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\section{Gaußsche Zahlenebene}
In Abschnitt $1.2$ wurden die Zahlenmengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ eingeführt. In der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ lassen sich alle die Ihnen aus der Schule her vertrauten Rechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren durchführen. Man erkennt aber, dass auch die reellen Zahlen kein abgeschlossenes algebraisches Zahlensystem bilden, denn schon die einfache quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$ hat bereits keine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ zur Lösung.
Definition 4.1 Die beiden nichtreellen Lösungen der Gleichung $x^{2}+1=0$, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, bezeichnet man mit $i$ und $-i$ und nennt $i$ die imaginäre Einheit. Alle Vielfachen iy mit $y \in \mathbb{R}$ bilden die Mengen der imaginären Zahlen.
Aus dieser Definition folgt sofort $i^{2}=-1$ oder auch $i=\sqrt{-1}$.
Beispiel 34
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung $4 x^{2}+16=0$.
Lösung:
$$
4 x^{2}+16=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=-4 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2}=\pm \sqrt{-4}=\pm 2 \cdot \sqrt{-1}=\pm 2 i .
$$
Definition 4.2 Seien $x, y \in \mathbb{R}$ und $z:=x+i y$.
Dann heißt die Summe $z$ aus einer beliebigen reellen und einer beliebigen imaginären Zahl komplexe Zahl und $\mathbb{C}:=\{z=x+i y \mid x, y \in \mathbb{R}\}$ die Menge aller komplexen Zahlen. $\operatorname{Re}(z):=x$ heißt Realteil und $\operatorname{Im}(z):=y$ Imaginärteil der komplexen Zahl z.
Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass die Mengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ offenbar Teilmengen von $\mathbb{C}$ sind. Beispielsweise lässt sich jede reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ schreiben als $x=x+0 \cdot i$. Durch die Einführung der komplexen Zahlen lassen sich jetzt auch alle quadratischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten lösen, die eine negative Diskriminante haben .
Beispiel 35
Finden Sie die Lösungen der Gleichung $z^{2}-6 z+13=0$.


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Lösung:
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man die Lösungen
$$
z_{1,2}=3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-13}=3 \pm \sqrt{-4}=3 \pm 2 \cdot \sqrt{-1}=3 \pm 2 i
$$
Es bleibt jetzt noch die Frage zu beantworten, wie komplexe Zahlen $z=x+i y$ geometrisch interpretiert werden können und wofür sie nützlich sind ?

Die reellen Zahlen lassen sich darstellen als Punkte auf der reellen Zahlengeraden. Sie liegen überall auf der Zahlengeraden dicht. Das heißt, in jeder noch so kleinen Umgebung einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$ liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen. Da die reellen Zah. len auf die Zahlengerade abgebildet werden können, spricht man auch von sogenannten \Anfz{eindimensionalen Zahlen}.

Komplexe Zahlen $z=x+i y$ hingegen erweisen sich als \Anfz{zweidimensionale Zahlen}, die in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene, benannt nach dem Mathematiker Johann Gauß $(1777-1855)^{*}$, als Punkte oder auch Pfeile (zweidimensionale Vektoren) gekennzeichnet werden können. Auf der waagerechten Achse der Zahlenebene, auch re. elle Achse genannt, wird der Realteil $x$ abgetragen, während die senkrechte Achse als imaginäre Achse bezeichnet wird und auf ihr der Imaginärteil y abgetragen wird.
Die beiden Lösungen $z_{1}=3+2 i$ und $z_{2}=3-2 i$ der quadratischen Gleichung aus dem Beispiel 35 können dann in der Gaußschen Zahlenebene geometrisch wie in den folgenden zwei Abbildungen dargestellt werden.

\input{Grafiken/I_Abb009.tex}

Abbildung 4.1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.
Definition 4.3 Zwei komplexe Zahlen $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$ sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind.
$z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \wedge y_{1}=y_{2}$
*) Johann Carl Friedrich Gauß, deutscher Mathematiker, geb. 30. April 1777 in Braunschweig, gest. $23 .$ Februar 1855 in Göttingen. Zu seinen besonderen Leistungen zählen Arbeiten zur euklidischen und nicht euklidischen Geometrie, sowie der Fundamentalsatz der Algebra.

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Die Pfeile in der rechten Darstellung der Abbildung $4.1$ erinnern stark an Vektoren aus der analytischen Geometrie. Die Zahl $z_{2}$ geht offenbar aus der Zahl $z_{1}$ durch eine Spiegelung an der reellen Achse hervor.
Definition 4.4 Sei $z=x+i y \in \mathbb{C}$. Dann heißt $\bar{z}:=x-i y$ die $z u z$ konjugiert komplexe Zahl und $|z|:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Betrag der komplexen Zahl.
Bemerkung:
Geometrisch bedeutet der Betrag $|z|$ die Länge des Pfeils (Vektors ), der vom Ursprung des Koordinatensystems zur komplexen Zahl z zeigt.
Beispiel 36
Bestimmen Sie für die komplexe Zahl $z=-6-8 i$ den Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl.
Lösung:
Es ist $\operatorname{Re}(z)=-6, \operatorname{Im}(z)=-8$ und $|z|=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=10, \bar{z}=-6+8 i$.
Die Zahlenbereichserweiterung durch Einführung der komplexen Zahlen scheint momentan keinen praktischen Nutzen zu haben . Jedoch wird sich an späterer Stelle zeigen, dass sie ein äußerst bequemes Hilfsmittel zum Beispiel bei der Berechnung von Additionstheoremen und der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen ( Band 9) darstellen. In der Elektrotechnik lassen sich mithilfe der komplexen Zahlen komplizierte Wechselstromnetzwerke besonders effizient lösen.
4.2 Algebra im Komplexen
In diesem Abschnitt wird es vor allem darum gehen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Im Prinzip sind die Grundrechenarten für komplexe Zahlen die gleichen wie für reelle Zahlen, nur dass $i^{2}=-1$ gelten soll.
Definition $4.5$ Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$. Dann gilt für die Addition / Subtraktion und Multiplikation:
$$
\begin{aligned}
&z_{1} \pm z_{2}=x_{1}+i y_{1} \pm\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \pm x_{2}+i\left(y_{1} \pm y_{2}\right) \\
&\Rightarrow_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)
\end{aligned}
$$
Beispiel 37
Berechnen Sie für $z=2+2 i$ und $w=-1+3 i$ die folgenden Ausdrücke:
$$
z+w, \quad z-w, \quad z \cdot w, \quad z^{3} \text {. }
$$

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Die Pfeile in der rechten Darstellung der Abbildung $4.1$ erinnern stark an Vektoren aus der analytischen Geometrie. Die Zahl $z_{2}$ geht offenbar aus der Zahl $z_{1}$ durch eine Spiegelung an der reellen Achse hervor .
Definition 4.4 Sei $z=x+i y \in \mathbb{C}$. Dann heißt $\bar{z}:=x-i y$ die $z u$ konjugiert komplexe Zahl und $|z|:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Betrag der komplexen Zahl.
Bemerkung:
Geometrisch bedeutet der Betrag $|z|$ die Länge des Pfeils (Vektors), der vom Ursprung des Koordinatensystems zur komplexen Zahl z zeigt.
Beispiel 36
Bestimmen Sie für die komplexe Zahl $z=-6-8 i$ den Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl .
Lösung:
Es ist $\operatorname{Re}(z)=-6, \operatorname{Im}(z)=-8$ und $|z|=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=10, \bar{z}=-6+8 i$.
Die Zahlenbereichserweiterung durch Einführung der komplexen Zahlen scheint momentan keinen praktischen Nutzen zu haben . Jedoch wird sich an späterer Stelle zeigen, dass sie ein äußerst bequemes Hilfsmittel zum Beispiel bei der Berechnung von Additionstheoremen und der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen ( Band 9 ) darstellen. In der Elektrotechnik lassen sich mithilfe der komplexen Zahlen komplizierte Wechselstromnetzwerke besonders effizient lösen.
4.2 Algebra im Komplexen
In diesem Abschnitt wird es vor allem darum gehen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Im Prinzip sind die Grundrechenarten für komplexe Zahlen die gleichen wie für reelle Zahlen, nur dass $i^{2}=-1$ gelten soll.
Definition $4.5$ Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$. Dann gilt für die Addition / Subtraktion und Multiplikation:
b $z_{1} \pm z_{2}=x_{1}+i y_{1} \pm\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \pm x_{2}+i\left(y_{1} \pm y_{2}\right)$
$z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)$

Beispiel 37
Berechnen Sie für $z=2+2 i$ und $w=-1+3 i$ die folgenden Ausdrücke:
$$
z+w, \quad z-w, \quad z \cdot w, \quad z^{3} \text {. }
$$

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Lösung :
$$
\begin{aligned}
z+w &=2+2 i+(-1+3 i)=2+2 i-1+3 i=1+5 i \\
z-w &=2+2 i-(-1+3 i)=2+2 i+1-3 i=3-i \\
z \cdot w &=(2+2 i)(-1+3 i)=2 \cdot(-1)+2 \cdot 3 i+2 i \cdot(-1)+2 i \cdot 3 i \\
&=-2+6 i^{2}+4 i=-2-6+4 i=-8+4 i \\
z^{3} &=z^{2} \cdot z=(2+2 i)^{2} \cdot(2+2 i)=\left(4+8 i+4 i^{2}\right)(2+2 i) \\
&=(4+8 i-4)(2+2 i)=8 i \cdot(2+2 i)=16 i+16 i^{2}=-16+16 i
\end{aligned}
$$
Wie dividiert man nun aber zwei komplexe Zahlen ? Die Division zweier komplexer Zahlen gelingt mit dem "Trick " der Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert komplexen Nenner. Betrachten Sie dazu die folgende Rechnung :
$$
\frac{2+3 i}{5-2 i}=\frac{2+3 i}{5-2 i} \cdot \frac{5+2 i}{5+2 i}=\frac{10+19 i+6 i^{2}}{25-4 i^{2}}=\frac{10+19 i-6}{25+4}=\frac{4+19 i}{29}=\frac{4}{29}+\frac{19}{29} i
$$
Für komplexe Zahlen gelten einige nützliche Rechengesetze, die in dem nachfolgenden Satz zusammengefasst sind.
Satz 4.1 Für alle $z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ mit $z=x+i$ y gelten die folgenden Aussagen:
$\frac{1}{2}-2=3$
(2) $z \cdot \bar{z}=x^{2}+y^{2}$ (4) $\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$
(1) $\bar{z}=z$
(6) $|z|=\sqrt{z \cdot \bar{z}}$
(3) $\overline{z_{1}+z_{1}}=\bar{z}$ (5) $\overline{1 / z}=1 / \bar{z}$
(8) $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}$
(7) $\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot \mid$ (9) $\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$
(10) $\operatorname{Im}(z)=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})$
Beweis
Mit Definition $4.4$ und Definition $4.5$ gilt:
(1) $\overline{\bar{z}}=\overline{\overline{x+i y}}=\overline{x-i y}=x+i y=z$.
(2) $z \cdot \bar{z}=(x+i y) \cdot(\overline{x+i y})=(x+i y) \cdot(x-i y)=x^{2}-i^{2} y^{2}=x^{2}+y^{2}$.
(3) Für $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$ folgt
$$
\begin{aligned}
\overline{z_{1}+z_{1}} &=\overline{x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}}=\overline{x_{1}+x_{2}+i\left(y_{1}+y_{2}\right)} \\
&=x_{1}+x_{2}-i\left(y_{1}+y_{2}\right)=x_{1}-i y_{1}+x_{2}-i y_{2}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}
\end{aligned}
$$

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(4) Seien $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$. Dann ist einerseits
$$
\begin{aligned}
\overline{z_{1} \cdot z_{1}} &=\overline{\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)}=\overline{x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)} \\
&=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}-i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \quad \text { und andererseits } \\
\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} &=\overline{x_{1}+i y_{1}} \cdot \overline{x_{2}+i y_{2}}=\left(x_{1}-i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}-i y_{2}\right) \\
&=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}-i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \\
\Rightarrow \quad \overline{z_{1} \cdot z_{1}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} .
\end{aligned}
$$
(5) Einerseits ist
$$
\begin{aligned}
\overline{1 / z} &=\frac{1}{x+i y}=\frac{1}{x+i y} \cdot \frac{x-i y}{x-i y}=\frac{\overline{x-i y}}{x^{2}-i^{2} y^{2}}=\frac{\overline{x-i y}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\bar{x}}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \\
&=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x+i y}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { und andererseits } \\
\frac{1}{\bar{z}} &=\frac{1}{\overline{x+i y}}=\frac{1}{x-i y}=\frac{1}{x-i y} \cdot \frac{x+i y}{x+i y}=\frac{x+i y}{x^{2}-i^{2} y^{2}}=\frac{x+i y}{x^{2}+y^{2}} \\
\Rightarrow \quad \overline{1 / z}=\frac{1}{\bar{z}} .
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)\right|=\left|x_{1} x_{2}+i^{2} y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)\right| \\
=&\left|x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)\right|=\sqrt{\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)^{2}} \\
=& \sqrt{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}+\left(y_{1} y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{2}\right)^{2}+2 x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}+\left(x_{2} y_{1}\right)^{2}} \\
=& \sqrt{x_{1}^{2} x_{2}^{2}+y_{1}^{2} y_{2}^{2}+x_{1}^{2} y_{2}^{2}+x_{2}^{2} y_{1}^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)+y_{1}^{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)} \\
=& \sqrt{\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|
\end{aligned}
$$
(8) Seien $z_{1}:=x_{1}+i y_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+i y_{2}$. Dann ist mit (7)
$\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\left|z_{1} \cdot \frac{1}{z_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{z_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{x_{2}+i y_{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{1}{x_{2}+i y_{2}} \cdot \frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}-i y_{2}}\right|$
$=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}^{2}-i^{2} y_{2}^{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}-i y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}-i \frac{y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right|$
$=\left|z_{1}\right| \cdot \sqrt{\frac{x_{2}^{2}}{\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)^{2}}}=\left|z_{1}\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$
$=\left|z_{1}\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=\left|z_{1}\right| \cdot \frac{1}{\left|z_{2}\right|}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}$.

