commit 8ce11973af66f3778cff9cf3d0c28bd3905428f1 Author: Sven Riwoldt Date: Fri Sep 19 20:28:08 2025 +0200 Initial commit diff --git a/.DS_Store b/.DS_Store new file mode 100644 index 0000000..b1f7ae1 Binary files /dev/null and b/.DS_Store differ diff --git a/.ZumEinfuegen.tex.swp b/.ZumEinfuegen.tex.swp new file mode 100644 index 0000000..bda8930 Binary files /dev/null and b/.ZumEinfuegen.tex.swp differ diff --git a/Aussagenverbindungen.tex b/Aussagenverbindungen.tex new file mode 100644 index 0000000..a390eb4 --- /dev/null +++ b/Aussagenverbindungen.tex @@ -0,0 +1,326 @@ +\section{Aussagenverbindungen}\label{s:Aussageverbindungen} +\subsection{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}\label{ss:Aussageverbindungen} + +Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann. + +Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} zuordnen kann. + + +\begin{beispiel} + \label{B.3.4} + \einrueckungm{30}{ + Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen + \begin{itemize} + \item[] $p= $ "`$3 \text { ist eine Primzahl}$"' + \item[] $q= $ "`$10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar}$"' + \end{itemize} + + + + Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden: + + \begin{enumerate}[label={(}\arabic*{)},start=1] + \item $p_1=$ "`$3$ ist keine Primzahl“' + \item $p_2=$ "`$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"' + \item $p_3=$ "`$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"' + \item $p_4=$ "`Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl"' + \item $p_5=$ "`$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"' + \item $p_6=$ "`Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"' + \item $p_7=$ "`$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"' + \end{enumerate} + } +\end{beispiel} + + +Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt: +$$ +\begin{aligned} + & w(p)=W, w(q)=F, \\ + & w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\ + & w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F . +\end{aligned} +$$ +Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel \ref{B.3.4} verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen. + + +\begin{table}[!h] + \caption{\label{tab.3.1}Aussagenverbindungen} + \begin{center} + \begin{tabular}{l|l|l|l} + Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\ + \hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\ + 2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\ + 3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\ + 4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\ + 5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz\index{Ae@""Aquivalenz} \\ + 6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion\index{Disjunktion} \\ + 7 & $p$ weil $q$ & - & - + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + +Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen\index{zweistellige Aussagenverbindungen}\index{Aussagenverbindungen!zweistellige}, da sie je zwei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung\index{einstellige Aussagenverbindung}\index{Aussagenverbindung!einstellige} aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion\index{Disjunktion} werden in der Literatur unterschiedlich verwendet. + +Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden. + + + +\begin{beispiel}\label{B.3.5} + + (Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben): + \begin{flalign} + &(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s) &&\\ + &((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s + \end{flalign} + + + Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken. +\end{beispiel} + + + +Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann \textit{$n$-stellige Aussagenverbindung} nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die \textit{logische Struktur} der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern. + +Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren. auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen + +\begin{enumerate} + \item von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen + und +\end{enumerate} + +und + +\begin{enumerate} + \setcounter{enumi}{1} + \item von der logischen Struktur der Aussagenverbindung. +\end{enumerate} + + +Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen \textit{extensional} (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen \textit{intensionale} Aussagenverbindungen (Intension - Sinn). + +Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle \ref{tab.3.1} werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel "`weil"' eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14]. + +\subsection{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}\label{ss:Wahrheitstabellen} +Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle \ref{tab.3.1} den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben. + + +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.2}Wahrheitstabelle der Negation}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cc} + $p$ & $F$ & $W$\\ + \hline + $\bar{p}$ & $W$ & $F$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + + + + +In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, recht daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthäl links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gil $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an. + + +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.3}Wahrheitstabelle der Konjunktion}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cccc} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + + + +Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten \textcolor{red}{(s. Abschnitt 6.)}. Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch \textit{und} verbundenen Teilaussagen wahr sind. +Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen. + + +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.4}Wahrheitstabelle der Alternative}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cccc} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + + +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.5}Wahrheitstabelle der Implikation}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cccc} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + + +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.6}Wahrheitstabelle der Äquivalenz}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cccc} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + + +\newpage +\begin{table}[!h] + \begin{flushleft} + \caption{\label{tab.3.7}Wahrheitstabelle der Disjunktion}\vspace*{1mm} + + \begin{tabular}{l|cccc} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ + \end{tabular} + \end{flushleft} + +\end{table} + +\begin{aufgabe}\label{aufg:3.1} + \einrueckungm{20}{Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!} +\end{aufgabe} + + +$\mathrm{Zu}$ diesen Tabellen sollen noch einige Bemerkungen gemacht werden. Der \textit{Implikation} wird nur dann der Wahrheitswert $F$ zugeordnet, wenn die erste Teilaussage $p$ (Voraussetzung) wahr, aber die zweite Teilaussage $q$ (Behauptung) falsch ist. + + +\begin{beispiel}\label{B.3.6} + + Die Aussage "`Wenn $3$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' ist offenbar falsch. Die Aussage "`Wenn $4$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' wird dagegen als wahr angesehen. + + +\end{beispiel} + + + + +Bemerkenswert ist auch der Unterschied zwischen \textit{Alternative} und \textit{Disjunktion}. Die Alternative stellt ein einschließendes, die Disjunktion ein ausschließendes oder dar. + +\einrueckungm{10}{ + Betrachten wir noch die folgenden zwei Aussagen + \einrueckungm{20}{ + + $p=$ "`$2 \cdot 2=4$"' oder "`Berlin ist die Hauptstadt der UdSSR"' + + + $q=$ Wenn "`$2 \cdot 2=5$"' ist, so "`ist die Erde ein Planet"' +}} + +Aussagenverbindungen dieser Art sind häufig insbesondere philosophischer Kritik ausgesetzt. Im Sinne der Logik handelt es sich jedoch bei $p$ und $q$ um wahre Aussagen, obwohl diese Aussagenverbindungen rein inhaltlich gesehen völlig sinnlos sind. Im Sinne einer völligen Allgemeinheit der zur Aussagenverbindung zugelassenen Aussagen aus $A_2$ ist es aber legitim, auch Verbindungen der obigen Art zu bilden. + +Es ist zweckmäßig, die Tabellen \ref{tab.3.1} bis \ref{tab.3.7} gut im Gedächtnis zu behalten, da sie Bausteine für nachfolgende Überlegungen sind. + +\subsection{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen} + +Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen (siehe auch Abschnitt 8.), die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung + +\begin{flalign} + &(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3} +\end{flalign} + +wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt. + +Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen. + + +%%%% + + +\begin{table}[!h] + \begin{center} + \caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$} + \begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\ + q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ + r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline + $t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + $u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline + $t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\ + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + + + + +Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie + + +\einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'} + +eine wahre Aussage. + +Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ): + +Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben. + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{ + Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?} + +\end{aufgabe} + + + +\subsection{Verbindungen von Aussageformen} +Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht. + +\begin{beispiel}\label{B.3.7} + + $X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$ + + \begin{enumerate} + \item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'. + + Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$. + + \item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'. + + Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$, + $w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$. + + \end{enumerate} + + Allgemein können wir folgendes feststellen: + + + Man kann zum Beispiel durch + $$ + \begin{aligned} + & \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\ + & p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x) + \end{aligned} + $$ + + Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden. + +\end{beispiel} + + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung + "`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!} +\end{aufgabe} \ No newline at end of file diff --git a/Band1.aux b/Band1.aux new file mode 100644 index 0000000..cea1a57 --- /dev/null +++ b/Band1.aux @@ -0,0 +1,79 @@ +\relax +\providecommand*\new@tpo@label[2]{} +\providecommand \babel@aux [2]{\global \let \babel@toc \@gobbletwo } +\@nameuse{bbl@beforestart} +\catcode `"\active +\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{} +\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{} +\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{} +\providecommand\BKM@entry[2]{} +\babel@aux{german}{} +\BKM@entry{id=1,dest={636861707465722E31},srcline={1}}{5C3337365C3337375C3030305A5C303030755C3030306D5C3030305C3034305C303030415C3030306E5C3030306C5C303030695C303030655C303030675C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030645C303030655C303030735C3030305C3034305C303030425C303030615C3030306E5C303030645C303030655C30303073} +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {1}Zum Anliegen des Bandes}{7}{chapter.1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lol}{\addvspace {10\p@ }} +\BKM@entry{id=2,dest={636861707465722E32},srcline={1}}{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} +\BKM@entry{id=3,dest={73656374696F6E2E322E31},srcline={2}}{5C3337365C3337375C303030415C303030755C303030735C3030305C3034305C303030645C303030655C303030725C3030305C3034305C303030455C3030306E5C303030745C303030775C303030695C303030635C3030306B5C3030306C5C303030755C3030306E5C303030675C303030735C303030675C303030655C303030735C303030635C303030685C303030695C303030635C303030685C303030745C303030655C3030305C3034305C303030645C303030655C303030725C3030305C3034305C3030304D5C303030615C303030745C303030685C303030655C3030306D5C303030615C303030745C303030695C3030306B} +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {2}Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehung zur Praxis}{9}{chapter.2}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lol}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.1}Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik}{9}{section.2.1}\protected@file@percent } +\BKM@entry{id=4,dest={73656374696F6E2E322E32},srcline={1}}{5C3337365C3337375C3030305A5C303030755C3030305C3034305C303030645C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030415C3030306E5C303030775C303030655C3030306E5C303030645C303030755C3030306E5C303030675C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030645C303030655C303030725C3030305C3034305C3030304D5C303030615C303030745C303030685C303030655C3030306D5C303030615C303030745C303030695C3030306B} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2.2}Zu den Anwendungen der Mathematik}{12}{section.2.2}\protected@file@percent } +\BKM@entry{id=5,dest={636861707465722E33},srcline={1}}{5C3337365C3337375C3030304C5C3030306F5C303030675C303030695C3030306B} +\BKM@entry{id=6,dest={73656374696F6E2E332E31},srcline={8}}{5C3337365C3337375C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C3030306E} +\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {3}Logik}{15}{chapter.3}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{lol}{\addvspace {10\p@ }} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3.1}Aussagen}{15}{section.3.1}\protected@file@percent } +\newlabel{B.3.1}{{3.1}{16}{Aussagen}{mybspcount.3.1}{}} +\newlabel{D.3.1}{{3.1}{17}{Aussagen}{mydefcount.3.1}{}} +\BKM@entry{id=7,dest={73656374696F6E2E332E32},srcline={125}}{5C3337365C3337375C303030565C303030615C303030725C303030695C303030615C303030625C3030306C5C303030655C3030305C3034305C303030755C3030306E5C303030645C3030305C3034305C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C303030665C3030306F5C303030725C3030306D5C303030655C3030306E} +\newlabel{B.3.2}{{3.2}{18}{Aussagen}{mybspcount.3.2}{}} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3.2}Variable und Aussageformen}{18}{section.3.2}\protected@file@percent } +\newlabel{B.3.3}{{3.3}{18}{Variable und Aussageformen}{mybspcount.3.3}{}} +\BKM@entry{id=8,dest={73656374696F6E2E332E33},srcline={156}}{5C3337365C3337375C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C3030306E5C303030765C303030655C303030725C303030625C303030695C3030306E5C303030645C303030755C3030306E5C303030675C303030655C3030306E} +\BKM@entry{id=9,dest={73756273656374696F6E2E332E332E31},srcline={157}}{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} +\newlabel{D.3.2}{{3.2}{19}{Variable und Aussageformen}{mydefcount.3.2}{}} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3.3}Aussagenverbindungen}{19}{section.3.3}\protected@file@percent } +\newlabel{s:Aussageverbindungen}{{3.3}{19}{Aussagenverbindungen}{section.3.3}{}} +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.1}Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}{19}{subsection.3.3.1}\protected@file@percent } +\newlabel{ss:Aussageverbindungen}{{3.3.1}{19}{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}{subsection.3.3.1}{}} +\newlabel{B.3.4}{{3.4}{19}{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}{mybspcount.3.4}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.1}{\ignorespaces Aussagenverbindungen}}{20}{table.caption.3}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.1}{{3.1}{20}{Aussagenverbindungen}{table.caption.3}{}} +\BKM@entry{id=10,dest={73756273656374696F6E2E332E332E32},srcline={257}}{5C3337365C3337375C303030575C303030615C303030685C303030725C303030685C303030655C303030695C303030745C303030735C303030745C303030615C303030625C303030655C3030306C5C3030306C5C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030645C303030655C303030725C3030305C3034305C303030655C3030306C5C303030655C3030306D5C303030655C3030306E5C303030745C303030615C303030725C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C3030306E5C303030765C303030655C303030725C303030625C303030695C3030306E5C303030645C303030755C3030306E5C303030675C303030655C3030306E} +\newlabel{B.3.5}{{3.5}{21}{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}{mybspcount.3.5}{}} +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.2}Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}{21}{subsection.3.3.2}\protected@file@percent } +\newlabel{ss:Wahrheitstabellen}{{3.3.2}{21}{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}{subsection.3.3.2}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.2}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Negation}}{22}{table.caption.4}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.2}{{3.2}{22}{Wahrheitstabelle der Negation}{table.caption.4}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.3}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Konjunktion}}{22}{table.caption.5}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.3}{{3.3}{22}{Wahrheitstabelle der Konjunktion}{table.caption.5}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.4}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Alternative}}{22}{table.caption.6}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.4}{{3.4}{22}{Wahrheitstabelle der Alternative}{table.caption.6}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.5}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Implikation}}{22}{table.caption.7}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.5}{{3.5}{22}{Wahrheitstabelle der Implikation}{table.caption.7}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.6}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Äquivalenz}}{23}{table.caption.8}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.6}{{3.6}{23}{Wahrheitstabelle der Äquivalenz}{table.caption.8}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.7}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Disjunktion}}{23}{table.caption.9}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.7}{{3.7}{23}{Wahrheitstabelle der Disjunktion}{table.caption.9}{}} +\newlabel{aufg:3.1}{{3.1}{23}{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}{myaufgcount.3.1}{}} +\newlabel{B.3.6}{{3.6}{23}{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}{mybspcount.3.6}{}} +\BKM@entry{id=11,dest={73756273656374696F6E2E332E332E33},srcline={385}}{5C3337365C3337375C303030575C303030615C303030685C303030725C303030685C303030655C303030695C303030745C303030735C303030745C303030615C303030625C303030655C3030306C5C3030306C5C303030655C3030306E5C3030305C3034305C3030306E5C3030302D5C303030735C303030745C303030655C3030306C5C3030306C5C303030695C303030675C303030655C303030725C3030305C3034305C3030305C3035305C3030306E5C3030303E5C303030325C3030305C3035315C3030305C3034305C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C3030306E5C303030765C303030655C303030725C303030625C303030695C3030306E5C303030645C303030755C3030306E5C303030675C303030655C3030306E} +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.3}Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}{24}{subsection.3.3.3}\protected@file@percent } +\newlabel{gl.3.3}{{3.3}{24}{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}{equation.3.3}{}} +\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3.8}{\ignorespaces Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)$}}{24}{table.caption.10}\protected@file@percent } +\newlabel{tab.3.8}{{3.8}{24}{Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)$}{table.caption.10}{}} +\BKM@entry{id=12,dest={73756273656374696F6E2E332E332E34},srcline={437}}{5C3337365C3337375C303030565C303030655C303030725C303030625C303030695C3030306E5C303030645C303030755C3030306E5C303030675C303030655C3030306E5C3030305C3034305C303030765C3030306F5C3030306E5C3030305C3034305C303030415C303030755C303030735C303030735C303030615C303030675C303030655C303030665C3030306F5C303030725C3030306D5C303030655C3030306E} +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.4}Verbindungen von Aussageformen}{25}{subsection.3.3.4}\protected@file@percent } +\newlabel{B.3.7}{{3.7}{25}{Verbindungen von Aussageformen}{mybspcount.3.7}{}} +\BKM@entry{id=13,dest={6D7961756667636F756E742E332E33},srcline={56}}{5C3337365C3337375C303030535C303030745C303030695C303030635C303030685C303030775C3030306F5C303030725C303030745C303030765C303030655C303030725C3030307A5C303030655C303030695C303030635C303030685C3030306E5C303030695C30303073} +\global\@namedef{scr@dte@chapter@lastmaxnumwidth}{10.85587pt} +\global\@namedef{scr@dte@section@lastmaxnumwidth}{18.26904pt} +\global\@namedef{scr@dte@subsection@lastmaxnumwidth}{26.73907pt} +\@writefile{toc}{\providecommand\tocbasic@end@toc@file{}\tocbasic@end@toc@file} +\gdef \@abspage@last{26} diff --git a/Band1.idx b/Band1.idx new file mode 100644 index 0000000..022eff2 --- /dev/null +++ b/Band1.idx @@ -0,0 +1,17 @@ +\indexentry{Archimedes|hyperpage}{9} +\indexentry{Archimedes|hyperpage}{10} +\indexentry{d'Alembert|hyperpage}{10} +\indexentry{Variable|hyperpage}{18} +\indexentry{Bereich|hyperpage}{18} +\indexentry{Aussageform|hyperpage}{19} +\indexentry{zweiwertige Aussage|hyperpage}{19} +\indexentry{Aussage!zweiwertige|hyperpage}{19} +\indexentry{zweiwertige Aussage|hyperpage}{19} +\indexentry{Aussage!zweiwertige|hyperpage}{19} +\indexentry{Ae@""Aquivalenz|hyperpage}{20} +\indexentry{Disjunktion|hyperpage}{20} +\indexentry{zweistellige Aussagenverbindungen|hyperpage}{20} +\indexentry{Aussagenverbindungen!zweistellige|hyperpage}{20} +\indexentry{einstellige Aussagenverbindung|hyperpage}{20} +\indexentry{Aussagenverbindung!einstellige|hyperpage}{20} +\indexentry{Disjunktion|hyperpage}{20} diff --git a/Band1.log b/Band1.log new file mode 100644 index 0000000..7cabdfd --- /dev/null +++ b/Band1.log @@ -0,0 +1,2072 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.28 (TeX Live 2025) (preloaded format=pdflatex 2025.9.12) 19 SEP 2025 19:16 +entering extended mode + \write18 enabled. + %&-line parsing enabled. +**Band1.tex +(./Band1.tex +LaTeX2e <2025-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2025-08-13> +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrbook.cls +Document Class: scrbook 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script document class (book) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrkbase.sty +Package: scrkbase 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (KOMA-Script-dependent b +asics and keyval usage) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrbase.sty +Package: scrbase 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (KOMA-Script-independent +basics and keyval usage) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrlfile.sty +Package: scrlfile 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (file load hooks) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrlfile-hook.sty +Package: scrlfile-hook 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (using LaTeX hooks) + + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrlogo.sty +Package: scrlogo 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (logo) +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 2022/05/29 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks17 +) +Applying: [2021/05/01] Usage of raw or classic option list on input line 254. +Already applied: [0000/00/00] Usage of raw or classic option list on input line + 370. +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/tocbasic.sty +Package: tocbasic 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (handling toc-files) +\scr@dte@tocline@numberwidth=\skip49 +\scr@dte@tocline@numbox=\box53 +) +Package tocbasic Info: omitting babel extension for `toc' +(tocbasic) because of feature `nobabel' available +(tocbasic) for `toc' on input line 143. +Class scrbook Info: You've used standard option `final'. +(scrbook) This is correct! +(scrbook) Internally I'm using `draft=false'. +(scrbook) If you'd like to set the option with \KOMAoptions, +(scrbook) you'd have to use `draft=false' there +(scrbook) instead of `final', too. +Class scrbook Info: File `scrsize11pt.clo' used instead of +(scrbook) file `scrsize11.clo' to setup font sizes on input line 2710 +. