B q$ \\

2. Jahr 	&  $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$\\

	&  \\
	\hline
	&  \\
\end{tabular}
\end{beispiel}

%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\newpage\newpage\newpage\newpage\newpage



 

3. Jahr $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$
$$
\text { n. Jahr } \begin{aligned}
K_{n} &=B q^{n}+B q^{n-1}+\ldots+B q=q B\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}\right) \\
&=q B \sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=q B \frac{1-q^{n}}{1-q}
\end{aligned}
$$
-20-

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-21-
Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußerst effizient Produkte schreiben lassen.
Definition $2.2$ Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{N}_{0}$ und $m, n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Produktzeichen definiert als
$$
\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_{n} .
$$
Für den Fall $m>n$ setzt man $\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=1$.
Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen .
Beispiel 19
a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$
b) $\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{\mu-1} \cdot x_{\mu}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{\mu} x_{k}}$
Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
Definition 2.3 Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt
$$
n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
$$
n - Fakultät. Man definiert weiter $0 !:=1$.
Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
$$
n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
$$
ablesen .
Beispiel 20
Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
Lösung:
An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .
-21-
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-22-


An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.

\input{Grafiken/I_Abb003.tex}

Man erkennt aus dieser Abbildung, dass es genau $3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Anders formuliert kann man diese Aufgabe auch so interpretieren: Wie viele verschiedene Tripel lassen sich aus der Menge $\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\right\}$ bilden, wenn jedes Element nur einmal vorkommen darf? Es sind genau 3 ! solcher Tripel, nämlich
$$
\begin{array}{lll}
\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right), & \left(B_{1}, B_{3}, B_{2}\right), & \left(B_{2}, B_{1}, B_{3}\right), \\
\left(B_{2}, B_{3}, B_{1}\right), & \left(B_{3}, B_{1}, B_{2}\right), & \left(B_{3}, B_{2}, B_{1}\right) .
\end{array}
$$
Man spricht hier auch von Permutation ohne Wiederholung $$ \text { Definition } 2.4 \text { Für alle } n, k \in \mathbb{N}_{0} \text { mit } k \leq n \text { heißt } $$
$$
\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right):=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}
$$
\textbf{Binomialkoeffizient} und wird gelesen als "$n$ über $k$. Für $k=0$ setzt man $\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right):=1$.
Aus dieser Definition ergibt sich sofort
$$
\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right)=1 \quad \text { und } \quad\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}=\frac{n !}{n !}=1
$$
Beispiel 21
Mit der Definition $2.4$ ergeben sich die Binomialkoeffizienten für alle $0 \leq k \leq n \leq 4$ zu
- $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)=1$.
- $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=1$.


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\newpage

-23-


- $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)=\frac{2}{1}=2,\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=1$.
- $\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right)=\frac{3}{1}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right)=1$.
- $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\frac{4}{1}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2}=6,\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right)=1$.
Eine der wichtigsten Anwendungen der Binomialkoeffizienten liegt in der Berechnung der Binompotenzen $(a+b)^{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$. Es gilt :
$$
\begin{aligned}
&(a+b)^{0}=1 \\
&(a+b)^{1}=a+b
\end{aligned}
$$
$(a+b)^{1}=a+b$
$\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$
$$
2(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}-(3)-(3)(3)-(3)
$$
Für zum Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetzt offensichtlich
$b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$ $\vdots$ Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetz
$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{l}
3 \\
0
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
3 \\
1
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
3 \\
2
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
3 \\
3
\end{array}\right) \\
\vdots
\end{gathered}
$$
schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigke
schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigkeit findet .
*) Blaise Pascal, französischer Mathematiker und Physiker, geb. 19. Juni 1623 in Clermont - Ferrand, gest. 19. August 1662 in Paris. Pascal beschäftigte sich vorwiegend mit Glücksspielen und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
-23-
\newpage
-24-
Zwei fundamentale Eigenschaften der Binomialkoeffizienten sind in dem folgenden Sat zusammengefasst.
Satz 2.3 Seien $n, k \in \mathbb{N}_{0}$. Dann gilt
(1) $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right)$ für alle $k \leq n$,
(2) $\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) \quad$ für alle $1 \leq k \leq n$.
Beweis:
(1) Mit den Definitionen $2.3$ und $2.4$ ergibt sich für alle $n, k \in \mathbb{N}_{0}$ mit $k \leq n$
$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) &=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{k !} \cdot \frac{(n-k) !}{(n-k) !} \\
&=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1) \cdot(n-k) \cdot(n-k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{(n-k) ! \cdot k !} \\
&=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !}=\frac{n !}{(n-(n-k)) ! \cdot(n-k) !}=\left(\begin{array}{c}
n \\
n-k
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
(2) Mit (1) folgt für alle $n, k \in \mathbb{N}$ und $1 \leq k \leq n$
$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{c}
n \\
k-1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
n \\
k
\end{array}\right) &=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \\
&=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !} \cdot \frac{k}{k}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \cdot \frac{n-k+1}{n-k+1} \\
&=\frac{k \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}+\frac{(n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(k+n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !} \\
&=\frac{(n+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(n+1) !}{(n+1-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c}
n+1 \\
k
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

