\chapter{Pearson Brückenkurs Mathematik}
\section{Beispiele zu Mengen}
\subsection{Mengenoperationen}

\subsubsection{Vereinigung $A\cup B$}

Die Vereinigungsmenge, ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören. (Der gesamte Inhalt der Mengen $A$ und $B$)

\begin{tikzpicture}
	% Set the colors and patterns
	\begin{scope}
		% First circle (set A)
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=blue!50] (-1,0) circle (1.5);
		% Second circle (set B)
		\fill[pattern=north east lines, pattern color=red!50] (1,0) circle (1.5);
	\end{scope}
	
	% Draw the circles' borders
	\draw (-1,0) circle (1.5) node {$A$};
	\draw (1,0) circle (1.5) node {$B$};
	
	% Add a label for the union
	\node at (0,-2) {$A \cup B$};
\end{tikzpicture}

\subsubsection{Schnittmenge $A \cap B$}
Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. (Gemeinsamkeiten)

\begin{tikzpicture}
	% Set the colors and patterns
	\begin{scope}
		% First circle (set A) - light color outside intersection
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=blue!30] (-1,0) circle (1.5);
		% Second circle (set B) - light color outside intersection
		\fill[pattern=north east lines, pattern color=red!30] (1,0) circle (1.5);
		
		% Intersection area color - darker to highlight the overlap
		\begin{scope}
			\clip (-1,0) circle (1.5);
			\fill[blue!50, opacity=0.5] (1,0) circle (1.5);
		\end{scope}
		\begin{scope}
			\clip (1,0) circle (1.5);
			\fill[red!50, opacity=0.5] (-1,0) circle (1.5);
		\end{scope}
	\end{scope}
	
	% Draw the circles' borders and labels in the middle of each circle
	\draw (-1,0) circle (1.5) node {$A$};
	\draw (1,0) circle (1.5) node {$B$};
	
	% Add a label for the intersection
	\node at (0,-2) {$A \cap B$};
\end{tikzpicture}


\subsubsection{Differenzmenge $A\setminus B$}
\begin{tikzpicture}
	% Set the colors and patterns
	\begin{scope}
		% First circle (set A) - lighter outside B
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=blue!50] (-1,0) circle (1.5);
		
		% Second circle (set B) - no fill to exclude it from A
		\fill[pattern=north east lines, pattern color=red!30] (1,0) circle (1.5);
		
		% Exclude the intersection (make it white)
		\begin{scope}
			\clip (1,0) circle (1.5);
			\fill[white] (-1,0) circle (1.5);
		\end{scope}
	\end{scope}
	
	% Draw the circles' borders and labels in the middle of each circle
	\draw (-1,0) circle (1.5) node {$A$};
	\draw (1,0) circle (1.5) node {$B$};
	
	% Add a label for the difference
	\node at (0,-2) {$A \setminus B$};
\end{tikzpicture}

\paragraph{Beispiel 1}\mbox{}\\

Gegeben sind die Mengen $A:=[1,5), B:=\{2,3,4\}$ und $C:=\{z \in \mathbb{Z} \mid-1 \leq z<3\}$. 

Bestimme:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
	\item $A \cup B$
	\item $A \cap C$
	\item $C \backslash B$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item  Das "'`$\cup$"' - Symbol steht für die Vereinigung der beiden Mengen $A$ und $B$. 


Bei der Vereinigung nimmt man die Elemente, die in $A$ oder $B$ liegen - gewissermaßen also einfach alle Elemente aus beiden Mengen.


In $A \cup B$ liegen also alle Elemente aus $A$ und $B$...Wie schreibt man das ordentlich auf? Am besten wäre es ja, wenn wir Elemente nur einmal auflisten \ldots

Das Ziel ist also $A \cup B$ so kompakt wie möglich aufzuschreiben. Man kann einfach 

$$
A \cup B=[1,5) \cup\{2,3,4\}
$$

schreiben.

Hier werden aber Elemente doppelt aufgezählt, weil die $3$ beispielsweise in $[1,5)$ und in $\{2,3,4\}$ auftauchen - und das ist nicht Sinn der Übung.

Um keine Elemente doppelt aufzuzählen muss man zum Beispiel schauen, welche Elemente aus $B$ schon in $A$ liegen. Die kann man dann beim Aufschreiben weg lassen.
$A$ ist ein Intervall und enthält also alle reellen Zahlen zwischen $1$ und $5$ (welche selbst nicht mit drin liegt). $2$, $3$ und $4$ sind nun aber alles Zahlen die dort drin sind.