\newpage


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(9) $\frac{1}{2}(z+\bar{z})=\frac{1}{2}(x+i y+\overline{x+i y})=\frac{1}{2}(x+i y+x-i y)=x=\operatorname{Re}(z)$.
(10) $\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})=\frac{1}{2 i}(x+i y-(\overline{x+i y}))=\frac{1}{2 i}(x+i y-x+i y)=y=\operatorname{Im}(z)$.
Nach Satz $3.2$ gilt die Dreiecksungleichung $|x+y| \leq|x|+|y|$ für alle reellen Zahle $x, y \in \mathbb{R}$. Ein entsprechendes Analogon existiert auch für komplexe Zahlen.
Satz 4.2 Für zwei beliebige $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ gilt die Dreiecksungleichung
Beweis Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ und $z:=z_{1} \cdot \overline{z_{2}}=x+i y$. Dann folgt mit Satz $4.1$
Seien $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ und $z:=z_{1} \cdot z_{2}=x+i y .$ Dann folgt mit Satz $4.1$ $$ x \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad \text { wegen } y^{2} \geq 0 $$
$\Leftrightarrow \quad 2 x \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\Leftrightarrow \quad x+i y+x-i y \leq 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\Leftrightarrow \quad z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+z_{1} \cdot \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} \cdot z_{2}+z_{2} \cdot \overline{z_{2}} \leq z_{1} \cdot \overline{z_{1}}+2\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|+z_{2} \cdot \overline{z_{2}}$
$\Leftrightarrow \quad\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot\left(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\right) \leq\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|+\left|z_{2}\right|^{2}$
$\Leftrightarrow \quad\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot\left(\overline{z_{1}+z_{2}}\right) \leq\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \quad\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leq\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \quad\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$.
Beispiel 38
Zeigen Sie mithilfe der Dreiecksungleichung aus Satz $4.2$ für komplexe Zahlen
$$
\| z_{1}|-| z_{2}|| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|, \quad \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} .
$$
Lösung:
$$
\begin{gathered}
\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}-z_{2}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|+\left|z_{2}\right| \Leftrightarrow\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| \text { und } \\
\left|z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{1}+z_{1}\right| \leq\left|z_{2}-z_{1}\right|+\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|+\left|z_{1}\right| \\
\Leftrightarrow-\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right| .
\end{gathered}
$$
%}
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Insgesamt ergibt sich daraus für die linke Ungleichung $\| z_{1}|-| z_{2}|| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|$. Die rechte Ungleichung folgt aus
$$
\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{1}+\left(-z_{2}\right)\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|-z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \text {. }
$$
4.3 Darstellungsformen komplexer Zahlen
Die komplexe Zahl $z=3+2 i$ kann als Punkt oder auch als Pfeil ( Abbildung 4.1) in der Gaußschen Zahlenebene gedeutet werden. Diese Darstellungsform wird auch als kartesische Form bezeichnet, in der der Real- und Imaginärteil sofort ablesbar sind.

Es besteht aber auch die Möglichkeit, eine komplexe Zahl $z=x+i y \in \mathbb{C}$ dadurch zu kennzeichnen, indem man den Abstand dieser Zahl vom Koordinatenursprung und den Winkel, den der Pfeil mit der positiven reellen Achse einschließt, angibt . Betrachten Sie dazu die folgende Abbildung .

\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (0,0) -- (5,0) node[below] {Re};
\draw[-latex] (0 ,0) -- (0,3) node[left] {Im};

\draw[dashed] (-0.1, 2)  -- (4,2) ;
\node at (-0.3, 2){$y$};


\draw[dashed] (4, -0.1)  -- (4,2) ;
\node at (4, -0.3){$x$};


\draw[-latex] (0,0) -- (4,2) node[midway, above, yshift=0.5mm] {$r$};

\node at (4, 2.4) {$z=x+iy$};

\draw [] (0:1.2) arc [start angle=0, end angle=27, radius=1.2];

\draw (15:.9) node[font=\footnotesize] {$\phi 0$};  %höhe, abstand zu y-achse

\end{tikzpicture}

Abbildung $4.2$ Polarkoordinaten .
Aus der Abbildung ergeben sich $\operatorname{Re}(z)=x=r \cos \varphi_{0}$ und $\operatorname{Im}(z)=y=r \sin \varphi_{0}$ mit $r:=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann gilt für alle $z=x+i y \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$

$$
z=x+i y=r \cos \varphi_{0}+i r \sin \varphi_{0}=r\left(\cos \varphi_{0}+i \sin \varphi_{0}\right) .
$$
Diese Darstellung der komplexen Zahl heißt Polarkoordinatendarstellung oder manchmal auch trigonometrische Form, die besonders nützlich ist bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen. Gibt man den Winkel $\varphi_{0}$ im Bogenmaß an, dann nennt man den Winkel das Argument der komplexen Zahl und schreibt $\varphi_{0}=\arg (z)$. Beachten Sie, dass dieser Winkel nicht eindeutig ist! Denn die Winkel $\varphi_{k}=\varphi_{0}+2 k \pi$ führen für alle $k \in \mathbb{Z}$ wegen der Periodizität der Sinus- und Cosinusfunktion zur selben komplexen Zahl. Daher wird der Winkel $-\pi<\varphi_{0} \leq \pi$ als Hauptwert des Arguments bezeichnet. Aus der Abbildung $4.2$ lässt sich für den Hauptwert ablesen :
$$
\varphi_{0}=\left\{\begin{array}{lll}
\arctan \left(\frac{y}{x}\right) & \text { für } & x>0, \\
\pi+\arctan \left(\frac{y}{x}\right) & \text { für } & x<0, \\
\frac{\pi}{2} & \text { für } & x=0 \wedge y>0, \\
-\frac{\pi}{2} & \text { für } & x=0 \wedge y<0 .
\end{array}\right.
$$

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\newpage



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Bemerkung :
Für $z=0$ ist $\varphi_{0}$ nicht definiert. Man kann in diesem Fall aber $z=0 \cdot\left(\cos \varphi_{0}+i \sin \varphi_{0}\right)$ schreiben mit beliebigen $\varphi_{0} \in(-\pi, \pi]$.

Es werden jetzt einige spezielle Werte für die Sinus- beziehungsweise Cosinusfunktion hergeleitet, die für die praktische Berechnung besonders nützlich sind. Dazu werden ein gleichseitiges und ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck betrachtet.

\begin{tikzpicture}


\usetikzlibrary{angles,quotes,babel}
\usetikzlibrary{plotmarks}

%\draw (15:.9) node[font=\footnotesize] {$\phi 0$};  %höhe, abstand zu y-achse

\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2,4);
\coordinate (D) at (4,0);

\coordinate (Y) at (0,-0.5);
\coordinate (Z) at (2,-0.5);


\draw (A) -- (D);
\draw (A) -- (C) node [midway,left] {$a$};
\draw (D) -- (C) node [midway, right] {$a$};
\draw (B) -- (C)  node [midway,right,yshift=-4mm] {$h$}; 

% ---------------------------------------
% Schalter um Punkte anzuzeigen
\newcommand\ShowPunkt{%%
	\foreach \Punkt in {A, B, C, D}{
		\draw[overlay, thin, color=red, fill=white] plot[only marks, mark=*,mark size=4pt] 
		coordinates{(\Punkt)} node[shift={(1ex,1ex)}] {$\Punkt$};
	};%
}%%
% -------

%\ShowPunkt

%\draw [] (1.2:2) arc [start angle=0, end angle=27, radius=1.2];

\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.5, draw,  angle radius=0.5cm}}

\draw pic ["$60^{\circ}$", anglestyle,angle eccentricity=0.6,angle radius=1cm] {angle = B--A--C}
pic ["$30^{\circ}$", anglestyle, angle eccentricity=0.8, angle radius=2cm] {angle = A--C--B}
pic ["$\cdot$", anglestyle,angle eccentricity=0.6] {angle = C--B--A}
pic ["$60^{\circ}$", anglestyle,angle eccentricity=0.6,angle radius=1cm] {angle = C--D--B};

\draw[latex-latex] (Y) -- (Z) node [midway, below]{$\frac{a}{2}$};
\end{tikzpicture}

Abbildung 4.3 Gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck.
In diesen Dreiecken ergeben sich die Längen für die Höhe $h$ und für die Hypotenuse $c$ mit dem Satz von Pythagoras zu
$$
h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2} \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2} a \text { und } c^{2}=a^{2}+a^{2} \quad \Rightarrow \quad c=\sqrt{2} a .
$$
Mit den aus der Schule her bekannten Formeln $\sin \alpha=\frac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }}$ und $\cos \alpha=\frac{\text { Ankathete }}{\text { Hypotenuse }}$ folgen die nützlichen Beziehungen
$$
\sin \left(30^{\circ}\right)=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}, \quad \sin \left(45^{\circ}\right)=\frac{a}{\sqrt{2} a}=\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad \sin \left(60^{\circ}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a}=\frac{1}{2} \sqrt{3},
$$
$$
\cos \left(30^{\circ}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{a}=\frac{1}{2} \sqrt{3}, \quad \cos \left(45^{\circ}\right)=\frac{a}{\sqrt{2} a}=\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad \cos \left(60^{\circ}\right)=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2} .
$$

Mit der Formel $\varphi=\frac{\pi}{180^{\circ}} \alpha$ lassen sich Winkel, die im Gradmaß $\alpha$ gegeben sind, in die entsprechenden Winkel $\varphi$ im Bogenmaß umrechnen. Man erhält schließlich die leicht zu merkende Zusammenstellung in Form der folgenden Tabelle.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline$\alpha$ & $0^{\circ}$ & $30^{\circ}$ & $45^{\circ}$ & $60^{\circ}$ & $90^{\circ}$ \\
\hline$\varphi$ & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
\hline $\sin$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ & 1 \\
\hline $\cos$ & 1 & $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ & $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
\hline
\end{tabular}



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Beispiel 39
Stellen Sie die komplexen Zahlen $z_{1}=1, z_{2}=-1, z_{3}=-i$ und $z_{4}=1+i$ in Polarkoordinaten dar.
Lösung:
- Für $z_{1}=1$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=0$. Also gilt $z_{1}=1=1 \cdot[\cos (0)+i \sin (0)]$.
- Für $z_{2}=-1$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=\pi$. Also gilt $z_{2}=-1=1 \cdot[\cos (\pi)+i \sin (\pi)]$.
- Für $z_{3}=-i$ ist $r=1$ und $\varphi_{0}=-\frac{\pi}{2}$. Also gilt unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften für die trigonometrischen Funktionen
$$
z_{3}=-i=1 \cdot\left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) .
$$
- Für $z_{4}=1+i$ ist $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ und $\varphi_{0}=\frac{\pi}{4}$. Also gilt
$$
z_{4}=1+i=\sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]
$$
Bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten treten Produkte von trigonometrischen Funktionen auf, die mit den sogenannten Additionstheoremen vereinfacht werden können . Betrachten Sie dazu die folgende Abbildung im Einheitskreis $(r=1)$.