Die Formel ( 2 ) stellt eine Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten dar. Denn wenn man alle $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ für ein beliebiges $n$ schon kennt, so kann man mit ihr sehr einfach alle $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ berechnen. Schauen Sie sich dazu noch einmal das Pascalsche Dreieck an. Dann ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ gerade die Zahl, die sich in der $n$ - ten Zeile und $k$ - ten Spalte des Dreiecks befindet. Um die $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ zu berechnen, brauchen Sie einfach nur die beiden Zahlen aus der Zeile davor die links und rechts über der Zahl $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ angeordnet sind zu addieren.
Es sei $A(n)$ eine Aussage (sehen Sie dazu auch Abschnitt $6.1$ ), welche von natürlichen Zahlen $n$q abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " benutzt man das Prinzip der vollständigen Induktion ( den Beweis hierzu finden Sie im Abschnitt 6.2), das im wesentlichen in den folgenden drei Schritten abläuft .


-24-
\newpage

-25-
1) Induktionsanfang
Man zeigt, dass die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ für ein geeignetes $n_{0} \in \mathbb{N}$ wahr ist.
2) Induktionsannahme
Es wird angenommen, dass die Aussage $A(n)$ für eine natürliche Zahl $n \geq n_{0}$ wahr ist.
3) Induktionsschritt
Mit der Induktionsannahme $A(n)$ zeigt man dann, dass daraus die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt .

Es ergibt sich, dass $A(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n \geq n_{0}$ eine wahre Aussage liefert. Denn es ist ja für
$n=n_{0}: \quad A\left(n_{0}\right)$ wahr nach $(1) .$
$n=n_{0}+1: \quad A\left(n_{0}+1\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}$ gesetzt wird $.$
$n=n_{0}+2: \quad A\left(n_{0}+2\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+1$ gesetzt wird $.$
$n=n_{0}+3: \quad A\left(n_{0}+3\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+2$ gesetzt wird $.$
Beispiel 22
Beweisen Sie die Behauptung: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $2^{n}>n$.
Beweis :
Die Aussage $A(n)$ ist hier $2^{n}>n$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
- Induktionsanfang
Setzt man in $A(n)$ die Zahl $n=1$ ein, dann folgt dass $A(1)$ wahr ist. Denn es gilt $2^{1}=2>1 .$
- Induktionsannahme
Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt die Aussage $A(n)$, also $2^{n}>n(*)$.
- Induktionsschritt
Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist ; also $2^{n+1}>n+1$. Mit der Induktionsannahme $(*)$ ergibt sich für alle $n \in \mathbb{N}$

$$
2^{n+1}=2 \cdot 2^{n \stackrel{(\star)}{>}} 2 n=n+n \geq n+1
$$
sodass aus der Richtigkeit der Aussage $A(n)$ stets die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt.
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\newpage

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Satz 2.4 Für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$ und $a, b \in \mathbb{R}$ gilt der binomische Satz
$$
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}
$$
Beweis:
Der Beweis erfolgt mit vollständiger Induktion .
- Induktionsanfang
Die Aussage ist wahr für $n=0$, denn es gilt
$$
(a+b)^{0}=1=\sum_{k=0}^{0}\left(\begin{array}{l}
0 \\
k
\end{array}\right) a^{0-k} b^{k}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right) a^{0-0} b^{0}=1
$$
- Induktionsannahme
Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $n \geq 0$ gilt :
$$
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) a^{n-k} b^{k} \quad(\star)
$$