Somit kommen durch $B$ gar keine neuen Elemente zu $A$ hinzu, da $B$ eine Teilmenge ist. Also ist die Vereinigung von $A$ und $B$ einfach wieder $$[1,5)$$.

\textbf{Grafische Lösung}


\begin{tikzpicture}
	% Draw the number line
	\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[anchor=north] {x}; % arrow at the end
	
	% Draw ticks and labels
	\foreach \x in {0,1,2,3,4,5}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	
	% Highlight the interval [1,5)
	\draw[thick] (1,0) -- (5,0); % draw the line between 1 and 5
	
	% Solid circle at 1 (inclusive)
	\filldraw (1,0) circle (2pt);
	
	% Open circle at 5 (exclusive)
	\draw[thick] (5,0) circle (2pt);
	
	% Label the interval A
	\node[above] at (3,0.3) {$A = [1,5)$};
\end{tikzpicture}



\begin{tikzpicture}
	% Draw the number line
	\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[anchor=north] {x}; % arrow at the end
	
	% Draw ticks and labels
	\foreach \x in {0,1,2,3,4,5}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	
	% Highlight the elements 2, 3, 4
	\filldraw (2,0) circle (2pt); % Solid circle at 2
	\filldraw (3,0) circle (2pt); % Solid circle at 3
	\filldraw (4,0) circle (2pt); % Solid circle at 4
	
	% Label the set B
	\node[above] at (3,0.3) {$B = \{2, 3, 4\}$};
	
\end{tikzpicture}


\begin{tikzpicture}
	% Draw the number line
	\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[anchor=north] {x}; % arrow at the end
	
	% Draw ticks and labels
	\foreach \x in {0,1,2,3,4,5}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	
	% Highlight the set A in blue
	\draw[thick, blue] (1,0.7) -- (5,0.7); % Line for set A from 1 to 5
	\filldraw[blue] (1,0.7) circle (2pt); % Solid circle at 1 (A)
	\draw[blue, thick] (5,0.7) circle (2pt); % Open circle at 5 (A)
	\node[above, blue] at (3,0.8) {$A = [1, 5)$};
	
	% Highlight the set B in red
	\foreach \x in {2,3,4}
	\filldraw[red] (\x,0) circle (2pt); % Solid circles for B
	\node[above, red] at (3,0) {$B = \{2, 3, 4\}$};
	
	% Highlight the union A ∪ B in green
	\draw[thick, green] (1,-0.7) -- (5,-0.7); % Line for A ∪ B
	\filldraw[green] (1,-0.7) circle (2pt); % Solid circle at 1 (A ∪ B)
	\draw[green, thick] (5,-0.7) circle (2pt); % Open circle at 5 (A ∪ B)
	\node[below, green] at (3,-0.9) {$A \cup B = [1, 5)$};
	
\end{tikzpicture}

\item Gesucht sind die Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $C$ enthalten sind.

$$
C=\{z \in \mathbb{Z} \mid-1 \leq z<3\}
$$

Die Menge $C$ ist einfach geschrieben $\{-1,0,1,2\}$.

Welche Elemente davon liegen auch in $A=[1,5)$ ?

Geht man mal die Reihe nach durch:
$$
\begin{array}{rrll} 
	& \fcolorbox{red}{white}{-1}<1 & \text { also nicht in } A \\
	& \fcolorbox{red}{white}{0}<1 & \text { also nicht in } A \\
	1 & \leq \fcolorbox{red}{white}{1}<5 & \text { also in } A \\
	1 & \leq \fcolorbox{red}{white}{2}<5 & \text { also in } A
\end{array}
$$

Somit liegen nur 1 und 2 in beiden Mengen. Die Schnittmenge lautet:

$$
A \cap C=\{1,2\}
$$


\textbf{Grafische Lösung}

\begin{tikzpicture}
	% Draw the number line
	\draw[->] (-2,0) -- (6,0) node[anchor=north] {x}; % arrow at the end
	