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrsize11pt.clo +File: scrsize11pt.clo 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script font size class option (11pt +) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/typearea.sty +Package: typearea 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (type area) +\ta@bcor=\skip50 +\ta@div=\count275 +\ta@hblk=\skip51 +\ta@vblk=\skip52 +\ta@temp=\skip53 +\footheight=\skip54 +Package typearea Info: These are the values describing the layout: +(typearea) DIV = 10 +(typearea) BCOR = 0.0pt +(typearea) \paperwidth = 597.50793pt +(typearea) \textwidth = 418.25555pt +(typearea) DIV departure = -6% +(typearea) \evensidemargin = 47.2316pt +(typearea) \oddsidemargin = -12.5192pt +(typearea) \paperheight = 845.04694pt +(typearea) \textheight = 595.80026pt +(typearea) \topmargin = -25.16531pt +(typearea) \headheight = 17.0pt +(typearea) \headsep = 20.40001pt +(typearea) \topskip = 11.0pt +(typearea) \footskip = 47.6pt +(typearea) \baselineskip = 13.6pt +(typearea) on input line 1807. +) +\c@part=\count276 +\c@chapter=\count277 +\c@section=\count278 +\c@subsection=\count279 +\c@subsubsection=\count280 +\c@paragraph=\count281 +\c@subparagraph=\count282 +\scr@dte@chapter@maxnumwidth=\skip55 +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\chapter on input line 6076. +\scr@dte@section@maxnumwidth=\skip56 +Class scrbook Info: using compatibility default `runin=bysign' +(scrbook) for `\section on input line 6087. +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\section on input line 6087. +\scr@dte@part@maxnumwidth=\skip57 +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=true' +(scrbook) for `\part on input line 6096. +\scr@dte@subsection@maxnumwidth=\skip58 +Class scrbook Info: using compatibility default `runin=bysign' +(scrbook) for `\subsection on input line 6106. +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\subsection on input line 6106. +\scr@dte@subsubsection@maxnumwidth=\skip59 +Class scrbook Info: using compatibility default `runin=bysign' +(scrbook) for `\subsubsection on input line 6116. +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\subsubsection on input line 6116. +\scr@dte@paragraph@maxnumwidth=\skip60 +Class scrbook Info: using compatibility default `runin=bysign' +(scrbook) for `\paragraph on input line 6127. +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\paragraph on input line 6127. +\scr@dte@subparagraph@maxnumwidth=\skip61 +Class scrbook Info: using compatibility default `runin=bysign' +(scrbook) for `\subparagraph on input line 6137. +Class scrbook Info: using compatibility default `afterindent=bysign' +(scrbook) for `\subparagraph on input line 6137. +\abovecaptionskip=\skip62 +\belowcaptionskip=\skip63 +\c@pti@nb@sid@b@x=\box54 +Package tocbasic Info: omitting babel extension for `lof' +(tocbasic) because of feature `nobabel' available +(tocbasic) for `lof' on input line 7350. +\scr@dte@figure@maxnumwidth=\skip64 +\c@figure=\count283 +Package tocbasic Info: omitting babel extension for `lot' +(tocbasic) because of feature `nobabel' available +(tocbasic) for `lot' on input line 7363. +\scr@dte@table@maxnumwidth=\skip65 +\c@table=\count284 +Class scrbook Info: Redefining `\numberline' on input line 7534. +\bibindent=\dimen148 +) +(./Definitions.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +Package: iftex 2024/12/12 v1.0g TeX engine tests +)) +\Gm@cnth=\count285 +\Gm@cntv=\count286 +\c@Gm@tempcnt=\count287 +\Gm@bindingoffset=\dimen149 +\Gm@wd@mp=\dimen150 +\Gm@odd@mp=\dimen151 +\Gm@even@mp=\dimen152 +\Gm@layoutwidth=\dimen153 +\Gm@layoutheight=\dimen154 +\Gm@layouthoffset=\dimen155 +\Gm@layoutvoffset=\dimen156 +\Gm@dimlist=\toks18 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2025/08/03 v25.12 The multilingual framework for LuaLaTeX, pdfLa +TeX and XeLaTeX +\babel@savecnt=\count288 +LaTeX Encoding Info: Redeclaring text command \ij (encoding OT1) on input li +ne 2045. +LaTeX Encoding Info: Redeclaring text command \IJ (encoding OT1) on input li +ne 2047. +LaTeX Encoding Info: Redeclaring text command \ij (encoding T1) on input lin +e 2049. +LaTeX Encoding Info: Redeclaring text command \IJ (encoding T1) on input lin +e 2050. +LaTeX Encoding Info: Ignoring declaration for text command \ij (encoding ?) +on input line 2051. +LaTeX Encoding Info: Ignoring declaration for text command \IJ (encoding ?) +on input line 2053. +LaTeX Encoding Info: Ignoring declaration for text command \SS (encoding ?) +on input line 2078. +\U@D=\dimen157 +\l@unhyphenated=\language90 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def) +\bbl@readstream=\read2 +\bbl@dirlevel=\count289 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel-german/german.ldf +Language: german 2024/12/10 v2.15 German support for babel (pre-1996 orthograph +y) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/de/babel-german.te +x +Package babel Info: Importing font and identification data for german +(babel) from babel-de-1901.ini. Reported on input line 26. +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/babel-german/germanb.ldf +Language: germanb 2024/12/10 v2.15 German support for babel (pre-1996 orthograp +hy) +Package babel Info: Making " an active character on input line 139. +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2024/02/08 v1.3d Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks19 +\inpenc@posthook=\toks20 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2024/12/21 v2.1c Standard LaTeX package +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty +Package: caption 2023/08/05 v3.6o Customizing captions (AR) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty +Package: caption3 2023/07/31 v2.4d caption3 kernel (AR) +\caption@tempdima=\dimen158 +\captionmargin=\dimen159 +\caption@leftmargin=\dimen160 +\caption@rightmargin=\dimen161 +\caption@width=\dimen162 +\caption@indent=\dimen163 +\caption@parindent=\dimen164 +\caption@hangindent=\dimen165 +Package caption Info: Unknown document class (or package), +(caption) standard defaults will be used. +Package caption Info: \@makecaption = \long macro:#1#2->\@abovecaptionbreak \vs +kip \abovecaptionskip \@abovecaptionbreak \@@makecaption \@firstofone {#1}{#2}\ +@belowcaptionbreak \vskip \belowcaptionskip \@belowcaptionbreak on input line +1175. +) + +Package caption Warning: Unknown document class (or package), +(caption) standard defaults will be used. +See the caption package documentation for explanation. + +\c@caption@flags=\count290 +\c@continuedfloat=\count291 +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.te +x +\pgfutil@everybye=\toks21 +\pgfutil@tempdima=\dimen166 +\pgfutil@tempdimb=\dimen167 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def +\pgfutil@abb=\box55 +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex) +Package: pgfrcs 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +)) +Package: pgf 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 2024/12/31 v1.2e Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2024/08/06 v1.4g Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 2023/12/02 v1.11 sin cos tan (DPC) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 106. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2024/04/13 v1.2c Graphics/color driver for pdftex +)) +\Gin@req@height=\dimen168 +\Gin@req@width=\dimen169 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +Package: pgfsys 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +\pgfkeys@pathtoks=\toks22 +\pgfkeys@temptoks=\toks23 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeyslibraryfil +tered.code.tex +\pgfkeys@tmptoks=\toks24 +)) +\pgf@x=\dimen170 +\pgf@y=\dimen171 +\pgf@xa=\dimen172 +\pgf@ya=\dimen173 +\pgf@xb=\dimen174 +\pgf@yb=\dimen175 +\pgf@xc=\dimen176 +\pgf@yc=\dimen177 +\pgf@xd=\dimen178 +\pgf@yd=\dimen179 +\w@pgf@writea=\write3 +\r@pgf@reada=\read3 +\c@pgf@counta=\count292 +\c@pgf@countb=\count293 +\c@pgf@countc=\count294 +\c@pgf@countd=\count295 +\t@pgf@toka=\toks25 +\t@pgf@tokb=\toks26 +\t@pgf@tokc=\toks27 +\pgf@sys@id@count=\count296 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg +File: pgf.cfg 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +Driver file for pgf: pgfsys-pdftex.def + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.d +ef +File: pgfsys-pdftex.def 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-p +df.def +File: pgfsys-common-pdf.def 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath. +code.tex +File: pgfsyssoftpath.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count297 +\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count298 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol. +code.tex +File: pgfsysprotocol.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +)) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +Package: xcolor 2024/09/29 v3.02 LaTeX color extensions (UK) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration +) +Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 274. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/graphics/mathcolor.ltx) +Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1349. +Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1353. +Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1365. +Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1367. +Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1368. +Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1369. +Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1370. +Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1371. +Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1372. +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +Package: pgfcore 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex +\pgfmath@dimen=\dimen180 +\pgfmath@count=\count299 +\pgfmath@box=\box56 +\pgfmath@toks=\toks28 +\pgfmath@stack@operand=\toks29 +\pgfmath@stack@operation=\toks30 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code. +tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic +.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigo +nometric.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.rando +m.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.compa +rison.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base. +code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round +.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc. +code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integ +erarithmetics.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex +\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count300 +)) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.co +de.tex +File: pgfcorepoints.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@picminx=\dimen181 +\pgf@picmaxx=\dimen182 +\pgf@picminy=\dimen183 +\pgf@picmaxy=\dimen184 +\pgf@pathminx=\dimen185 +\pgf@pathmaxx=\dimen186 +\pgf@pathminy=\dimen187 +\pgf@pathmaxy=\dimen188 +\pgf@xx=\dimen189 +\pgf@xy=\dimen190 +\pgf@yx=\dimen191 +\pgf@yy=\dimen192 +\pgf@zx=\dimen193 +\pgf@zy=\dimen194 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconst +ruct.code.tex +File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@path@lastx=\dimen195 +\pgf@path@lasty=\dimen196 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage +.code.tex +File: pgfcorepathusage.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@shorten@end@additional=\dimen197 +\pgf@shorten@start@additional=\dimen198 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.co +de.tex +File: pgfcorescopes.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfpic=\box57 +\pgf@hbox=\box58 +\pgf@layerbox@main=\box59 +\pgf@picture@serial@count=\count301 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicst +ate.code.tex +File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgflinewidth=\dimen199 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransform +ations.code.tex +File: pgfcoretransformations.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@pt@x=\dimen256 +\pgf@pt@y=\dimen257 +\pgf@pt@temp=\dimen258 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.cod +e.tex +File: pgfcorequick.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.c +ode.tex +File: pgfcoreobjects.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathproce +ssing.code.tex +File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.co +de.tex +File: pgfcorearrows.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfarrowsep=\dimen259 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.cod +e.tex +File: pgfcoreshade.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@max=\dimen260 +\pgf@sys@shading@range@num=\count302 +\pgf@shadingcount=\count303 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.cod +e.tex +File: pgfcoreimage.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal. +code.tex +File: pgfcoreexternal.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfexternal@startupbox=\box60 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.co +de.tex +File: pgfcorelayers.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretranspare +ncy.code.tex +File: pgfcoretransparency.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns. +code.tex +File: pgfcorepatterns.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code. +tex +File: pgfcorerdf.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.cod +e.tex +File: pgfmoduleshapes.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfnodeparttextbox=\box61 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code. +tex +File: pgfmoduleplot.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version +-0-65.sty +Package: pgfcomp-version-0-65 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@nodesepstart=\dimen261 +\pgf@nodesepend=\dimen262 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version +-1-18.sty +Package: pgfcomp-version-1-18 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex) +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +Package: pgffor 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgffor@iter=\dimen263 +\pgffor@skip=\dimen264 +\pgffor@stack=\toks31 +\pgffor@toks=\toks32 +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.cod +e.tex +Package: tikz 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothan +dlers.code.tex +File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@plot@mark@count=\count304 +\pgfplotmarksize=\dimen265 +) +\tikz@lastx=\dimen266 +\tikz@lasty=\dimen267 +\tikz@lastxsaved=\dimen268 +\tikz@lastysaved=\dimen269 +\tikz@lastmovetox=\dimen270 +\tikz@lastmovetoy=\dimen271 +\tikzleveldistance=\dimen272 +\tikzsiblingdistance=\dimen273 +\tikz@figbox=\box62 +\tikz@figbox@bg=\box63 +\tikz@tempbox=\box64 +\tikz@tempbox@bg=\box65 +\tikztreelevel=\count305 +\tikznumberofchildren=\count306 +\tikznumberofcurrentchild=\count307 +\tikz@fig@count=\count308 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.cod +e.tex +File: pgfmodulematrix.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfmatrixcurrentrow=\count309 +\pgfmatrixcurrentcolumn=\count310 +\pgf@matrix@numberofcolumns=\count311 +) +\tikz@expandcount=\count312 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarytopaths.code.tex +File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows. +meta.code.tex +File: pgflibraryarrows.meta.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgfarrowinset=\dimen274 +\pgfarrowlength=\dimen275 +\pgfarrowwidth=\dimen276 +\pgfarrowlinewidth=\dimen277 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarybending.code.tex +File: tikzlibrarybending.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulebending.co +de.tex +File: pgfmodulebending.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulenonlineart +ransformations.code.tex +File: pgfmodulenonlineartransformations.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgftransformnonlinearflatness=\dimen278 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibrarycurvili +near.code.tex +File: pgflibrarycurvilinear.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\pgf@curvilinear@time@a=\dimen279 +\pgf@curvilinear@length@a=\dimen280 +\pgf@curvilinear@length@b=\dimen281 +\pgf@curvilinear@length@c=\dimen282 +\pgf@curvilinear@length@d=\dimen283 +) +\pgf@arrows@the@rigidity=\dimen284 +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarypositioning.code.tex +File: tikzlibrarypositioning.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/circuitikz/circuitikz.sty +Package: circuitikz 2025/07/08{} The CircuiTikz circuit drawing package version + 1.8.2 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarycalc.code.tex +File: tikzlibrarycalc.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibraryfpu.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.cod +e.tex)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcirc.defines.tex +\pgf@circ@count@a=\count313 +\pgf@circ@count@b=\count314 +\pgf@circ@count@c=\count315 +\pgf@circ@res@up=\dimen285 +\pgf@circ@res@down=\dimen286 +\pgf@circ@res@zero=\dimen287 +\pgf@circ@res@left=\dimen288 +\pgf@circ@res@right=\dimen289 +\pgf@circ@res@other=\dimen290 +\pgf@circ@res@step=\dimen291 +\pgf@circ@res@temp=\dimen292 +\pgf@circ@Rlen=\dimen293 +\pgf@circ@scaled@Rlen=\dimen294 +\pgfstartlinewidth=\dimen295 +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircutils.tex +\ctikz@scratchbox=\box66 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircpath.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircshapes.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircmonopoles.tex +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircbipoles.tex +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcirctripoles.tex +\pgf@circ@res@count=\count316 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircquadpoles.tex +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircmultipoles.te +x) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcirclabel.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircvoltage.tex +\pgfcirc@labelshift=\dimen296 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcirccurrent.tex) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/circuitikz/pgfcircflow.tex)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tikz-relay/tikzlibrarycircuits.ee +.IEC.relay.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/circuits/tikzlibrarycircuits.ee.IEC.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibraryarrows.code.tex +File: tikzlibraryarrows.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows. +code.tex +File: pgflibraryarrows.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +\arrowsize=\dimen297 +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/circuits/tikzlibrarycircuits.ee.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/circuits/tikzlibrarycircuits.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibrarydecorations.code.tex +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecoration +s.code.tex +\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen298 +\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen299 +\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen300 +\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen301 +\pgf@decorate@distancetomove=\dimen302 +\pgf@decorate@repeatstate=\count317 +\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen303 +\pgfdecorationsegmentlength=\dimen304 +) +\tikz@lib@dec@box=\box67 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgfli +brarydecorations.markings.code.tex)) +\tikz@lib@circ@count=\count318 +\tikzcircuitssizeunit=\dimen305 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/circuits/p +gflibraryshapes.gates.ee.code.tex)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/circuits/p +gflibraryshapes.gates.ee.IEC.code.tex)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibrary +shapes.geometric.code.tex +File: pgflibraryshapes.geometric.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/base/makeidx.sty +Package: makeidx 2021/10/04 v1.0m Standard LaTeX package +) +\@indexfile=\write4 +\openout4 = `Band1.idx'. + + +Writing index file Band1.idx +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2025-07-12 v7.01o Hypertext links for LaTeX + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +Package: kvsetkeys 2022-10-05 v1.19 Key value parser (HO) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2023-12-04 v1.26 LaTeX kernel commands for general use (HO) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO +) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO) +) +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2025-06-21 v2.57 Cross-referencing by name of section + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/refcount/refcount.sty +Package: refcount 2019/12/15 v3.6 Data extraction from label references (HO) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/gettitlestring/gettitlestring.s +ty +Package: gettitlestring 2019/12/15 v1.6 Cleanup title references (HO) + (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2022-06-15 v3.15 Key value format for package options (HO) +)) +\c@section@level=\count319 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +Package: etoolbox 2025/02/11 v2.5l e-TeX tools for LaTeX (JAW) +\etb@tempcnta=\count320 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/stringenc/stringenc.sty +Package: stringenc 2019/11/29 v1.12 Convert strings between diff. encodings (HO +) +) +\@linkdim=\dimen306 +\Hy@linkcounter=\count321 +\Hy@pagecounter=\count322 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2025-07-12 v7.01o Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +Now handling font encoding PD1 ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO) +) +\Hy@SavedSpaceFactor=\count323 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +File: puenc.def 2025-07-12 v7.01o Hyperref: PDF Unicode definition (HO) +Now handling font encoding PU ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PU +) +Package hyperref Info: Option `final' set `true' on input line 4066. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 4066. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4195. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4200. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4203. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4210. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4215. +Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined. +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4462. +\c@Hy@tempcnt=\count324 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +\Urlmuskip=\muskip17 +Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 4801. +\XeTeXLinkMargin=\dimen307 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO +) +)) +\Fld@menulength=\count325 +\Field@Width=\dimen308 +\Fld@charsize=\dimen309 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6078. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6083. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6086. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6093. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 6096. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6103. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6108. +\Hy@abspage=\count326 +\c@Item=\count327 +\c@Hfootnote=\count328 +) +Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2025-07-12 v7.01o Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count329 +\c@bookmark@seq@number=\count330 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +Package: rerunfilecheck 2025-06-21 v1.11 Rerun checks for auxiliary files (HO) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO) +) +Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2 +84. +) +\Hy@SectionHShift=\skip66 +) + +Class scrbook Warning: Usage of package `parskip' together +(scrbook) with a KOMA-Script class is not recommended. +(scrbook) I'd suggest to use option +(scrbook) `parskip' with one of it's several values. +(scrbook) Nevertheless, using requested +(scrbook) package `parskip' on input line 40. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/parskip/parskip.sty +Package: parskip 2021-03-14 v2.0h non-zero parskip adjustments + +Couldn't patch \@startsection +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcolorbox.sty +Package: tcolorbox 2025/09/09 version 6.8.0 text color boxes + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tools/verbatim.sty +Package: verbatim 2024-01-22 v1.5x LaTeX2e package for verbatim enhancements +\every@verbatim=\toks33 +\verbatim@line=\toks34 +\verbatim@in@stream=\read4 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/environ/environ.sty +Package: environ 2014/05/04 v0.3 A new way to define environments + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/trimspaces/trimspaces.sty +Package: trimspaces 2009/09/17 v1.1 Trim spaces around a token list +) +\@envbody=\toks35 +) +\tcb@titlebox=\box68 +\tcb@upperbox=\box69 +\tcb@lowerbox=\box70 +\tcb@phantombox=\box71 +\c@tcbbreakpart=\count331 +\c@tcblayer=\count332 +\c@tcolorbox@number=\count333 +\l__tcobox_tmpa_box=\box72 +\l__tcobox_tmpa_dim=\dimen310 +\tcb@temp=\box73 +\tcb@temp=\box74 +\tcb@temp=\box75 +\tcb@temp=\box76 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbraster.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbraster.code.tex' version '6.8.0' +\c@tcbrastercolumn=\count334 +\c@tcbrasterrow=\count335 +\c@tcbrasternum=\count336 +\c@tcbraster=\count337 +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbskins.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbskins.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tikzfill/tikzfill.image.sty +Package: tikzfill.image 2023/08/08 v1.0.1 Image filling library for TikZ + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tikzfill/tikzfill-common.sty +Package: tikzfill-common 2023/08/08 v1.0.1 Auxiliary code for tikzfill +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tikzfill/tikzlibraryfill.image.co +de.tex +File: tikzlibraryfill.image.code.tex 2023/08/08 v1.0.1 Image filling library +\l__tikzfill_img_box=\box77 +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbskinsjigsaw.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbskinsjigsaw.code.tex' version '6.8.0' +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbbreakable.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbbreakable.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/pdfcol/pdfcol.sty +Package: pdfcol 2022-09-21 v1.7 Handle new color stacks for pdfTeX (HO) +) +Package pdfcol Info: New color stack `tcb@breakable' = 1 on input line 23. +\tcb@testbox=\box78 +\tcb@totalupperbox=\box79 +\tcb@totallowerbox=\box80 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbhooks.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbhooks.code.tex' version '6.8.0' +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbtheorems.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbtheorems.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2025/06/16 v2.17y AMS math features +\@mathmargin=\skip67 + +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2024/11/17 v2.01 AMS text + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions +\@emptytoks=\toks36 +\ex@=\dimen311 +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols +\pmbraise@=\dimen312 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 2022/04/08 v2.04 operator names +) +\inf@bad=\count338 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 233. +\uproot@=\count339 +\leftroot@=\count340 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 398. +LaTeX Info: Redefining \colon on input line 409. +\classnum@=\count341 +\DOTSCASE@=\count342 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 495. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 498. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 619. +\Mathstrutbox@=\box81 +\strutbox@=\box82 +LaTeX Info: Redefining \big on input line 721. +LaTeX Info: Redefining \Big on input line 722. +LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 723. +LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 724. +\big@size=\dimen313 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 742. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 743. +\macc@depth=\count343 +LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 904. +LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 909. +LaTeX Info: Redefining \smash on input line 939. +LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 969. +LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 970. +\c@MaxMatrixCols=\count344 +\dotsspace@=\muskip18 +\c@parentequation=\count345 +\dspbrk@lvl=\count346 +\tag@help=\toks37 +\row@=\count347 +\column@=\count348 +\maxfields@=\count349 +\andhelp@=\toks38 +\eqnshift@=\dimen314 +\alignsep@=\dimen315 +\tagshift@=\dimen316 +\tagwidth@=\dimen317 +\totwidth@=\dimen318 +\lineht@=\dimen319 +\@envbody=\toks39 +\multlinegap=\skip68 +\multlinetaggap=\skip69 +\mathdisplay@stack=\toks40 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2949. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2950. +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbfitting.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbfitting.code.tex' version '6.8.0' +\tcbfitdim=\dimen320 +\tcb@lowerfitdim=\dimen321 +\tcb@upperfitdim=\dimen322 +\tcb@cur@hbadness=\count350 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcblistingsutf8.code.te +x +Library (tcolorbox): 'tcblistingsutf8.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcblistings.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcblistings.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.sty +\lst@mode=\count351 +\lst@gtempboxa=\box83 +\lst@token=\toks41 +\lst@length=\count352 +\lst@currlwidth=\dimen323 +\lst@column=\count353 +\lst@pos=\count354 +\lst@lostspace=\dimen324 +\lst@width=\dimen325 +\lst@newlines=\count355 +\lst@lineno=\count356 +\lst@maxwidth=\dimen326 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/listings/lstpatch.sty +File: lstpatch.sty 2024/09/23 1.10c (Carsten Heinz) +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/listings/lstmisc.sty +File: lstmisc.sty 2024/09/23 1.10c (Carsten Heinz) +\c@lstnumber=\count357 +\lst@skipnumbers=\count358 +\lst@framebox=\box84 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.cfg +File: listings.cfg 2024/09/23 1.10c listings configuration +)) +Package: listings 2024/09/23 1.10c (Carsten Heinz) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcblistingscore.code.te +x +Library (tcolorbox): 'tcblistingscore.code.tex' version '6.8.0' +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbprocessing.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbprocessing.code.tex' version '6.8.0' +) +\c@tcblisting=\count359 +)) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/listingsutf8/listingsutf8.sty +Package: listingsutf8 2019-12-10 v1.5 Allow UTF-8 in listings input (HO) +)) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbexternal.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbexternal.code.tex' version '6.8.0' +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbmagazine.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbmagazine.code.tex' version '6.8.0' +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbvignette.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbvignette.code.tex' version '6.8.0' + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/librarie +s/tikzlibraryfadings.code.tex +File: tikzlibraryfadings.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfadings +.code.tex +File: pgflibraryfadings.code.tex 2025-08-29 v3.1.11a (3.1.11a) +))) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tcolorbox/tcbposter.code.tex +Library (tcolorbox): 'tcbposter.code.tex' version '6.8.0' +)) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. +)) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrlayer-scrpage.sty +Package: scrlayer-scrpage 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (end user interf +ace for scrlayer) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/koma-script/scrlayer.sty +Package: scrlayer 2025/09/09 v3.48 KOMA-Script package (defining layers and pag +e styles) +Package scrlayer Info: patching LaTeX kernel macro \pagestyle on input line 217 +9. +) +Package scrlayer-scrpage Info: Makeing stand-alone element `pagehead' from +(scrlayer-scrpage) alias to `pageheadfoot' on input line 1106. +) + +Package scrlayer-scrpage Warning: replacing deprecated \clearscrheadfoot by +(scrlayer-scrpage) \clearpairofpagestyles on input line 53. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tools/afterpage.sty +Package: afterpage 2023/07/04 v1.08 After-Page Package (DPC) +\AP@output=\toks42 +\AP@partial=\box85 +\AP@footins=\box86 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +Package: calc 2025/03/01 v4.3b Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count360 +\calc@Bcount=\count361 +\calc@Adimen=\dimen327 +\calc@Bdimen=\dimen328 +\calc@Askip=\skip70 +\calc@Bskip=\skip71 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 86. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 87. +\calc@Ccount=\count362 +\calc@Cskip=\skip72 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +Package: enumitem 2025/02/06 v3.11 Customized lists +\labelindent=\skip73 +\enit@outerparindent=\dimen329 +\enit@toks=\toks43 +\enit@inbox=\box87 +\enit@count@id=\count363 +\enitdp@description=\count364 +) +\mylength=\skip74 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6 +\thm@style=\toks44 +\thm@bodyfont=\toks45 +\thm@headfont=\toks46 +\thm@notefont=\toks47 +\thm@headpunct=\toks48 +\thm@preskip=\skip75 +\thm@postskip=\skip76 +\thm@headsep=\skip77 +\dth@everypar=\toks49 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/xpatch/xpatch.sty +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +Package: expl3 2025-08-13 L3 programming layer (loader) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +File: l3backend-pdftex.def 2025-06-09 L3 backend support: PDF output (pdfTeX) +\l__color_backend_stack_int=\count365 +)) +Package: xpatch 2020/03/25 v0.3a Extending etoolbox patching commands + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty +Package: xparse 2024-08-16 L3 Experimental document command parser +)) +Class scrbook Info: amsthm's \deferred@thm@head patched. +\c@thm=\count366 +\c@thb=\count367 +\c@mydefcount=\count368 +\c@mybspcount=\count369 +\c@myaufgcount=\count370 +\pgf@layerbox@background=\box88 +\pgf@layerboxsaved@background=\box89 + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +Package: booktabs 2020/01/12 v1.61803398 Publication quality tables +\heavyrulewidth=\dimen330 +\lightrulewidth=\dimen331 +\cmidrulewidth=\dimen332 +\belowrulesep=\dimen333 +\belowbottomsep=\dimen334 +\aboverulesep=\dimen335 +\abovetopsep=\dimen336 +\cmidrulesep=\dimen337 +\cmidrulekern=\dimen338 +\defaultaddspace=\dimen339 +\@cmidla=\count371 +\@cmidlb=\count372 +\@aboverulesep=\dimen340 +\@belowrulesep=\dimen341 +\@thisruleclass=\count373 +\@lastruleclass=\count374 +\@thisrulewidth=\dimen342 +) +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/floatrow/floatrow.sty +Package: floatrow 2008/08/02 v0.3b floatrow: float package extension +\c@float@type=\count375 +\float@exts=\toks50 +\float@box=\box90 +\@floatcapt=\box91 +Package floatrow Info: Modified float package code loaded on input line 455. +Package floatrow Info: Modified rotfloat package code loaded on input line 473. + +\FR@everyfloat=\toks51 +\flrow@foot=\insert252 +\FB@wd=\dimen343 +\FBo@wd=\dimen344 +\FBc@wd=\dimen345 +\FBo@ht=\skip78 +\FBc@ht=\skip79 +\FBf@ht=\skip80 +\FBo@max=\skip81 +\FBc@max=\skip82 +\FBf@max=\skip83 +\c@FBl@b=\count376 +\floatbox@depth=\count377 +\c@FRobj=\count378 +\c@FRsobj=\count379 +\Xhsize=\skip84 +\sXhsize=\skip85 +\Zhsize=\skip86 +\sZhsize=\skip87 +\flrow@rowbox=\box92 +\FR@Zunitlength=\dimen346 +\c@FBcnt=\count380 +\FPOScnt=\count381 +\LTleft=\skip88 +\LTright=\skip89 +\LTleft=\skip90 +\LTright=\skip91 +\flrow@types=\toks52 +)) +Class scrbook Info: loading recommended package `bookmark'. +(scrbook) Using `bookmark' together with `hyperref' is recommended, +(scrbook) because of handling of possible bookmark level gaps. +(scrbook) You can avoid loading `bookmark' with KOMA-Script option +(scrbook) `bookmarkpackage=false' before \begin{document} and +(scrbook) you can avoid this message adding: +(scrbook) \usepackage{bookmark} +(scrbook) before \begin{document} on input line 9. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/bookmark/bookmark.sty +Package: bookmark 2023-12-10 v1.31 PDF bookmarks (HO) + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/bookmark/bkm-pdftex.def +File: bkm-pdftex.def 2023-12-10 v1.31 bookmark driver for pdfTeX and luaTeX (HO +) +\BKM@id=\count382 +)) + +LaTeX Warning: Unused global option(s): + [9.5pt]. + +(./Band1.aux +Package babel Info: 'german' activates 'german' shorthands. +(babel) Reported on input line 10. +) +\openout1 = `Band1.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 9. + +*geometry* driver: auto-detecting +*geometry* detected driver: pdftex +*geometry* verbose mode - [ preamble ] result: +* driver: pdftex +* paper: custom +* layout: +* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt) +* modes: twoside heightrounded +* h-part:(L,W,R)=(59.75095pt, 369.88583pt, 54.06006pt) +* v-part:(T,H,B)=(56.9055pt, 569.05513pt, 56.9055pt) +* \paperwidth=483.69684pt +* \paperheight=682.86613pt +* \textwidth=369.88583pt +* \textheight=568.60025pt +* \oddsidemargin=-12.51904pt +* \evensidemargin=-18.20993pt +* \topmargin=-52.7645pt +* \headheight=17.0pt +* \headsep=20.40001pt +* \topskip=11.0pt +* \footskip=47.6pt +* \marginparwidth=89.62619pt +* \marginparsep=12.8401pt +* \columnsep=10.0pt +* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt +* \hoffset=0.0pt +* \voffset=0.0pt +* \mag=1000 +* \@twocolumnfalse +* \@twosidetrue +* \@mparswitchtrue +* \@reversemarginfalse +* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt) + +Package caption Info: Begin \AtBeginDocument code. +Package caption Info: float package is loaded. +Package caption Info: floatrow package is loaded. +Package caption Info: floatrow package is loaded. +Package caption Info: hyperref package is loaded. +Package caption Info: listings package is loaded. +Package caption Info: End \AtBeginDocument code. +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count383 +\scratchdimen=\dimen347 +\scratchbox=\box93 +\nofMPsegments=\count384 +\nofMParguments=\count385 +\everyMPshowfont=\toks53 +\MPscratchCnt=\count386 +\MPscratchDim=\dimen348 +\MPnumerator=\count387 +\makeMPintoPDFobject=\count388 +\everyMPtoPDFconversion=\toks54 +) (/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty +Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf +Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 +85. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg +File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv +e +)) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 9. + +Couldn't patch \deferred@thm@head! +\c@lstlisting=\count389 +Package tocbasic Info: setting babel extension for `lol' on input line 9. +\scr@dte@lstlisting@maxnumwidth=\skip92 +Package scrbase Info: activating german \figurename on input line 9. +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 11. + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 11. + + +(/usr/local/texlive/2025/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B +) + +LaTeX Warning: No \author given. + + + +[1 + + + +{/usr/local/texlive/2025/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}{/usr/loc +al/texlive/2025/texmf-dist/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}] +(./Vorwort.tex + +[2 + + +] + +[3]) + +[4] (./Band1.toc) +\tf@toc=\write5 +\openout5 = `Band1.toc'. + + (./ZumAnliegenDesBandes.tex + +[5 + + +] + +[6 + + +] +chapter 1. + + +[7]) (./Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex + +Package babel Info: 'german' activates 'german' shorthands. +(babel) Reported on input line 1. +[8] +chapter 2. + + +[9 + + +] + +[10]) (./Zu_den_Anwendungen_der_Mathematik.tex + +[11] + +[12]) (./Logik.tex + +[13] + +[14 + + +] +chapter 3. + + +[15] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 30--30 + + [] + + + +[16] + +[17] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--112 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 136--136 + + [] + + + +[18] + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 157. + + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 157. + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 164--164 + + [] + + + +[19] + +[20] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 222--222 + + [] + + + +[21] + +LaTeX Warning: `!h' float specifier changed to `!ht'. + + + +[22] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 355--355 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 362--362 + + [] + + + +[23] + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 385. + + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 385. + + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 385. + + +Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode): +(hyperref) removing `math shift' on input line 385. + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 404--404 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 404--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--405 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 405--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--406 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 406--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 407--407 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 408--408 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 408--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 409--409 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (1.44913pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 F$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--410 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + +Overfull \hbox (4.74934pt too wide) in paragraph at lines 410--411 +[]$\OML/cmm/m/it/10.95 W$| + [] + + + +[24] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 429--429 + + [] + + +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 440--440 + + [] + + + +[25] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 472--472 + + [] + +) + +[26] +No file Band1.ind. +(./Band1.aux) + *********** +LaTeX2e <2025-06-01> patch level 1 +L3 programming layer <2020/03/25> + *********** + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 57076 strings out of 467800 + 1388865 string characters out of 5431882 + 2363375 words of memory out of 5000000 + 84986 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 646220 words of font info for 89 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 115i,21n,110p,11208b,780s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s + + +Output written on Band1.pdf (26 pages, 322903 bytes). +PDF statistics: + 372 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 283 compressed objects within 3 object streams + 75 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 261 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/Band1.odt b/Band1.odt new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Band1.odt @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Band1.pdf b/Band1.pdf new file mode 100644 index 0000000..565b045 Binary files /dev/null and b/Band1.pdf differ diff --git a/Band1.synctex.gz b/Band1.synctex.gz new file mode 100644 index 0000000..1b2fd94 Binary files /dev/null and b/Band1.synctex.gz differ diff --git a/Band1.tex b/Band1.tex new file mode 100644 index 0000000..abfa93b --- /dev/null +++ b/Band1.