\section*{Aufgabe 1}

Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\sqrt{2 x-x^3}$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus $\ldots$

		
  \begin{itemize}
			\item $\mathbf{[0, \sqrt{2}]}$
			\item $[\sqrt{2},+\infty)$
			\item $[-\sqrt{2}, 0]$
  		\item $\mathbf{(-\infty,-\sqrt{2}]}$
        \end{itemize}	
        
\subsection*{Bestimmen des Definitionsbereiches}

\begin{flalign*}
f(x) &= \sqrt{2 x-x^3}\\
\sqrt{2 x-x^3} & \geq 0\qquad \vert ^2 \\
2x-x^3 & \geq 0\qquad|  x\text{ ausklammern}\\
x\left(2-x^2\right) & \geq 0\\
x_1 & \geq 0\\
2-x^2 & \geq 0 \qquad \vert -2\\
-x^2 & \geq -2 \qquad \vert \div (-1)\\
x^2 & \leq 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
x_2 & \leq \sqrt{2}\\
x_3 & \leq -\sqrt{2}
\end{flalign*}

Damit ergeben sich die folgenden Intervalle:
\begin{itemize}
    \item $(-\infty,-\sqrt{2}]$
    \item $[0,\sqrt{2}]$
\end{itemize}


\subsection*{Bestimmen der Nullstellen}
\begin{flalign*}
x\left(2-x^2\right) & = 0\\
x_1 &= 0\\
2-x^2 & = 0 \qquad \vert -2\\
-x^2 & = -2 \qquad \vert \div (-1)\\
x^2 & = 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
x_2 & = \sqrt{2}\\
x_3 & = -\sqrt{2}
\end{flalign*}

\vspace{2pt}
\begin{figure}[ht]
    \centering
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
        domain=-4:3, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist
        samples=1000, % Anzahl der Abtastpunkte
        xlabel={$x$},
        ylabel={$y$},
        axis lines=middle,
        xtick={-4,-3,-1.414, 0, 1, 1.414,3},
        xticklabels={-4,-3,-$\sqrt{2}$, 0, 1, $\sqrt{2}$,3},
        ytick={0, 1,2,3},
        ymin=-0.1, ymax=3.5,
        xmin=-4, xmax=3,
        legend pos=outer north east,
        %grid=both,
        %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
        %minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
    ]
    \addplot [
        domain=0:1.414,
        samples=500,
        thick,
        red,
    ] {sqrt(2*x - x^3)};
    \addplot [
        domain=-4:-1,
        samples=500,
        thick,
        red,
    ] {sqrt(2*x - x^3)};
    \addlegendentry{$\sqrt{2x - x^3}$}
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
%		%\caption{}
	\label{fig:q2}
\end{figure}