MaFIngB1/I_5.tex

\section{Bild und Urbild}
Definition $5.1$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen.
Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y=f(x) \in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$. Für Abbildungen sind folgende Schreibweisen üblich:
$f: A \rightarrow B$ gelesen als "die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ".
$f: A \rightarrow B, x \mapsto f(x)$ gelesen als ", die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$, wobei jedem $x \in A$ der Wert $f(x) \in B$ zugeordnet wird".
\& $f: x \mapsto f(x)$, wenn der Definitionsbereich und Wertebereich klar sind.
Beispiel 56
An der Vorlesung Analysis für Ingenieure nimmt eine Gruppe von drei befreundeten Studenten teil, die der Einfachheit halber mit $s_{1}, s_{2}$ und $s_{3}$ bezeichnet werden sollen. Es werden zur Vorlesung drei verschiedene Tutorien $t_{1}, t_{2}$ und $t_{3}$ angeboten, wobei jedem Studenten freigestellt bleibt, welches Tutorium er besucht. Sei $S:=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}$ die Menge der drei befreundeten Studenten und $T:=\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}$ die Menge der angebotenen Tutorien. Betrachten Sie jetzt die folgenden drei verschiedenen Zuordnungen aus der Menge $S$ in die Menge $T$ und entscheiden Sie, bei welcher Zuordnung es sich um eine Abbildung handelt .
(a)
$(b)$
Abbildung 5.1 Geometrische Veranschaulichung einer Abbildung .
- Bei der Zuordnung ( $a$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{2} \in S$ kein Element aus der Menge $T$ zugeordnet ist.
- Bei der Zuordnung ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{3} \in S$ zwei Elemente $t_{1}, t_{3} \in T$ zugeordnet sind.
- Bei der Zuordnung ( $c$ ) handelt es sich um eine Abbildung, weil jedem Element der Menge $S$ genau ein Element der Menge $T$ zugeordnet ist.

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Bemerkung:
Eine Abbildung heißt auch Funktion, wenn es sich bei dem Definitions- und Wertebereich um Zahlenmengen handelt .
Beispiel 57
Betrachten Sie die folgenden Graphen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welchen Graphen es sich um eine Funktion $f: \mathbb{R} \supset A \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt .

Geometrisch gesehen stellt der Graph genau dann eine Funktion dar, wenn jede zur y - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. Denn dann gibt es zu jedem $x \in A$ genau ein $y \in B$.
- Bei dem Graphen ( a) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es parallele Geraden zur y - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden .
- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich um eine Funktion, weil es keine parallele Gerade zur y - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneidet.
- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es eine parallele Gerade zur $y$ - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden.
Beispiel 58
- Bei der Abbildung $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=f(x)=2 x \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
- Bei der Abbildung $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto \frac{n}{n^{2}+n+1}$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $n \in \mathbb{N}$ genau ein Wert $a_{n}:=a(n)=\frac{n}{n^{2}+n+1} \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
- Bei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \pm x$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ zwei Werte $y:=g(x)=\pm x \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind.
- Bei der Abbildung $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1$ handelt es sich um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=h(x)=1 \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
- Bei $k:\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil für $x=1$ unendlich viele Werte $y:=k(1) \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind.

Betrachten Sei jetzt die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$. Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, obwohl diese Funktion tatsächlich nur Werte aus dem Intervall $y \in[-1,1] \subset \mathbb{R}$ annehmen kann. Für diesen Sachverhalt schreibt man kurz $f(\mathbb{R})=[-1,1]$ und nennt dieses das Bild der Funktion $f$. Das Bild einer Funktion muss also nicht notwendiger Weise der gesamte Wertebereich sein!

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Definition $5.2$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen und $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Dann heißt $f(A):=\{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B$ der tatsächlich angenommenen Werte das Bild von $f$.
Beispiel 59
- Die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ hat das Bild $f(\mathbb{R} \backslash\{0\})=\mathbb{R}^{+} \subset \mathbb{R}$.
- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x+2$ hat das Bild $g(\mathbb{R})=[1,3] \subset \mathbb{R}$.
- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 3$ hat das Bild $h(\mathbb{R})=\{3\} \subset \mathbb{R}$.
Definition $5.3$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine beliebige Abbildung und $Y \subset B$. Dann heißt die Menge
$$
f^{-1}(Y):=\{x \in A \mid f(x) \in Y\}
$$
Urbildmenge beziehungsweise das Urbild von $Y$.
Beispiel 60
Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}, x \mapsto \frac{1}{8} x^{2}$. Bestimmen Sie das Urbild von $f$ für die Teilmenge $Y=\left[\frac{1}{2}, 2\right] \subset \mathbb{R}_{0}^{+}$des Wertebereichs.
Lösung:
Aus der grafischen Darstellung der Parabel lässt sich wegen $f(\pm 2)=\frac{1}{2}$ und $f(\pm 4)=2$ die Urbildmenge sofort ablesen. Sie lautet
$$
f^{-1}(Y):=\left\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]\right\}=[-4,-2] \cup[2,4] .
$$