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +\documentclass[german,9.5pt,final,twoside,titlepage]{scrbook} + + + +\input{Definitions.tex} + + + +\begin{document} + \maketitle + +\input{Vorwort.tex} + +\tableofcontents + +\input{ZumAnliegenDesBandes.tex} + +\input{Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex} + +\input{Zu_den_Anwendungen_der_Mathematik.tex} + +\input{Logik.tex} + +%\input{Aussagenverbindungen.tex} + +%\input{Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex} + + + + + + +%\input{ZumEinfuegen.tex} + + + + + + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%idx extra erzeugen +% +%Ä\index{Ae@""A} +%Ö\index{Oe@""O} +%Ü\index{Ue@""U} + + +% Index soll Stichwortverzeichnis heissen +\newpage +\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis} + +% Stichwortverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen +\addcontentsline{toc}{section}{Stichwortverzeichnis} + +% Stichwortverzeichnis endgueltig anzeigen +\printindex + +\end{document} + diff --git a/Band1.toc b/Band1.toc new file mode 100644 index 0000000..ccdbe40 --- /dev/null +++ b/Band1.toc @@ -0,0 +1,14 @@ +\babel@toc {german}{}\relax +\contentsline {chapter}{\numberline {1}Zum Anliegen des Bandes}{7}{chapter.1}% +\contentsline {chapter}{\numberline {2}Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehung zur Praxis}{9}{chapter.2}% +\contentsline {section}{\numberline {2.1}Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik}{9}{section.2.1}% +\contentsline {section}{\numberline {2.2}Zu den Anwendungen der Mathematik}{12}{section.2.2}% +\contentsline {chapter}{\numberline {3}Logik}{15}{chapter.3}% +\contentsline {section}{\numberline {3.1}Aussagen}{15}{section.3.1}% +\contentsline {section}{\numberline {3.2}Variable und Aussageformen}{18}{section.3.2}% +\contentsline {section}{\numberline {3.3}Aussagenverbindungen}{19}{section.3.3}% +\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.1}Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}{19}{subsection.3.3.1}% +\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.2}Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}{21}{subsection.3.3.2}% +\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.3}Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}{24}{subsection.3.3.3}% +\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.4}Verbindungen von Aussageformen}{25}{subsection.3.3.4}% +\providecommand \tocbasic@end@toc@file {}\tocbasic@end@toc@file diff --git a/Band1eF.odt b/Band1eF.odt new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Band1eF.odt @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Definitions.tex b/Definitions.tex new file mode 100644 index 0000000..a93e7c3 --- /dev/null +++ b/Definitions.tex @@ -0,0 +1,310 @@ +\usepackage[paperheight=240mm,paperwidth=170mm,left=2.1cm,right=1.9cm,top=20mm,bottom=20mm,heightrounded]{geometry} + +\usepackage{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} + +\usepackage{caption} + + + +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary {arrows.meta,bending,positioning} +\usepackage{circuitikz} +\usetikzlibrary{circuits.ee.IEC.relay} +%\usepackage{sanitize-umlaut} + + +% fuer Stichwortverzeichnis +\usepackage{makeidx} + +% Stichwortverzeichnis erstellen +\makeindex + + +\usepackage{graphicx} +%\usepackage{fancyhdr} +%\usepackage{makecell} + +%\reversemarginpar + +% ref packages +%\usepackage{nameref} +% folowing must be in this order +%\usepackage{varioref} +\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref} +%\usepackage{cleveref} + +\usepackage[parfill]{parskip} +%\newcommand{\anf}[1]{"`#1"'} + +\newcommand{\anf}[1]{\glqq#1\grqq} + +%\usepackage{showframe} +\usepackage[most]{tcolorbox} +\usepackage{amsmath,amssymb} + + +\usepackage{scrlayer-scrpage} +\pagestyle{scrheadings} + +%https://www.grund-wissen.de/informatik/latex/seitenlayout.html +\automark[section]{chapter} +\clearscrheadfoot +\ohead{\pagemark} +\ihead{\headmark} + +\newcommand{\einrueckungm}[2]{\begin{addmargin}[#1pt]{0pt} + #2\end{addmargin} +} + +\newcommand{\einrueckung}[1]{\begin{addmargin}[45pt]{0pt} + #1\end{addmargin} +} + +%%%%Leerseite +\usepackage{afterpage} +\newcommand\myemptypage{ + \null + \thispagestyle{empty} + \addtocounter{page}{-1} + \newpage +} + +%%%%Zahl linker Rand + +\newcommand{\liRa}[1]{\marginpar[\raggedleft\Huge{\textbf{#1}}]{\textbf{\Huge{#1}}}} + +%%%%Farbbox +\newtcolorbox{mybox}[1][]{% + %enhanced, + %boxed title style={colback=red, sharp corners}, + colframe = orange!20, + colback = orange!20, + % overlay = {\node[text=white, fill=red] at (frame.east) + % {$\clubsuit$};}, + #1} + +%\usepackage{enumitem,calc} +%\SetLabelAlign{myparleft}{\parbox[t]\textwidth{#1\par\mbox{}}} + +\usepackage{calc} +\usepackage{enumitem} % für liste mit Klammern siehe 3.4 +%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}\usepackage{enumitem} +%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent} + +\newlength{\mylength} + +\newcommand{\ausrichtung}[1]{ % Befehl zur Berechnung der Wortlänge + \settowidth{\mylength}{#1} % Breite des Wortes berechnen und in Längenvariable speichern + \hspace{\mylength}} % wird die Klammer eine Zeile tiefer gesetzt, dann rutscht das nachfolgende um ? nach rechts + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage{amsthm} +\newtheorem{thm}{Theorem}[chapter] +\newtheorem{defn}[thm]{Definition} + +\newtheoremstyle{theorem} +{10pt} +{0pt} +{} +{} +{\bfseries} +{} +{\newline} +{} +\theoremstyle{theorem} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%1. Beispiel +%\newtheoremstyle{break} +%{\topsep}{\topsep}% +%{\itshape}{}% +%{\bfseries}{}% +%{\newline}{}% +%\theoremstyle{break} +%\newtheorem{theorem}{Theorem} +% +%\begin{document} +% +% \begin{theorem}[Some note] + % \lipsum*[2] + % \end{theorem} +% +%\end{document} + +%2. Beispiel +%\newtheoremstyle{side}{}{}{\advance\leftskip3cm\relax\itshape}{} +%{\bfseries}{}{0pt}{% + % \makebox[0pt][r]{% + % \smash{\parbox[t]{2.5cm}{\raggedright\thmname{#1}% + % \thmnumber{\space #2}\thmnote{\newline (#3)}}}% + % \hspace{.5cm}}} +% +%\theoremstyle{side} +%\newtheorem{theorem}{Theorem}[section] +% +%\theoremstyle{definition} +%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition} +% +%\begin{document} +% +% \lipsum[1] +% +% \begin{theorem} + % \lipsum[1] + % \end{theorem} +% +% \begin{theorem}[Euclid] + % \lipsum[2] + % \end{theorem} +% +% \begin{theorem}[Very long name] + % \lipsum[3] + % \end{theorem} +% +% \begin{definition} + % \lipsum[1] + % \end{definition} +% +%\end{document} + + + + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\newtheorem{thb}{Theorem}[chapter] +\newtheorem{bsp}[thb]{Beispiel} + +%https://tex.stackexchange.com/questions/338209/remove-dot-after-theorem-with-amsthm-and-hyperref + +\usepackage{xpatch} +\makeatletter +\AtBeginDocument{\xpatchcmd{\@thm}{\thm@headpunct{.}}{\thm@headpunct{}}{}{}} +\makeatother + +\numberwithin{equation}{chapter} %Numerierung der Formeln mit Kapitelnummer + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Tabellenbreite + +%\usepackage{tabulary} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + + + +%%%%%%Neues Enviroment für Defintion +%% https://tex.stackexchange.com/questions/43495/defining-a-custom-environment-with-per-section-numbering + +\newcounter{mydefcount} +\newcounter{mybspcount} +\newcounter{myaufgcount} + +\newenvironment{definition}{% define a custom environment + \bigskip\noindent% create a vertical offset to previous material + \refstepcounter{mydefcount}% increment the environment's counter + \textbf{Definition \themydefcount}% or \textbf, \textit, ... + +}{\par\bigskip} % create a vertical offset to following material +\numberwithin{mydefcount}{chapter} + +%%%%%%Neues Enviroment für Definition Ende + +\newenvironment{beispiel}{% define a custom environment + \bigskip\noindent% create a vertical offset to previous material + \refstepcounter{mybspcount}% increment the environment's counter + \textbf{Beispiel \themybspcount}\mbox{} + \vspace*{-\baselineskip} + \newline + +}{\par\bigskip} % create a vertical offset to following material +\numberwithin{mybspcount}{chapter} + + +\newenvironment{aufgabe}{% define a custom environment + \bigskip\noindent% create a vertical offset to previous material + \refstepcounter{myaufgcount}% increment the environment's counter + \textbf{* Aufgabe \themyaufgcount}\mbox{} + \vspace*{-\baselineskip} + \newline + +}{\par\bigskip} % create a vertical offset to following material +\numberwithin{myaufgcount}{chapter} + +\title{Grundlagen der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen} + +%%%Pfeile +\pgfdeclarelayer{background} +\pgfsetlayers{background,main} +\newcommand{\bglayer}[1]{% + \begin{pgfonlayer}{background} + \begin{scope}[every picture] + #1 + \end{scope} + \end{pgfonlayer} +} +%%%Pfeile + +\everymath{\displaystyle} + + +%\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}} + + + +%%%Caption in tabelle auch links +\usepackage[singlelinecheck=false % <-- important +]{caption} + +\usepackage{booktabs} +\usepackage{floatrow} % um die caption nach rechts zu setzen + +%Abbildung nach Bild umbenennen +\renewcaptionname{german}{\figurename}{Bild} +%%%%Besipiele +%\renewcaptionname{ngerman}{\contentsname}{Inhalt} +%\renewcaptionname{ngerman}{\listfigurename}{Abbildungen} +%\renewcaptionname{ngerman}{\listtablename}{Tabellen} +%\renewcaptionname{ngerman}{\figurename}{Abb.} +%\renewcaptionname{ngerman}{\tablename}{Tab.} +%%%%%%%% + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Test Caption +%\makeatletter +%\newcommand{\captionabove}[2][]{% + % \vskip-\abovecaptionskip + % \vskip+\belowcaptionskip + % \ifx\@nnil#1\@nnil + % \caption{#2}% + % \else + % \caption[#1]{#2}% + % \fi + % \vskip+\abovecaptionskip + % \vskip-\belowcaptionskip + %} + +% If \captionof is required: +% Usage: \captionaboveof[]{table}{} +%\newcommand{\captionaboveof}[3][]{% + % \vskip-\abovecaptionskip + % \vskip+\belowcaptionskip + % \def\@captype{#2}% + % \ifx\@nnil#1\@nnil + % \caption{#3}% + % \else + % \caption[#1]{#3}% + % \fi + % \vskip+\abovecaptionskip + % \vskip-\belowcaptionskip + %} +%\makeatother +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Test Caption \ No newline at end of file diff --git a/Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex b/Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex new file mode 100644 index 0000000..fc59db9 --- /dev/null +++ b/Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +\chapter{Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehung zur Praxis} +\section{Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik} +Die Geschichte der Mathematik ist eng mit der der menschlichen Gesellschaft verknüpft. Ferner bestimmen einige bedeutende Mathematiker durch ihre richtungweisenden Ideen und Entdeckungen die Entwicklung der Mathematik entscheidend. Die Mathematik gehört - neben Philosophie, Medizin und Astronomie - zu den ältesten Wissenschaften. Sie erreichte schon im 2. Jahrtausend v. u. Z. in Ägypten und Mesopotamien, aber auch im alten China und Indien einen beachtlichen Reifegrad. Die verwendeten Zahlensysteme standen im engen Zusammenhang mit kommerziellen und militärischen Interessen sowie mit Verwaltungsproblemen. Man kannte Verfahren zur Lösung von Gleichungen, sogar höheren Grades. Die Geometrie diente dem Errichten von Bauwerken, der Feldvermessung und der Orientierung am Himmel. Doch handelte es sich um eine rezeptartige, noch nicht auf Beweisen von explizit angeführten Sätzen aufbauende Mathematik. + +Erst mit der Herausbildung der antiken Sklavenhaltergesellschaft im alten Griechenland wurde die Mathematik im 6.-5. Jh. v. u. Z. zu einer selbständigen Wissenschaft mit eigenen Methoden und Beweisverfahren; auf dieser Grundlage schuf Euklid (365?-300? v. u. Z.) mit seinen ,„Elementen“ (um 325 v. u. Z.) eine bewunderungswürdige Darstellung des damaligen mathematischen Kenntnisstandes. Mit Archimedes\index{Archimedes} (287?-212 v. u. Z.), dem in Geometrie und Mechanik große Entdeckungen gelangen, erreichte die Mathematik der Antike während der hellenistischen Periode ihren Höhepunkt. + +Zur Zeit der Herrschaft der Römer und in der feudalistischen Gesellschaft gab es in Europa keine nennenswerten mathematischen Entwicklungen, während die Mathematik vor allem in Indien und in den Ländern des Islam zu einer hohen Blüte gelangte ; viele Teilergebnisse - darunter die indisch-arabischen Ziffern - gelangten seit dem 12./13. Jh. in die Länder des europäischen Feudalismus, in denen bis dahin nur ein sehr bescheidenes wissenschaftliches, darunter auch mathematisches Niveau geherrscht hatte. + +Erst mit der Entwicklung von Elementen des Frühkapitalismus in Europa bildeten sich, insbesondere seit dem 16. Jh., günstige Bedingungen für die Übernahme des antiken mathematischen Erbes und für dessen selbständige Weiterentwicklung durch die Europäer heraus. Die Trigonometrie entwickelte sich zu einer selbständigen mathematischen Disziplin. Die Durchbildung der Rechenmethoden machte große Fortschritte; von den sog. Rechenmeistern wurde in Deutschland A. Ries (1492-1559) am bekanntesten, der im Erzgebirge wirkte. Reichlich ein Jahrhundert später wurden die ersten Maschinen für die Grundrechenarten entwickelt (Schickard (1592-1635), Pascal (1623-1662), Leibniz (1646-1716)). + +Das Gedankengut der rationalistischen philosophischen Systeme und der Aufklärung sowie die bürgerliche Revolution brachten im 16. und 17. Jahrhundert mit der Überwindung der feudalistischen Gesellschaftsordnung und der diese Ordnung rechtfertigenden Ideologien auch den Naturwissenschaften und der Mathematik wieder Geltung und Bedeutung. Descartes (1596-1650) begründete den modernen Rationalismus auf der mathematischen Grundlage der von Galilei (1564-1642) geformten Naturwissenschaften. Er gilt auch als Begründer der analytischen Geometrie. +Die Herausbildung der infinitesimalen Methoden erfolgte in engem Zusammenhang mit der geistigen Bewältigung des Bewegungsproblems in Physik (G. Galilei) und Himmelsmechanik (J. Kepler). Im Anschluß an die Ergebnisse von Archimedes\index{Archimedes} und durch sehr mühsame Gedankenarbeit im 16. und zu Anfang des 17. Jahrhunderts vermochten es I. Newton (1643-1727) und G. W. Leibniz im letzten Drittel des 17. Jahrhunderts, unabhängig voneinander die Methoden der Differential- und Integralrechnung durchzubilden. Während Newton, der als einer der bedeutendsten Forscher auf den Gebieten der Mathematik, Mechanik und Astronomie gilt, mit Hilfe dieses neu entwickelten mathematischen Werkzeuges den Aufbau der klassischen Mechanik und seine "`Mathematischen Prinzipien der Naturwissenschaften"' (1687) vollenden konnte, setzten sich die geschickteren Bezeichnungen von Leibniz rasch durch. Die "`Infinitesimalmathematik"' wurde im 18. Jh. in den Händen der Gebrüder Johann (1667-1748) und Jakob Bernoulli (1645-1705) und L. Eulers (1707-1783), der in Berlin und Petersburg wirkte, zu einem weitreichenden Mittel zur Bewältigung schwieriger Probleme der Mechanik, der Himmelsmechanik, der Optik, des Artilleriewesens, der Seeschiffahrt und vieler anderer praktischer Anwendungen. + +Die neue Geltung und Anerkennung der Mathematik und der Naturwissenschaften kam u. a. auch bei J. L. d'Alembert\index{d'Alembert} (1717-1783) und in der großen französischen Encyclopédie zum Ausdruck. + +Nach der französischen bürgerlichen Revolution (1789) setzte insbesondere in den von der industriellen Revolution erfaßten Ländern Europas ein bedeutender Aufschwung in der Mathematik ein. Bei der Grundlegung der Analysis, in Algebra, in darstellender, analytischer und projektiver Geometrie sowie bei der Nutzbarmachung der Mathematik für Anwendungen in Technik und Naturwissenschaften wurden bedeutende Fortschritte erzielt. J. Lagrange (1736-1813), P. S. Laplace (1749-1827), A. Legendre (1752-1833), G. Monge (1746-1818), J. Fourier (1768-1830), A. Cauchy (1789-1857), J. V. Poncelet (1788-1867) u. a. leisteten hier und auf anderen mathematischen Gebieten Hervorragendes; viele Mathematiker nahmen aktiv am gesellschaftlichen Leben ihrer bewegten Zeit teil. Sie haben zudem große Verdienste bei der Neugestaltung der mathematischen Ausbildung. + +Der deutsche Mathematiker C. F. Gauß (1777-1855) lieferte am Ende des 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts hervorragende Beiträge zur Entwicklung der Mathematik. Er bereicherte sie um zahlreiche neue Verfahren und Theorien und überwand viele ungelöste Probleme. Seine Forschungen waren dabei an Anwendungen in der Geodäsie, der Astronomie und der mathematischen Physik orientiert. + +Von der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Ausbruch des ersten Weltkrieges traten insbesondere die Mathematiker aus den Ländern hervor, in denen sich Kapitalismus und Industrialisierung am weitesten entwickelt hatten. Genannt seien: G. Boole (1815-1869), A. Cayley (1821-1895) und R. Hamilton (1805-1865) in Großbritannien, C. Jordan (1838-1922) und H. Poincaré (1854-1912) aus Frankreich, K. Weierstraß (1815-1897), B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831 bis 1916) und F. Klein (1849-1925) aus Deutschland, S. Lie (1842-1899) aus Norwegen, E. Beltrami (1835-1900) und G. Peano (1858-1932) aus Italien, Ch. S. Peirce (1839-1914) aus den USA sowie N. I. Lobatschewski (1792-1856) und P. L. Tschebyscheff (1821-1894) aus Rußland. Für die Begründung wichtiger Gebiete und Auffassungen in der modernen Mathematik sind die grundlegenden Ideen von G. Cantor (1845-1918) und D. Hilbert (1862-1943) aus Deutschland sowie die des polnischen Mathematikers St. Banach (1892-1945) zu großer Bedeutung gelangt. +Nach der Großen Sozialistischen Oktoberrevolution (1917) nahmen die mathematischen Forschungen in der Sowjetunion einen ungeheuren Aufschwung. Die gesellschaftliche und wirtschaftliche Entwicklung in diesem Lande ermöglichte es, daß heute die sowjetischen Mathematiker zu den führenden in der ganzen Welt zählen und ihre Ergebnisse und Leistungen Entwicklungsrichtungen der modernen Mathematik bestimmen. Auch in der DDR wurde die Bedeutung der Mathematik durch die Partei- und Staatsführung erkannt, was sich in einer großzügigen Förderung der mathematischen Forschung und Ausbildung äußert. + + +Dieser kurze Abriß zeigt, daß vorwiegend in den fortschrittlichen Gesellschaftsordnungen einer Epoche die Mathematik durch bedeutende Entdeckungen erweitert und bereichert wird. \ No newline at end of file diff --git a/Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex b/Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..90b9303 --- /dev/null +++ b/Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex @@ -0,0 +1,179 @@ +\section{Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung} +\subsection{Logische Zeichen} +Wir haben bereits in \ref{ss:Aussageverbindungen} einige wesentliche Kurzzeichen, die in der Logik zur Beschreibung von Aussagenverbindungen benutzt werden, angegeben. +Wir wiederholen: + + + +{\setlength\arrayrulewidth{3pt} + \begin{tabular}{l|l} + & \parbox{0.2\linewidth}{$\begin{array}{lcl}\bar{p} & -& \text {nicht } p \\ p \wedge q & -&p \text { und } q \\ p \vee q & -& p \text { oder } q \\ p \rightarrow q & -& \text {wenn } p, \text { so } q \\ p \leftrightarrow q & -& p \text { genau dann, wenn } q\end{array}$ \\ } + +\end{tabular}} + +Die Zeichen - $, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ sind die Kurzzeichen (\textit{Funktoren}) der Aussagenlogik. Darüber hinaus gibt es jedoch einige Zeichen, die insbesondere für mathematische Aussagen von Bedeutung sind. Dazu betrachten wir noch einmal eine Aussageform $p(x)$ mit dem Bereich $X$ der Variablen $x$. + +Es gibt außer der schon behandelten Möglichkeit, von der Aussageform $p(x)$ zu Aussagen überzugehen (einsetzen konkreter $x=x_1 \in X$ ), noch eine andere Möglichkeit, Aussagen mit Hilfe von $p(x)$ zu bilden. Diese Möglichkeit ergibt sich aus der Tatsache, daß beim Einsetzen spezieller $x=x_1 \in X$ in die Aussageform die drei folgenden Fälle eintreten können: + +\begin{enumerate} + \item Alle entstehenden Aussagen sind wahr, + \item mindestens eine der entstehenden Aussagen ist wahr und mindestens eine ist falsch, + \item alle entstehenden Aussagen sind falsch. +\end{enumerate} + +Entsprechend definieren wir: + + +\begin{definition}\label{D.3.3} + \begin{description} + \item{(a)} $q=(\forall x) p(x)$, gelesen: ,Für jedes $x$ gilt $p(x)^{\text {“, }}$, ist eine \marginpar[\textbf{D.3.3}]{\textbf{D.3.3}}zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert $W$ besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine wahre Aussage darstellt. Das Symbol $\forall$ heißt \textbf{Allquantor}. + + \item{(b)} $r=(\exists x) p(x)$, gelesen: "`Es existiert ein $x$ so, da $\beta p(x)$ gilt "', ist eine zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert F besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine falsche Aussage darstellt. Das Symbol $\exists$ heißt \textbf{Existenzquantor}. + \item{(c)} $s=(\mathrm{N} x) p(x)=(\forall x) \overline{p(x)}$, gelesen: "`Für kein $x$ gilt $p(x)$"'. $\mathrm{N}$ heißt \textbf{Nullquantor} und kann leicht auf den \textbf{Allquantor} zurückgeführt werden. + \end{description} +\end{definition} + + +\begin{beispiel}\label{B.3.8} + \einrueckungm{25}{ + \begin{description} + \item[] $p(x)=$ "`$x$ ist eine gerade Zahl“', + \item[] $q(x)=$"`Das Quadrat von $x$ ist nicht negativ"', + \item[] $X=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4, \ldots\}=G \quad$ (Menge der ganzen Zahlen). + \end{description} + } + Dann gilt: + \einrueckungm{25}{ + \begin{description} + \item[] $w((\forall x) p(x))=F$, denn z. B. $x=1$ ist eine ungerade Zahl; + \item[] $w((\exists x) p(x))=W$, denn z. B. $x=2$ ist eine gerade Zahl; + \item[] $w((\forall x) q(x))=W$, denn das Quadrat einer ganzen Zahl ist nicht negativ; + \item[] $w((\exists x) q(x))=W$ ist eine Folgerung von $w((\forall x) q(x))=W$. + \end{description} + } +\end{beispiel} + +Die oben genannten Zeichen -- $\vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow$ bilden gemeinsam mit den beiden Quantoren $\forall, \exists$ eine Zeichenmenge, mit der man (unter Zuhilfenahme von Klammern) die Aussagen, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften vorkommen, formalisiert darstellen und auf ihren Wahrheitsgehalt untersuchen kann. + + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{- Es werden folgende Aussageformen betrachtet: + $$ + \begin{array}{ll} + q(x)=,, x \text { ist eine Primzahl"; } & r(x)=,, x \text { ist durch } 2 \text { teilbar"; } \\ + s(x)=,, x \text { ist durch } 3 \text { teilbar"; } & t(x)=,, x \text { ist durch } 6 \text { teilbar". } + \end{array} + $$ + + Dabei ist $x$ eine natürliche Zahl, $x \geqq 1$. + Man formuliere die folgenden Aussagen verbal und untersuche, ob sie wahr sind: + + \begin{enumerate} + + \item $(\forall x) r(x) \rightarrow \bar{q}(x)$; + \item $(\forall x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x) \rightarrow q(x)$; + \item $(\forall x) q(x) \rightarrow \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)$; + \item $(\forall x) r(x) \wedge s(x) \leftrightarrow t(x)$; + \item $(\exists x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)\rightarrow q(x)$. + \end{enumerate} + } +\end{aufgabe} + + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{ + Man stelle die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole dar: + \begin{description} + \item[a)] Zu einer beliebigen natürlichen Zahl läßt sich immer eine größere Zahl finden, die Primzahl ist. + \item[b)] Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer als null. + \end{description} + + Man bilde die Verneinung der durch b) formulierten Aussage! + } +\end{aufgabe} + +\subsection{Technische Realisierung der logischen Zeichen} + +Eine wichtige technische Anwendung der Logik ist die Beschreibung von \textit{Schaltkreisen}. So machte Ehrenfest bereits 1910 darauf aufmerksam, daß man die mathematische Logik auf \textit{Relaiskontaktschaltungen} anwenden könne. Die Anwendung begann jedoch erst in den dreißiger Jahren mit den Arbeiten von Shannon. Es entstand die \textit{Schaltalgebra} als mathematische Grundlage für die logischen Schaltungen und speziell für die digitalen Rechenautomaten. + +Betrachten wir einen Stromkreis, der durch Schalter geöffnet werden kann. Dann läßt sich leicht die folgende zweiwertige Aussage definieren + +\einrueckungm{30}{ + $p=$ "`Der Stromkreis ist geschlossen"' $=$ "`Es fließt Strom"'} + +Dabei ist $w(p) \in\{W, F\}$, wobei $W$ dem geschlossenen, $F$ dem geöffneten Stromkreis entspricht. + +Wir wollen jetzt die Wahrheitstabellen (Wahrheitswertfunktionen) der grundlegenden Verknüpfungen (Aussagenverbindungen) durch Schaltungen technisch realisieren. + +In Bild \ref{bild:b01} und Bild \ref{bild:b02} haben wir jeweils zwei Schalter, wobei + +\einrueckungm{30}{ + $p_1=$"`Der Schalter $1$ ist geschlossen"', + + $p_2=$"`Der Schalter $2$ ist geschlossen"' +} + + +wie oben zweiwertige Aussagen sind. Eine Glühlampe $G$ zeigt an, ob der Stromkreis geschlossen oder offen ist. Für die Schaltung aus Bild \ref{bild:b01} gilt + +$$ +w(p)=\left\{\begin{array}{l} + W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { oder } w\left(p_2\right)=W \\ + F \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=F \text { und } w\left(p_2\right)=F . +\end{array}\right. +$$ + +Damit ist $p$ also eine Aussagenverbindung von $p_1, p_2$, deren Wahrheitsverhalten mit dem der "`\textit{oder}"'-\textit{Verbindung} (\textit{Alternative}) übereinstimmt. Die \textit{Parallelschaltung} aus Bild \ref{bild:b01} realisiert die Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $p=p_1 \vee p_2$. + + +\begin{figure}[ht] + \floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth] + {\caption{$p=p_1 \vee p_2$ (Alternative)}\label{bild:b01}} + {\input{Grafiken/Band1G01.tikz}} +\end{figure} + + +\begin{figure}[ht] + \floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth] + {\caption{$p=p_1 \wedge p_2($ Konjunktion $)$}\label{bild:b02}} + {\input{Grafiken/Band1G02.tikz}} +\end{figure} + +Für die Reihenschaltung der Schalter $1$ und $2$ aus Bild \ref{bild:b02} können wir uns leicht überlegen, daß der Wahrheitswert der Aussage $p=$"`Der Stromkreis ist geschlossen"' +$$ +w(p)=\left\{\begin{array}{l} + W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { und } w\left(p_2\right)=W \\ + F \text { sonst } +\end{array}\right. +$$ + + +ist. Wir sehen also Übereinstimmung mit der Wahrheitstabelle der Konjunktion, und deshalb realisiert die Reihenschaltung aus Bild \ref{bild:b02} die Wahrheitstabelle einer Konjunktion, + +\einrueckungm{30} +{$p=p_1 \wedge p_2.