	% Draw ticks and labels
	\foreach \x in {-1,0,1,2,3,4,5}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	
	% Highlight the set A in blue
	\draw[thick, blue] (1,0.7) -- (5,0.7); % Line for set A from 1 to 5
	\filldraw[blue] (1,0.7) circle (2pt); % Solid circle at 1 (A)
	\draw[blue, thick] (5,0.7) circle (2pt); % Open circle at 5 (A)
	\node[above, blue] at (3,0.9) {$A = [1, 5)$};
	
	% Highlight the set C in red
	\foreach \x in {-1,0,1,2}
	\filldraw[red] (\x,0) circle (2pt); % Solid circles for C
	\node[above, red] at (0.5,0) {$C = \{ z \in \mathbb{Z} \mid -1 \leq z < 3 \}$};
	
	% Highlight the intersection A ∩ C in green
	\foreach \x in {1,2}
	\filldraw[green] (\x,-0.7) circle (2pt); % Solid circles for A ∩ C
	\node[below, green] at (1.5,-0.8) {$A \cap C = \{1, 2\}$};
	
\end{tikzpicture}


\item $C \backslash B$ steht für den Ausdruck " $C$ ohne $B$ ". Bevor wir überlegen, welche Elemente hier wegfallen - kannst du $C$ noch vereinfacht darstellen?

Einfach geschrieben ist $C$ nur $\{-1,0,1,2\}$. Für $C$ ohne $B$ müssen wir also aus $C$ alle Elemente entfernen, die auch in $B$ liegen was bleibt über?

Da man die Elemente direkt vergleichen kann, sieht man, dass nur die 2 in beiden Mengen enthalten ist. Also müssen wir die aus $C$ rausnehmen und sind fertig:

$$
\begin{aligned}
	C \backslash B & =\{-1,0,1,2\}\} \backslash\{2,3,4\} \\
	& =\{-1,0,1\}
\end{aligned}
$$


\end{enumerate}


\begin{tikzpicture}
	% Draw the number line
	\draw[->] (-2,0) -- (5,0) node[anchor=north] {x}; % arrow at the end
	
	% Draw ticks and labels
	\foreach \x in {-1,0,1,2,3}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	
	% Highlight the elements -1, 0, 1, 2
	\filldraw (-1,0) circle (2pt); % Solid circle at -1
	\filldraw (0,0) circle (2pt);  % Solid circle at 0
	\filldraw (1,0) circle (2pt);  % Solid circle at 1
	\filldraw (2,0) circle (2pt);  % Solid circle at 2
	
	% Open circle at 3 (exclusive)
	\draw[thick] (3,0) circle (2pt); % Open circle at 3
	
	% Label the set C
	\node[above] at (1,0.3) {$C = \{ z \in \mathbb{Z} \mid -1 \leq z < 3 \}$};
	
\end{tikzpicture}


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\paragraph{1.}\mbox{}\\
Gegeben sind die Mengen $M_1=\{26 ; 13 ; 5 ; 32\}, M_2=\{4 ; 5 ; 32 ; 35\}$ und $M_3=\{4 ; 1 ; 8 ; 19 ; 23 ; 5 ; 26\}$.

Bestimmen Sie die Menge $\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3$.


Man liest die Formel $\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3$ von links nach rechts und bestimmt zuerst die Schnittmenge der Mengen $M_1$ und $M_2$:

$$
M_1 \cap M_2=\{26 ; 13 ; \mathbf{5} ; \mathbf{32}\} \cap\{4 ; \mathbf{5} ; \mathbf{32} ; 35\}=\{5 ; 32\}
$$

Nun vereinigt man die eben bestimmte Menge $M_1 \cap M_2$ mit der Menge $M_3=\{4 ; 1 ; 8 ; 19 ; 23 ; 5 ; 26\}$, um die gesuchte Menge zu erhalten:

$$
\left(M_1 \cap M_2\right) \cup M_3=\{\mathbf{5} ; \mathbf{32}\} \cup\{\mathbf{4} ; \mathbf{1} ; \mathbf{8} ; \mathbf{19} ; \mathbf{23} ; 5 ; \mathbf{26}\}=\{1 ; 4 ; 5 ; 8 ; 19 ; 23 ; 26 ; 32\}
$$

\paragraph{2.}\mbox{}\\
Bestimmen Sie die Schnittmenge der Menge $M=\{8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; \ldots\}$ und der Menge der ungeraden natürlichen Zahlen.