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$5.2$ Inverse Abbildung
Betrachten Sie jetzt die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$. Dann ist offensichtlich $f([-2,2])=[0,4]$ das Bild von $f .$ Zu dem jedem $y \in] 0,4]$ existieren zwei Werte $x=\pm \sqrt{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$.
Dagegen hat die Funktion $g:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3}$ das Bild $g([-2,2])=[-8,8]$ und zu jedem $y \in[-8,8]$ existiert genau ein Wert $x=\sqrt[3]{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$. Das legt die folgende Definition nahe.
Definition $5.4$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt injektiv, wenn für alle $x_{1}, x_{2} \in A$ mit $x_{1} \neq x_{2}$ auch $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$ gilt.
\ Verschiedene Argumente liefern also verschiedene Funktionswerte.
$\infty_{\text {Aus }} f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt immer $x_{1}=x_{2}$.
Beispiel 61
- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für die beiden Werte $x_{1}=-1, x_{2}=1$ aus dem Definitionsbereich $f(-1)=f(1)=1$ gilt .
- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für alle Werte $x_{k}=2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$ aus dem Definitionsbereich $f\left(x_{k}\right)=\cos (2 k \pi)=1$ gilt .
- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x$ ist injektiv, weil aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ immer $x_{1}=x_{2}$ für alle Werte $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ folgt .
Beispiel 62
Betrachten Sie die folgenden Graphen der Funktionen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welcher Funktion es sich um eine injektive Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt.
Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn jede zur $x$ - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet .
- Bei dem Graphen ( $a$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet.
- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine injektive Funktion, weil es parallele Geraden zur $x$ - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneiden.

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- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet.

Häufig kommen Abbildungen $f: A \rightarrow B$ vor, bei denen das Bild $f(A)$ oft nur eine echte Teilmenge des Wertebereichs $B$ ist. Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ beispielsweise hat das Bild $f([-2,2])=[0,4] \subset \mathbb{R}$. Das hießt, nicht zu jedem $y \in \mathbb{R}$ gibt es ein $x \in[-2,2]$ ! Sie werden zum Beispiel zu $y=10$ kein $x \in[-2,2]$ finden.
Definition $5.5$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn $f(A)=B$ gilt.
4. Das Bild der Abbildung $f$ ist also der gesamte Wertebereich. Das heißt: Zu jedem $y \in B$ gibt es mindestens ein $x \in A$.
Beispiel 63
- Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$ ist surjektiv, weil zu jedem $y \in[0,4]$ mindestens ein $x \in[-2,2]$ existiert.
- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$ ist nicht surjektiv, weil zum Beispiel zu $y=2$ kein $x \in \mathbb{R}$ existiert.
- Die Funktion $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow[0, \infty), x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ist nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R}^{+}$existiert.

Von besonderer Bedeutung sind Abbildungen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Daher auch die folgende
Definition $5.6$ Eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ die injektiv und surjektiv ist, heißt bijektive Abbildung.
Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x}$. Aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt sofort $x_{1}=x_{2}$, womit $f$ injektiv ist. Die Funktion $f$ ist aber nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ existiert. Also ist $f$ auch nicht bijektiv.

Es stellt sich jetzt die entscheidende Frage, wann eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ umkehrbar ist. Oder anders formuliert: Wann gibt es eine Umkehrabbildung $f^{-1}: B \rightarrow A$ derart, dass $f^{-1}(y)=x$ gilt ?
Beispiel 64
Gegeben sei die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Dann wird $x=2$ auf $y=4$ abgebildet. Umgekehrt existiert zu $y=4$ kein eindeutiger Wert $x \in[-2,2]$. Das heißt: $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[-2,2]$ ist nach der Definition $5.1$ keine Abbildung mehr, weil jedem $y \in] 0,4]$ zwei Werte aus $[-2,2]$ zugeordnet werden.