$ +} + +Das Wahrheitsverhalten der \textit{Negation}, also einer einstelligen Aussagenverbindung, läßt sich schaltungstechnisch durch einen \textit{Ruhekontakt} (Bild \ref{bild:b03}) realisieren. + +\begin{figure}[ht] + \floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth] + {\caption{$p=\bar{q}$ (Negation)}\label{bild:b03}} + {\input{Grafiken/Band1G03.tikz}} +\end{figure} + +Durch Betrachtung von Bild \ref{bild:b03} sehen wir, der Stromkreis mit der Glühlampe $G$ ist geschlossen, falls der Schalter 1 geöffnet ist und umgekehrt. Es ist also +$$ +w(p)= \begin{cases}W, & \text { falls } w(q)=F \\ F, & \text { falls } w(q)=W .\end{cases} +$$ +Deshalb gilt: $p=\bar{q}$. + +Für die Konstruktion von komplizierten elektronischen Schaltungen ist es notwendig, die Wahrheitstabellen $n$-stelliger Aussagenverbindungen schaltungstechnisch zu realisieren, insbesondere auch die der anderen Aussagenverbindungen Implikation, Äquivalénz, Entweder-oder-Verbindung, Sheffersche und Nicodsche Funktion. Ohne auf die Theorie hier näher einzugehen, wollen wir ein grundlegendes und für die Technik äußerst wichtiges Ergebnis formulieren, welches sich im Rahmen der mathematischen Logik beweisen läßt. + +Jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion (Wahrheitstabelle) läßt sich aus den Wahrheitswertfunktionen der Negation, Konjunktion und Alternative (Tabellen \ref{tab.3.2}, \ref{tab.3.3}, \ref{tab.3.4}) durch gewisse Operationen gewinnen. Es ist darüber hinaus sogar möglich, allein mit Hilfe der Wahrheitswertfunktion der Shefferschen bzw. der Nicodschen Funktion (Aufgabe \ref{aufg:3.1}) jede beliebige andere $n$-stellige Wahrheitswertfunktion darzustellen. + +Da sich die Operationen, die für die Darstellungen notwendig sind, schaltungstechnisch gut realisieren lassen, bedeutet dies, daß wir allein mit den drei angegebenen Grundschaltungen (Bilder \ref{bild:b01}, \ref{bild:b02}, \ref{bild:b03}) als Bausteine jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion technisch realisieren können. + +Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben. + +Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen diff --git a/Grafiken/3.1.png b/Grafiken/3.1.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/3.1.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/3.2.png b/Grafiken/3.2.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/3.2.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/3.3.png b/Grafiken/3.3.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/3.3.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/3.4.png b/Grafiken/3.4.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/3.4.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/3.5.png b/Grafiken/3.5.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/3.5.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.1.ggb b/Grafiken/4.1.ggb new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.1.ggb @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.1.png b/Grafiken/4.1.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.1.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.1.tikz b/Grafiken/4.1.tikz new file mode 100644 index 0000000..2a16b27 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.1.tikz @@ -0,0 +1,26 @@ +\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0} +\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1} +\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1} +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.5,every node/.style={transform shape}] %every node/.style={scale=0.6}] +\draw [shift={(-2.7242408994434544,3.0104836026458477)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.38083625827915:0.6338613605662275) arc (-99.38083625827915:-38.66936949066439:0.6338613605662275) -- cycle; +\draw [shift={(2.72,3.01)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-141.5071791356825:0.6338613605662275) arc (-141.5071791356825:-80.76373611879568:0.6338613605662275) -- cycle; +\draw [line width=0.4pt] (0,0) circle (4.060110835925542cm); +\draw [line width=0.4pt] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504); +\draw [line width=0.4pt] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472)-- (-2.7242408994434544,3.0104836026458477); +\draw [line width=0.4pt] (-2.7242408994434544,3.0104836026458477)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504); +\draw [line width=0.4pt] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472)-- (2.72,3.01); +\draw [line width=0.4pt] (2.72,3.01)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504); +\draw (-0.1651296409379702,4.902044906250167) node[anchor=north west] {$K$}; +\begin{scriptsize} +\draw [fill=xdxdff] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-4.179584924524078,-2.2288954001198484) node {$P_1$}; +\draw [fill=xdxdff] (3.534394591307023,-1.998137851335504) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (4.1,-2.1866379760821) node {$P_2$}; +\draw [fill=xdxdff] (-2.7242408994434544,3.0104836026458477) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-3.080891899542617,3.5181142690139127) node {$P_3$}; +\draw [fill=ududff] (2.72,3.01) circle (2.5pt); +\draw[color=ududff] (3.0675632979497904,3.581500405070535) node {$P_4$}; +\draw[color=qqwuqq] (-2.4,2.) node {$\alpha$}; +\draw[color=qqwuqq] (2.3,2) node {$\beta$}; +\end{scriptsize} +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.1.ggb b/Grafiken/4.2.1.ggb new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.1.ggb @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.1.tikz b/Grafiken/4.2.1.tikz new file mode 100644 index 0000000..0b4a0a4 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.1.tikz @@ -0,0 +1,35 @@ +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.15} +\usepackage{mathrsfs} +\usetikzlibrary{arrows} +\pagestyle{empty} +\begin{document} +\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1} +\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0} +\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1} +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm] +\clip(-23.214764908184208,-10.253395813186337) rectangle (8.7097046071515,15.648098489019173); +\draw [shift={(-8.246248844808852,6.01667363049191)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-96.25844997787505:0.810265723739485) arc (-96.25844997787505:-39.07103262709506:0.810265723739485) -- cycle; +\draw [shift={(-2.3610081982594364,7.748692699038387)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-136.89662759360516:0.810265723739485) arc (-136.89662759360516:-95.83127105980758:0.810265723739485) -- cycle; +\draw [line width=2pt] (-5.818234449125059,3.6211878893314746) circle (3.410807212633205cm); +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-8.246248844808852,6.01667363049191); +\draw [line width=2pt] (-8.246248844808852,6.01667363049191)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\draw (-5.929096135075196,8.355706975363816) node[anchor=north west] {$K$}; +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-2.3610081982594364,7.748692699038387); +\draw [line width=2pt] (-2.3610081982594364,7.748692699038387)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\begin{scriptsize} +\draw [fill=xdxdff] (-8.707707908908976,1.808855423431506) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-9.170159030033137,1.6440058970550886) node {$P_1$}; +\draw [fill=xdxdff] (-2.974945793144921,1.7372251878627458) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-2.607006667743308,1.2388730351853465) node {$P_2$}; +\draw [fill=xdxdff] (-8.246248844808852,6.01667363049191) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-8.683999595789444,6.85671538644577) node {$P_3$}; +\draw[color=qqwuqq] (-7.387574437806268,5.047121936760922) node {$\alpha$}; +\draw [fill=ududff] (-2.3610081982594364,7.748692699038387) circle (2.5pt); +\draw[color=ududff] (-2.066829518583651,8.423229119008774) node {$P_4$}; +\draw[color=qqwuqq] (-2.552988952827342,6.613635669323925) node {$\beta$}; +\end{scriptsize} +\end{tikzpicture} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.2.ggb b/Grafiken/4.2.2.ggb new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.2.ggb @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.2.tikz b/Grafiken/4.2.2.tikz new file mode 100644 index 0000000..d20b8ba --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.2.tikz @@ -0,0 +1,35 @@ +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.15} +\usepackage{mathrsfs} +\usetikzlibrary{arrows} +\pagestyle{empty} +\begin{document} +\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1} +\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0} +\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1} +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm] +\clip(-23.214764908184208,-10.253395813186337) rectangle (8.7097046071515,15.648098489019173); +\draw [shift={(-8.246248844808852,6.01667363049191)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-96.25844997787505:0.810265723739485) arc (-96.25844997787505:-39.07103262709506:0.810265723739485) -- cycle; +\draw [shift={(-3.5793255362306895,4.4664315014142915)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-152.60638354825537:0.810265723739485) arc (-152.60638354825537:-77.51342206975316:0.810265723739485) -- cycle; +\draw [line width=2pt] (-5.818234449125059,3.6211878893314746) circle (3.410807212633205cm); +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-8.246248844808852,6.01667363049191); +\draw [line width=2pt] (-8.246248844808852,6.01667363049191)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\draw (-5.929096135075196,8.355706975363816) node[anchor=north west] {$K$}; +\draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-3.5793255362306895,4.4664315014142915); +\draw [line width=2pt] (-3.5793255362306895,4.4664315014142915)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458); +\begin{scriptsize} +\draw [fill=xdxdff] (-8.707707908908976,1.808855423431506) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-9.170159030033137,1.6440058970550886) node {$P_1$}; +\draw [fill=xdxdff] (-2.974945793144921,1.7372251878627458) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-2.607006667743308,1.2388730351853465) node {$P_2$}; +\draw [fill=xdxdff] (-8.246248844808852,6.01667363049191) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-8.683999595789444,6.85671538644577) node {$P_3$}; +\draw[color=qqwuqq] (-7.387574437806268,5.047121936760922) node {$\alpha$}; +\draw [fill=ududff] (-3.5793255362306895,4.4664315014142915) circle (2.5pt); +\draw[color=ududff] (-3.2822281041928787,5.128148509134871) node {$P_4$}; +\draw[color=qqwuqq] (-3.7683875384365693,3.3455639169080054) node {$\beta$}; +\end{scriptsize} +\end{tikzpicture} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.ggb b/Grafiken/4.2.ggb new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.ggb @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.png b/Grafiken/4.2.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/4.2.tikz b/Grafiken/4.2.tikz new file mode 100644 index 0000000..6af6bb4 --- /dev/null +++ b/Grafiken/4.2.tikz @@ -0,0 +1,46 @@ + +\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0} +\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1} +\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1} +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.5, every node/.style={transform shape}]%every node/.style={scale=0.6}] +\draw [shift={(-8.64170354100338,3.003714766992732)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.5776023668378:0.6) arc (-99.5776023668378:-39.19820242146985:0.6) -- cycle; +\draw [shift={(-1.64,5.53)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-136.27126791299253:0.6) arc (-136.27126791299253:-96.72770528824176:0.6) -- cycle; +\draw [shift={(3.2757591005565456,3.0104836026458477)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.38083625827915:0.6) arc (-99.38083625827915:-38.66936949066439:0.6) -- cycle; +\draw [shift={(8.64,1.29)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-152.18636174151817:0.6) arc (-152.18636174151817:-74.7833310178937:0.6) -- cycle; +\draw [line width=0.4pt] (-6,0) circle (4.000112498418013cm); +\draw [line width=0.4pt] (6,0) circle (4.060110835925542cm); +\draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917); +\draw [line width=0.4pt] (2.4522436838329384,-1.974316368036472)-- (9.534394591307024,-1.998137851335504); +\draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-8.64170354100338,3.003714766992732); +\draw [line width=0.4pt] (2.4522436838329384,-1.974316368036472)-- (3.2757591005565456,3.0104836026458477); +\draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-1.64,5.53); +\draw [line width=0.4pt] (-8.64170354100338,3.003714766992732)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917); +\draw [line width=0.4pt] (3.2757591005565456,3.0104836026458477)-- (9.534394591307024,-1.998137851335504); +\draw [line width=0.4pt] (2.4522436838329384,-1.974316368036472)-- (8.64,1.29); +\draw [line width=0.4pt] (8.64,1.29)-- (9.534394591307024,-1.998137851335504); +\draw [line width=0.4pt] (-1.64,5.53)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917); +\draw (-6.24,5.15) node[anchor=north west] {$K$}; +\draw (5.78,5.23) node[anchor=north west] {$K$}; +\begin{scriptsize} +\draw [fill=xdxdff] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-9.78,-2.34) node {$P_1$}; +\draw [fill=xdxdff] (-2.5263226318686436,-1.983548724415917) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-2.16,-2.26) node {$P_2$}; +\draw [fill=xdxdff] (2.4522436838329384,-1.974316368036472) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (1.86,-2.22) node {$P_1$}; +\draw [fill=xdxdff] (9.534394591307024,-1.998137851335504) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (9.82,-2.16) node {$P_2$}; +\draw [fill=xdxdff] (-8.64170354100338,3.003714766992732) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (-8.96,3.44) node {$P_3$}; +\draw [fill=xdxdff] (3.2757591005565456,3.0104836026458477) circle (2.5pt); +\draw[color=xdxdff] (2.94,3.5) node {$P_3$}; +\draw [fill=ududff] (-1.64,5.53) circle (2.5pt); +\draw[color=ududff] (-1.24,5.88) node {$P_4$}; +\draw [fill=ududff] (8.64,1.29) circle (2.5pt); +\draw[color=ududff] (8.96,1.84) node {$P_4$}; +\draw[color=qqwuqq] (-8.3,2.1) node {$\alpha$}; +\draw[color=qqwuqq] (-2,4.7) node {$\beta$}; +\draw[color=qqwuqq] (3.6,2.1) node {$\alpha$}; +\draw[color=qqwuqq] (8.4,0.4) node {$\beta$}; +\end{scriptsize} +\end{tikzpicture} diff --git a/Grafiken/Band1G01.tikz b/Grafiken/Band1G01.tikz new file mode 100644 index 0000000..3c8e5d7 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Band1G01.tikz @@ -0,0 +1,15 @@ +%https://www.overleaf.com/learn/latex/LaTeX_Graphics_using_TikZ%3A_A_Tutorial_for_Beginners_(Part_4)%E2%80%94Circuit_Diagrams_Using_Circuitikz + +\begin{circuitikz}[scale=1.2] +%\ctikzset{misc/lampshape/height=0.75, misc/lampshape/width=0.75} + \draw (0,0) node[] (UL) {} to[short, o-*] (1,0) to +(1,1) to (1.5,1 )to [normal open switch,l=\scriptsize{$p_1$}, o-, n=s1](2.0,1) +to (2.5,1) to[short, -*] (2.5,0) +to [lamp,l_=\scriptsize{$G$},n=lm](4.5,0) to [short,-o](4.5,0); +\draw (1,0) to (1,-1) to (1.5,-1) to [normal open switch, l=\scriptsize{$p_2$}, o-,n=s2] (2.0,-1) to (2.5,-1) to (2.5,0) +(s1.s) node[below,yshift=1.5mm, xshift=-2mm]{\scriptsize $1$} +(s2.s) node[below,yshift=1.5mm, xshift=-2mm]{\scriptsize $2$} +(lm.ne) node[below,yshift=2.5mm, xshift=7mm]{\scriptsize $p=p_1 \vee p_2$} +; + +\end{circuitikz} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Band1G02.tikz b/Grafiken/Band1G02.tikz new file mode 100644 index 0000000..e71b977 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Band1G02.tikz @@ -0,0 +1,14 @@ +%https://www.overleaf.com/learn/latex/LaTeX_Graphics_using_TikZ%3A_A_Tutorial_for_Beginners_(Part_4)%E2%80%94Circuit_Diagrams_Using_Circuitikz + +\begin{circuitikz}[scale=1.2] +%\ctikzset{misc/lampshape/height=0.75, misc/lampshape/width=0.75} + \draw (0,0) node[] (UL) {} to[short, o-*] (1,0) to + [normal open switch,l=\scriptsize{$p_1$}, o-, n=SW1](1.5,0) +to (2,0) +to [normal open switch, l=\scriptsize{$p_2$}, o-,n=SW2](2.5,0) +to [lamp,l_=\scriptsize{$G$},n=lm](4,0) to [short,-o](4.5,0) +(SW1.s) node[below,xshift=-3mm,yshift=1mm]{\scriptsize $1$} +(SW2.s) node[below,xshift=-3mm,yshift=1mm]{\scriptsize $2$} +(lm.ne) node[below,xshift=8mm,yshift=2mm]{\scriptsize $p=p_1 \wedge p_2$}; + +\end{circuitikz} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Band1G03.tikz b/Grafiken/Band1G03.tikz new file mode 100644 index 0000000..9a7dbb0 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Band1G03.tikz @@ -0,0 +1,29 @@ +\begin{circuitikz}[circuit ee IEC relay] +\draw (0,-0.25) node[] (UL) {} to[short, o-*] (1,-0.25) +to [normal open switch,l=\scriptsize{$q$}, o-, n=SW1](1.5,-0.25) +to (2,-0.25) to (2.5,-0.25) node [relay coil, rotate = 90,transform shape,yshift=-5mm](t2){}(3.5,-0.25) to [short,-o] (3.5,1.) +(SW1.s) node[below,xshift=-2mm,yshift=1mm]{\scriptsize $1$}; + +\draw (0,-1.5) node[] (UA) {} to[short, o-] (2.6,-1.5) to (2.6,-1.25)to (3.4,-1.35); + +\draw (3.2,-1.31) to (3.2,-1.5) to [lamp,l=\scriptsize{$G$},n=lm,-o](6,-1.5); + +%[break contact,rotate =-45,transform shape] (-1,1.5); + +\draw (2.5,-0.5)to(2.7,0) to (2.9,-0.5) to (3.1,0)to(3.3,-0.5)to (3.5,0); +%\draw (0,0) to [relay coil={info=$K_1$,term=A1,term'=A2},rotate = 0] (0,3); + + +\draw[] (2.75,-1.26) arc + [ + start angle=-10, + end angle=270, + x radius=0.15cm, + y radius =0.15cm + ] node[above, yshift=1mm,xshift=-3mm] {\scriptsize$p$}; + +\node[] at (2.7,-1.6) {\scriptsize$2$}; +\node[] at (5.5,-1.2) {\scriptsize$p=\bar{q}$}; + +\draw[dashed](2.6,-1.25) to(3.4,-1.15); +\end{circuitikz} \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-23-20.png b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-23-20.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-23-20.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-19.png b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-19.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-19.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-37.png b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-37.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-25-37.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-26-36.png b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-26-36.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/Bildschirmfoto vom 2023-08-20 21-26-36.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/tab3.10.png b/Grafiken/tab3.10.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/tab3.10.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Grafiken/tab3.9.png b/Grafiken/tab3.9.png new file mode 100644 index 0000000..8537307 --- /dev/null +++ b/Grafiken/tab3.9.png @@ -0,0 +1 @@ +Not Found \ No newline at end of file diff --git a/Logik.tex b/Logik.tex new file mode 100644 index 0000000..9548f51 --- /dev/null +++ b/Logik.tex @@ -0,0 +1,488 @@ +\chapter{Logik} +Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren. + +Wir stellen zunächst mit den sogenannten Wahrheitstabellen ein einfaches Instrumentarium bereit, um festzustellen, ob der vorgelegte Sachverhalt eine wahre oder falsche Aussage darstellt. Dies sind die notwendigen Grundlagen zum Verständnis der logischen Schlüsse, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften, immer wieder benötigt werden. + +Darüber hinaus findet die Logik in neuerer Zeit immer mehr auch Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik (digitale Rechentechnik, Neuronennetze, Technologie, Netzplantechnik, Steuerungsprobleme). + +\section{Aussagen} +Gegenstand der Logik sind \textit{Aussagen}. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagesätzen formuliert. Eine Aussage drückt einen Tatbestand aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangssprache bekannten Fragesätze, Aufforderungssätze, Befehlssätze, Wunschsätze, Zweifelssätze usw. keine Aussagesätze. Speziell sind + +\einrueckungm{35}{ + \begin{itemize} + \item[-] Ist $10^{10}+1$ eine Primzahl? + \item[-] Löse die Gleichung $x^2+4 x+10=0$ ! + \item[-] Rechts abbiegen! + \item[-] Hoffentlich scheint morgen die Sonne. + \item[-] Ich glaube nicht, daß morgen die Sonne scheint. + \end{itemize} +} + +keine Aussagesätze. + +Betrachten wir zunächst als Beispiel die Aussage "`$2 \cdot 2=4$"'. Diese Aussage kürzen wir mit $p$ ab und schreiben: + +\einrueckungm{50}{ + $p=$ "`$2 \cdot 2=4$"'} + +Ebenso wird in den folgenden Beispielen verfahren. + +\begin{beispiel} + \label{B.3.1} + \begin{itemize} + \item[] $q=$ "`$10$ ist eine Primzahl"' + \item[] $r=$ "`Die Sonne scheint"' + \item[] $s=$ "`Am 10.10.1995 wird in Leipzig die Sonne scheinen"' + \item[] $t=$ "`Kolumbus hat 1492 Amerika entdeckt"' + \end{itemize} + +\end{beispiel} + +Diese Beispiele zeigen, daß es sinnvoll ist, nach dem Wahrheitsgehalt der entsprechenden Aussagen zu fragen. + +Die mit $p$ und $t$ abgekürzten Sätze stellen offenbar wahre Aussagen dar, dagegen ist $y$ falsch. Die Frage nach dem Wahrheitsgehalt der durch $r$ beschriebenen Aussage ist erst nach Kenntnis von Ort und Zeit mit "`wahr"' bzw. "`falsch"' entscheidbar. Für die durch $s$ beschriebene Aussage ist es sinnvoll, den Wahrheitsgehalt zu dem Zeitpunkt, an dem sie gemacht wird, durch eine Wahrscheinlichkeit zu präzisieren. + +Diese Überlegungen veranlassen uns zunächst zur folgenden Erklärung: + +\textit{$p$ heißt eine Aussage, wenn $p$ einen Tatbestand ausdrückt.} + +Die Gesamtheit aller so definierten Aussagen $p$ fassen wir zu einer Menge $A_1$ zusammen: $A_1=\{p \mid p$ ist eine Aussage$\}$. + +Wir benutzen bereits hier den Begriff der Menge, welcher in Abschnitt 7. ausführlicher behandelt wird. + + +Unter einer \textit{Menge} verstehen wir nach Cantor eine Gesamtheit (Zusammenfassung) bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von einem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. + + +Können wir die Objekte, die zur Menge gehören und \textit{Elemente} der Menge heißen, aufschreiben, so führen wir sie in geschweiften Klammern auf. So wird die Menge $M_1$ der natürlichen Zahlen, die größer als $2$ und kleiner als $10$ sind, wie folgt geschrieben: $M_1=\{3,4,5,6,7,8,9\}$. Die Tatsache, daß z.B. $5$ Element der Menge $M_1$ ist, beschreiben wir mit der Symbolik $5 \in M_1$, während $1 \notin M_1$ bedeutet, daß $1$ kein Element von $M_1$ ist. Wir werden auch generell für Mengen große lateinische Buchstaben zur Bezeichnung benutzen. Eine andere Schreibweise für eine Menge $M$ ist + +\einrueckungm{35}{$M=\{x \mid E\}.$} + +Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: "`M ist die Menge aller Elemente $x$, die Eigenschaft $E$ besitzen"'. Die oben erklärte Menge $A_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A_1=\{p \mid p \text{ ist eine Aussage }\}$. Die Menge $M_1$ kann mit Hilfe dieser Symbol als + +\einrueckungm{35}{$ + M_1=\{x \mid x, \text { natürliche Zahl und } 22)$ Aussagenverbindungen} + +Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen \textcolor{red}{(siehe auch Abschnitt 8.)}, die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung +\begin{flalign} + &(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3} +\end{flalign} + +wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt. + +Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen. + + +%%%% + + +\begin{table}[!h] + \begin{center} + \caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$} + \begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\ + q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ + r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline + $t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + $u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline + $t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\ + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + + + + +Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie + + +\einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'} + +eine wahre Aussage. + +Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ): + +Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben. + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{ + Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?} + +\end{aufgabe} + + + +\subsection{Verbindungen von Aussageformen} +Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht. + +\begin{beispiel}\label{B.3.7} + + $X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$ + + \begin{enumerate} + \item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'. + + Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$. + + \item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'. + + Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$, + $w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$. + + \end{enumerate} + + Allgemein können wir folgendes feststellen: + + + Man kann zum Beispiel durch + $$ + \begin{aligned} + & \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\ + & p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x) + \end{aligned} + $$ + + Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden. + +\end{beispiel} + + +\begin{aufgabe} + \einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung + "`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!} +\end{aufgabe} + +Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben. + +Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen + +bzw. +$$ +p \wedge(p \vee q) \text { und } p +$$ +$$ +p \vee(q \wedge r) \text { und }(p \vee q) \wedge(p \vee r) +$$ +besitzen die gleichen Wahrheitstabellen, realisieren also logisch gleichwertige Aussagenverbindungen. Das hat zur Folge, daß die Wahrheitswerttabellen der Aussagenverbindungen \ No newline at end of file diff --git a/Muster.tikz b/Muster.tikz new file mode 100644 index 0000000..e1bd14a --- /dev/null +++ b/Muster.tikz @@ -0,0 +1,55 @@ +\begin{circuitikz} +%Normal sintaxis +\draw[color=blue] (0,0) + to [lamp, l=Sup-Lg,i_=i] ++(1.5,0) + to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(1.5,0) + to [lamp, l_=Inf-Rg,i=i] ++(1.5,0) + to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0) + to [short] ++(0,2) + to [lamp, l=Sup-Lg,i=i] ++(-1.5,0) + to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(-1.5,0) + to [lamp, l_=Inf-Rg,i=i,invert] ++(-1.5,0) %invert command change symbol direction, has no effect in lamp + to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0); + +%Bad sintaxis, that not define a circuit +\draw[color=blue] (1.5,-2) + to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(1.5,0) + to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0); +\draw[color=red] (6,-2) + to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(-1.5,0); +\draw[color=green] (1.5,-2) + to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0); + +%Revision draws +\draw[|-|,orange,thick] (1.2,0) -- ++(0,0.55) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.55}; +\draw[|-|,orange,thick] (3.8,0) -- ++(0,-0.6) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.6}; +\draw[|-|,orange,thick] (1.2,2) -- ++(0,0.6) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.6}; +\draw[|-|,orange,thick] (5.5,2) -- ++(0,-0.55) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.55}; + +\draw[|-|,orange,thick] (1.2,-2) -- ++(0,0.6) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.6}; +\draw[|-|,blue,thick] (5.5,-2) -- ++(0,-0.55) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.55}; + +\draw[->,orange,thick] (.5,-.5) -- ++(2,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize normal}; +\draw[->,orange,thick] (3.5,.5) -- ++(2,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize normal}; +\draw[->,orange,thick] (2.5,-2) -- ++(1,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize normal}; +\draw[<-,orange,thick] (5,-1.5) -- ++(1,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize reverse}; +\draw[<-,orange,thick] (0.5,-2.5) -- ++(1,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize reverse}; +\draw[<-,orange,thick] (0.5,1.5) -- ++(2,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize reverse}; +\draw[<-,orange,thick] (3.5,2.5) -- ++(2,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize reverse}; + +%finally with diodes: +\draw[color=blue](0,-4) + to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(1.5,0) + to [D*,l=Sup-Rg,i=i,invert] ++(1.5,0) % invert has effect, but not in current. + to [D*,l_=Inf-Lg,i<=i,invert] ++(1.5,0) % i<, is used to change the current. + to [D*,l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0); + +\draw[color=blue](1.5,-6) + to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(1.5,0) + to [D*,l_=Inf-Rg,i=i] ++(1.5,0); +\draw[color=green](1.5,-6) + to [D*,l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0); +\draw[color=red](6,-6) + to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(-1.5,0); + +\end{circuitikz} \ No newline at end of file diff --git a/Vorlage/.DS_Store b/Vorlage/.DS_Store new file mode 100644 index 0000000..5008ddf Binary files /dev/null and b/Vorlage/.DS_Store differ diff --git a/Vorlage/Band 1_1 _20.pdf b/Vorlage/Band 1_1 _20.pdf new file mode 100644 index 0000000..1dcb79d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_1 _20.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_100.pdf b/Vorlage/Band 1_100.pdf new file mode 100644 index 0000000..38118f4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_100.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_101.pdf b/Vorlage/Band 1_101.pdf new file mode 100644 index 0000000..6e60a2d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_101.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_102.pdf b/Vorlage/Band 1_102.pdf new file mode 100644 index 0000000..8e619d4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_102.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_103.pdf b/Vorlage/Band 1_103.pdf new file mode 100644 index 0000000..f3c55ed Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_103.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_104.pdf b/Vorlage/Band 1_104.pdf new file mode 100644 index 0000000..100ec5c Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_104.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_105.pdf b/Vorlage/Band 1_105.pdf new file mode 100644 index 0000000..9b2ac3f Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_105.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_106.pdf b/Vorlage/Band 1_106.pdf new file mode 100644 index 0000000..8687f78 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_106.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_107.pdf b/Vorlage/Band 1_107.pdf new file mode 100644 index 0000000..d17948d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_107.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_108.pdf b/Vorlage/Band 1_108.pdf new file mode 100644 index 0000000..e55a3c1 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_108.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_109.pdf b/Vorlage/Band 1_109.pdf new file mode 100644 index 0000000..17041a9 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_109.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_110.pdf b/Vorlage/Band 1_110.pdf new file mode 100644 index 0000000..eb75d48 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_110.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_111.pdf b/Vorlage/Band 1_111.pdf new file mode 100644 index 0000000..7a49bdc Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_111.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_112.pdf b/Vorlage/Band 1_112.pdf new file mode 100644 index 0000000..bcd0a0a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_112.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_113.pdf b/Vorlage/Band 1_113.pdf new file mode 100644 index 0000000..f464e18 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_113.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_114.pdf b/Vorlage/Band 1_114.pdf new file mode 100644 index 0000000..59d304d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_114.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_115.pdf b/Vorlage/Band 1_115.pdf new file mode 100644 index 0000000..4a1eb36 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_115.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_116.pdf b/Vorlage/Band 1_116.pdf new file mode 100644 index 0000000..219099e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_116.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_117.pdf b/Vorlage/Band 1_117.pdf new file mode 100644 index 0000000..9c91682 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_117.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_118.pdf b/Vorlage/Band 1_118.pdf new file mode 100644 index 0000000..a03b3a5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_118.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_119.pdf b/Vorlage/Band 1_119.pdf new file mode 100644 index 0000000..b839f3a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_119.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_120.pdf b/Vorlage/Band 1_120.pdf new file mode 100644 index 0000000..e1fcfc4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_120.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_121.pdf b/Vorlage/Band 1_121.pdf new file mode 100644 index 0000000..23cbfe6 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_121.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_122.pdf b/Vorlage/Band 1_122.pdf new file mode 100644 index 0000000..9ff43d7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_122.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_123.pdf b/Vorlage/Band 1_123.pdf new file mode 100644 index 0000000..666a9da Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_123.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_124.pdf b/Vorlage/Band 1_124.pdf new file mode 100644 index 0000000..da047b0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_124.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_125.pdf b/Vorlage/Band 1_125.pdf new file mode 100644 index 0000000..47df29e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_125.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_126.pdf b/Vorlage/Band 1_126.pdf new file mode 100644 index 0000000..a5d17b1 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_126.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_127.pdf b/Vorlage/Band 1_127.pdf new file mode 100644 index 0000000..7817b5e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_127.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_128.pdf b/Vorlage/Band 1_128.pdf new file mode 100644 index 0000000..5124bd5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_128.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_129.pdf b/Vorlage/Band 1_129.pdf new file mode 100644 index 0000000..22598cf Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_129.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_130.pdf b/Vorlage/Band 1_130.pdf new file mode 100644 index 0000000..002102e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_130.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_131.pdf b/Vorlage/Band 1_131.pdf new file mode 100644 index 0000000..42f30af Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_131.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_132.pdf b/Vorlage/Band 1_132.pdf new file mode 100644 index 0000000..99ffef3 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_132.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_133.pdf b/Vorlage/Band 1_133.pdf new file mode 100644 index 0000000..7c87013 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_133.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_134.pdf b/Vorlage/Band 1_134.pdf new file mode 100644 index 0000000..a90ddc9 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_134.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_135.pdf b/Vorlage/Band 1_135.pdf new file mode 100644 index 0000000..5a27ed6 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_135.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_136.pdf b/Vorlage/Band 1_136.pdf new file mode 100644 index 0000000..a27c2dd Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_136.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_137.pdf b/Vorlage/Band 1_137.pdf new file mode 100644 index 0000000..58a3c15 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_137.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_138.pdf b/Vorlage/Band 1_138.pdf new file mode 100644 index 0000000..23a4048 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_138.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_139.pdf b/Vorlage/Band 1_139.pdf new file mode 100644 index 0000000..a52707f Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_139.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_140.pdf b/Vorlage/Band 1_140.pdf new file mode 100644 index 0000000..78eca62 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_140.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_141.pdf b/Vorlage/Band 1_141.pdf new file mode 100644 index 0000000..090f8fa Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_141.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_142.pdf b/Vorlage/Band 1_142.pdf new file mode 100644 index 0000000..316634a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_142.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_143.pdf b/Vorlage/Band 1_143.pdf new file mode 100644 index 0000000..41c2376 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_143.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_144.pdf b/Vorlage/Band 1_144.pdf new file mode 100644 index 0000000..1ba18c0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_144.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_145.pdf b/Vorlage/Band 1_145.pdf new file mode 100644 index 0000000..7bdba3b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_145.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_146.pdf b/Vorlage/Band 1_146.pdf new file mode 100644 index 0000000..67b389b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_146.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_147.pdf b/Vorlage/Band 1_147.pdf new file mode 100644 index 0000000..8fd2224 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_147.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_148.pdf b/Vorlage/Band 1_148.pdf new file mode 100644 index 0000000..54ba1f2 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_148.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_149.pdf b/Vorlage/Band 1_149.pdf new file mode 100644 index 0000000..d319c58 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_149.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_150.pdf b/Vorlage/Band 1_150.pdf new file mode 100644 index 0000000..0103bd9 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_150.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_151.pdf b/Vorlage/Band 1_151.pdf new file mode 100644 index 0000000..2f72b20 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_151.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_152.pdf b/Vorlage/Band 1_152.pdf new file mode 100644 index 0000000..122a1a3 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_152.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_153.pdf b/Vorlage/Band 1_153.pdf new file mode 100644 index 0000000..a11d836 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_153.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_154.pdf b/Vorlage/Band 1_154.pdf new file mode 100644 index 0000000..912e0f0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_154.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_155.pdf b/Vorlage/Band 1_155.pdf new file mode 100644 index 0000000..398a715 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_155.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_156.pdf b/Vorlage/Band 1_156.pdf new file mode 100644 index 0000000..05445b4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_156.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_157.pdf b/Vorlage/Band 1_157.pdf new file mode 100644 index 0000000..988b2e7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_157.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_158.pdf b/Vorlage/Band 1_158.pdf new file mode 100644 index 0000000..06f1840 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_158.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_159.pdf b/Vorlage/Band 1_159.pdf new file mode 100644 index 0000000..997eb34 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_159.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_160.pdf b/Vorlage/Band 1_160.pdf new file mode 100644 index 0000000..e1720af Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_160.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_161.pdf b/Vorlage/Band 1_161.pdf new file mode 100644 index 0000000..906c141 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_161.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_162.pdf b/Vorlage/Band 1_162.pdf new file mode 100644 index 0000000..1e04d3b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_162.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_163.pdf b/Vorlage/Band 1_163.pdf new file mode 100644 index 0000000..c6783a3 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_163.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_164.pdf b/Vorlage/Band 1_164.pdf new file mode 100644 index 0000000..244bb0d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_164.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_165.pdf b/Vorlage/Band 1_165.pdf new file mode 100644 index 0000000..7adf065 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_165.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_166.pdf b/Vorlage/Band 1_166.pdf new file mode 100644 index 0000000..e58d019 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_166.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_167.pdf b/Vorlage/Band 1_167.pdf new file mode 100644 index 0000000..ee74fdc Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_167.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_168.pdf b/Vorlage/Band 1_168.pdf new file mode 100644 index 0000000..69868a6 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_168.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_169.pdf b/Vorlage/Band 1_169.pdf new file mode 100644 index 0000000..b0851b7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_169.