Man betrachtet zuerst die Menge $M$ . Sie enthält unendlich viele Zahlen, von denen die ersten fünf in aufzählender Mengenschreibweise angegeben sind. Da sich zwei aufeinanderfolgende Elemente immer um 3 unterscheiden, liegt ein Bildungsgesetz vor, mit dessen Hilfe man weitere Elemente der Menge M angeben kann.
$$
M=\{8 ; \textcolor{red}{11} ; 14 ; \textcolor{red}{17} ; 20 ; \textcolor{red}{23} ; 26 ; \textcolor{red}{29} ; 32 ; \textcolor{red}{35}; \ldots\}
$$

Die Menge $\mathbb{N}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\}$ der natürlichen Zahlen ist bekannt.
Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen besteht aus allen natürlichen Zahlen, die sich nicht durch 2 teilen lassen.
$$
\text { \{ungerade natürliche Zahlen }\}=\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; \textcolor{red}{11} ; 13 ; 15 ; \textcolor{red}{17} ; 19 ; \ldots\}
$$

Schließlich schneidet man die Menge M mit den ungeraden natürlichen Zahlen, d.h. man bestimmt alle Zahlen in M, die ungerade sind. Da diese Schnittmenge wieder unendlich groß ist, genügt es, die ersten Elemente in aufzählender Mengenschreibweise anzugeben.
$$
M \cap\{\text { ungerade natürliche Zahlen }\}=\{11 ; 17 ; 23 ; 29 ; 35 ; \ldots\}
$$

\paragraph{3.}\mbox{}\\
Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen.
Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen.
Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.

\paragraph{4.}\mbox{}\\
Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cup$ kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.
Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen.
Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist $10$.

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\textbf{Schreiben} Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cup$ kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.

Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen.

Es gibt keine Lücke zwischen diesen zwei Intervallen. Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist $10$ .

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.

%\begin{figure}[h]
%    \centering
%\begin{tikzpicture}
%    \begin{axis}[
	%        hide axis,
	%        xmin=-10, xmax=12,
	%        ymin=-1, ymax=1,
	%        width=15cm,
	%        height=3cm,
	%        axis x line=middle,
	%        xtick=\empty,
	%        ytick=\empty,
	%        enlargelimits
	%    ]
	%        % Das Intervall (-∞, 6)
	%        \addplot[domain=-10:5.9, samples=2, thick, blue] {0};
	%
	%        % Das Intervall [6, 10)
	%        \addplot[domain=6:9.9, samples=2, thick, red] {0};
	%
	%        % Offene Kreise bei x=6 und x=10
	%        \node[draw, fill=white, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 6, 0) {};
	%        \node[draw, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 10, 0) {};
	%
	%        % Punkt x=6 als geschlossener Kreis
	%        \node[fill, circle, inner sep=1.5pt] at (axis cs: 6, 0) {};
	%
	%        % Beschriftungen
	%        \node[below] at (axis cs: 0, 0) {0}
	%        \node[below] at (axis cs: 6, 0) {6};
	%        \node[below] at (axis cs: 10, 0) {10};
	%
	%        % Pfeile am Ende des Intervalls
	%        \draw[thick,-latex] (axis cs: -10,0) -- (axis cs: -10.5,0);
	%        \draw[thick,-latex] (axis cs: 10,0) -- (axis cs: 10.5,0);
	%    \end{axis}
%\end{tikzpicture}    
%    %\caption{Caption}
%    %\label{fig:enter-label}
%\end{figure}




\newpage

3333

Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen. Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.




44444

Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty,-2) \cap[-6,7]
$$

Dieses Intervall stellt den Durchschnitt von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols $\cap$ kann das Verbindungswort 'und' benutzt werden.
Damit besteht der Durchschnitt aus allen Punkten, die in $(-\infty,-2)$ und auch in $[-6,7]$ liegen.
Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.
Das Intervall, das den Durchschnitt der gegebenen Intervalle bildet, hat zwei Endpunkte.
Sie sind -2 und -6 .
Das einzige Intervall, das $(-\infty,-2) \cap[-6,7]$ darstellt, ist $[-6,-2)$.


55555


Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als ein einziges Intervall.
$$
(-\infty, 6) \cup[6,10)
$$

Dieses Intervall stellt die Vereinigung von zwei Intervallen dar.
Anstelle des Symbols U kann das Verbindungswort 'oder' verwendet werden.
Damit besteht die Vereinigung aus allen Punkten, die in $(-\infty, 6)$ oder in $[6,10)$ liegen. Es gibt keine Luecke zwischen diesen zwei Intervallen.