\begin{tikzpicture}[scale=7]
\tkzInit
	\tkzDefPoint(-0.2,0){X} 
	\tkzDefPoint(1.2,0){Y} 
	%__\tkzDefPointBy[rotation= center A angle 60](B) \tkzGetPoint{C}
	\tkzDefPoint(0,0){O} 
	%\tkzDrawPoint[size=5,color=green](O)
	\tkzDefPoint(0,-0.14){O1}

	\tkzDefPoint(0.64,0){P} 
	%\tkzDrawPoint[size=5,color=blue](P)

	\tkzDefPoint(0.64,-0.10){P1} 

	
	\tkzDefPoint(0.64,0.77){A}
	\%tkzDrawPoint[size=5,color=yellow](A)

	\tkzDefPoint(0.9,0.335){B} 
	%\tkzDrawPoint[size=5,color=red](B)
	
	\tkzDefPoint(0.9,0){Q}
	

	\tkzDefPoint(0.9,-0.1){Q1}
	\tkzDefPoint(0.9,-0.14){Q2}

\tkzDefPoint(0.64,0.335){T}
	\tkzDefPoint(1,0){S} 
	\tkzDefPoint(0.94,0.35){B2}
	
	\tkzDrawLine[add=0 and 0](X,Y)
	\tkzDrawLine[add=0 and 0](O,B2)
	\tkzDrawArc[rotate,color=red](O,S)(75)
	\tkzDrawPolygon(O,P,A)
	\tkzDrawPolygon(P,Q,B,T)
	\tkzDrawPolygon(A,T,B)
	
	\tkzDrawArc[color=blue,scale=0.3](O,Q)(B)
	\tkzDrawArc[color=green!50!black,scale=0.3](O,B)(A)
	\tkzDrawArc[color=blue!50!black,scale=0.4](A,T)(B)
	\tkzLabelAngle[pos = .18](Q,O,B){$\alpha$}
	\tkzLabelAngle[pos = .18](B,O,A){$\beta$}	
	\tkzLabelAngle[pos = .12](T,A,B){$\alpha$}
	\tkzLabelPoints(B,O,P,Q)
	\tkzLabelPoints[above](A)
	\tkzLabelPoints[left](T)

	\tkzLabelSegments[swap,left=1mm](O,A){$r=1$}

	\tkzLabelSegments[swap,left](A,T){$y$}

	\tkzLabelSegments[swap,right](B,Q){$x$}

   %\tkzDrawPolygon(B,T,A)
	\draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=B--T--A};

	\draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=A--B--O};

	\draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=A--P--O};

	\draw pic[draw, angle radius=5mm, "$\cdot$", angle eccentricity=.6]{angle=B--Q--P};


\tkzDrawLine[<->, >=latex' ,add=0 and 0](P1,Q1)

\tkzLabelLine[above](P1,Q1){$v$}

\tkzDrawLine[<->, >=latex' ,add=0 and 0](O1,Q2)

\tkzLabelLine[above](O1,Q2){$u$}

  % \draw[<->, shorten >=1pt, >=latex'] (P1) -- (Q1) node[swap,below] {$v$};


\end{tikzpicture}



Abbildung 4.4 Einheitskreis. $\overline{A B}=\sin \beta$ ablesen.
- Im Dreieck $O Q B$ gilt einerseits $\cos \alpha=\frac{u}{O B}=\frac{u}{\cos \beta} \Rightarrow u=\cos \alpha \cos \beta$ und andererseits $\sin \alpha=\frac{x}{O B}=\frac{x}{\cos \beta} \Rightarrow x=\sin \alpha \cos \beta$.
- Im Dreieck TBA gilt einerseits $\cos \alpha=\frac{y}{A B}=\frac{y}{\sin \beta} \Rightarrow y=\cos \alpha \sin \beta$ und andererseits $\sin \alpha=\frac{v}{A B}=\frac{v}{\sin \beta} \Rightarrow v=\sin \alpha \sin \beta$.

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Damit ergeben sich aus dem Dreieck OPA die zwei wichtigen Additionstheoreme $\sin (\alpha+\beta)=x+y=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$ und $\cos (\alpha+\beta)=u-v=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$.
Beispiel $\mathbf{4 0}$
Gegeben seien in Polarkoordinaten die komplexen Zahlen $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)$ und $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$. Bestimmen Sie das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ sowie den Quotienten $\frac{z_{1}}{z_{2}}$.
Lösung:
Mit den eben hergeleiteten Additionstheoremen gilt
$$
\begin{aligned}
z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} r_{2}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right) \\
&=r_{1} r_{2}\left[\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+i\left(\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}\right)\right] \\
&=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right] \quad \text { und } \\
\frac{z_{1}}{z_{2}} &=\frac{r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right)}{r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}}{\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{2}-i \sin \varphi_{2}}{\cos \varphi_{2}-i \sin \varphi_{2}} \\
&=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)}{\underbrace{\cos ^{2} \varphi_{2}+\sin ^{2} \varphi_{2}}_{=1}} \\
&=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right]
\end{aligned}
$$
Aus diesem Beispiel lassen sich jetzt zwei fundamentale Eigenschaften ablesen :
- Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Argumente !
- Bei der Division zweier komplexer Zahlen dividieren sich die Beträge und subtrahieren sich die Argumente !
Beispiel 41
Gegeben seien $z_{1}=2+2 i$ und $z_{2}=\sqrt{3}-i$. Bestimmen Sie ohne Benutzung eines elektronischen Rechners das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ in Polarkoordinaten.
Lösung:
Mithilfe der Tabelle für die speziellen Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen ergeben sich in Polarkoordinaten für $z_{1}$ und $z_{2}$ zunächst
$$
\begin{aligned}
&z_{1}=2+2 i=2 \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=2 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \text { und } \\
&z_{2}=\sqrt{3}-i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right]=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] .
\end{aligned}
$$

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Für das Produkt erhält man also
$$
z_{1} \cdot z_{2}=2 \cdot 2 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right]=4 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)\right]
$$
Es gibt noch eine dritte Darstellungsform für komplexe Zahlen, die sogenannte Exponentialform, die sich ebenfalls besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen eignet.
Eine Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktion $e^{i \varphi}$ ergibt durch Vergleich mit den Reihenentwicklungen von $\cos \varphi$ und $\sin \varphi$ die sogenannte Eulersche Formel, die nach dem Mathematiker Leonhard Euler $(1707-1783)^{*}$ benannt ist.
Satz 4.3 Für alle $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt die Eulersche Formel
$\cos \varphi+i \sin \varphi=e^{i \varphi}$
Der Beweis dieses Satzes folgt erst an späterer Stelle im Band 3 Abschnitt $3.5$ über elementare Funktionen, weil dazu Mittel aus der Differenzialrechnung benötigt werden.
Beispiel 42
Mit der Eulerschen Formel ergeben sich beispielsweise die speziellen Werte:
$$
\begin{aligned}
e^{i \cdot 0} &=\cos (0)+i \sin (0)=1, & e^{i \frac{\pi}{2}}=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=i \\
e^{i \pi} &=\cos (\pi)+i \sin (\pi)=-1, & e^{i \frac{3 \pi}{2}}=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-i \\
e^{i 2 \pi} &=\cos (2 \pi)+i \sin (2 \pi)=1 . &
\end{aligned}
$$
Mit Satz $4.3$ lässt sich jede in Polarkoordinaten gegebene komplexe Zahl schreiben als
$$
z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi}
$$
wobei $z=r e^{i \varphi}$ als Exponentialform bezeichnet wird.
Beispiel 43
Schreiben Sie die komplexe Zahl $z=1+i$ in die Exponentialform.
Lösung:
Mit $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ und $\varphi=\arctan \left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}$ gilt $z=1+i=\sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$.
*) Leonhard Euler, schweizer Mathematiker und Physiker, geb. 15. April 1707 in Basel, gest. 18. September 1783 in Sankt Petersburg. Zu seinen besonderen Leistungen zählen Arbeiten zur Variationsrechnung, Differenzial- und Integralrechnung sowie Arbeiten in der Hydromechanik und Kreiseltheorie.

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Beispiel 44
Gegeben seien die komplexen Zahlen in Polarkoordinaten $z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \cdot \sin \varphi_{1}\right)$ und $z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right)$. Bestimmen Sie das Produkt $z_{1} \cdot z_{2}$ sowie den Quotienten $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in Exponentialform.
Lösung:
Mit den Ergebnissen aus dem Beispiel 40 erhält man
$$
\begin{gathered}
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right]=r_{1} r_{2} e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=r_{1} e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} e^{i \varphi_{2}}, \\
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right]=\frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}=\frac{r_{1} e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} e^{i \varphi_{2}}} .
\end{gathered}
$$
Satz 4.4 Für alle $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt
$$
\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right) \quad \text { und } \sin \varphi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right)
$$
Beweis
Mit der Eulerschen Formel aus Satz $4.3$ sowie den Symmetrieeigenschaften der Cosinusund Sinusfunktion $\cos (-\varphi)=\cos \varphi$ beziehungsweise $\sin (-\varphi)=-\sin \varphi$ folgt:
$$
\begin{aligned}
e^{i \varphi} &=\cos \varphi+i \sin \varphi \\
e^{-i \varphi} &=\cos (-\varphi)+i \sin (-\varphi)=\cos \varphi-i \sin \varphi
\end{aligned}
$$
Addition der Gleichungen ( $i$ ) und (ii) ergibt
$$
2 \cos \varphi=e^{i \varphi}+e^{-i \varphi} \Leftrightarrow \cos \varphi=\frac{1}{2}\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right) .
$$
Subtrahiert man von der Gleichung (i) die Gleichung (ii), dann folgt sofort
$$
2 i \sin \varphi=e^{i \varphi}-e^{-i \varphi} \quad \Leftrightarrow \quad \sin \varphi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right) .
$$
4.4 Ganzzahlige Potenzen komplexer Zahlen
Mit der Einführung der Multiplikation und Division hat man automatisch auch ganzzahlige Potenzen komplexer Zahlen definiert. Man erhält diese, indem man die Zahl $z$ mehrmals hintereinander mit sich selbst multipliziert beziehungsweise indem man mehrmals hintereinander durch die Zahl $z$ dividiert.

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Beispiel 45
Bestimmen Sie $i^{n}$ für alle $n \in \mathbb{Z}$.
Lösung :
Mit der Definition $i^{2}=-1$ ergeben sich die Potenzen der imaginären Einheit zu:
$$
\begin{aligned}
i^{1} &=i & i^{-1} &=\frac{1}{i}=\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i \\
i^{2} &=-1 & i^{-2} &=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1 \\
i^{3} &=i^{2} \cdot i=-1 \cdot i=-i & i^{-3} &=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{i^{2}} \cdot \frac{1}{i}=-1 \cdot(-i)=i \\
i^{4} &=i^{3} \cdot i=-i \cdot i=-i^{2}=1 & i^{-4} &=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{i^{3}} \cdot \frac{1}{i}=i \cdot(-i)=-i^{2}=1 \\
i^{5} &=i^{4} \cdot i=1 \cdot i=i & i^{-5} &=\frac{1}{i^{5}}=\frac{1}{i^{4}} \cdot \frac{1}{i}=1 \cdot(-i)=-i
\end{aligned}
$$
Mit der Definition $i^{0}:=1$ lassen sich die ganzzahligen Potenzen der imaginären Einheit für alle $k \in \mathbb{Z}$ darstellen als
$$
i^{4 k}=1, \quad i^{4 k+1}=i, \quad i^{4 k+2}=-1, \quad i^{4 k+3}=-i
$$
Für ein beliebiges $z \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$ ist die Berechnung der ganzzahligen Potenzen $z^{n}$ nach diesem Verfahren im allgemeinen recht aufwendig. Wandelt man die komplexe Zahl $z=x+i y$ in die zugehörige Polarkoordinatendarstellung $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ um, dann lassen sich die Potenzen mit der Moivreschen Formel, die nach dem Mathematiker Abraham de Moivre $(1667-1754)^{*}$ benannt ist, wesentlich einfacher bestimmen .
Satz $4.5$ Für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\varphi \in \mathbb{R}$ gilt die Formel von Moivre
$$
z^{n}=[r(\cos \varphi+i \sin \varphi)]^{n}=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]=r^{n} e^{i n \varphi}
$$
Beweis
Im Beispiel 40 wurde gezeigt, dass sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarkoordinatenform die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren . Dann gilt für $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$
*) Abraham de Moivre, französischer Mathematiker, geb. 26. Mai 1667 in Vitry-le-François, gest. 27. November 1754 in London.