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_170.pdf b/Vorlage/Band 1_170.pdf new file mode 100644 index 0000000..ce37023 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_170.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_171.pdf b/Vorlage/Band 1_171.pdf new file mode 100644 index 0000000..19cf5e4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_171.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_172.pdf b/Vorlage/Band 1_172.pdf new file mode 100644 index 0000000..0fd1da0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_172.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_173.pdf b/Vorlage/Band 1_173.pdf new file mode 100644 index 0000000..607a362 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_173.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_174.pdf b/Vorlage/Band 1_174.pdf new file mode 100644 index 0000000..d8b937b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_174.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_175.pdf b/Vorlage/Band 1_175.pdf new file mode 100644 index 0000000..d999c87 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_175.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_176.pdf b/Vorlage/Band 1_176.pdf new file mode 100644 index 0000000..043e706 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_176.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_177.pdf b/Vorlage/Band 1_177.pdf new file mode 100644 index 0000000..de863e3 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_177.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_178.pdf b/Vorlage/Band 1_178.pdf new file mode 100644 index 0000000..180fc03 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_178.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_179.pdf b/Vorlage/Band 1_179.pdf new file mode 100644 index 0000000..6d81352 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_179.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_180.pdf b/Vorlage/Band 1_180.pdf new file mode 100644 index 0000000..fe46efd Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_180.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_181.pdf b/Vorlage/Band 1_181.pdf new file mode 100644 index 0000000..96a96e0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_181.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_182.pdf b/Vorlage/Band 1_182.pdf new file mode 100644 index 0000000..1975f1c Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_182.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_183.pdf b/Vorlage/Band 1_183.pdf new file mode 100644 index 0000000..5969d01 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_183.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_184.pdf b/Vorlage/Band 1_184.pdf new file mode 100644 index 0000000..ac991ba Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_184.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_185.pdf b/Vorlage/Band 1_185.pdf new file mode 100644 index 0000000..83823cd Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_185.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_186.pdf b/Vorlage/Band 1_186.pdf new file mode 100644 index 0000000..7477076 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_186.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_187.pdf b/Vorlage/Band 1_187.pdf new file mode 100644 index 0000000..8639220 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_187.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_188.pdf b/Vorlage/Band 1_188.pdf new file mode 100644 index 0000000..75f5866 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_188.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_189.pdf b/Vorlage/Band 1_189.pdf new file mode 100644 index 0000000..bd8e1e0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_189.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_190.pdf b/Vorlage/Band 1_190.pdf new file mode 100644 index 0000000..1880988 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_190.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_191.pdf b/Vorlage/Band 1_191.pdf new file mode 100644 index 0000000..cd2cc3a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_191.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_192.pdf b/Vorlage/Band 1_192.pdf new file mode 100644 index 0000000..a942ea1 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_192.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_193.pdf b/Vorlage/Band 1_193.pdf new file mode 100644 index 0000000..025423b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_193.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_194.pdf b/Vorlage/Band 1_194.pdf new file mode 100644 index 0000000..07454bf Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_194.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_195.pdf b/Vorlage/Band 1_195.pdf new file mode 100644 index 0000000..803e28a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_195.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_196.pdf b/Vorlage/Band 1_196.pdf new file mode 100644 index 0000000..029908c Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_196.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_197.pdf b/Vorlage/Band 1_197.pdf new file mode 100644 index 0000000..70ff31a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_197.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_21.pdf b/Vorlage/Band 1_21.pdf new file mode 100644 index 0000000..9b2a380 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_21.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_22.pdf b/Vorlage/Band 1_22.pdf new file mode 100644 index 0000000..f2dee1d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_22.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_23.pdf b/Vorlage/Band 1_23.pdf new file mode 100644 index 0000000..a87fc77 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_23.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_24.pdf b/Vorlage/Band 1_24.pdf new file mode 100644 index 0000000..fd6bc1a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_24.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_25.pdf b/Vorlage/Band 1_25.pdf new file mode 100644 index 0000000..217b553 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_25.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_26.pdf b/Vorlage/Band 1_26.pdf new file mode 100644 index 0000000..8605088 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_26.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_27.pdf b/Vorlage/Band 1_27.pdf new file mode 100644 index 0000000..632d666 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_27.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_28.pdf b/Vorlage/Band 1_28.pdf new file mode 100644 index 0000000..14f788c Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_28.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_29.pdf b/Vorlage/Band 1_29.pdf new file mode 100644 index 0000000..3db07ac Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_29.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_30.pdf b/Vorlage/Band 1_30.pdf new file mode 100644 index 0000000..c74cda7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_30.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_31.pdf b/Vorlage/Band 1_31.pdf new file mode 100644 index 0000000..836607e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_31.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_32.pdf b/Vorlage/Band 1_32.pdf new file mode 100644 index 0000000..9203358 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_32.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_33.pdf b/Vorlage/Band 1_33.pdf new file mode 100644 index 0000000..e3b93eb Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_33.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_34.pdf b/Vorlage/Band 1_34.pdf new file mode 100644 index 0000000..5ad69ca Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_34.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_35.pdf b/Vorlage/Band 1_35.pdf new file mode 100644 index 0000000..2efacbe Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_35.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_36.pdf b/Vorlage/Band 1_36.pdf new file mode 100644 index 0000000..4a9e9ad Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_36.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_37.pdf b/Vorlage/Band 1_37.pdf new file mode 100644 index 0000000..a6d55f5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_37.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_38.pdf b/Vorlage/Band 1_38.pdf new file mode 100644 index 0000000..6a55c73 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_38.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_39.pdf b/Vorlage/Band 1_39.pdf new file mode 100644 index 0000000..49b8502 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_39.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_40.pdf b/Vorlage/Band 1_40.pdf new file mode 100644 index 0000000..129e55e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_40.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_41.pdf b/Vorlage/Band 1_41.pdf new file mode 100644 index 0000000..57ddf7a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_41.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_42.pdf b/Vorlage/Band 1_42.pdf new file mode 100644 index 0000000..eab58aa Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_42.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_43.pdf b/Vorlage/Band 1_43.pdf new file mode 100644 index 0000000..d354798 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_43.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_44.pdf b/Vorlage/Band 1_44.pdf new file mode 100644 index 0000000..8a6a70a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_44.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_45.pdf b/Vorlage/Band 1_45.pdf new file mode 100644 index 0000000..8a145c6 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_45.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_46.pdf b/Vorlage/Band 1_46.pdf new file mode 100644 index 0000000..a99c11b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_46.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_47.pdf b/Vorlage/Band 1_47.pdf new file mode 100644 index 0000000..eccf490 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_47.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_48.pdf b/Vorlage/Band 1_48.pdf new file mode 100644 index 0000000..98707a5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_48.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_49.pdf b/Vorlage/Band 1_49.pdf new file mode 100644 index 0000000..cf99ca5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_49.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_50.pdf b/Vorlage/Band 1_50.pdf new file mode 100644 index 0000000..54a11c5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_50.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_51.pdf b/Vorlage/Band 1_51.pdf new file mode 100644 index 0000000..b4c80d0 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_51.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_52.pdf b/Vorlage/Band 1_52.pdf new file mode 100644 index 0000000..17b5f0a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_52.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_53.pdf b/Vorlage/Band 1_53.pdf new file mode 100644 index 0000000..e5303d4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_53.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_54.pdf b/Vorlage/Band 1_54.pdf new file mode 100644 index 0000000..3708c7d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_54.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_55.pdf b/Vorlage/Band 1_55.pdf new file mode 100644 index 0000000..64df6a1 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_55.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_56.pdf b/Vorlage/Band 1_56.pdf new file mode 100644 index 0000000..9bfa283 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_56.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_57.pdf b/Vorlage/Band 1_57.pdf new file mode 100644 index 0000000..280e64e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_57.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_58.pdf b/Vorlage/Band 1_58.pdf new file mode 100644 index 0000000..38f752d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_58.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_59.pdf b/Vorlage/Band 1_59.pdf new file mode 100644 index 0000000..93f7d15 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_59.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_60.pdf b/Vorlage/Band 1_60.pdf new file mode 100644 index 0000000..42c35f1 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_60.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_61.pdf b/Vorlage/Band 1_61.pdf new file mode 100644 index 0000000..fe129c9 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_61.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_62.pdf b/Vorlage/Band 1_62.pdf new file mode 100644 index 0000000..0dcaaf7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_62.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_63.pdf b/Vorlage/Band 1_63.pdf new file mode 100644 index 0000000..2737285 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_63.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_64.pdf b/Vorlage/Band 1_64.pdf new file mode 100644 index 0000000..942f8b5 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_64.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_65.pdf b/Vorlage/Band 1_65.pdf new file mode 100644 index 0000000..32dafc7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_65.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_66.pdf b/Vorlage/Band 1_66.pdf new file mode 100644 index 0000000..ee2c85d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_66.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_67.pdf b/Vorlage/Band 1_67.pdf new file mode 100644 index 0000000..c386cc2 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_67.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_68.pdf b/Vorlage/Band 1_68.pdf new file mode 100644 index 0000000..b53d98c Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_68.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_69.pdf b/Vorlage/Band 1_69.pdf new file mode 100644 index 0000000..85dbea7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_69.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_70.pdf b/Vorlage/Band 1_70.pdf new file mode 100644 index 0000000..e356152 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_70.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_71.pdf b/Vorlage/Band 1_71.pdf new file mode 100644 index 0000000..cdb535e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_71.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_72.pdf b/Vorlage/Band 1_72.pdf new file mode 100644 index 0000000..4ffa5e4 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_72.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_73.pdf b/Vorlage/Band 1_73.pdf new file mode 100644 index 0000000..0f3f8cc Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_73.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_74.pdf b/Vorlage/Band 1_74.pdf new file mode 100644 index 0000000..fe44e22 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_74.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_75.pdf b/Vorlage/Band 1_75.pdf new file mode 100644 index 0000000..c6d5925 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_75.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_76.pdf b/Vorlage/Band 1_76.pdf new file mode 100644 index 0000000..f31d75e Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_76.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_77.pdf b/Vorlage/Band 1_77.pdf new file mode 100644 index 0000000..ab75a4a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_77.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_78.pdf b/Vorlage/Band 1_78.pdf new file mode 100644 index 0000000..8f6a9d8 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_78.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_79.pdf b/Vorlage/Band 1_79.pdf new file mode 100644 index 0000000..aa8f5ab Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_79.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_80.pdf b/Vorlage/Band 1_80.pdf new file mode 100644 index 0000000..1f5da2f Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_80.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_81.pdf b/Vorlage/Band 1_81.pdf new file mode 100644 index 0000000..3be6d8d Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_81.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_82.pdf b/Vorlage/Band 1_82.pdf new file mode 100644 index 0000000..d00c379 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_82.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_83.pdf b/Vorlage/Band 1_83.pdf new file mode 100644 index 0000000..bba7206 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_83.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_84.pdf b/Vorlage/Band 1_84.pdf new file mode 100644 index 0000000..7559897 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_84.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_85.pdf b/Vorlage/Band 1_85.pdf new file mode 100644 index 0000000..740b191 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_85.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_86.pdf b/Vorlage/Band 1_86.pdf new file mode 100644 index 0000000..1f0ef2f Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_86.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_87.pdf b/Vorlage/Band 1_87.pdf new file mode 100644 index 0000000..9de85cd Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_87.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_88.pdf b/Vorlage/Band 1_88.pdf new file mode 100644 index 0000000..600f8d7 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_88.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_89.pdf b/Vorlage/Band 1_89.pdf new file mode 100644 index 0000000..11d6015 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_89.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_90.pdf b/Vorlage/Band 1_90.pdf new file mode 100644 index 0000000..482da9a Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_90.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_91.pdf b/Vorlage/Band 1_91.pdf new file mode 100644 index 0000000..8387131 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_91.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_92.pdf b/Vorlage/Band 1_92.pdf new file mode 100644 index 0000000..43f793b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_92.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_93.pdf b/Vorlage/Band 1_93.pdf new file mode 100644 index 0000000..bda1e3b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_93.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_94.pdf b/Vorlage/Band 1_94.pdf new file mode 100644 index 0000000..83da590 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_94.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_95.pdf b/Vorlage/Band 1_95.pdf new file mode 100644 index 0000000..d2537f9 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_95.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_96.pdf b/Vorlage/Band 1_96.pdf new file mode 100644 index 0000000..9f39d72 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_96.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_97.pdf b/Vorlage/Band 1_97.pdf new file mode 100644 index 0000000..4bc0b37 Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_97.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_98.pdf b/Vorlage/Band 1_98.pdf new file mode 100644 index 0000000..8d62d5b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_98.pdf differ diff --git a/Vorlage/Band 1_99.pdf b/Vorlage/Band 1_99.pdf new file mode 100644 index 0000000..369405b Binary files /dev/null and b/Vorlage/Band 1_99.pdf differ diff --git a/Vorwort.tex b/Vorwort.tex new file mode 100644 index 0000000..6d2ea52 --- /dev/null +++ b/Vorwort.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +\chapter*{Vorwort zur 4. Auflage} + +Diese Auflage des Lehrbuches wurde erneut - wie schon die 2. - zu einer gründlichen Überarbeitung genutzt, wobei die nunmehr reichlich vorliegenden Erfahrungen bei seinem Einsatz in der Ausbildung von Direkt- und Fernstudenten für Veränderungen, Ergänzungen und Streichungen maßgeblich waren. Im Vordergrund der Überarbeitung stand deshalb auch die weitere Verbesserung der methodischen Gesichtspunkte bei geringer Lockerung von abstrakten Betrachtungsweisen. + +Der Inhalt richtet sich - wie in allen weiteren Bänden dieses Lehrwerkes - vorwiegend an Hochschulstudenten der Natur-, Ingenieur-, Wirtschafts- und Landwirtschaftswissenschaften. Dabei stellt der vorliegende Band die mathematischen Grundlagengebiete bereit, die für die nachfolgenden Bände erforderlich sind. Entsprechend ist die stoffliche Auswahl getroffen, wobei auch manche neue Wege beschritten wurden. + +Das Lehrbuch ist so angelegt, daß es sowohl Direkt- als auch Fernstudenten zur Unterstützung des Selbststudiums dienen kann. Natürlich bestimmen Kursvorlesungen oder Studienanleitungen Umfang und Auswahl für das mathematische Studium der einzelnen Fachrichtungen. + +Weiterhin eignet sich dieser Band sicher auch zum Nachlesen für alle diejeniger Interessenten, die während ihrer Ausbildung die behandelten Gebiete nicht oder nur wenig kennengelernt haben. Wegen seines spezifischen Inhaltes eignet sich auf diese Weise das Lehrbuch auch zum Nachschlagen. + +Die Autoren waren sich beim Schreiben dieses Bandes auch der Probleme bewusst, die seine Gestaltung bei teilweise unterschiedlichen Zielstellungen mit sich brachte. Sie möchten sich deshalb sehr herzlich für die vielen konstruktiven Hinweise - insbesondere zu methodischen Fragen - bedanken, die weitgehend berücksichtigt werden konnten. Wir bedanken uns bei Herrn Professor Erfurth, Merseburg, sowie bei Herrn Dipl.-Math. H. Ebmeyer, Dresden, für ihre kritischen Anregungen und konkreten Abänderungsvorschläge, die uns sehr geholfen haben. Weiterhin danken wir Herrn Professor Wußing, Leipzig, für seine wertvollen Bemerkungen zum geschichtlichen Überblick. Besonderer Dank gilt Frau Ziegler vom Teubner-Verlag Leipzig; sie war uns in der Zusammenarbeit wiederum eine verständnisvolle und sachkundige Beraterin. + +\hfill Die Autoren + +Leipzig, Juli 1979 + diff --git a/Zu_den_Anwendungen_der_Mathematik.tex b/Zu_den_Anwendungen_der_Mathematik.tex new file mode 100644 index 0000000..1ab043f --- /dev/null +++ b/Zu_den_Anwendungen_der_Mathematik.