Das Intervall, dass die Vereinigung der gegebenen Intervalle beschreibt, hat einen Endpunkt. Es ist 10 .

Das einzelne Intervall, das $(-\infty, 6) \cup[6,10)$ darstellt, ist $(-\infty, 10)$.


6666666


Sei $\Omega=\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k\}$
$$
\begin{aligned}
	& X=\{a, d, e, h, i, k\} \\
	& Y=\{a, c, f, h, i\} \\
	& Z=\{a, d, e, i, k\}
\end{aligned}
$$

Bestimmen Sie $\mathrm{X} \cup(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$.

Um $\mathrm{X} \cup(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$ zu bestimmen, bestimmen Sie zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern.
Bestimmen Sie $Z \cap Y$.
Der Durchschnitt besteht aus allen Elementen, die in beiden Mengen $Z$ und $Y$ sind.
Die Elemente 'a' und 'i' sind in der Menge $\mathrm{Z}$ und auch in der Menge $\mathrm{Y}$.
Somit sind sie in $\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y}$.
$$
Z \cap Y=\{a, i\}
$$

Bestimmen Sie jetzt das Komplement von $\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y}$, symbolisiert durch $(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})^{\prime}$.
Diese Menge enthaelt alle Elemente aus $\boldsymbol{\Omega}$ die nicht $\mathbf{z u}\{\mathrm{a}, \mathrm{i}\}$ gehoeren.
Die Menge $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$ repraesentiert $(Z \cap Y)$ '.
Finden Sie jetzt die Vereinigung der Mengen $X$ und $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$.
Mit anderen Worten: Fuegen Sie zu der Liste der Elemente in $\{k, j, h, g, f, e, b, c, d\}$ diejenigen Elemente hinzu, die Sie noch nicht benannt haben und die in $X$ enthalten sind. Zum Beispiel ist, 'i' in der Menge $\mathrm{X}$, aber nicht in $(\mathrm{Z} \cap \mathrm{Y})$ '.
$$
X \cup(Z \cap Y)^{\prime}=\{e, f, h, g, i, k, j, b, c, d, a\} \text {. }
$$

Dies ist die Menge $\Omega$.


8888888888
Bestimmen Sie die Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$, wenn folgendes gegeben ist.
$$
\begin{aligned}
	& \Omega=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<13\} \\
	& A=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist ungerade und } x<13\} \\
	& B=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist gerade und } x<13\} \\
	& C=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<8\}
\end{aligned}
$$

Um $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ zu bestimmen, beginnen Sie damit die Menge innerhalb der Klammern, $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$, zu finden.
Zuerst muessen Sie A' bestimmen, das Komplement von A, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in $\mathrm{A}$ sind.
$$
A^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12\}
$$

Als Naechstes muessen Sie $\mathrm{B}^{\prime}$ bestimmen, das Komplement von $\mathrm{B}$, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in $\mathrm{B}$ sind.
$$
B^{\prime}=\{1,3,5,7,9,11\}
$$

Identifizieren Sie jetzt die Elemente der Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right.$ ) indem Sie alle Elemente in der Menge $A^{\prime}$ auflisten und dann die Elemente in der Menge $B^{\prime}$ hinzufuegen.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) & =\{2,4,6,8,10,12\} \cup\{1,3,5,7,9,11\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
\end{aligned}
$$

Beenden Sie jetzt das Problem, indem Sie $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ bestimmen.
Der Durchschnitt ist diejenige Menge, die alle Elemente enthaelt, die den beiden Mengen $A^{\prime} \cup B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ gemeinsam sind.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C= & \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \cap\{1,2,3,4,5,6,7\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7\}
\end{aligned}
$$


999999999999

Bestimmen Sie die Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$, wenn folgendes gegeben ist.
$$
\begin{aligned}
	& \Omega=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<13\} \\
	& A=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist ungerade und } x<13\} \\
	& B=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist gerade und } x<13\} \\
	& C=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<8\}
\end{aligned}
$$

Um $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ zu bestimmen, beginnen Sie damit die Menge innerhalb der Klammern, ( $\left.A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$, zu finden.
Zuerst muessen Sie A' bestimmen, das Komplement von A, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in A sind.
$$
A^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12\}
$$