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Definition $5.7$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine injektive Abbildung. Dann gibt es $z u$ jedem $y \in f(A) \subseteq B$ genau ein $x \in A$ mit $y=f(x)$ und man kann auf dem Bild $f(A)$ eine Umkehrabbildung oder auch Inverse $f^{-1}: B \supseteq f(A) \rightarrow A$ definieren, die durch
$$
f^{-1}(y)=x \text { oder äquivalent dazu } f(x)=y
$$
charakterisiert ist.
Beispiel 65
Gegeben sei die Funktion $f:[0,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Diese Funktion ist injektiv und wegen $f([0,2])=[0,4]$ sogar surjektiv . Daher existiert zu dieser Abbildung die Inverse beziehungsweise Umkehrabbildung $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[0,2], y \mapsto \sqrt{y}$.
Bemerkung:
Rechnerisch erhält man die Inverse, unter der Voraussetzung dass diese existiert, indem man einfach die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auflöst.
Beispiel 66
Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x+5$. Diese Funktion ist bijektiv und daher existiert die inverse Funktion $f^{-1}$. Auflösen der Gleichung $y=f(x)=2 x+5$ nach der Variable $x$ ergibt $x=\frac{y-5}{2}$ und daher ist die Inverse $f^{-1}(y): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \frac{y-5}{2}$.
5.3 Komposition von Abbildungen
In diesem Abschnitt geht es um die Hintereinanderschaltung von mehreren Abbildungen Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen. Man kann dann zuerst die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ und danach die Abbildung $g$ von $B$ nach $C$ ausführen.
Abbildung $5.2$ Hintereinanderschaltung von zwei Abbildungen.
Definition $5.8$ Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen Dann heißt die Abbildung $g \circ f: A \rightarrow C, x \mapsto g(f(x))$ die Komposition oder auch Hintereinanderschaltung von $f$ und $g$. Gelesen wird das als "g Kringel $f "$.

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Beispiel 67
Es seien die Abbildungen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ durch das folgende Diagramm definiert.
Berechnen Sie mithilfe der Definition die Komposition $g \circ f: A \rightarrow C$.
Lösung:
Mit Definition $5.8$ erhält man die Bilder
$$
\begin{aligned}
&(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(y)=3, \quad(g \circ f)(b)=g(f(b))=g(z)=1 \text { und } \\
&(g \circ f)(c)=g(f(c))=g(y)=3 .
\end{aligned}
$$
Beispiel 68
Gegeben seien die Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto e^{x}$ und $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$. Berechnen Sie die beiden Kompositionen $(g \circ f)(x)$ und $(f \circ g)(x)$.
Lösung:
Nach Definition $5.8$ gilt
$$
\begin{aligned}
&(g \circ f)(x)=g(f(x))=g\left(e^{x}\right)=\cos \left(e^{x}\right) \quad \text { und } \\
&(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(\cos x)=e^{\cos x}
\end{aligned}
$$
5.4 Betrags - und Signumfunktion
Definition $5.9$ Die Funktionen
$$
|\cdot|: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto|x|:= \begin{cases}x & \text { für } x>0 \\ 0 & \text { für } x=0 \\ -x & \text { für } x<0 .\end{cases}
$$
$\operatorname{sign}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \operatorname{sign}(x):= \begin{cases}1 & \text { für } x>0, \\ 0 & \text { für } x=0, \\ -1 & \text { für } x<0 .\end{cases}$
heißen Betragsfunktion beziehungsweise Signumfunktion und werden gelesen als "Betrag von $x$ " beziehungsweise "Signum von $x$ ".

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Die Signumfunktion wird oft auch als Vorzeichenfunktion bezeichnet. In der folgenden Abbildung sind die Graphen der Betrags- und Signumfunktion dargestellt.
Abbildung 5.3 Betrags- und Signumfunktion.
5.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 116
Skizzieren Sie für den jeweils größtmöglichen Definitionsbereich die Bilder der Funktionen $f(x),[f(x)]^{2}, f\left(x^{2}\right), \frac{1}{f(x)}$ und $f\left(\frac{1}{x}\right)$ für:
a) $f(x)=\frac{1}{x}$
b) $f(x)=\sin x$
Aufgabe 117
Durch welche der folgenden Zuordnungsvorschriften sind Funktionen $y=f(x)$ mit $f$ : $D \rightarrow \mathbb{R}$ definiert? Fertigen Sie jeweils eine Skizze an!
a) $y^{2}=x, D=\mathbb{R}^{+}$.
b) $\arctan y=e^{-|x|}, D=\mathbb{R}$.
c) $y=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { für } x \neq 0 \\ x & \text { für } x^{2}=x\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$.
d) $y=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text { für } \quad x>0 \\ 0 & \text { für } \quad x \leq 0\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$.
g) $|y|=\frac{\ln x}{x^{2}+1}, D=[1, \infty[$.
Aufgabe 118
Es seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $b>0$. Geben Sie für die Funktion
$$
f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{b-|a-2 x|}}
$$
den größtmöglichen Definitionsbereich $D$ in Intervallschreibweise an.