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$$
\begin{aligned}
z^{2} &=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r^{2}[\cos (2 \varphi)+i \sin (2 \varphi)] \\
z^{3} &=z^{2} \cdot z=r^{2}[\cos (2 \varphi)+i \sin (2 \varphi)] \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \\
&=r^{3}[\cos (3 \varphi)+i \sin (3 \varphi)], \\
& \vdots \\
z^{n} &=z^{n-1} \cdot z=r n-1[\cos ((n-1) \varphi)+i \sin ((n-1) \varphi)] \cdot r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \\
&=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)], \quad \forall n \in \mathbb{N}
\end{aligned}
$$
Beispiel 46
Berechnen Sie $z^{12}$ für $z=2+2 i$.
Lösung :
Zunächst ist $r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}$ und $\varphi=\arctan \left(\frac{2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$. Also gilt $z=2 \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$ und mit Satz $4.5$ folgt schließlich
$$
z^{12}=(2 \sqrt{2})^{12} \cdot e^{i \frac{12 \pi}{4}}=2^{18} \cdot e^{i 3 \pi}=2^{18}[\underbrace{\cos (3 \pi)}_{=-1}+i \underbrace{\sin (3 \pi)}_{=0}]=-2^{18} .
$$
Beispiel 47
Berechnen Sie $z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ in der Exponentialform.
Lösung :
Mit Satz $4.5$ und $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ sowie den Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen gilt
$$
\begin{aligned}
z^{-n} &=\frac{1}{z^{n}}=\frac{1}{r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]} \\
&=\frac{1}{r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]} \cdot \frac{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)}{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)} \\
&=\frac{1}{r^{n}} \cdot \underbrace{\frac{\cos (n \varphi)-i \sin (n \varphi)}{\cos ^{2}(n \varphi)+\sin ^{2}(n \varphi)}}_{=1}=r-n[\cos (n \varphi)-i \sin \\
&=\underbrace{-n}[\cos (-n \varphi)+i \sin (-n \varphi)]=r^{-n} \cdot e^{-i n \varphi} .
\end{aligned}
$$
Definiert man schließlich noch $z^{0}:=1$, dann gilt $z^{n}=r^{n} e^{i n \varphi}$ offensichtlich für alle ganzzahligen Potenzen $n \in \mathbb{Z}$.

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4.5 Allgemeine reelle Potenzen komplexer Zahlen
Bleibt jetzt noch die Frage zu klären, wie man Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten berechnet. Dabei sind von besonderem Interesse Exponenten der Form $\frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$, also die Wurzeln aus komplexen Zahlen .
Definition 4.6 Für jedes $\alpha \in \mathbb{R}$ und $z=r e^{i \varphi}$ ist $z^{\alpha}$ die Menge
$$
z^{\alpha}:=\left\{w_{k} \in \mathbb{C} \mid w_{k}=r^{\alpha} e^{\alpha(\varphi+2 k \pi) i}, k \in \mathbb{Z}\right\}
$$
Die Auswertung dieser Definition erfordert die Betrachtung von vier Fällen .
1. Fall Für $\alpha=n \in \mathbb{Z}$ gilt
$$
w_{k}=r^{n} e^{n(\varphi+2 k \pi) i}=r^{n} e^{i n \varphi} \underbrace{e^{i 2 k n \pi}}_{=1}=r^{n} e^{i n \varphi}=: w_{0} .
$$
Die Potenz $z^{n}$ ist also eindeutig und in diesem Fall besteht die Menge nur aus dem einen Element $w_{0}$.
2. Fall Für $\alpha=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$ ist $z^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{z}$. Dann gilt für alle $k \in \mathbb{Z}$
$$
\begin{gathered}
w_{k}=r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{1}{n}(\varphi+2 k \pi) i}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2 k \pi}{n} i} \text { und } \\
w_{n+k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2(n+k) \pi}{n} i}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot \underbrace{e^{2 \pi i}}_{=1} \cdot e^{\frac{2 k \pi}{n} i}=w_{k} .
\end{gathered}
$$
Beachten Sie, dass die Potenz $z^{\frac{1}{n}}$ nicht mehr eindeutig definiert ist! Wegen der Periodizität $w_{n+k}=w_{k}$ gibt es genau $n$ verschiedene Lösungen
$$
w_{0}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i}, \quad w_{1}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2 \pi}{n} i}, \ldots, w_{n-1}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{n} i} \cdot e^{\frac{2(n-1) \pi}{n} i} .
$$
Dabei heißt die Lösung $w_{0}$ der Hauptwert von $\sqrt[n]{z}$.
Bemerkung:
Die komplexwertige Abbildung $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto f(z)=\sqrt[n]{z}$ ist daher keine klassische Funktion!
3. Fall Für $\alpha=\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$ mit $m \in \mathbb{Z}$ und $n \in \mathbb{N}$ wird $z^{\frac{m}{n}}:=\left(z^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ definiert! Beachten Sie, dass im Allgemeinen $\left(z^{\frac{1}{n}}\right)^{m} \neq\left(z^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ ist, wie das folgende Beispiel für $m=n=2$ zeigt !
Für $z=-1$ ist $r=1$ und $\varphi=\pi$. Dann gilt einerseits
$$
z^{\frac{1}{2}}=\left\{w_{0}, w_{1}\right\}=\left\{e^{\frac{\pi}{2} i}, e^{\frac{3 \pi}{2} i}\right\}=\{i,-i\} .
$$
Die Potenz $\left(z^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\{i,-i\}^{2}$ ist aber nicht definiert!

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Für $z^{2}=1$ ist $r=1$ und $\varphi=0$. Dann ergibt sich andererseits
$$
\left(z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left\{w_{0}, w_{1}\right\}=\left\{e^{0 \cdot i}, e^{\pi i}\right\}=\{1,-1\} \neq z \quad \Rightarrow \quad\left(z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \neq\left(z^{\frac{1}{2}}\right)^{2} .
$$
4. Fall Für irrationales $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ hat die Menge $z^{\alpha}$ unendlich viele Elemente.
Bemerkung:
Die reelle Wurzel $\sqrt[n]{x}$ liefert für alle $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$eine eindeutige Lösung, während die komplexe Wurzel $\sqrt[n]{z}$ für alle $z \in \mathbb{C}$ (insbesondere auch für den Fall $z=x+i \cdot 0$ ) eine Menge von $n$ Elementen liefert.
Beispiel 48
Skizzieren Sie die Menge $\sqrt[3]{i}$ in der Gaußschen Zahlenebene.
Lösung :
Für $z=i$ ist $r=1$ und $\varphi=\frac{\pi}{2}$. Dann ergibt sich mit der Definition $4.6$
$$
\begin{aligned}
\sqrt[3]{i} &=\left\{w_{k} \in \mathbb{C} \mid w_{k}=e^{\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right) i}, k \in\{0,1,2\}\right\}=\left\{e^{\frac{\pi}{6} i}, e^{\frac{5 \pi}{6} i}, e^{\frac{3 \pi}{2} i}\right\} \\
&=\left\{\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} i,-\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} i,-i\right\}=\left\{w_{0}, w_{1}, w_{2}\right\} .
\end{aligned}
$$
Alle Elemente der Menge $\sqrt[3]{i}$ liegen auf dem Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene. Der Winkel zwischen zwei beliebigen Elementen beträgt jeweils $\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{3}$.
4.6 Komplexe Gleichungen und Ungleichungen
Weil die komplexen Zahlen nicht vollständig geordnet sind, sind Ungleichungen für komplexe Zahlen nicht erklärt. Beispielsweise kann für die komplexen Zahlen $z_{1}=1+i$ und $z_{2}=2+2 i$ nicht entschieden werden ob $z_{1}<z_{2}$ oder $z_{2}<z_{1}$ ist. Betrachtet man die Menge aller komplexen Zahlen, die innerhalb oder auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius $r>0$ in der komplexen Ebene liegen, so hat es keinen Sinn, nach einer kleinsten oder größten komplexen Zahl in dieser Menge zu suchen.

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Da der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl reell ist, sind Ungleichungen zwischen Beträgen komplexer Zahlen natürlich möglich. Betrachten Sie dazu das folgende
Beispiel 49
Bestimmen Sie die Lösungsmenge $L=\{z \in \mathbb{C}|| z-1 \mid<1\} \subset \mathbb{C}$ und skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene.
Lösung :
Sei $z=x+i y$. Dann ergibt sich durch äquivalente Umformungen:
$|z-1|<1$
$\Leftrightarrow \quad|x+i y-1|<1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<1 \quad \mid()^{2}$
$\Leftrightarrow \quad(x-1)^{2}+y^{2}<1$
Die Lösungsmenge $L$ besteht also aus allen komplexen Zahlen, die in der Gaußschen Zahlenebene innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt $M(1 \mid 0)$ und dem Radius $r=1$ liegen, wobei die Randpunkte des Kreises nicht zur Lösungsmenge gehören .

Betrachten Sie für $z \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$ die komplexe Gleichung $z^{n}=1$, die wie aus weiter unten ersichtlichen Gründen auch als Kreisteilungsgleichung bezeichnet wird. Die Frage ist nun, wie viele reelle und komplexe Lösungen hat diese Gleichung? Unter Verwendung von Polarkoordinaten und Satz $4.5$ kann diese Gleichung überführt werden in die äquivalente Form
$$
z^{n}=r^{n}[\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi)]=1 \cdot[\cos (0)+i \sin (0)]
$$
Dann folgt durch Vergleich von Real- und Imaginärteil sofort $r=1$ und wegen der Periodizität der Sinus - und Cosinusfunktion $n \varphi=0+2 k \pi \Leftrightarrow \varphi=\frac{2 k \pi}{n}$ für alle $k \in \mathbb{Z}$. Weil aber $\frac{2(k+n) \pi}{n}=\frac{2 k \pi}{n}+2 \pi$ als Argument dieselbe komplexe Zahl liefert wie das Argument $\varphi=$ $\frac{2 k \pi}{n}$, gibt es genau $n$ verschiedene Lösungen $z_{k}=e^{\frac{2 k \pi}{n} i}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$. Die Lösungen $\left\{z_{0}, z_{1}, \ldots, z_{n-1}\right\}=\sqrt[n]{1}$ der Kreisteilungsgleichung $z^{n}=1$ bezeichnet man als die $n$ - ten Einheitswurzeln. Sie entstehen nacheinander durch Drehung der Wurzel $z_{0}=1$ um jeweils den Winkel $\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{n}$ auf dem Einheitskreis und bilden somit die Ecken eines regelmäßigen $n$ - Ecks. Vergleichen Sie dazu auch die Abbildung aus dem Beispiel 48 .

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Satz $4.6$ Seien $z, w \in \mathbb{C}$ und $n \in \mathbb{N}$.
Dann hat die Gleichung $z^{n}=w:=r e^{i \varphi}$ die $n$ verschiedenen Lösungen
$z_{k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{n}} i \quad$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$
Beweis
Sei $z:=r_{z} \cdot e^{i \phi}$ in der Exponentialform gegeben. Mit Satz $4.5$ sowie der gleichen Argumentation wie bei der eben behandelten Kreisteilungsgleichung folgt
$$
z^{n}=r e^{i \varphi} \Leftrightarrow r_{z}^{n} e^{i n \phi}=r e^{i \varphi} \Rightarrow r_{z}=\sqrt[n]{r} \quad \text { und } \quad \phi_{k}=\frac{\varphi+2 k \pi}{n}
$$
Also lauten die $n$ Lösungen $z_{k}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{n}} i$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n-1\}$.
Beispiel 50
Wie muss eine Zahl $w \in \mathbb{C}$ beschaffen sein, damit je zwei ihrer vierten Wurzeln konjugiert komplex sind? Wie lauten die Lösungen in diesem Fall in kartesischen Koordinaten? Skizzieren Sie die vier Lösungen in der komplexen Ebene.
Lösung :
Aus dem Ansatz $z^{4}=w=r e^{i \varphi}$ und Satz $4.6$ folgen die vier Lösungen
$$
z_{0}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi}{4} i}, \quad z_{1}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+2 \pi}{4} i}, \quad z_{2}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+4 \pi}{4} i}, \quad z_{3}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\varphi+6 \pi}{4} i} .
$$
Diese vier Lösungen bilden in der komplexen Ebene ein regelmäßiges Viereck, das im Kreis mit Mittelpunkt $M(0 \mid 0)$ und Radius $R=\sqrt[4]{r}$ einbeschrieben ist. Aus den Bedingungen $\bar{z}_{0}=z_{3}$ und $\bar{z}_{1}=z_{2}$ folgen für die Argumente die beiden Gleichungen
$$
-\frac{\varphi}{4}=\frac{\varphi+6 \pi}{4} \quad \text { und } \quad-\frac{\varphi+2 \pi}{4}=\frac{\varphi+4 \pi}{4} \text {, }
$$
die im Intervall $[0,2 \pi$ ) offenbar nur für die Lösung $\varphi=\pi$ erfüllt werden. Folglich lauten die vier Lösungen in kartesischen Koordinaten