Als Naechstes muessen Sie B' bestimmen, das Komplement von B, das alle Elemente aus $\Omega$ enthaelt, die nicht in B sind.
$$
B^{\prime}=\{1,3,5,7,9,11\}
$$

Identifizieren Sie jetzt die Elemente der Menge ( $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ ) indem Sie alle Elemente in der Menge $\mathrm{A}^{\prime}$ auflisten und dann die Elemente in der Menge $\mathrm{B}^{\prime}$ hinzufuegen.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) & =\{2,4,6,8,10,12\} \cup\{1,3,5,7,9,11\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
\end{aligned}
$$

Beenden Sie jetzt das Problem, indem Sie ( $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ ) $\cap \mathrm{C}$ bestimmen.
Der Durchschnitt ist diejenige Menge, die alle Elemente enthaelt, die den beiden Mengen $\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$ und $\mathrm{C}^{\prime}$ gemeinsam sind.
$$
\begin{aligned}
	\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C & =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \cap\{1,2,3,4,5,6,7\} \\
	& =\{1,2,3,4,5,6,7\}
\end{aligned}
$$

1010101010101010

Von den Achtklaesslern der Paxton-Schule spielten 16 Basketball, 9 Volleyball, 10 Fussball, 1 spielte nur Basketball und Fussball, 2 spielten nur Volleyball und Fussball, 1 spielte nur Basketball und Volleyball und 2 spielten Volleyball, Basketball und Fussball.

Wieviele spielten eine oder mehrere der drei Sportarten?

Zeichnen Sie ein leeres Diagramm, markieren Sie einen Kreis mit $B$ für Basketball, einen mit $F$ für Fussball und einen mit $V$ für Volleyball.
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_1.png}
	%\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Tragen Sie als erstes die Anzahl der Schueler in den Durchschnitt aller drei Kreise ein, die alle drei Sportarten betreiben. $2$ spielten alle drei Sportarten.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_2.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Tragen Sie jetzt ein, wie viele Spieler zwei Sportarten betreiben. In der Aufgabe war gegeben, dass 2 nur Volleyball und Fussball spielen.
Diese Zahl muss in den Bereich geschrieben werden, der der Durchschnitt von V und F ist, aber nicht die 2 schon frueher Erwaehnten enthaelt.
Der Grund ist: Die Aufgabe spricht hier nur von Volleyball und Fussball, d.h. Basketball ist ausgeschlossen

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_3.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Machen Sie dasselbe fuer die anderen Sportarten. 1 spielt nur Basketball und Fussball.
1 spielt nur Basketball und Volleyball.
Diese Werte muessen im Diagramm platziert werden

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_4.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

\newpage

Die Aufgabe sagt, dass zehn Fussball spielen.
Es gibt bereits 5 in dem Fussball-Kreis.
Deshalb muss eine 5 dort in den Kreis mit F geschrieben werden, wo keine anderen Werte sind.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_5.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Neun spielen Volleyball. 5 sind bereits im Diagramm.
Es bleiben 4 uebrig.
Eine 4 ist in dem Bereich platziert worden, der Nur-Volleyball repraesentiert.


\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_6.png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}


Die Aufgabe besagt, dass 16 Basketball spielen.
Es sind bereits 4 Basketballspieler eingetragen.
Somit bleiben 16 - 4 oder 12 uebrig, die nur Basketball spielen.

\newpage

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{10_7..png}
	\caption{Enter Caption}
	\label{fig:enter-label}
\end{figure}

Um zu bestimmen, wie viele der Achtklaessler eine oder mehrere der drei Sportarten spielen, addieren Sie alle Eintraege aus dem Diagramm.
Es sind insgesamt 27 Spieler.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Frage 10}

Sei $\Omega=\{0,1,2,3,4,5, \ldots\}, A=\{1,2,3,4, \ldots\}$ und $B=\{6,12,18,24, \ldots\}$.
Bestimmen Sie die Menge $\mathbf{A} \cup \mathbf{B}$.

Die Vereinigung der Menge A und der Menge B, symbolisiert durch $\mathbf{A} \cup \mathbf{B}$, ist die Menge, die alle Elemente enthaelt, die Mitglieder von der Menge $\mathbf{A}$ oder der Menge $B$ (oder von beiden Mengen) sind.

