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@@ -1,3 +1,6 @@
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%!TEX root=Band1.tex
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\chapter{Logik}
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\chapter{Logik}
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Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren.
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Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren.
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@@ -412,7 +415,7 @@ Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen
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\end{center}
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\end{center}
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\end{table}
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\end{table}
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%%%%%%%%%%%%% Ende 17 ###########
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Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie
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Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie
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@@ -433,7 +436,6 @@ Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite di
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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\subsection{Verbindungen von Aussageformen}
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\subsection{Verbindungen von Aussageformen}
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Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.
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Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.
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@@ -442,13 +444,10 @@ Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen.
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$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
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$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
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\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.
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\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.\\
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Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
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Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
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\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.\\
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\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.
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Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,\\
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Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,
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$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
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$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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@@ -468,12 +467,46 @@ Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen.
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\end{beispiel}
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\end{beispiel}
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\begin{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung
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\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung
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"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
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\einrueckungm{30}{"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"'}
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mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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%%%%%%%%%%%%%%% Ende Seite 18 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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Seite 19
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\section{Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung}
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\subsection{Logische Zeichen}
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Wir haben bereits in 3.3.1. einige wesentliche Kurzzeichen, die in der Logik zur Beschreibung von Aussagenverbindungen benutzt werden, angegeben.
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Wir wiederholen:
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$$
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\begin{array}{|ll}
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\bar{p} & - \text { nicht } p \\
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p \wedge q & -p \text { und } q \\
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p \vee q & -p \text { oder } q \\
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p \rightarrow q & - \text { wenn } p, \text { so } q \\
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p \leftrightarrow q & -p \text { genau dann, wenn } q
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\end{array}
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$$
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Die Zeichen ${ }^{-}, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ sind die Kurzzeichen (Funktoren) der Aussagenlogik. Darüber hinaus gibt es jedoch einige Zeichen, die insbesondere für mathematische Aussagen von Bedeutung sind. Dazu betrachten wir noch einmal eine Aussageform $p(x)$ mit dem Bereich $X$ der Variablen $x$.
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Es gibt außer der schon behandelten Möglichkeit, von der Aussageform $p(x)$ zu Aussagen überzugehen (einsetzen konkreter $x=x_1 \in X$ ), noch eine andere Möglichkeit, Aussagen mit Hilfe von $p(x)$ zu bilden. Diese Möglichkeit ergibt sich aus der Tatsache, daß beim Einsetzen spezieller $x=x_1 \in X$ in die Aussageform die drei folgenden Fälle eintreten können:
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1. Alle entstehenden Aussagen sind wahr,
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2. mindestens eine der entstehenden Aussagen ist wahr und mindestens eine ist falsch,
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3. alle entstehenden Aussagen sind falsch.
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Entsprechend definieren wir:
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Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.
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Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.
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Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen
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Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen
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