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\newpage
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$(a+b)^{n+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)\right] a^{n} b^{1}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)\right] a^{n-1} b^{2}+\ldots$
$+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)\right] a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$
$\stackrel{(\star \star)}{=}\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$
$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$
$=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$
$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) a^{n+1-k} b^{k} .$
Eine für manche Beweise wichtige Ungleichung ist die Bernoullische Ungleichung, die nach dem Mathematiker und Physiker Jakob I. Bernoulli (1655-1705)\footnote{Jakob I. Bernoulli, schweizer Mathematiker und Physiker, geb. 6. Januar 1655 in Basel, gest. 16. August 1705 in Basel. Bernoulli war Professor für Mathematik in Basel und arbeitete auf den Gebieten der Variationsrechnung und den Differenzialgleichungen.} benannt ist.
Satz 2.5 Für jede natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ gilt
Ber Beweis erfolgt auch hier wieder mit vollständiger Induktion.
- Induktionsanfang
Die Aussage ist wahr für $n=1$, denn $(1+x)^{1}=1+x \geq 1+1 \cdot x=1+x$.
- Induktionsannahme
Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt :
$$
(1+x)^{n} \geq 1+n x \quad(\star)
$$

- Induktionsschritt
Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist; also
$$
(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1) x
$$



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\newpage

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Mit der Induktionsannahme $(\star)$ ergibt sich für $x \geq-1$
$$
\begin{aligned}
(1+x)^{n+1} &=\underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+x)^{n} \stackrel{(\star)}{\geq} \underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+n x)=1+n x+x+\underbrace{n x^{2}}_{\geq 0} \\
\geq 1+n x+x=1+(n+1) x .
\end{aligned}
$$
\section{Übungsaufgaben}
\begin{aufgabe}\label{A0009}

Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe eines Produktzeichens.

\begin{enumerate}[label=a)]
\item $1 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 81 \cdot 121 \cdot 169$
\item $\frac{1}{4-2} \cdot \frac{1}{9-3} \cdot \frac{1}{16-4} \cdot \frac{1}{25-5} \cdot \frac{1}{36-6}$
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\label{A0010}
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens.
\begin{enumerate}[label=a)]
\item $1+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{28}+\frac{1}{45}+\frac{1}{66}$
\item $\frac{18}{27}+\frac{32}{64}+\frac{50}{125}+\frac{72}{216}+\frac{98}{343}+\frac{128}{512}$
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

Aufgabe 10

a) 
b) 
c) $\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\ldots+\frac{1}{2^{10}}$
d) $1+2 a+3 a^{2}+4 a^{3}+\ldots+n a^{n-1}$
e) $-1+1+3+5+\ldots+15$
f) $1-4+7-10+13-16+19-22$
g) $\frac{4}{5}-\frac{5}{6}+\frac{6}{7}-\frac{7}{8}+\frac{8}{9}-\frac{9}{10}$
h) $-\frac{2}{3}+\frac{3}{6}-\frac{4}{9}+\frac{5}{12}-\frac{6}{15}+\frac{7}{18}-\frac{8}{21}+\frac{9}{24}$
Aufgabe 11
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens.
a) $\frac{1}{3}-\frac{1}{8}+\frac{1}{15}-\frac{1}{24}+\frac{1}{35} \mp \ldots+\frac{1}{2703}$
b) $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{20}+\frac{1}{30} \mp \ldots+\frac{1}{6642}$
Aufgabe 12 Bestimmen Sie die Lösungen $x \in \mathbb{Z}$ der Gleichung $\sum_{k=0}^{2} k x^{k}=0$.
Aufgabe 13
Berechnen Sie den Wert der folgenden Summen .
a) $\sum_{j=0}^{4} \frac{1}{2^{j}}$
b) $\sum_{k=0}^{4} \frac{k}{2^{k}}$
c) $\sum_{n=2}^{100} \frac{n+1}{n-1}-\sum_{k=2}^{100} \frac{k+2}{k}$
d) $\sum_{k=0}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 k}$
e) $\sum_{k=0}^{4} \frac{(-1)^{k}}{k !} \quad$ f) $\sum_{k=0}^{99}(k+1)^{3}-\sum_{k=2}^{101}(k-1)^{3}$
g) $\sum_{m=-3}^{0} \frac{m+2}{m+4}$
h) $\sum_{n=-2}^{1} \frac{(-1)^{n}}{n+3}$
i) $\sum_{k=1}^{100}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$

