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\section{Übungsaufgaben Grenzwerte}
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\subsection{Bestimme, wie sich die Funktion $f$ im Unendlichen verhält}
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\subsubsection{Aufgabe 1}
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\begin{description}
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\item[Verhalten gegen $+{\infty}$ ] \marginpar{Es wird nur die höchste Potenz betrachtet}$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4-x^3=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }x^4=\left(+\infty\right)^4={\infty}$
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\item[Verhalten gegen $-{\infty}$] $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }x^4-x^3=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }x^4=\left(-\infty\right)^4={\infty}$
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\end{description}
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\subsubsection{Aufgabe 2}
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%http://mathenexus.zum.de/html/analysis/grenzwerte/Grenzwertplusminusunend_Ueb.htm
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\begin{description}
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\item[Verhalten gegen $+{\infty}$ ] $\rightarrow $ für $x>0$ \newline\newline
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$f ( x ) = \frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}\frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}$
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\item[Verhalten gegen $-{\infty}$ ]
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$f ( x ) = \frac { 1 } { x } \cdot \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
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\end{description}
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\paragraph{Grenzwerte in der Unendlichkeit mit Quadratwurzeln}
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Da sich obige Aufgabe im negativ Unendlichen nicht so recht erklärt hat hier noch ein paar Ausführungen dazu:
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\begin{itemize}
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\item Wenn $ x $ positiv ist $ x=\sqrt{x^2} $ zum Beispiel, wenn $ x=3 $, dann $ x=3=\sqrt{9} $
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\item Wenn $ x $ negativ ist $ x=-\sqrt{x^2} $ dem gegenüber ist also wenn $ x=-3 $ dann $ x=-3=-\sqrt{9} $
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\end{itemize}
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\textbf{Wichtig}: Man muss sich merken, das wenn $x=-\sqrt{x^2}$ wenn $x \rightarrow -\infty$ ist, muss man automatisch auf die negativen Werte von $x$ schauen muss.
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\textbf{Beispiel 1}: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 x } } { x }$
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Da man hier $x \rightarrow \infty$ untersucht, sind nur positive Werte von $x$ interessant und man nutzt $x=\sqrt{x^2}$.
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$\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 } x } { x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 } x } { \sqrt { x ^ { 2 } } } } { \frac { x } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { \frac { 5 x ^ { 2 } + 2 } { x ^ { 2 } } } } { 1 } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { 5 + \frac { 2 } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { 5 + 0 }=5$
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\textbf{Beispiel 2}: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac { \sqrt { 5 x ^ { 2 } + 2 x } } { x }$ |