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Aufgabe 119
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktionen, und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
$$
f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^{2} . \quad g: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{4-x}}-7 .
$$
Aufgabe 120
Untersuchen Sie für die jeweils angegebene Wahl des Definitionsbereichs $D$ und Wertebereichs $W$ der Funktion
$$
f: D \rightarrow W \quad \text { mit } \quad f(x)=x^{2}-2 x+1
$$
auf Injektivität und Surjektivität und kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort an .
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|}
\hline$D$ & $W$ & \multicolumn{2}{|c||}{ injektiv } & \multicolumn{2}{c|}{ surjektiv } \\
& & ja & nein & ja & nein \\
\hline \hline $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x<0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y>0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline$[-1,1]$ & {$[0,4]$} & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline
\end{tabular}
Aufgabe 121
Entscheiden Sie über Injektivität, Surjektivität beziehungsweise Bijektivität der Funktion
$$
g: A \rightarrow B \quad \text { mit } \quad x \mapsto \exp \left(-x^{2}\right),
$$
wenn folgende Mengen $A$ und $B$ vorgegeben sind. Kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort in der Tabelle an. Bestimmen Sie weiterhin die Umkehrfunktion für die bijektive Abbildung $g: A \rightarrow B$.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline$A$ & $B$ & injektiv & surjektiv & bijektiv \\
\hline$[1, \infty[$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline$\left.]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ & ] $\left.0, \frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline$]-\infty, \frac{1}{2}[$ & ] $0,1]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
\hline
\end{tabular}
Aufgabe 122
Ist die Abbildung $f$ injektiv und/oder surjektiv?
$$
f: \mathbb{Z} \rightarrow\{q \in \mathbb{Q} \mid 0 \leq q \leq 1\} \quad \text { mit } \quad f(a)=\frac{|a|}{2 a^{2}+2} .
$$

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Aufgabe 123
a) Betrachten Sie die Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ mit $f(x):=\sin (x)$. Wie kann man die Mengen $A$ und $B$ wählen, so dass die Funktion $f(x)$
i) injektiv, ii) surjektiv, oder iii) bijektiv ist?
b) Beweisen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=x+2$ bijektiv ist.
Aufgabe 124
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktion und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
$$
f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x)
$$
b) Welche Teilmenge $A \subset \mathbb{R}$ kann man maximal als Definitions- und Wertebereich wählen, damit $f: A \rightarrow A, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x)$ eine bijektive Funktion ist?
Aufgabe 125
Sind die folgenden Zuordnungen injektive, surjektive oder gar keine Funktionen? Begründen Sie Ihre Antworten anhand einer Skizze!
a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+1 & \text { für } & x \geq 1, \\ 2 & \text { für } & x<1 .\end{array}\right.$ b) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=-x^{5}$.
d) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan (x) .$
Aufgabe 126
a) Gegeben seien die Funktionen
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+(\sin x \cdot \cos x)^{2} .$
Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=f \circ g$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an.
b) Gegeben seien die Funktionen
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{3} .$
Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=g \circ f$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an.
Aufgabe 127
Welche der folgenden Zuordnungsvorschriften definieren eine Funktion $y=f(x)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ? Welche Funktionen sind injektiv ? Berechnen Sie falls möglich die Inverse.
a) $y=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { für } & x \leq-\frac{\pi}{2}, \\ \sin x & \text { für } & x>-\frac{\pi}{2} .\end{array}\right.$
b) $y=\left\{\begin{array}{lll}-x^{2} & \text { für } & x \geq 0, \\ x & \text { für } & x>0 .\end{array}\right.$
C) $\cos y=x$