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$$
\begin{aligned}
&z_{0}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{\pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad z_{1}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{3 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&z_{2}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{5 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\bar{z}_{1}, \quad z_{3}=\sqrt[4]{r} \cdot e^{\frac{7 \pi}{4} i}=\sqrt[4]{r}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\bar{z}_{0}
\end{aligned}
$$
4.7 Polynome im Komplexen
In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Nullstellen von Polynomen mit komplexen Koeffizienten bestimmt. Dazu vorab die
Definition $4.7$ Seien $z \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}$ und $a_{k} \in \mathbb{C}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$ mit $a_{n} \neq 0$. Dann heißt
$$
p(z):=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+\ldots+a_{n} z^{n}
$$
komplexes Polynom $n$-ten Grades.
Beispiel $\mathbf{5 1}$
- $p(z)=i z+3-i \quad$ ist ein komplexes Polynom ersten Grades.
- $p(z)=z^{2}+(1+i) z$ ist ein komplexes Polynom zweiten Grades.
- $p(z)=3(z+i)(z+2)(z+i+1)$ ergibt durch ausmultiplizieren
$$
\begin{aligned}
p(z) &=3(z+i)(z+2)(z+i+1)=(3 z+3 i)\left[z^{2}+(3+i) z+2+2 i\right] \\
&=3 z^{3}+(9+3 i) z^{2}+(6+6 i) z+3 i z^{2}+(-3+9 i) z-6+6 i \\
&=3 z^{3}+(9+6 i) z^{2}+(3+15 i) z-6+6 i
\end{aligned}
$$
ein komplexes Polynom dritten Grades.
Definition $4.8$ Sei $p(z)$ ein komplexes Polynom $n$-ten Grades. Dann heißt die $Z a h l z_{k} \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle von $p$, falls $p\left(z_{k}\right)=0$ ist.
Das dritte Polynom $p(z)=3(z+i)(z+2)(z+i+1)$ aus dem Beispiel 51 hat offensichtlich die drei Nullstellen $z_{1}=-i, z_{2}=-2$ und $z_{3}=-1-i$, weil dann einer der drei Linearfaktoren null ist. Dagegen lassen sich in der ausmultiplizierten Form
$$
p(z)=3 z^{3}+(9+6 i) z^{2}+(3+15 i) z-6+6 i
$$
die Nullstellen nicht ohne weiteres ablesen.
Die entscheidende Frage ist jetzt, wie viele Nullstellen hat ein komplexes Polynom $n$-ten Grades? Die Antwort gibt der folgende wichtige Fundamentalsatz der Algebra, der mit den momentan zur Verfügung stehenden Mitteln nicht bewiesen werden kann. Der Beweis wird in Band 11 Abschnitt $5.1$ nachgeholt werden!


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Satz $4.7$ Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n \geq 1$, dann gibt es eine bis aut die Reihenfolge eindeutige Linearfaktorzerlegung
$$
p(z)=a_{n}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(z-z_{n}\right)
$$
Bemerkung:
- Aus diesem Satz folgt sofort, dass jedes komplexe Polynom vom Grade $n$ genau $n$ Nullstellen hat, weil jeder Linearfaktor eine Nullstelle liefert. Diese Nullstellen müssen aber nicht notwendigerweise verschieden sein. Mehrfache Nullstellen muss man entsprechend ihrer Vielfachheit zählen .
-  Beachten Sie, dass der Fundamentalsatz der Algebra keine Aussagen darüber macht wie man zu einer derartigen Linearfaktorzerlegung kommt, sondern nur dass eine solche Linearfaktorzerlegung existiert. Die Berechnung der Nullstellen ist im Allgemeinen ein äußerst anspruchsvolles mathematisches Problem, das nur in wenigen Ausnahmefällen algebraisch lösbar ist . In den meisten Fällen ist man auf numerische Verfahren angewiesen um die Nullstellen zu berechnen.
Beispiel 52
Das Polynom $p(z)=2(z-i)(z-i)(z+3)(z+i)(z-3)$ hat die doppelte Nullstelle $z_{1}=i$ und die drei einfachen Nullstellen $z_{2}=-3, z_{3}=-i$ und $z_{4}=3$.
Eine interessante Tatsache für die Nullstellen eines komplexen Polynoms liefert der
Satz 4.8 Sei $p(z):=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+\ldots+a_{n} z^{n}$ ein komplexes Polynom $n$-ten Grades. Falls die Koeffizienten $a_{k}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$ reell sind und $z_{0}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$ ist, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl $\overline{z_{0}}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$.
Beweis
Weil nach Voraussetzung das Polynom nur reelle Koeffizienten hat, gilt $\overline{a_{k}}=a_{k}$ für alle $k \in\{0,1, \ldots, n\}$. Sei $z_{0} \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle von $p$, also $p\left(z_{0}\right)=0$. Dann ergibt sich mit den Regeln der Konjugation komplexer Zahlen ( Satz 4.1)
$$
\begin{aligned}
0 &=p\left(z_{0}\right)=\overline{p\left(z_{0}\right)}=\overline{a_{0}+a_{1} z_{0}+a_{2} z_{0}^{2}+a_{3} z_{0}^{3}+\ldots+a_{n} z_{0}^{n}} \\
&=\overline{a_{0}}+\overline{a_{1} z_{0}}+\overline{a_{2} z_{0}^{2}}+\overline{a_{3} z_{0}^{3}}+\ldots+\overline{a_{n} z_{0}^{n}} \\
&=\overline{a_{0}}+\overline{a_{1}} \cdot \overline{z_{0}}+\overline{a_{2}} \cdot \overline{z_{0}^{2}}+\overline{a_{3}} \cdot \overline{z_{0}^{3}}+\ldots+\overline{a_{n}} \cdot \overline{z_{0}^{n}} \\
&=a_{0}+a_{1} \cdot \overline{z_{0}}+a_{2} \cdot \overline{z_{0}^{2}}+a_{3} \cdot \overline{z_{0}^{3}}+\ldots+a_{n} \cdot \overline{z_{0}^{n}} \\
&=a_{0}+a_{1} \cdot \overline{z_{0}}+a_{2} \cdot \overline{z_{0}} 2+a_{3} \cdot \overline{z_{0}} 3+\ldots+a_{n} \cdot \overline{z_{0}} n=p\left(\overline{z_{0}}\right)
\end{aligned}
$$

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Im Folgenden soll nun gezeigt werden, wie man die Nullstellen von speziell ausgewählten komplexen Polynomen ermittelt und somit die Linearfaktordarstellung aus Satz $4.7$ erhält.
Lineare Gleichung:
Für alle $a_{0}, a_{1} \in \mathbb{C}$ mit $a_{1} \neq 0$ lässt sich die lineare Gleichung $a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu
$$
a_{1} z+a_{0}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{1}\left(z+\frac{a_{0}}{a_{1}}\right)=0 .
$$
Also ist $z=-\frac{a_{0}}{a_{1}}$ die einzige mögliche Nullstelle.
Beispiel 53
Die Nullstelle der linearen Gleichung $(1+i) z+2-i=0$ ist
$$
z=-\frac{2-i}{1+i}=-\frac{2-i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=-\frac{2-2 i-i+i^{2}}{1-i^{2}}=-\frac{1-3 i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i .
$$
Quadratische Gleichung:
Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{C}$ mit $a_{2} \neq 0$ lässt sich zunächst die allgemeine quadratische Gleichung $a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu
$$
a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{2}\left(z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{2}} z+\frac{a_{0}}{a_{2}}\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad a_{2}\left(z^{2}+b z+c\right)=0
$$
mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{1}}{a_{2}}$ und $c:=\frac{a_{0}}{a_{2}}$. Um die Lösungen von $z^{2}+b z+c=0 \mathrm{zu}$ finden, unterscheidet man in der praktischen Rechnung drei verschiedene Fälle.
1) Für $b=0$ folgt $z^{2}+c=0 \Leftrightarrow z^{2}=-c$. Für den Spezialfall $c \in \mathbb{R}$ ergeben sich die beiden Lösungen $z_{1,2}=\pm \sqrt{c} i$ falls $c>0$ und $z_{1,2}=\pm \sqrt{-c}$ falls $c \leq 0$ ist. Für alle $c \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ ergeben sich mit Satz $4.6$ prinzipiell die beiden Lösungen
$$
z_{1}=\sqrt{|c|} \cdot e^{\frac{\varphi}{2} i} \quad \text { und } \quad z_{2}=\sqrt{|c|} \cdot e^{\frac{\varphi+2 \pi}{2} i} .
$$
Diese Lösungen lassen sich allerdings auch auf einem anderen Weg finden, indem man für $z$ den Ansatz $z=x+i y$ macht. Dann folgt mit $-c:=\alpha+i \beta$ durch Vergleich von Real- und Imaginärteil das Gleichungssystem $z^{2}=(x+i y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2 x y i=\alpha+\beta i \quad \Rightarrow \quad x^{2}-y^{2}=\alpha \quad$ und $\quad 2 x y=\beta$, aus denen $x$ beziehungsweise $y$ leicht bestimmt werden können.
2) Für $c=0$ folgen aus $z^{2}+b z=0 \Leftrightarrow z(z+b)=0$ die beiden Lösungen $z_{1}=0$ und $z_{2}=-b$.
3) Für $b, c \neq 0$ folgt durch binomische Ergänzung wieder der erste Fall
$$
\begin{gathered}
z^{2}+b z+c=z^{2}+b z+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+c=\left(z+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+c=0 \\
\Leftrightarrow\left(z+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-c .
\end{gathered}
$$

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Beispiel 54
Finden Sie jeweils die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen .
a) $z^{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2} i=0$
b) $i z^{2}+(2-i) z=0$
c) $z^{2}-(1-2 i) z-3-i=0$
Lösung:
a) Mit dem Ansatz $z=x+i y$ folgt durch Vergleich des Real- und Imaginärteils $x^{2}-y^{2}+2 x y i=\sqrt{2}+\sqrt{2} i \Rightarrow x^{2}-y^{2}=\sqrt{2} \quad$ und $2 x y=\sqrt{2} .$
Unter der Annahme, dass $x \neq 0$ ist, ergibt sich aus der zweiten Gleichung $y=\frac{\sqrt{2}}{2 x}$. Eingesetzt in die erste Gleichung liefert mit binomischer Ergänzung :
$$
\begin{aligned}
x^{2}-\frac{1}{2 x^{2}}=\sqrt{2} & \Leftrightarrow x^{4}-\sqrt{2} x^{2}-\frac{1}{2}=0 \\
& \Leftrightarrow\left(x^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}=0 \\
& \Leftrightarrow\left(x^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pm 1
\end{aligned}
$$
Weil $x^{2}$ positiv sein muss, kommt nur die Lösung $x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$ infrage. Also ist $x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}$ und damit $y_{1,2}=\frac{\sqrt{2}}{2 x_{1,2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}}=\pm \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+2}}$. Damit lauten die beiden Lösungen der Gleichung
$$
z_{1,2}=x_{1,2}+y_{1,2} i=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+2}} i\right)
$$
b) Die Linearfaktorzerlegung ergibt sich hier einfach durch Ausklammern von z zu
$$
i z^{2}+(2-i) z=0 \Leftrightarrow i\left(z^{2}+\left(\frac{2}{i}-1\right) z\right)=0 \Leftrightarrow i z(z-1-2 i)=0
$$
Also lauten die beiden Lösungen der Gleichung $z_{1}=0$ und $z_{2}=1+2 i$.
c) Durch binomische Ergänzung und Anwendung der dritten binomischen Formel erhält man die Linearfaktorzerlegung
$$
\begin{aligned}
0 &=z^{2}-(1-2 i) z-3-i=z^{2}-(1-2 i) z+\left(\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-3-i \\
&=\left(z-\frac{1-2 i}{2}\right)^{2}-\frac{1-4 i+4 i^{2}}{4}-3-i=\left(z-\frac{1}{2}+i\right)^{2}-\frac{9}{4} \\
&=\left(z-\frac{1}{2}+i+\frac{3}{2}\right)\left(z-\frac{1}{2}+i-\frac{3}{2}\right)=(z+1+i)(z-2+i)
\end{aligned}
$$
Also lauten die beiden Lösungen der Gleichung $z_{1}=-1-i$ und $z_{2}=2-i$.