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\newpage

-29-
j) $\sum_{j=-4}^{0} \frac{|j|}{j+5}$
k) $\sum_{m=-2}^{4} \frac{m}{|m|+2}$
l) $\sum_{k=1}^{171}\left[k^{2}-(k-1)^{2}\right]$
Aufgabe 14
Berechnen Sie den Wert der folgenden Produkte.
a) $\prod_{k=-3}^{3} 2^{k}$
b) $\prod_{k=-4}^{4}(k-1) k$
c) $\prod_{k=2}^{247} \frac{2 k^{2}}{2 k^{2}-4 k+2}$
d) $\prod_{k=0}^{7} \cos \left(\frac{k \pi}{4}\right)$
e) $\left.\prod_{k=1}^{171}(-1)^{k} \sin \left(\frac{k \pi}{2}\right) \quad f\right) \prod_{j=0}^{10} \frac{1}{2^{2 j+1}} \prod_{j=2}^{11} 4^{j}$
g) $\prod_{k=2}^{15} \frac{k-1}{k+1}$
h) $\prod_{n=1}^{300}\left(1+\frac{1}{n}\right)$
i) $\prod_{j=0}^{11}\left(\frac{1}{4}\right)^{j} \prod_{j=0}^{11} 2^{2 j}$
j) $\prod_{k=3}^{150} \frac{2 k}{k-2}$
k) $\prod_{k=1}^{100} \frac{k}{k+1}$
l) $\prod_{k=1}^{4} \sin \frac{(2 k+1) \pi}{4}$
Aufgabe 15
Berechnen Sie den Wert folgender Summen beziehungsweise Produkte.
a) $\sum_{k=0}^{4}\left(\prod_{j=0}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{j}\right)$
b) $\prod_{k=0}^{171}(-1)^{k} \cos \left(\frac{k \pi}{2}\right)$
c) $\prod_{k=1}^{4}\left(\sum_{j=0}^{k} j\right)$
d) $\sum_{k=12}^{21}\left(k^{2}-22 k+121\right)$
e) $\prod_{j=1}^{6} \frac{1}{j+1}\left(j+\sum_{k=1}^{j}(k-1)\right)$

Aufgabe 16
Zeigen Sie Gleichheit oder Ungleichheit der folgenden Summen bzw. Produkte.
a) $\sum_{j=0}^{9}(3 j+1)=\sum_{j=1}^{10}(3 j-2)$
b) $\prod_{k=1}^{10} k^{2}=\prod_{k=1}^{9}(11-k)^{2}$
c) $\sum_{l=1}^{4}(6 l-5)-\sum_{l=1}^{4}(5 l-2)=\sum_{m=1}^{4}(m-3)$
d) $\sum_{l=1}^{5} l=\sum_{m=1}^{5}(6-m)$
e) $\left.\sum_{u=1}^{4}\left(u^{2}-1\right)-\sum_{v=1}^{4}(2 v-2)=\sum_{w=1}^{4}(w-1)^{2} \quad f\right) \prod_{l=1}^{5} \sum_{m=1}^{5} m l=\sum_{l=1}^{5} \prod_{m=1}^{5} m l$
g) $\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=j}^{4}(i+j-1)=\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{i}(i+j-1)$
Aufgabe 17
Vervollständigen Sie die folgenden Gleichungen:
a) $\left.\sum_{l=0}^{n} 2^{l}=1+\sum_{k=0}=\left(\sum_{m=0}\right)+2^{n} \quad b\right) \sum_{k=2}^{n}(-1)^{k} a_{k-1}=\sum_{m=}(-1) a_{n-m}$


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Aufgabe 18
Zeigen Sie durch Indexverschiebung, dass beide Summen identisch sind.
a) $\sum_{l=2}^{10} \frac{l}{l^{2}+1}=\sum_{k=-2}^{6} \frac{k+4}{k^{2}+8 k+17}$
b) $\sum_{l=3}^{10} \frac{l^{2}}{l-1}=\sum_{k=0}^{7} \frac{k^{2}+6 k+9}{k+2}$
c) $\sum_{n=10}^{29} \frac{1}{n^{2}-18 n}=\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k^{2}-81}$
d) $\sum_{k=4}^{25} \frac{1}{k^{2}-9}=\sum_{n=7}^{28} \frac{1}{n^{2}-6 n}$
Aufgabe 19
Geben Sie die folgende Menge $M$ konkret an. Benutzen Sie für Ihre Behauptung die vollständige Induktion.
$$
M=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \frac{2 n+1}{2^{n}}<\frac{1}{3}\right\}
$$
Aufgabe 20
Zeigen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
$\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=2^{n} \quad$ Hinweis: Wenden Sie den binomischen Satz an!
Aufgabe 21
Sei $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion die Gültigkeit der Gleichung
$$
\sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \quad \forall n \in \mathbb{N}
$$
Aufgabe 22
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion.
$$
(b+1)^{n}>1+\frac{n^{2} b^{2}}{4} \quad \text { für } n \geq 2, b>0 .
$$

Aufgabe 23
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass
$\forall n \in \mathbb{N} \wedge a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \quad$ gilt : $\quad\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$
Aufgabe 24
Zeigen Sie mittels des Beweisprinzips der vollständigen Induktion:
Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $\quad\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right)^{2} \leq 2 n$.