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Aufgabe 128
Sei $H$ die Menge aller lebenden Menschen, sowie $W$ die Menge aller lebenden Menschen weiblichen Geschlechts und $M:=H \backslash W$ die Menge aller lebenden Menschen männlichen Geschlechts. Betrachten Sie die folgenden Abbildungen :
$m: H \rightarrow W$ mit $m(x)$ ist die leibliche Mutter von $x$.
$f: H \rightarrow M$ mit $f(x)$ ist der leiblicher Vater von $x .$
a) Beschreiben Sie in Worten die zusammengesetzten Abbildungen (Kompositionen ) $m^{2}:=m \circ m, \quad g:=f \circ m, \quad h:=m \circ f, \quad$ gilt $g=h ?$
b) Welche der Abbildungen $m, f, m^{2}, g, h$ sind injektiv, surjektiv oder bijektiv?
c) Welche Menge wird durch $m^{-1}(W)$ beschrieben ?
Aufgabe 129
Es seien $X, Y$ Mengen $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion und $A \subseteq X$. Begründen Sie:
a) Ist $f$ injektiv, so ist $f^{-1}(f(A))=A$.
b) Im Allgemeinen gilt $f^{-1}(f(A))=A$ nicht.
Aufgabe 130
a) Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3+4 x$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([-5,5])$.
b) Gegeben sei die Funktion $f:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{2}-3\right.\right.$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([1,5])$.
Aufgabe 131
a) Für welche $y \in \mathbb{R}$ ist die Gleichung $x^{2}+2 x=y$ lösbar? Für welche $y$ ist sie eindeutig lösbar?
b) Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x$. Bestimmen Sie $f(\mathbb{R})$. Ist $f$ injektiv ?
c) Hat $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=7 x+5$ eine Umkehrfunktion? Falls ja, welche?
d) Welche der Funktionen sind injektiv ? Bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion inklusive ihres maximalen Definitionsbereichs.
$$
\begin{array}{rlrl}
g:[-1,5[ & \rightarrow \mathbb{R} & h:[3,8] & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto x^{2} & & \mapsto(x-3)^{2}
\end{array}
$$

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Aufgabe 132
Sei $f: D \rightarrow W$ gegeben durch:
a) $x \mapsto \sqrt{x}$
b) $x \mapsto \sqrt{5-x^{2}}$
c) $x \mapsto \frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-5)(x+2)}$
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ und minimalen Wertebereich $W \subset \mathbb{R}$ der jeweiligen Abbildung. Welche der Abbildungen sind injektiv? Geben Sie falls möglich die Umkehrabbildung an .
Aufgabe 133
Sind die folgenden Funktionen injektiv? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion einschließlich ihres maximalen Definitionsbereichs !
a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
b) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
c) $h:[2, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto x^{3}+5$
$x \mapsto-5 x^{2}-9$
$x \mapsto x^{2}+6 x+19$
d) $k:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$
$$
x \mapsto \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}
$$
Aufgabe 134
Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl .
a) $f^{-1}(] 0,1[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}-4$.
b) $f\left(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]\right) \cap\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-\frac{1}{4} \geq 0\right\}$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x$.
c) $f^{-1}(] 1,2[) \cap f([1,2])$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto 3 x-3$.
Aufgabe 135
Bestimmen Sie folgende Urbilder der Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Beachten Sie dabei, dass $f^{-1}$ im Allgemeinen keine Funktion ist.
a) $f^{-1}([-9,0])$ mit $f(x)=3 x^{2}-12$ und $D=\mathbb{R}$.
b) $f^{-1}([0,1])$ mit $f(x)=\tan x$, einmal mit $\left.D=\right]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ und dann mit $D=]-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\left[\backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right.$.
c) $f^{-1}([2,5])$ mit $f(x)=x^{2}+1$ und $D=\mathbb{R}$.
d) $f^{-1}(\{1\})$ mit $f(x)=\sin x$ und $D=\mathbb{R}$.
Aufgabe 136
Ordnen Sie jeder der fünf Mengen
$\left.\left.\mathbb{R}, \mathbb{N}_{0},\right]-1,0\right],\{\}$,$\quad und \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}=\{x \in \mathbb{R} \mid x$ ist keine ganze Zahl $\}$ genau eine der Variablen $A, B, C, D$ und $E$ zu, so dass gilt:
$A \backslash\left(B \cup f^{-1}(C \cap D)\right)=E \quad$ mit $\quad f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sin (\pi x) .$

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Aufgabe 137
Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung und/oder Durchschnitt von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl.
a) $\left.\left.f^{-1}([-1,1] \backslash\{0\}) \cap\right] 0,2 \pi\right]$ mit $f(x):=\sin x$.
b) $f^{-1}(] 2,5[)$ mit $f(x):=|x|$.
c) $f([-2,2]) \cup] 0,10]$ mit $f(x):=x^{2}$.
d) $f^{-1}(] 0, \infty[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x^{2}-x$.

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