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Gleichung 3 - ten Grades:
Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{C}$ mit $a_{3} \neq 0$ lässt sich die allgemeine Gleichung 3 - ten Grades $a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen $\mathrm{zu}$
$$
\begin{aligned}
a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 & \Leftrightarrow a_{3}\left(z^{3}+\frac{a_{2}}{a_{3}} z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{3}} z+\frac{a_{0}}{a_{3}}\right)=0 \\
& \Leftrightarrow a_{3}\left(z^{3}+b z^{2}+c z+d\right)=0
\end{aligned}
$$
mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{2}}{a_{3}}, c:=\frac{a_{1}}{a_{3}}$ und $d:=\frac{a_{0}}{a_{3}}$. Um die Lösungen der Gleichung
$$
z^{3}+b z^{2}+c z+d=0
$$
zu finden, unterscheidet man hier drei verschiedene Fälle.
1) Für $b=c=0$ folgt $z^{3}+d=0 \Leftrightarrow z^{3}=-d=r e^{i \varphi}$. Mit Satz $4.6$ ergeben sich die drei Lösungen $z_{k}=\sqrt[3]{r} e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{3}} i$ für $k \in\{0,1,2\}$.
2) Für $d=0$ folgt $z^{3}+b z^{2}+c z=0 \Leftrightarrow z\left(z^{2}+b z+c\right)=0$. Eine erste Lösung ist $z_{1}=0$. Die beiden weiteren Lösungen ergeben sich aus der Lösung der quadratischen Gleichung $z^{2}+b z+c=0$.
3) Die Lösung der allgemeinen Gleichung 3 - ten Grades $z^{3}+b z^{2}+c z+d=0$ für beliebige $b, c, d \in \mathbb{C}$ lässt sich nach geeigneter Transformation auf die Lösungsformel von Cardani zurückführen, die aber mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden ist ( siehe Abschnitt 6.3) und daher an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden soll. Manchmal lässt sich aber eine erste Lösung raten oder ist sogar schon vorgegeben. Dann führt eine Polynomdivision mit dem entsprechenden Linearfaktor auf eine Reduktion des Grades der Gleichung. Nach Satz $4.7$ existiert eine eindeutige Linearfaktorzerlegung
$$
a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=a_{3}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=0 .
$$
Angenommen die erste Lösung $z=z_{1}$ ist bekannt, dann gilt offensichtlich
$$
\begin{aligned}
\left(a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}\right):\left(z-z_{1}\right) &=\frac{a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}}{z-z_{1}} \\
&=\frac{a_{3}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)}{z-z_{1}} \\
&=a_{3}\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=0
\end{aligned}
$$
und das Problem ist reduziert auf eine quadratische Gleichung aus der die weiteren Lösungen $z_{2}$ und $z_{3}$ resultieren.
Beispiel 55
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung $p(z):=z^{3}-2 z^{2}+z-2=0$.
Lösung:
Durch Raten findet man eine erste Lösung $z_{1}=i$, denn es gilt
$$
p(i)=i^{3}-2 i^{2}+i-2=-i+2+i-2=0 .
$$

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4 Komplexe Zahlen
Weil dieses Polynom nur reelle Koeffizienten hat, gilt nach Satz 4.8, dass auch die konjugiert komplexe Zahl $z_{2}=\overline{z_{1}}=-i$ eine Lösung dieser Gleichung ist. Damit sind die zwei Linearfaktoren $(z-i)(z+i)=z^{2}+1$ bekannt und eine Polynomdivision liefert:
$$
\begin{aligned}
&\left(z^{3}-2 z^{2}+z-2\right):\left(z^{2}+1\right)=z-2 \\
-& \frac{\left(z^{3}+z\right)}{0-2 z^{2}+0-2} \\
& \frac{-\left(-2 z^{2}-2\right)}{0}
\end{aligned}
$$
Die dritte Lösung folgt damit aus $z-2=0$ zu $z_{3}=2$.
Gleichung 4 - ten Grades :
Für alle $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{C}$ mit $a_{4} \neq 0$ lässt sich die allgemeine Gleichung 4 - ten Grades $a_{4} z^{4}+a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$ äquivalent umformen zu
$$
\begin{aligned}
a_{4} z^{4}+a_{3} z^{3}+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0 & \Leftrightarrow a_{4}\left(z^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}} z^{3}+\frac{a_{2}}{a_{4}} z^{2}+\frac{a_{1}}{a_{4}} z+\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0 \\
& \Leftrightarrow a_{4}\left(z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e\right)=0
\end{aligned}
$$
mit den Koeffizienten $b:=\frac{a_{3}}{a_{4}}, c:=\frac{a_{2}}{a_{4}}, d:=\frac{a_{1}}{a_{4}}$ und $e:=\frac{a_{0}}{a_{4}}$. Um die Lösungen der Gleichung
$$
z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e=0
$$
zu finden, unterscheidet man jetzt vier verschiedene Fälle.
1) Für $b=c=d=0$ folgt $z^{4}+e=0 \Leftrightarrow z^{4}=-e=r e^{i \varphi}$. Mit Satz $4.6$ ergeben sich die vier Lösungen $z_{k}=\sqrt[4]{r} e^{\frac{\varphi+2 k \pi}{4} i}$ für $k \in\{0,1,2,3\}$.
2) Für $b=d=0$ gilt $z^{4}+c z^{2}+e=0$. Mit der Substitution $w:=z^{2}$ lässt sich diese Gleichung auf die quadratische Gleichung $w^{2}+c w+e=0$ überführen, die die beiden Lösungen $w_{1}$ beziehungsweise $w_{2}$ liefert. Aus der Resubstitution $z^{2}=w_{1}$ und $z^{2}=w_{2}$ ergeben sich dann die vier Lösungen $z_{1}, z_{2}$ und $z_{3}, z_{4}$.
3) Für $e=0$ folgt $z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z=0 \Leftrightarrow z\left(z^{3}+b z^{2}+c z+d\right)=0$. Eine erste Lösung ist $z_{1}=0$. Die drei weiteren Lösungen ergeben sich aus der Lösung der Gleichung 3 - ten Grades $z^{3}+b z^{2}+c z+d=0$.
4) Die Lösung der allgemeinen Gleichung 4 - ten Grades $z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+d z+e=0$ für beliebige $b, c, d, e \in \mathbb{C}$ lässt sich nach geeigneter Transformation ebenfalls auf eine Lösungsformel zurückführen, die aber auch mit einem erheblichen Rechenauf wand verbunden ist ( siehe Abschnitt 6.3) und daher an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden soll. Manchmal lässt sich aber eine erste Lösung raten oder ist sogar schon vorgegeben und dann führt eine Polynomdivision zur Reduktion des Grades.


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Gleichung höheren Grades:
Gleichungen vom Grade $n>4$ sind nur in ganz wenigen speziellen Ausnahmefällen lösbar, wie etwa die Gleichung $z^{2 n}+b z^{n}+c=0$, die sich für alle $n \in \mathbb{N}$ und $b, c \in \mathbb{C}$ durch die Substitution $w:=z^{n}$ auf eine quadratische Gleichung bringen lässt. Es existieren hier keine allgemeinen Lösungsformeln, sodass man nur versuchen kann, eine Lösung zu raten und damit eine Reduktion des Grades erreicht.
4.8 Übungsaufgaben
Aufgabe 53
Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}=1-2 i, z_{2}=-3+2 i$ und $z_{3}=1+i$. Bestimmen Sie die Ausdrücke $w_{1}, \ldots, w_{8}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ und stellen Sie sie anschließend in der komplexen Ebene dar .
Aufgabe 54
Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_{1}=2 i, z_{2}=-2+i$ und $z_{3}=1-\frac{i}{2}$. Bestimmen Sie die Ausdrücke $w_{1}, \ldots, w_{8}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ und stellen Sie sie anschließend in der komplexen Ebene dar .
Aufgabe 55
Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}=2+3 i$ und $z_{2}=3-2 i$ gegeben. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form $w=x+i y$.
$w_{1}=z_{1}+z_{2} \quad w_{2}=i z_{2}^{2} \quad w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}} \quad w_{4}=z_{1} \cdot z_{2}$
$w_{5}=z_{1} \cdot \overline{z_{2}} \quad w_{6}=\left|z_{2}\right| \quad w_{7}=\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} \quad w_{8}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$
Aufgabe 56
Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}=1-3 i$ und $z_{2}=4+i$ gegeben. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form $w=x+i y$.
$$
w_{1}=z_{1}+z_{2} \quad w_{2}=z_{1} \cdot z_{2} \quad w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}} \quad w_{4}=\left|z_{1} \cdot \overline{z_{2}}\right|
$$
Aufgabe 57
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form $z=a+i b$ dar .
$$
z_{1}=\frac{1+i}{1-i} \quad z_{2}=\left(\frac{4-i}{2+i}\right)^{2} \quad z_{3}=\frac{(1+2 i)^{2}}{2+3 i}
$$

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Aufgabe 58
Geben Sie die komplexen Zahlen $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in der Form $w=a+i b$ an und bestimmen Sie jeweils deren Betrag. Dabei sind $z_{1}$ und $z_{2}$ gegeben durch
$$
z_{1}=\frac{5 i}{2-i} \quad \text { und } \quad z_{2}=\frac{1+2 i}{i} .
$$
Tragen Sie die Punkte in der Gaußschen Zahlenebene ein und überlegen Sie sich, was der Betrag anschaulich bedeutet .
Aufgabe 59
Berechnen Sie die Real- und Imaginärteile sowie die Beträge der folgenden komplexen Zahlen.
a) $z_{1}=(3-4 i)(3+4 i)-5(5+2 i) \quad$ b $) z_{2}=\frac{1+i}{2-i}+\frac{3+i}{4+i}$
c) $z_{3}=(1+2 i)^{3}$
d) $z_{4}=\frac{1+i}{2+i}+\frac{2+i}{3+i}+\frac{3+i}{1+i}$
e) $z_{5}=(1+3 i)(4-2 i)$ f $z_{6}=\frac{1+3 i}{4-2 i}$
Aufgabe 60
Schreiben Sie die komplexen Zahlen in die Schreibweise $z=r \cdot(\cos \varphi+i \sin \varphi)$.
$$
z_{1}=-3, \quad z_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i, \quad z_{3}=2 \sqrt{3}-2 i, \quad z_{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2 i} .
$$
Aufgabe 61
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$. Stellen Sie die Ausdrücke $w_{1}=z_{1}+z_{2}$, $w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ für
a) $z_{1}=4-4 i, z_{2}=-2+3 i \quad$ b) $z_{1}=e^{\frac{i \pi}{4}}, z_{2}=3 \cdot e^{\frac{i \pi}{2}} \quad$ c ) $z_{1}=1+i, z_{2}=\sqrt{2} \cdot e^{-\frac{i \pi}{4}}$ in der kartesischen Form $w=a+i b$ dar und zeichnen Sie sie in die Gaußsche Zahlenebene.
Aufgabe 62
Berechnen Sie für $z_{1}=\frac{(1+i)^{2}}{1-i}$ und $z_{2}=1-3 i$ die komplexen Zahlen $w_{1}, w_{2}$ und $w_{3}$ in der Form $w=a+i b$.
$$
w_{1}=z_{1} \cdot z_{2}, \quad w_{2}=\left|z_{2}\right|, \quad w_{3}=e^{z_{1}^{2}-i \cdot z_{2}} .
$$
Aufgabe 63
Stellen Sie $w_{1}, w_{2}, w_{1} \cdot w_{2}, \frac{w_{1}}{w_{2}}$ in der Form $w=r \cdot(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ dar, und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
a) $w_{1}=1+i, \quad w_{2}=-2+2 i$.
b) $w_{1}=\sqrt{3}+i, \quad w_{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i .$

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Aufgabe 64
Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1}-z_{2}, w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ und $w_{4}=z_{1} \cdot z_{2}$ mit den folgenden komplexen Zahlen:
a) $z_{1}=1+i \sqrt{3}, \quad z_{2}=1-i .$
b) $z_{1}=\frac{(1-i)^{2}}{1+i}, \quad z_{2}=3-5 i .$
c) $z_{1}=3+3 i, \quad z_{2}=2 \sqrt{3} e^{-i \frac{2}{3} \pi}$.
Aufgabe 65
Es seien die komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ gegeben durch:
a) $z_{1}=2-2 i, \quad z_{2}=-1+3 i$.
b) $z_{1}=e^{\frac{i \pi}{4}}, \quad z_{2}=\frac{1}{2} e^{\frac{i \pi}{2}} .$
c) $z_{1}=1-i, \quad z_{2}=\sqrt{2} e^{\frac{i \pi}{4}} .$
Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=z_{1} \cdot z_{2}$ und $w_{3}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$. Schreiben Sie dies in der Form $w=a+i b$ und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene .
Aufgabe 66
a) Von den folgenden komplexen Zahlen bestimme man Real- und Imaginärteil sowie ihren Betrag:
$$
z_{1}=\frac{1}{1+i}, \quad z_{2}=\frac{3+2 i}{1-i}, \quad z_{3}=3 e^{i \frac{\pi}{3}} .
$$
b) Berechnen Sie $w_{1}=z_{1}+z_{2}, w_{2}=\left|z_{1}+z_{2}\right|, w_{3}=z_{1} \cdot z_{3}, w_{4}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ und skizzieren Sie sie in die komplexe Ebene.
Aufgabe 67
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polarkoordinaten dar .
a) $z_{1}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} i$
b) $z_{2}=\sqrt{3}-i$
c) $z_{3}=-1+\sqrt{3} i$
Aufgabe 68
Geben Sie die komplexen Zahlen $z_{1}, z_{2}, w_{1}=z_{1}+z_{2}$ und $w_{2}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ in kartesischer Darstellung an und berechnen Sie $\left|z_{2}\right|$ mit
$$
z_{1}=\frac{1-i}{1+i} \quad \text { und } \quad z_{2}=2 e^{-i \frac{\pi}{4}} .
$$
Aufgabe 69
Berechnen Sie
a) $w_{1}=z^{10}$ für $z=\frac{7-i}{3-4 i} \quad$ und $\left.\quad b\right) w_{2}=z^{6} \quad$ für $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3+2 i}{4-6 i}$ und stellen Sie das Ergebnis in der Form $w=x+i y$ dar.

