\begin{itemize}
\item Was ist der Bereich der Funktion $\arcsin \frac{x-2}{3}$ ?
\begin{itemize}
    \item $[-2,3]$
    \item \textcolor{red}{$[-1,5]$}
    \item $[2-3 \pi, 2+3 \pi]$
    \item $[-2,2]$
    \item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
    \item $\left[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right]$
\end{itemize}  
\end{itemize}


%\begin{figure}[h]
%    \centering
%    \includegraphics[width=0.5\linewidth]%{Grafiken/A10.png}
    %\caption{Enter Caption}
    %\label{fig:enter-label}
%\end{figure}

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		domain=-1:5,
		samples=500, 
		axis lines*=middle, 
		xtick={-1,1,2,3,4,5}, ytick={-1.57,1.57}, 
		yticklabels={$-\pi$/2,$\pi$/2}]
		\addplot[color = red]  {asin((x-2)/3)/180*pi};
		\addlegendentry{$\arcsin\left(\frac{x-2}{3}\right)$}
	\end{axis}
\end{tikzpicture}


Um den Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Definitionsbereich der Arkussinusfunktion liegt. Die Arkussinusfunktion, $\arcsin (y)$, ist nur für $-1 \leq y \leq 1$ definiert und ihr Wertebereich ist $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
1. Bedingung für den Argumentbereich von arcsin:
$$
-1 \leq \frac{x-2}{3} \leq 1
$$
2. Lösen der Ungleichung:
Multiplizieren wir alle Teile der Ungleichung mit 3:
$$
-3 \leq x-2 \leq 3
$$

Addieren wir 2 zu allen Teilen der Ungleichung:
$$
-1 \leq x \leq 5
$$

Das bedeutet, dass $x$ im Intervall $[-1,5]$ liegen muss, damit der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Bereich $[-1,1]$ liegt und arcsin definiert ist.
3. Bestimmung des Wertebereichs:
Nun betrachten wir die Extremwerte des Ausdrucks $\frac{x-2}{3}$ :
- Für $x=-1$ :
$$
\frac{-1-2}{3}=\frac{-3}{3}=-1
$$
- Für $x=5$ :
$$
\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1
$$

Die Funktion $\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ nimmt also ihre Extremwerte bei $\arcsin (-1)$ und $\arcsin (1)$ an:
- $\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}$
- $\arcsin (1)=\frac{\pi}{2}$

Da die Arkussinusfunktion stetig und streng monoton ist, nimmt sie alle Werte zwischen diesen Extremwerten an.

Der Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ ist daher:
$$
\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
$$