Beachten Sie , dass alle Mengen unendliche Mengen sind.
Die Menge A ist die Menge aller positiven ganzen Zahlen und die Menge B ist die Menge alle positiven ganzen Zahlen, die Vielfaches von 6 sind.
Da jedes positive ganzzahlige Vielfache von 6 auch eine positive ganze Zahl ist, ist jedes Element aus B auch ein Element aus der Menge A.
Daher ist die Vereinigung $\mathbf{A} \cup \mathbf{B}$ dasselbe wie die Menge $\mathbf{A}$, da alle Elemente aus $\mathbf{B}$ auch in der Menge $\mathbf{A}$ enthalten sind.
Daher ist $A \cup B=\{1,2,3,4, \ldots\}$.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Frage10_Vorlage.pdf}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Frage 11}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Frage11.png}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}


Nutzen Sie Venn-Diagramme, um zu bestimmen, ob die folgenden Mengen gleich sind fuer alle Mengen $A, B$ und $C$.
$A \cap(B \cup C)$
$(A \cap B) \cup C^{\prime}$

Wenn Sie das Venn-Diagramm auf der rechten Seite als Referenz verwenden, so besteht die Menge $A \cap(B \cup C)$ aus den Regionen II, IV, V.
Wenn Sie das Venn-Diagramm auf der rechten Seite als Referenz verwenden, so besteht die Menge (A $\cap$ B) $\cup \mathrm{C}^{\prime}$ aus den Regionen I, II, III, V, VIII.
Daher sind die folgenden Mengen nicht fuer alle Mengen $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ und C gleich.
$A \cap(B \cup C)$
$(A \cap B) \cup C^{\prime}$


\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Frage12_Vorlage.pdf}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}



\textbf{Frage 13}


Verwenden Sie die Symbole A, B, $\cup, \cap$ und ', wenn noetig, um die schattierte Region zu beschreiben.

Dieses Venn-Diagramm hat 4 verschiedene Regionen, die wie rechts bezeichnet sind.
Um eine Mengenbeschreibung fuer das gegebene Diagramm zu entwickeln, bestimmen Sie zunaechst, welche Regionen schattiert sind

In dem gegebenen Venn-Diagramm ist Region 1 schattiert.

Die Menge $A \cap B^{\prime}$ fuehrt zur Schattierung der Region 1, was die gegebene Abbildung produziert.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Frage13_Vorlage.pdf}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Frage 14}


Verwenden Sie die Symbole A, B, U, $\cap$ und ', wenn noetig, um die schattierte Region zu beschreiben.

verschiedene Regionen, die wie rechts bezeichnet sind.
Um eine Mengenbeschreibung fuer das gegebene Diagramm zu entwickeln, bestimmen Sie zunaechst, welche Regionen schattiert sind.

In dem gegebenen Venn-Diagramm sind die Regionen 2,3,4,5,6 schattiert.

Daher fuehrt die Menge $(A \cap C) \cup B$ zur Schattierung der Regionen 2,3,4,5,6, die das gegebene Bild produziert.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Frage14_Vorlage.pdf}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{Aufgabe15_Vorlage.pdf}
    \caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}

\textbf{Frage 15}
Ein Personalbuero moechte die Beschaeftigten nach Geschlecht, Alter und Ausbildung klassifizieren.
Menge $A=$ maennlich
Menge $B=$ sind aelter als 45 Jahre
Menge $C=$ haben ein MBA


Bestimmen Sie die Region des Diagramms, die die maennlichen Beschaeftigten enthaelt, die aelter sind als 45 Jahre und ein MBA haben. Beschreiben Sie die Region, indem Sie die Mengen $A$, $B$ und $C$ mit den Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement verwenden. Lokalisieren Sie auch die Region im Diagramm.

Entscheiden Sie, wo jede Beschreibung der Beschaeftigten im \textbf{Venn-Diagramm} zu finden ist.
Die maennlichen Beschaeftigten gehoeren zur Menge $A$.
Beschaeftigte, die aelter sind als 45 Jahre, gehoeren zur Menge $B$.
Beschaeftigte, die ein MBA haben, gehoeren zur Menge $C$.
Daher gehoeren die maennlichen Beschaeftigten, die aelter sind als 45 Jahre und die ein MBA haben, $A \cap B \cap C$.
Die Regionen I, II, IV und V sind in $A$ enthalten.

Region V repraesentiert den Durchschnitt aller oben aufgelisteten Regionen. $A\cap B \cap C$ ist  in Region V platziert.