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Aufgabe 70
Welche komplexe Zahl ist das Spiegelbild einer gegebenen komplexen Zahl $z=x+i y$ für $z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$, bei Spiegelung
a) am Ursprung ?
b) an der reellen Achse?
c) an der imaginären Achse?
Aufgabe 71
Beschreiben Sie in Worten, was mit der Lage einer beliebigen komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene geschieht, wenn man sie mit $z=1+i$ multipliziert.
Aufgabe 72
Berechnen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil folgender Elemente aus $\mathbb{C}$. Bestimmen Sie anschließend die Darstellung in Polarkoordinaten.
a) $z_{1}=\frac{(3-2 i)(3 i-1)}{(1-i)} i^{5}$
b) $z_{2}=((\sqrt{2}-i)-i(1-i \sqrt{2}))^{11}$
c) $z_{3}=\frac{1+2 i}{3-4 i}$
d) $z_{4}=(1+i)^{4}$
Aufgabe 73
Schreiben Sie die komplexen Zahlen $z=-2-2 i$ und $w=-1+\sqrt{3} i$ in Polarkoordinaten und berechnen Sie anschließend den Real- und Imaginärteil von:
a) $u_{1}=z^{4}$
b) $u_{2}=w^{3}$
c) $u_{3}=(z \cdot w)^{6}$
Hinweis: Verwenden Sie die Eulersche Formel $e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi$.
Aufgabe 74
Berechnen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen.
a) $z_{1}=\left(\frac{2 i}{1-i}\right)^{6}$
b) $z_{2}=\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{21}$
Aufgabe 75
a) Geben Sie $i^{k}$ für beliebige $k \in \mathbb{N}$ in kartesischer Form an.
b) Stellen Sie die folgende komplexe Zahl $z$ in der kartesischen Form $z=a+i b$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ dar.
$$
z=\frac{2 \cdot i^{7} \cdot|i-1|+i^{12} \cdot|1+i|+\sqrt{2} \cdot i^{21}}{i^{6} \cdot(1+i)}+i
$$
Aufgabe 76
Sei $z_{0} \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ eine beliebige komplexe Zahl und sei $z=i z_{0}$. Fassen Sie $z_{0}$ und $z$ als Vektoren in der komplexen Zahlenebene auf. Was ist der Winkel zwischen den Ortsvektoren $z_{0}$ und $z$ ?

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Aufgabe 77
Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in der Form $z=r \cdot e^{i \varphi}$ an.
a) $z_{1}=(1+i)^{8}$
b) $z_{2}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-i\right)^{4}$
c) $z_{3}=\sqrt[3]{-i}$
d) $z_{4}=(\sqrt{1+i})^{9}$
Welche der Lösungen sind nicht eindeutig?
Aufgabe 78
a) Sei $i$ die imaginäre Einheit. Berechnen Sie $i^{123}$.
b) Sei $z \in \mathbb{C}$. Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung $e^{z}=e$ ?
c) Es sei $z=-1-i$ und $w=e^{i \frac{\pi}{6}} \cdot z$. Ermitteln Sie den Real- und Imaginärteil von $u=w^{12}$.
Aufgabe 79
Stellen Sie $z_{1} \in \mathbb{C}$ in kartesischen Koordinaten und $z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ in Polarkoordinaten dar.
a) $z_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{5}$
b) $z_{2}=1-\frac{i}{\sqrt{3}}$
c) $z_{3}=-6$
Aufgabe 80
Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Absolutbetrag der folgenden komplexen Zahlen:
a) $z_{1}=(-1+i)^{5}$
b) $z_{2}=\frac{2-3 i}{-1+2 i}$
c) $z_{3}=\frac{3 e^{\frac{2}{3} \pi i}}{2 e^{\frac{1}{2} \pi i}}$
d) $z_{4}=e^{2-3 i}$
e) $z_{5}=(1+\sqrt{3} i)^{10}$
f) $z_{6}=\frac{2 e^{\frac{2}{3} \pi i}}{3+7 i}$
g) $z_{7}=\left[\cos \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)+i \sin \left(\frac{6}{7} \pi-1\right)\right] e^{3+i+\frac{1}{7} \pi i}$
Aufgabe 81
Berechnen Sie mithilfe der Polardarstellung für komplexe Zahlen:
a) $z_{1}=(1+i)^{20}$
b) $z_{2}=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}$ für $n \in \mathbb{N}$.
Aufgabe 82
Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl
$$
z=\exp \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} \exp \left(i \frac{\pi}{4}\right)\right)
$$
Aufgabe 83
Sei $z=r e^{i \varphi} \in \mathbb{C}$ mit $r \geq 0$ und $\varphi \in[0,2 \pi]$. Zeigen Sie, dass genau dann ein $n \in \mathbb{N}$ mit $z^{n} \in \mathbb{R}$ existiert, wenn $\frac{\varphi}{\pi}$ eine rationale Zahl ist.


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Aufgabe 84
Vereinfachen Sie für $z \in \mathbb{C}$ die folgenden Ausdrücke.
a) $\left((\operatorname{Re} z)^{2}+(\operatorname{Im} z)^{2}\right)^{2}$
b) $\operatorname{Im}\left(z^{2}+\bar{z}^{2}\right)$
c) $\operatorname{Re}((1+i) z)+\operatorname{Im}((1+i) z)$
d) $\frac{\operatorname{Re}(z)}{\operatorname{Im}(i z)}$
e) $(1-\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z))(1-\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z))$
f) $\operatorname{Im}\left(z^{2}-\bar{z}^{2}\right)$
g) $\operatorname{Re}\left(e^{z^{2}}\right)$
h) $\operatorname{Im}\left(\bar{z}^{80} \cdot z^{79}\right)$
Aufgabe 85
a) Welche Werte haben $\operatorname{Re}(z)$ und $|z|$ für $z=(1+i)^{20}$ ?
b) Berechnen Sie $\left|e^{i}\right|$.
c) Welche $z \in \mathbb{C}$ erfüllen die Gleichung $\operatorname{Im}(z)=|z|$ ?
Aufgabe 86
Stellen Sie $z(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ in Polarkoordinaten dar, wobei $z(x):=\frac{x+i}{i x-1}$ ist.
Aufgabe 87
Die komplexe Exponentialfunktion ist für alle $z \in \mathbb{C}, z=x+i y$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ definiert als
$$
e^{z}:=e^{x}(\cos y+i \sin y) .
$$
a) Zeigen Sie, dass die komplexe Exponentialfunktion $2 \pi i$ - periodisch ist. Skizzieren Sie einen beliebigen Periodenbereich dieser Funktion in der komplexen Ebene.
b) Bestimmen Sie alle $z \in \mathbb{C}$, für die $e^{z}=1$ gilt .
Aufgabe 88
Gegeben sei $z_{1}=\frac{3+i}{1-i}$. Geben Sie zunächst ein $z_{2} \in \mathbb{C}$ so an, dass $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{32}$ und erklären Sie Ihre Vorgehensweise zum Auffinden von $z_{2}$ grafisch. Geben Sie dann alle $z_{2} \in \mathbb{C}$ an, so dass $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{32}$.
Aufgabe 89
Es sei $a \in \mathbb{R}$. Durch die Abbildung $z:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{C}$ mit $z(t)=a \cos (t)+i a \sin (t)$ wird eine Kurve in der komplexen Zahlenebene beschrieben. Zeichnen Sie die Kurve.
Aufgabe 90
Skizzieren Sie die Menge $M$ in der Gaußschen Zahlenebene.
$$
M:=\left\{z \in \mathbb{C} \mid\left(|z|^{2}-4\right) \geq 0\right\} \cap\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \geq 0\right\}
$$
Aufgabe 91
Skizzieren Sie die folgenden Mengen $M \subset \mathbb{C}$ in der Gaußschen Zahlenebene.
a) $M:=\{z \in \mathbb{C}|2 \leq| z \mid \leq 3\} \cap\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 1\}$
b) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z) \geq 1 \wedge 1<\operatorname{Im}(z) \leq 3\}$

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Aufgabe 92
Skizzieren Sie die folgenden Mengen $M \subset \mathbb{C}$ in der Gaußschen Zahlenebene.
a) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid i z-i \cdot \bar{z}=3\}$
b) $M:=\{z \in \mathbb{C}|1 \leq| z-2-3 i \mid<2\}$
c) $M:=\{z \in \mathbb{C} \mid i z+i \cdot \bar{z}=3\}$
d) $M:=\left\{z \in \mathbb{C}|| \frac{z-1}{z+1} \mid \geq 1\right\}$
Aufgabe 93
Bestimmen Sie die Lösungsmenge $M \subset \mathbb{C}$ und beschreiben Sie diese verbal, oder skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene!
a) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| \frac{\operatorname{Re}(z)}{2} \mid \leq \frac{\operatorname{Im}(z)}{4}\right\}$
b) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=1\right\}$
c) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}\left|\frac{6}{|z|}-\right| z \mid=1\right\}$
d) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \mid \frac{z}{\bar{z}}=1\right\}$
e) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+i|+| z-i \mid=4\}$
f) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+1 \mid<2\}$
g) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z-i|\geq| z+2+i \mid\}$
h) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z-e^{i \frac{\pi}{2}} \mid \geq 1\right\}$
i) $M=\left\{\left.z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}|| \frac{2 i z+4}{(1+i) z}\right|^{2} \leq 3\right\}$
j) $M=\{z \in \mathbb{C}|\operatorname{Re}(z)=| z \mid\}$
k) $M=\{z \in \mathbb{C}||(2+i)(z-1)|\leq| 1-2 i \mid\}$
l) $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z-e^{i \frac{\pi}{4}} \mid \geq 2\right\}$
m) $M=\{z \in \mathbb{C}||(1+i)(z-1)|\leq| 1-i \mid\} \quad n) M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}|+| z \mid=0\right\}$
Aufgabe 94
Bestimmen Sie die Lösungsmenge $M \subset \mathbb{C}$ mit $r \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$ und beschreiben Sie diese verbal, oder skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene!
a) $M=\{z \in \mathbb{C} \mid z=i+2(1+i) t, t \in \mathbb{R}\}$
b) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}|| 1+\frac{1}{z} \mid \leq 1\right\}$
c) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) \geq 1\right\}$
d) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{i+1}\right) \leq \frac{1}{2}\right\}$
e) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)=r\right\}$
g) $M=\{z \in \mathbb{C}|| \operatorname{Re}(z)|+| \operatorname{Im}(z) \mid \leq 4\}$
f) $M=\{z \in \mathbb{C}|2=| z-1 \mid\}$
i) $M=\{z \in \mathbb{C}|\operatorname{Im}(z)=| z \mid\}$
h) $M=\{z \in \mathbb{C}|| z+1-i \mid \leq 2\}$
k) $M=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}((1+2 i) z)=0\}$
j) $M=\{z \in \mathbb{C}|1>| z+1-2 i \mid\}$
m) $M=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \mid \operatorname{Re}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \geq 2\right\}$
l) $M=\{z \in \mathbb{C}|| 4 z+3-i \mid \leq 5\}$