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\section{Zu den Anwendungen der Mathematik} +Die klassische Mathematik fand ihre Anwendung vorwiegend in Physik, Mechanik, Astronomie und Geodäsie. Die mathematische Durchdringung dieser Wissenschaften wirkte sich andererseits befruchtend auf die Entwicklung der Mathematik und ihrer Methoden aus. Auch die technischen Wissenschaften bedienen sich seit ihrer Entstehung in starkem Maße des mathematischen Instrumentariums. + +Die Begriffe der Mathematik sind Abbild von für den Gegenstand mathematischer Betrachtungen wesentlichen Eigenschaften der Realität in unserem Bewußtsein. Von realen Erscheinungen läßt sich ein abstraktes mathematisches Modell aufbauen, das ihre Haupteigenschaften widerspiegelt und einfacher ist. Dieses Modell kann mit mathematischen Methoden untersucht werden, und es können dabei neue Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten der realen Erscheinungen entdeckt werden. + +Aber auch umgekehrt lassen sich zu mathematischen Strukturen Realisierungen finden, deren Anwendungen von großem Nutzen für den wissenschaftlichen Fortschritt sind. Dieses Vorgehen wird in der Astronomie, der modernen Physik oder bei der Entwicklung von Computern erfolgreich praktiziert. + +Auf dieser Grundlage erklären sich die engen Wechselbeziehungen zwischen der gesellschaftlichen Praxis und der Mathematik. Heutzutage werden mathematische Methoden besonders in der Wirtschaft, der Chemie, der Geologie, der Biologie, der Medizin und der Landwirtschaft, in der Pädagogik und in den Sprachwissenschaften angewendet. Diese Mathematisierung der Wissenschaften ist eine der bedeutendsten Erscheinungsformen der wissenschaftlich-technischen Revolution. Die Mathematik entwickelt sich somit zum Bindeglied verschiedener Disziplinen und beeinflußt aktiv die Entwicklung der Wissenschaften und der Praxis. + +Besondere Bedeutung besitzen algorithmische Darstellungen und numerische Methoden im Hinblick auf die Nutzung der Computer zur Beschreibung und Lösung der Modelle. Da vielen Vorgängen Zufallserscheinungen innewohnen, ergibt sich eine starke Beachtung der stochastischen Betrachtungsweise. Sehr intensiv sind mathematische Probleme der Planung und Leitung, der Prozeßsteuerung, der Produktionskontrolle, der Versuchsplanung und der Zuverlässigkeit von Systemen zu betrachten. Häufig sind diese Fragen im Zusammenhang mit Optimierungen zu sehen. Aus der gewachsenen Leistungsfähigkeit der Computer ergeben sich zudem neue Gesichtspunkte für die Anwendung mathematischer Methoden in den Anpassungs- und Lernprozessen oder den Problemen der nichtnumerischen Informationsverarbeitung. + +Die Mathematik trägt auch dadurch in hervorragendem Maße zum gesellschaftlichen Fortschritt bei, indem sie das Formalisieren und Quantifizieren, die strenge Begriffsbildung, die Entwicklung von Ordnungsprinzipien und das logische Denken in hohem Maße fördert. + + diff --git a/ZumAnliegenDesBandes.tex b/ZumAnliegenDesBandes.tex new file mode 100644 index 0000000..b0936c0 --- /dev/null +++ b/ZumAnliegenDesBandes.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\chapter{Zum Anliegen des Bandes} +Der vorliegende Band 1 des Lehrwerkes behandelt einige allgemeine Grundlagen, die für den Aufbau und das Verständnis weiterer mathematischer Gebiete und somit für die Inhalte der folgenden Bände notwendig sind. Auswahl und Umfang dieser Grundlagen leiten sich in erster Linie aus den Erfordernissen ab, wichtige Begriffe, Methoden und Ergebnisse zur fundierten Darstellung mathematischer Disziplinen bereitzustellen. + +Dabei ist berücksichtigt, daß nach der Neugestaltung des Mathematikunterrichtes in den allgemeinbildenden Schulen für moderne Auffassungen in der mathematischen Ausbildung günstige Vorbedingungen geschaffen sind. Ausreichende Kenntnisse und Fertigkeiten in der Bruch-, Potenz-, Wurzel- und Logarithmenrechnung sowie in der elementaren Geometrie und der Trigonometrie werden zudem vorausgesetzt. Selbstverständlich ist bei der Darlegung der Grundlagengebiete für Inhalt und Form die Zielstellung des Gesamtlehrwerkes maßgebend, der mathematischen Unterrichtung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern, Ökonomen und Landwirten an Hochschulen zu entsprechen. Deshalb wird für die naturgemäß in den Grundlagengebieten besonders zahlreich auftretenden abstrakten Begriffe der Erkenntnisprozeß durch anschauliche Entwicklung unterstützt, ohne die erforderliche Strenge und Exaktheit zu verletzen. Auch sind zahlreiche anwendungsbezogene Beispiele im Text und bei den Übungsaufgaben enthalten. + +Der Sinn mathematischer Betrachtungen besteht allerdings nicht allein im Bereitstellen von Ergebnissen und Sätzen. Er liegt gleichermaßen in den besonderen Formen des Denkens und Schließens zur strengen Herleitung allgemeingültiger Resultate aus exakt formulierten Voraussetzungen. Es ist ein weiteres Anliegen dieses Lehrabschnittes, den Lernenden besonders an exaktes und logisches Denken zu gewöhnen. + + +In den Abschnitten 3. und 4. beschäftigen wir uns deshalb mit Begriffen der Logik und den aus ihnen abgeleiteten Beweisprinzipien. Für die Gewinnung mathematischer Ergebnisse und Tatsachen ist es charakteristisch, daß sie logisch einwandfrei aus Voraussetzungen abzuleiten sind. Deshalb ist die Kenntnis strenger Beweisführung notwendig und das sorgfältige Studium dieser Abschnitte dringend anzuraten. + +Im Abschnitt über die Zahlenbereiche wird bei der Darstellung der reellen Zahlen und der Rechengesetze, denen sie genügen, ein axiomatisches Vorgehen erläutert. Die komplexen Zahlen dagegen werden anschaulich eingeführt und auf Grund ihrer Bedeutung in physikalischen und technischen Anwendungen ausführlich behandelt. Bei vielen mathematischen Untersuchungen treten Fragen der Auswahl, der Anordnung oder der Zusammenstellung verschiedenartiger Elemente auf. Sie werden im Kapitel über Kombinatorik näher untersucht. + +Eine zentrale Stellung innerhalb der Mathematik nimmt die Mengenlehre ein. Mit ihren Begriffen lassen sich die mathematischen Disziplinen begründen und die objektiv gegebenen Sachverhalte verschiedener Wissensgebiete erfassen. + +Zwei weitere Abschnitte befassen sich mit den in fast allen Anwendungsgebieten bedeutsamen Begriffen der Abbildung bzw. der Funktion, die mengentheoretisch definiert werden. Der letzte Abschnitt schließlich ist den Zahlenfolgen gewidmet und stellt den wichtigen Grenzwertbegriff bereit. \ No newline at end of file diff --git a/ZumEinfuegen.tex b/ZumEinfuegen.tex new file mode 100644 index 0000000..b192794 --- /dev/null +++ b/ZumEinfuegen.tex @@ -0,0 +1,361 @@ +%!TEX root=Band1.tex + +\einrueckungm{-100}{\[ +\begin{array}{ll} + & p \wedge(p \vee q) \text { und } p \\ + \text { bzw. }\\ + & p \vee(q \wedge r) \text { und }(p \vee q) \wedge(p \vee r) +\end{array} +\]} + +besitzen die gleichen Wahrheitstabellen, realisieren also logisch gleichwertige Aussagenverbindungen. Das hat zur Folge, daß die Wahrheitswerttabellen der Aussagenverbindungen + + +\einrueckungm{-100}{ + +\begin{align} +& p \wedge(p \vee q) \leftrightarrow p \\ +& p \vee(q \wedge r) \leftrightarrow(p \vee q) \wedge(p \vee r) +\end{align}} + + +in der letzten Zeile jeweils nur das Symbol $W$ besitzen, also immer wahre Aussagen darstellen. (Wir werden in Abschnitt \textcolor{red}{\textbf{\textbf{4.1.1}}}. auf diese wichtige Klasse der Aussagenverbindungen, die Tautologien, ausführlich zu sprechen kommen.) + + +\begin{table}[htb] + \floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={left,top},capbesidewidth=4cm}}]{table}[\FBwidth] +{\caption{}\label{tab.3.9}} + { + \begin{tabular}{p{1.8cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ \hline + $r=p \vee q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $s=p \wedge r$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W \leftarrow$\\ + $p$ & $F$ & W & $F$ & $W \leftarrow$\\ \hline + $(p \wedge r) \leftrightarrow p$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\ + \end{tabular} +} +\end{table} + + + +\begin{table}[htb] + \floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={left,top},capbesidewidth=2cm}}]{table}[\FBwidth] + {\caption{}\label{tab.3.10}} + { + \begin{tabular}{p{2cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} + p & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ \hline + $s=q \wedge r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ \hline + $p \vee s$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W \leftarrow$ \\ \hline + $t=p \vee r$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $u=p \vee q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ \hline + $t \wedge u$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W \leftarrow$ \\ \hline + $p \vee s \leftrightarrow t \wedge u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ + \end{tabular} + } +\end{table} + +\textcolor{red}{\textbf{HIER HIER HIER}} + + + + + + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + + + + + + + + +%\begin{figure}[H] +% \centering +% \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/3.4.png} +% \caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \wedge(p \vee q), p$} +% \label{fig:3} +%\end{figure} + +Somit können wir die betrachteten Aussageverbindungen durch Schaltungen realisieren, die jeweils dasselbe leisten (siehe Bild 3.4 und 3.5). Man braucht sicherlich nicht gesondert zu erwähnen, welches die jeweils einfachere Schaltung ist. + +%\begin{figure}[H] +% \centering +% \includegraphics[width=0.7\linewidth]{3.5} +% \caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \vee(q \wedge r),(p \vee q) \wedge(p \vee r)$} +% \label{fig:3} +%\end{figure} + + + +Gelegentlich vereinfacht man die Schreibweise von Ausdrücken der Form wie z. B. +$$ +p \vee(q \wedge r) +$$ +indem man sogenannte Vorrang- oder Klammereinsparungsregeln vereinbart. So hat die Konjunktion $\wedge$ Vorrang vor $\vee$, d. h. man kann anstelle (3.5) auch +$$ +p \vee q \wedge r +$$ +schreiben. +Es sei noch bemerkt, daß Relaiskontaktschaltungen nicht die einzigen technischen Realisierungen der Wahrheitswertfunktion sind. + + + +Die Anwendung der Logik beschränkt sich heute keineswegs mehr auf die Schaltalgebra, d. h. die mathematische Beschreibung, Analyse, Synthese und Optimierung von technischen Schaltungen. Es ist zweckmäßig, die Aussagenlogik auch zur Beschreibung anderer Sachverhalte aus verschiedenen Wissenschaften anzuwenden. + + +\chapter{Einige Beweisprinzipien} +Die nachfolgenden Ausführungen enthalten einige wichtige logische Schlüsse und die Methode der vollständigen Induktion als Beweisprinzipien. Die logischen Schlüsse, welche zuerst behandelt werden, knüpfen unmittelbar an die Grundbegriffe der Ĺogik aus Abschnitt 3. an und sind selbst ein wesentlicher Bestandteil der Logik. Wir werden sie hier an Beispielen erläutern. +\section{Logische Schlüsse} +Beim Beweisen mathematischer Aussagen steht häufig das Problem, daß nicht sofort eine Beweisidee vorhanden ist oder ein direkter Beweis entweder nur schwer oder nicht möglich ist. Betrachten wir zur Erläuterung folgendes + + +Beispiel 4.1: Man beweise: Wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei gleiche Winkel über einer Strecke $\overline{P_1 P_2}$ sind, so geht der durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ bestimmte Kreis $K$ auch durch den Punkt $P_4$. (In Bild 4.1 ist zu sehen, daß der Winkel bei $P_3$ mit $\alpha$, der Winkel bei $P_4$ mit $\beta$ bezeichnet wird.) + +Mit den Hilfsmitteln, die in der Logik bereitgestellt werden, sind wir bereits in der Lage, die zu beweisende mathematische Aussage als Aussagenverbindung darzustellen. Bezeichnen nämlich +$p="` \alpha$ und $\beta$ sind zwei gleiche Winkel über $\bar{P}_1 \overline{P_2}$ "' +$q=$ "`$P_4$ liegt auf dem Kreis $K^{\text {“ }}$ +zweiwertige Aussagen, so haben wir zu beweisen, daß +$p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. +Ein direkter Beweis dieser Implikation gelingt nicht ohne weiteres, und deshalb wird der Beweis mit Hilfe einer Methode des indirekten Beweisens geführt. Man zeigt: + + \begin{minipage}{\linewidth} + \centering + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{figure}[H] + \input{4.1.tikz} + \caption{This is the first figure} + \end{figure} + \end{minipage} + \hspace{0.05\linewidth} + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \begin{figure}[H] + \input{4.2.tikz} + \caption{This is the second figure} + \end{figure} + \end{minipage} +\end{minipage} + + + +\begin{figure}[ht] + \caption{}\label{bild:b04} +\input{4.1.tikz} +\end{figure} +\begin{figure}[ht] + \caption{}\label{bild:b05} + \input{4.2.tikz} +\end{figure} + + +Wenn der Punkt $P_4$ nicht auf dem Kreis $K$ liegt, so ist $\alpha$ ungleich $\beta$. Wie Bild 4.2 zeigt, zerfällt die Aussage $\bar{q}={ }_{,} P_4$ liegt nicht auf dem Kreis $K^{\circ}$ in zwei Fälle: +$$ +\begin{aligned} + & \bar{q}_1={ }_{,} P_4 \text { liegt außerhalb } K^{\circ} \\ + & \bar{q}_2={ }_{,} P_4 \text { liegt innerhalb } K^{\prime}, +\end{aligned} +$$ +d. h. es gilt +$$ +\bar{q}=\text { entweder } \bar{q}_1 \text { oder } \bar{q}_2 \text {. } +$$ + +In jedem dieser beiden Fälle kann man beweisen (der Beweis wird unter Verwendung des Peripheriewinkelsatzes und eines Satzes über Außenwinkel am Dreieck geführt), da $\beta \alpha$ ungleich $\beta$ ist, d. h. +$$ +\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p} \quad \text { und } \quad \bar{q}_2 \rightarrow \bar{p} +$$ +sind wahre Aussagen. +Aufgabe 4.1: Man beweise, daß $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind. +Die Frage ist nun, wieso wir auf Grund dessen, da $\beta \bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind, darauf schließen können, daß auch $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. Der wesentliche Schritt hierbei ist, daß wir begründen : + +Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt „Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$ ", eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor. + +Die oben genannte Begründung kann man wie folgt formulieren: +I. Es ist zu zeigen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ eine wahre Aussage ist. +II. Die Aussagenverbindung +$$ +(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q) +$$ +ist immer eine wahre Aussage, ganz gleich welche konkreten (wahren oder falschen) Aussagen $p$ und $q$ darstellen (Beweis s. Tabelle 4.1). +III. Demzufolge ist auch $(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \wedge((\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q))$ als Konjunktion zweier wahrer Aussagen, wiederum wahr (Tabelle 3.3). +IV. Weil die Aussage +$$ +(s \wedge(s \rightarrow t)) \rightarrow t +$$ +unabhängig davon, welche konkreten (wahren oder falschen) Aussagen $s, t$ in diese Verbindung eingehen, immer wahr ist, können wir mit $s=\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ und $t=p \rightarrow q$ auf die Wahrheit.der Aussage $p \rightarrow q$ schließen (Beweis siehe Tabelle 4.2). (Auf Grund der Wahrheitstabelle der Implikation (Tabelle 3.5) muß bei Richtigkeit der Voraussetzung und der Implikation auch die Behauptung wahr sein.) + + +Sicherlich ist diese Begründung beim ersten Lesen schwer zu verstehen. Andererseits stellt sie aber das Muster für das Verständnis aller logischen Schlüsse dar und sollte deshalb gut durchdacht werden. In den Punkten II. und IV. sind zwei Behauptungen formuliert, die die entscheidende Rolle für die Stichhaltigkeit unserer Begründung spielen. + +Wir behaupten, daß die Aussagenverbindungen (4.1) und (4.2) immer wahre Aussagen darstellen. Den Beweis dafür können wir leicht mit Hilfe der Wahrheitstabellen führen. + +In der letzten Zeile dieser Wahrheitstabellen steht jeweils nur das Symbol $W$, d. h. die Aussagenverbindungen sind immer wahr, ganz gleich ob $p, q, r, s$ wahr oder falsch sind. + +Tabelle 4.1. Kontraposition +\begin{tabular}{l|llll} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline $\bar{p}$. & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ \\ + $\bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ \\ + $u=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + $v=\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$v \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +Tabelle 4.2. Abtrennungsregel +\begin{tabular}{l|llll} + $s$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $t$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$s \rightarrow t$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + $z=s \wedge(s \rightarrow t)$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + \hline$z \rightarrow t$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +Die Begründung einer richtigen logischen Schlußweise liegt also offenbar in der Existenz von Aussagenverbindungen der oben betrachteten Art. Deshalb liegt es nahe, daß wir uns zunächst etwas genauer mit dieser Klasse der immer wahren Aussagenverbindungen beschäftigen. +4.1.1. Tautologien + + +D.4.1 Definition 4.1: Eine Aussagenverbindung heißt Tautologie, wenn die Wahrheitswertfunktion nur den Wert $W$ annimmt, d. h. wenn die letzte Zeile der Wahrheitstabelle nur den Wert $W$ besitzt. (Anstelle von Tautologie ist auch der Begriff Identität gebräuchlich.) + +Wir haben damit eine sehr wesentliche Klasse von Aussagenverbindungen definiert, die allein auf Grund ihrer logischen Struktur stets nur wahre Aussagen enthält. Uns interessiert diese Klasse von Aussagenverbindungen im Hinblick auf weitere logische Schlußfiguren. Deshalb stellen wir nachfolgend einige besonders wichtige Tautologien zusammen und führen den Nachweis über die entsprechenden Wahrheitstabellen. Tautologien sind beispielsweise: + + +1) Abtrennungsregel +2) Indirekter Beweis +3) Fallunterscheidung +4) Kettenschluß +5) Schluß auf eine Äquivalenz +6) Kontraposition +7) Doppelte Verneinung +8) de Morgansche Regeln +$$ +\begin{aligned} + & s \wedge(s \rightarrow t) \rightarrow t \\ + & (q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p \\ + & ((p \vee q) \wedge(p \rightarrow r) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow r \\ + & ((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow(p \rightarrow r) +\end{aligned} +$$ +$((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p)) \rightarrow(p \leftrightarrow q)$ +$(p \rightarrow q) \rightarrow(\bar{q} \rightarrow \bar{p})$ +$$ +(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q) +$$ +$$ +p \leftrightarrow \overline{\bar{p}} +$$ +$$ +\begin{aligned} + & \overline{p \wedge q} \leftrightarrow(\bar{p} \vee \bar{q}) \\ + & \overline{p \vee q} \leftrightarrow(\bar{p} \wedge \bar{q}) +\end{aligned} +$$ +Mit den Tabellen 4.3, 4.4 und 4.5 zeigen wir für drei besonders wichtige dieser Aussagenverbindungen, daß es sich tatsächlich um Tautologien handelt. + + +* Aufgabe 4.2: Man weise nach, daß die Aussagenverbindungen (4.10), (4.11) Tautologien sind! + +Tabelle 4.3. Kettenschluß +\begin{tabular}{l|llllllll} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + $r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$u=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + $v=q \rightarrow r$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $w=p \rightarrow r$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ + $x=u \wedge v$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$x \rightarrow w$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +Tabelle 4.4. Indirekter Beweis +\begin{tabular}{l|llll} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline $\bar{p}$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ \\ + $\bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ \\ + $r=\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $s=q \wedge r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + \hline$s \rightarrow p$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +Tabelle 4.5. Schluß auf Äquivalenz +\begin{tabular}{l|llll} + $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + \hline$r=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ + $s=q \rightarrow p$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ \\ + $t=r \wedge s$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + $u=p \leftrightarrow q$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\ + \hline$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ +\end{tabular} + +4.1.2. Logische Schlußfiguren +Die oben angegebenen Tautologien haben spezielle Bezeichnungen erhalten, die in der Regel mit dem Namen des logischen Schlusses identisch sind, dessen Grundlage sie bilden. Eine Sonderrolle nimmt die Abtrennungsregel (4.2) ein. Streng genommen benötigt man jeweils die Abtrennungsregel, um aus den anderen Tautologien logische Schlüsse aufzubauen, wie wir das mit den Punkten I. bis IV. für ein Beispiel getan haben. Am Beispiel des indirekten Beweises wollen wir noch einmal das Zusammenwirken einer speziellen Tautologie mit der Abtrennungsregel demonstrieren. + +I. Man betrachtet eine Aussage $q$, von der man weiß, daß sie wahr ist, und beweist, daß die Implikation $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ eine wahre Aussage darstellt. +II. Nach Tabelle 4.4 ist $(q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p$ eine Tautologie, also eine stets wahre Aussage. +III. Demzufolge ist auch $(q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \wedge((q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p)$ als Konjunktion wahrer Aussagen wiederum wahr. +IV. Auf Grund der Abtrennungsregel [Tautologie (4.2)] können wir mit $s=$ $q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})$ und $t=p$ auf die Wahrheit der Aussage $p$ schließen. + +Da dieses Vorgehen sehr aufwendig ist und darüber hinaus auch die Übersichtlichkeit bei komplizierteren Schlüssen nicht mehr gegeben ist, hat man ein Schema entwickelt, mit dem man die logischen Schlüsse übersichtlich darstellen kann. In der Darstellung dieses Schemas sprechen wir von logischen Schlußfiguren, die wie folgt aufgebaut werden (Tabelle 4.6): + + +Tabelle 4.6. Schema logischer Schlußfiguren und Beispiel - indirekter Beweis +Voraussetzung 1 +Voraussetzung $k$ +Behauptung 1 +Behauptung $l$ +$q$ +$\frac{\bar{p} \rightarrow \bar{q}}{p}$ + +Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch „und“ also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das „Beweisen“ liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren. + +Nachfolgend geben wir ausgehend von (4.1) bis (4.11) die entsprechenden logischen Schlußfiguren an. + +Im Abschnitt 4.2. werden wir die Anwendung dieser logischen Schlußfiguren auf einige Beispiele aus der Elementarmathematik zeigen. + +Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage ,Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?" zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist. + + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + + + + +%\begin{aligned} +% &\text { Tabelle } 3.9\\ +% &\begin{array}{l|llll} + % + % + % + % + % \\ + % \hline & \leftarrow \\ + % \hline & W + % \end{array} +%\end{aligned} + + +%\begin{aligned} +% &\text { Tabelle } 3.10\\ +% &\begin{array}{l|llllllll} + % + % + % + % + % \hline + % + % \hline + % \hline + % \end{array} +%\end{aligned}