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Aufgabe 25
Für welche natürlichen Zahlen $n$ gilt die Bernoullische Ungleichung
$$
(1+h)^{n} \geq 1+n h \quad \text { mit } \quad h \geq-1
$$
Beweisen Sie Ihre Vermutung mithilfe der vollständigen Induktion.
Aufgabe 26
Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Die Anzahl $D(n)$ der Diagonalen in einem konvexen $n$ - Eck kann für $n \geq 3$ nach der Formel
$D(n)=\frac{n}{2}(n-3)$ berechnet werden $.$
Aufgabe 27
Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Wenn $n$ Personen auf einer Party miteinander anstoßen, dann klingelt es $K(n)=\frac{n(n-1)}{2}$ mal.
Aufgabe 28
Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Für alle $m \in \mathbb{N}_{0}, n \in \mathbb{N}$ und $n>m$ gilt
$$
\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)=(-1)^{m}\left(\begin{array}{c}
n-1 \\
m
\end{array}\right)
$$
Aufgabe 29
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=0 \quad$ Hinweis: $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$
Aufgabe 30
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
$\sum_{k=m}^{n}\left(\begin{array}{c}k \\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ m+1\end{array}\right) \quad$ für alle $\quad n, m \in \mathbb{N}, \quad m \leq n$

Aufgabe 31
Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass
$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{array}{l}j-1 \\ k-1\end{array}\right) \quad$ für alle $n \geq 1 \quad$ und alle $k \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \leq n$ gilt
Hinweis: Es ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right)$.


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Aufgabe 32
Beweisen Sie folgende Ausdrücke per vollständiger Induktion für $n \in \mathbb{N}_{0}$. Finden Sie jeweils die kleinste natürliche Zahl $n_{0} \in \mathbb{N}_{0}$, für die der Ausdruck wahr ist.
a) $(1+x)^{n} \leq 1+n x+n(n-1) \frac{x^{2}}{2}$, falls $x \leq 0$. b ) $2^{n}>n^{2}+6 n-4$
c) $\prod_{k=0}^{n}\left(2^{2^{k}}+1\right)=2^{2^{n+1}}-1$
d) $\frac{1}{n !}+\frac{5}{(n+2) !} \geq \frac{5}{(n+1) !}$
Aufgabe 33
Beweisen Sie mit der vollständigen Induktion für welche $n \in \mathbb{N}$ die folgenden Aussagen gelten.
a) $2^{n}<n$ !
b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n}$
c) $2^{n}<3 n(n+1)$
e) $2^{n}>n^{3}$ f) $e^{n}>n+1$
d) $\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n}$
h) $2^{n}>n^{2}$
i) $2 n+1<2^{n}$
g) $\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$ $n \in \mathbb{N}$ gilt:
a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$
b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$
c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$
d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$
e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$.
f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

Aufgabe 34
Seien $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \geq 0$. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$
b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$
c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$
d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$
e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$.
f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
Aufgabe 35
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
a) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$
c) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-3 k+1\right)=n^{3}$
d) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1$
e) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}$
f) $\sum_{k=1}^{n} k=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)=\frac{n(n+1)}{2}$
g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$
h) $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} k^{2}=(-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$


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i) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq n$
j) $\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(3 k-2)(3 k+1)}=1-\frac{1}{3 n+1}$
k) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{1}{3} n(n+1)(n+2)$
l) $\sum_{k=0}^{n} \frac{9 k}{4^{k+1}}=1-\frac{3 n+4}{4^{n+1}}$
Aufgabe 36
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
a) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{2^{k}}=6-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n}}$
b) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}$
c) $2 n \leq 1+\frac{n(n+1)}{2}$
d) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-k\right)=n^{2}(n+1)$
e) $\sum_{j=1}^{n} j \cdot j !=(n+1) !-1$
f) $\frac{n\left(n^{2}+5\right)}{3} \in \mathbb{N}$
g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^{k-1}}=\frac{1}{4}\left(9-\frac{2 n+3}{3^{n-1}}\right)$
h) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{3} \leq 2 n^{4}$

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