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Aufgabe 95
Bestimmen Sie jeweils sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen.
a) $-3 \bar{z}+z-2 i z=4 i$
b) $z^{2}-i \bar{z}=0$
c) $2 z \bar{z}=3$
d) $\frac{5}{2} \bar{z}+3 i \bar{z}+\frac{1}{2} z-2 i z=7-5 i$
e) $|z|=z \cdot \bar{z} \quad$ f) $z^{2}+\bar{z}+z=1$
Aufgabe 96
Bestimmen Sie die Lösungsmenge in $\mathbb{C}$ für die Gleichung $z^{2}-2 z+1-8 i=0$ und geben Sie die Lösungen in der Form $z=x+i y$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ an.
Hinweis: $\quad \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Aufgabe 97
Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen in $\mathbb{C}$ und geben Sie die Lösungen jeweils in den Formen $z=x+i y$ und $z=r \cdot e^{i \varphi}$ an $(x, y \in \mathbb{R}, \varphi \in[0,2 \pi])$.
a) $z^{2}=4 z-8$
b) $z^{2}+\sqrt{3} \cdot z+3=0$
c) $z^{2}-2\left(z-\frac{2}{3}\right)=0$
Aufgabe 98
Bestimmen Sie jeweils sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden quadratischen Gleichungen.
a) $z^{2}+(1-2 i) z-2 i=0$
b) $z^{2}-2 i z+8=0$
c) $z^{2}-z+i z-i=0$
d) $z^{2}(1+i)=2 z$
e) $i z^{2}+(2+i) z=i-1$ f $) z^{2}-2 z+5=0$
g) $z^{2}+(1+i) z+2-i=0$
h) $z^{2}+6 z+2 i+9=0$
i) $z^{2}-4 z+5=0$
j) $z^{2}+(1+i) z-(6+2 i)=0$
k) $z^{2}+2 i z-1+i=0$
l) $z^{2}-3 z+(3+i)=0$
m) $z^{2}-2 i z+2 z+2 i=0$
n) $z(z+6)=-13$
Aufgabe 99
a) Lösen Sie die quadratische Gleichung $z^{2}-2 z+2=0$. Die beiden Lösungen seien $z_{1}$ und $z_{2}$.
b) Sind $z_{1}+z_{2}$ oder $z_{1}-z_{2}$ oder $z_{1} \cdot z_{2}$ reell ?
Aufgabe 100
Sei $c \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ eine komplexe Zahl und $n \in \mathbb{N}$ eine natürliche Zahl. Wie viele verschiedene komplexe Lösungen $z \in \mathbb{C}$ besitzt die Gleichung $z^{n}=c$ ?
Aufgabe 101
a) Es sei $w$ eine komplexe Zahl und $z_{1}=\sqrt{2}(1+i)$ eine Lösung der Gleichung $z^{3}=w$. Bestimmen Sie $w$ und alle weiteren Lösungen der Gleichung.
b) Sei $w \in \mathbb{C}$ und sei $z_{1}=1+i$ eine Lösung der Gleichung $z^{4}-w=0$. Bestimmen Sie $w$ und alle weiteren Lösungen der Gleichung.
c) Eine Lösung der Gleichung $z^{4}=-7+24 i$ ist $z_{0}=2+i$. Geben Sie die weiteren Lösungen an.
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$4.8$ Übungsaufgaben
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Aufgabe 102
a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $z^{3}=-27$ und stellen Sie diese in der Form $z=x+i y$ dar.
b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ von $z^{4}+8(i \sqrt{3}-1)=0$. Geben Sie jede Lösung sowohl in Polarkoordinaten, als auch in der Form $z=x+i y$ mit reellen $x$ und $y$ an.
c) Bestimmen Sie alle Zahlen $z \in \mathbb{C}$ mit $\bar{z}^{2}=i z$ und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene .
Aufgabe 103
Geben Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen an und skizzieren Sie sie in der komplexen Zahlenebene .
a) $z^{3}=8 i$
b) $z^{7}=i+1$
c) $z+2 \bar{z}=5+i z$
d) $z^{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
e) $z^{5}=16 \sqrt{2}(-1+i)$
f) $z^{3}=1+i$
Aufgabe 104
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der folgenden Gleichungen.
a) $z^{4}+2-2 i=0$
b) $(z-3 i)^{6}+64=0$
c) $(1+i) z^{3}-\sqrt{2} e^{i \frac{3}{4} \pi}=0$
Aufgabe 105
a) Sei $p(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+a_{4} z^{4}, z \in \mathbb{C}$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$. Zeigen Sie: Ist $z_{0}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$, dann ist $\bar{z}_{0}$ es auch.
b) Zeigen Sie, dass das Polynom $p(z)=z^{4}-4 z^{3}+14 z^{2}-4 z+13$ in $z_{0}=i$ eine Nullstelle hat, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von $p$.
Aufgabe 106
Gegeben sei ein Polynom sechsten Grades $P(z)$ mit reellen Koeffizienten.
a) Das Polynom habe Nullstellen bei $2-i, 1+3 i$ und $5-2 i$. Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms an und stellen Sie $P(z)$ mit komplexen Linearfaktoren dar.
b) Welche Konstellationen für Nullstellen (Anzahl reeller bzw . komplexer Nullstellen) sind für ein Polynom sechsten Grades mit reellen Koeffizienten möglich?
Aufgabe 107
a) Begründen Sie: Ist $p$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und hat $p$ nur komplexe Nullstellen (mit nicht verschwindenden Imaginärteilen ), so ist der Grad von $p$ gerade.
b) Bestimmen Sie alle Polynome 5 . Grades mit reellen Koeffizienten ,die in $2,3 i, 1-i$ Nullstellen haben.

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4 Komplexe Zahlen
Aufgabe 108
a) Sei $p(z)$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass mit jeder Nullstelle $z_{k}$ auch die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}_{k}$ eine Nullstelle von $p(z)$ ist. Hat $p(z)$ dann reelle Koeffizienten? (Begründung oder Gegenbeispiel.)
b) Gegeben sei das Polynom $p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ fünften Grades mit ausschließlich reellen Koeffizienten und den Nullstellen $z_{1}=1-i$ beziehungsweise $z_{2}=i$. Das Produkt aller fünf Nullstellen ist 1 . Bestimmen Sie alle drei restlichen Nullstellen von $p$.
Aufgabe 109
Sei $p$ ein Polynom 5. Grades mit reellen Koeffizienten.
a) Wie viele Nullstellen besitzt $p$ höchstens in $C$ ?
b) Wie viele reelle Nullstellen besitzt $p$ mindestens?
c) Das Polynom $p$ habe eine doppelte Nullstelle bei $i$. Wie viele verschiedene Nullstellen besitzt das Polynom dann in $\mathbb{C}$ ?
Aufgabe 110
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen $z \in \mathrm{C}$ der Gleichungen:
a) $\left(z^{5}+i\right)\left(z+z^{2}+3\right)=0$
b) $z^{4}-2 z^{2}+17=0$
c) $2 z-i z^{2}+z^{3}=0$
d) $\left(z^{3}+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)(z+i)=0$
e) $z^{3}-3 z^{2} i-3 z+2 i=0$
f) $z^{3}-5 z^{2}+12 z-8=0$
Aufgabe 111
a) Zeigen Sie, dass durch $z_{0}=2 i$ eine Nullstelle des Polynoms $z^{3}+(-4-i) z^{2}+(5+5 i) z-6-6 i=0$ gegeben ist. Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen.
b) Gegeben sei das Polynom $p(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6$. Zeigen Sie, dass $z_{0}=1+i$ und $\bar{z}_{0}$ Nullstellen dieses Polynoms sind. Bestimmen Sie die weitere Nullstelle.
Aufgabe 112
Finden Sie alle reellen und komplexen Nullstellen $z \in \mathbb{C}$ des reellen Polynoms.
a) $p(z)=2 z^{4}-z^{3}+10 z^{2}-4 z+8$, wenn $p\left(\frac{1+i \sqrt{15}}{4}\right)=0$ gilt.
b) $p(z)=z^{4}-3 z^{3}+5 z^{2}-4 z+2, \quad$ wenn $p\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)=0 \quad$ gilt.

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Aufgabe 113
Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren.
a) $p(z)=z^{5}+z^{4}-5 z^{3}+10 z^{2}-36 z+24 \quad$ mit $\quad p(2 i)=0$.
b) $p(z)=z^{5}+2 z^{3}+6 z^{2}-63 z+54 \quad$ mit $\quad p(3 i)=0$.
c) $p(z)=z^{6}-z^{4}+z^{2}-1$
Hinweis zu c): Führen Sie die Variablensubstitution $z^{2}=: w$ aus.
Aufgabe 114
Zerlegen Sie die nachfolgenden Polynome mithilfe der gegebenen Nullstelle $(n)$ in reelle Faktoren minimaler Ordnung .
a) $p(z)=z^{6}-2 z^{5}+2 z^{4}-z^{2}+2 z-2, \quad z_{0}=1-i$.
b) $p(z)=z^{6}-4 z^{5}+2 z^{4}+8 z^{3}+z^{2}-36 z+36, \quad z_{0}=\sqrt{2}+i, z_{1}=-\sqrt{2}-i$.
c) $p(z)=z^{6}+4 z^{5}+8 z^{4}+16 z^{3}+32 z^{2}+64 z+64, z_{0}=1+\sqrt{3} i, z_{1}=-1-\sqrt{3} i$.
d) $p(z)=z^{6}-2 z^{5}-3 z^{4}+3 z^{3}-10 z^{2}+5 z-6, \quad z_{0}=i$.
Aufgabe 115
Für die folgenden Polynome ist jeweils eine Nullstelle $z_{0}$ bekannt. Ermitteln Sie alle weiteren Nullstellen.
a) $p(z)=z^{3}-4 z^{2}+(6+i) z-(3+i) \quad$ mit $\quad z_{0}=1+i$.
b) $p(z)=z^{3}-2 z^{2}+i z+3+i \quad$ mit $\quad z_{0}=2-i$.
c) $p(z)=\left(z^{2}+1\right)\left(5 z^{3}-3 z^{2}+5 z-3\right) \quad$ mit $\quad z_{0}=i$.
d) $p(z)=z^{7}+z^{6}+2 i z+2 i \quad$ mit $\quad z_{0}=-1$.
e) $p(z)=z^{3}-6 z^{2}+(12+i) z-(9+3 i) \quad$ mit $\quad z_{0}=1+i$.
f) $p(z)=z^{6}-3 z^{5}+5 z^{4}-6 z^{3}+5 z^{2}-3 z+1 \quad$ mit $\quad z_{0}=i$.
g) $p(z)=z^{3}-2 z^{2}+4 z-8 \quad$ mit $z_{0}=-2 i$.

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5 Abbildungen
5.1 Bild und Urbild
Definition $5.1$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen.
Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y=f(x) \in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$. Für Abbildungen sind folgende Schreibweisen üblich:
$f: A \rightarrow B$ gelesen als "die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ".
 $f: A \rightarrow B, x \mapsto f(x)$ gelesen als ", die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$, wobei jedem $x \in A$ der Wert $f(x) \in B$ zugeordnet wird".
\& $f: x \mapsto f(x)$, wenn der Definitionsbereich und Wertebereich klar sind.
Beispiel 56
An der Vorlesung Analysis für Ingenieure nimmt eine Gruppe von drei befreundeten Studenten teil, die der Einfachheit halber mit $s_{1}, s_{2}$ und $s_{3}$ bezeichnet werden sollen. Es werden zur Vorlesung drei verschiedene Tutorien $t_{1}, t_{2}$ und $t_{3}$ angeboten, wobei jedem Studenten freigestellt bleibt, welches Tutorium er besucht. Sei $S:=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}$ die Menge der drei befreundeten Studenten und $T:=\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}$ die Menge der angebotenen Tutorien. Betrachten Sie jetzt die folgenden drei verschiedenen Zuordnungen aus der Menge $S$ in die Menge $T$ und entscheiden Sie, bei welcher Zuordnung es sich um eine Abbildung handelt .
(a)
$(b)$
Abbildung 5.1 Geometrische Veranschaulichung einer Abbildung .
- Bei der Zuordnung ( $a$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{2} \in S$ kein Element aus der Menge $T$ zugeordnet ist.
- Bei der Zuordnung ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{3} \in S$ zwei Elemente $t_{1}, t_{3} \in T$ zugeordnet sind.
- Bei der Zuordnung ( $c$ ) handelt es sich um eine Abbildung, weil jedem Element der Menge $S$ genau ein Element der Menge $T$ zugeordnet ist.

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