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%!TEX root=../MathIng.tex
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\section{Grundzüge der Mengenlehre}
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\subsection*{Aufgabe 1 a}
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Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für
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$$
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A=\{x \in \mathbb{R}|\;\abs{x}<8\} \text { und } B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\} .
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$$
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˝extbf{Lösung:}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex] (0,0) -- (9,0);
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%\foreach\x/\y/\z in {4/2/A,5/3/B,6/4/C,2/.5/D,1/2/E,6/3/F,3/1.5/G,1/4/H}
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% \draw [fill = black] (\x,\y)circle (1 mm) node[left] {\z};
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\foreach\x/\y in {1/-8,3/2,5/8,8/\infty}
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\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[yshift=-1em] {$\y$};
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\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/]}
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\node at (\x,1.5em) {$\y$};
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\draw[blue, thick] (1,0.1) -- (5,0.1);
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\draw[red, thick] (3,0.15) -- (8,0.15);
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Die Mengen $A$ und $B$ lauten in Intervallschreibweise
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$$
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\begin{aligned}
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&A=\{x \in \mathbb{R}|\;| x \mid<8\}=\{x \in \mathbb{R} \mid-8<x<8\}=]-8,8[ \\
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&B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty[
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\end{aligned}
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$$\footnote{Im Original heißt es auf Seite 113: $B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty] $, was falsch ist da $\infty$ nicht dazugehören kann}
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Damit ergeben sich die gesuchten Verknüpfungen
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$$
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\begin{aligned}
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&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=[2,8[, \quad A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=]-8, \infty[, \\
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&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=]-8,2[, \quad B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[8, \infty[.
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\end{aligned}
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$$
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\subsection*{Lösungen in Mathematica}
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\lstset{
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basicstyle=\footnotesize,
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language=Mathematica,
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}
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\begin{lstlisting}
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In[1]:= Union[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
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Out[1]= Interval[{-8, \[Infinity]}]
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In[2]:= IntervalIntersection[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
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Out[2]= Interval[{2, 8}]
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\end{lstlisting}
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$\cup $ $\text{IntervalUnion}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
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$\text{Interval}[\{-8,\infty \}]$
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$\cap$ $\text{IntervalIntersection}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
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$\text{Interval}[\{2,8\}]$
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\subsection*{Aufgabe 1 b}
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Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für
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$$
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A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\} \quad \text { und } \quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\} .
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$$
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Lösung:
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In Intervallschreibweise ergeben sich die Mengen $A$ und $B$ zu $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\}=\{1,2,3,4\} \quad$ und $\quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\}=[0,4] .$
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Die gesuchten Mengenverknüpfungen lauten dann
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$$
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\begin{aligned}
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&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=\{1,2,3,4\}=A \\
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&A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=[0,4]=B \\
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&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=\{\}, \\
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&B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[0,4] \backslash\{1,2,3,4\} .
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\end{aligned}
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$$
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Aufgabe 2
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Die Menge $M:=(] 0,5[\cap([1,3] \cup[4,7])) \cap] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinlachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen.
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-113-
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