\section*{Aufgabe 2}
Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\frac{x-3}{x^2-4} \ln x$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus...

\begin{itemize}
    \item $(2,+\infty)$
    \item $(-\infty,-2)$
    \item $(-2,0)$
    \item $(0,2)$
\end{itemize}

Untersuchung des Nenners (wann gibt es eine Division durch Null):
\begin{align*}
    x^2-4=0 & \qquad \vert{} +4   \\
    x^2=4 & \qquad \vert{} \sqrt{\quad} \\
    x_1=-2 \\
    x_2=2
\end{align*}

Somit sind die Bereiche $(2,+\infty)$ und $(-\infty,-2)$ 

\textcolor{red}{\textbf{Dies stellt mich aber noch nicht zufrieden, das kann einfach nicht alles sein}}

\textcolor{blue}{\textbf{Hier hatte ich im ersten Versuch den Fehler gemacht, das ich das $\ln x$ übersah}}


\begin{figure}[h]
    \centering

    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
        domain=0.1:4.9, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist (z.B. nahe bei 0 und 2 ausgespart)
        samples=100, % Anzahl der Abtastpunkte
        xlabel={$x$},
        ylabel={$f(x)$},
        axis lines=middle,
        xtick={0, 1, 2, 3, 4},
        ytick={-2, -1, 0, 1, 2},
        ymin=-2.5, ymax=2.5,
        xmin=0, xmax=5,
        legend pos=outer north east,
        grid=both,
        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
        minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
        restrict y to domain=-2.5:2.5, % Begrenze y-Werte für bessere Darstellung
    ]
    \addplot [
        domain=0.1:1.9999,
        samples=500,
        thick,
        blue
    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
    \addlegendentry{$\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln(x)$}

    \addplot [
        domain=2.00001:5,
        samples=500,
        thick,
        blue
    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
%    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/Q1_2.png}
    %\caption{Enter Caption}
    \label{fig:enter-label}
\end{figure}



Um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ definiert ist, muss man die Punkte betrachten, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese Punkte sind:

\begin{enumerate}
    \item Nullstellen des Nenners $x^2-4$
    \item Punkte, an denen der Logarithmus $\ln (x)$ nicht definiert ist (insbesondere $x \leq 0$ )
\end{enumerate}

\subsection{Nullstellen des Nenners}
\begin{flalign*}
x^2-4&=0 \\
x^2&=4 \\
x&= \pm 2    
\end{flalign*}


Die Funktion hat also Pole (nicht definierte Punkte) bei $x=2$ und $x=-2$.
2. Definitionsbereich des Logarithmus:
$\ln (x)$ ist nur für $x>0$ definiert.
Zusammenführung der Bedingungen:
- Der Nenner darf nicht null sein: $x \neq 2$ und $x \neq-2$.
- Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert.

Schlussfolgerung:
Die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ ist definiert für $x>0$, ausgenommen $x=2$. Somit sind die Intervalle, in denen die Funktion definiert ist:
$$
(0,2) \cup(2, \infty)
$$

Diese Intervalle umfassen alle Werte, für die der Ausdruck sowohl im Nenner als auch im Logarithmus definiert und nicht null ist.