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\section{Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung}
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\subsection{Logische Zeichen}
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Wir haben bereits in \ref{ss:Aussageverbindungen} einige wesentliche Kurzzeichen, die in der Logik zur Beschreibung von Aussagenverbindungen benutzt werden, angegeben.
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Wir wiederholen:
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{\setlength\arrayrulewidth{3pt}
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\begin{tabular}{l|l}
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& \parbox{0.2\linewidth}{$\begin{array}{lcl}\bar{p} & -& \text {nicht } p \\ p \wedge q & -&p \text { und } q \\ p \vee q & -& p \text { oder } q \\ p \rightarrow q & -& \text {wenn } p, \text { so } q \\ p \leftrightarrow q & -& p \text { genau dann, wenn } q\end{array}$ \\ }
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\end{tabular}}
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Die Zeichen - $, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ sind die Kurzzeichen (\textit{Funktoren}) der Aussagenlogik. Darüber hinaus gibt es jedoch einige Zeichen, die insbesondere für mathematische Aussagen von Bedeutung sind. Dazu betrachten wir noch einmal eine Aussageform $p(x)$ mit dem Bereich $X$ der Variablen $x$.
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Es gibt außer der schon behandelten Möglichkeit, von der Aussageform $p(x)$ zu Aussagen überzugehen (einsetzen konkreter $x=x_1 \in X$ ), noch eine andere Möglichkeit, Aussagen mit Hilfe von $p(x)$ zu bilden. Diese Möglichkeit ergibt sich aus der Tatsache, daß beim Einsetzen spezieller $x=x_1 \in X$ in die Aussageform die drei folgenden Fälle eintreten können:
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\begin{enumerate}
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\item Alle entstehenden Aussagen sind wahr,
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\item mindestens eine der entstehenden Aussagen ist wahr und mindestens eine ist falsch,
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\item alle entstehenden Aussagen sind falsch.
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\end{enumerate}
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Entsprechend definieren wir:
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\begin{definition}\label{D.3.3}
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\begin{description}
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\item{(a)} $q=(\forall x) p(x)$, gelesen: ,Für jedes $x$ gilt $p(x)^{\text {“, }}$, ist eine \marginpar[\textbf{D.3.3}]{\textbf{D.3.3}}zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert $W$ besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine wahre Aussage darstellt. Das Symbol $\forall$ heißt \textbf{Allquantor}.
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\item{(b)} $r=(\exists x) p(x)$, gelesen: "`Es existiert ein $x$ so, da $\beta p(x)$ gilt "', ist eine zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert F besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine falsche Aussage darstellt. Das Symbol $\exists$ heißt \textbf{Existenzquantor}.
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\item{(c)} $s=(\mathrm{N} x) p(x)=(\forall x) \overline{p(x)}$, gelesen: "`Für kein $x$ gilt $p(x)$"'. $\mathrm{N}$ heißt \textbf{Nullquantor} und kann leicht auf den \textbf{Allquantor} zurückgeführt werden.
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\end{description}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}\label{B.3.8}
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\einrueckungm{25}{
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\begin{description}
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\item[] $p(x)=$ "`$x$ ist eine gerade Zahl“',
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\item[] $q(x)=$"`Das Quadrat von $x$ ist nicht negativ"',
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\item[] $X=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4, \ldots\}=G \quad$ (Menge der ganzen Zahlen).
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\end{description}
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}
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Dann gilt:
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\einrueckungm{25}{
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\begin{description}
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\item[] $w((\forall x) p(x))=F$, denn z. B. $x=1$ ist eine ungerade Zahl;
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\item[] $w((\exists x) p(x))=W$, denn z. B. $x=2$ ist eine gerade Zahl;
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\item[] $w((\forall x) q(x))=W$, denn das Quadrat einer ganzen Zahl ist nicht negativ;
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\item[] $w((\exists x) q(x))=W$ ist eine Folgerung von $w((\forall x) q(x))=W$.
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\end{description}
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}
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\end{beispiel}
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Die oben genannten Zeichen -- $\vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow$ bilden gemeinsam mit den beiden Quantoren $\forall, \exists$ eine Zeichenmenge, mit der man (unter Zuhilfenahme von Klammern) die Aussagen, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften vorkommen, formalisiert darstellen und auf ihren Wahrheitsgehalt untersuchen kann.
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\begin{aufgabe}
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\einrueckungm{20}{- Es werden folgende Aussageformen betrachtet:
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$$
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\begin{array}{ll}
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q(x)=,, x \text { ist eine Primzahl"; } & r(x)=,, x \text { ist durch } 2 \text { teilbar"; } \\
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s(x)=,, x \text { ist durch } 3 \text { teilbar"; } & t(x)=,, x \text { ist durch } 6 \text { teilbar". }
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\end{array}
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$$
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Dabei ist $x$ eine natürliche Zahl, $x \geqq 1$.
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Man formuliere die folgenden Aussagen verbal und untersuche, ob sie wahr sind:
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\begin{enumerate}
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\item $(\forall x) r(x) \rightarrow \bar{q}(x)$;
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\item $(\forall x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x) \rightarrow q(x)$;
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\item $(\forall x) q(x) \rightarrow \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)$;
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\item $(\forall x) r(x) \wedge s(x) \leftrightarrow t(x)$;
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\item $(\exists x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)\rightarrow q(x)$.
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\end{enumerate}
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}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\einrueckungm{20}{
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Man stelle die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole dar:
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\begin{description}
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\item[a)] Zu einer beliebigen natürlichen Zahl läßt sich immer eine größere Zahl finden, die Primzahl ist.
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\item[b)] Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer als null.
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\end{description}
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Man bilde die Verneinung der durch b) formulierten Aussage!
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}
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\end{aufgabe}
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\subsection{Technische Realisierung der logischen Zeichen}
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Eine wichtige technische Anwendung der Logik ist die Beschreibung von \textit{Schaltkreisen}. So machte Ehrenfest bereits 1910 darauf aufmerksam, daß man die mathematische Logik auf \textit{Relaiskontaktschaltungen} anwenden könne. Die Anwendung begann jedoch erst in den dreißiger Jahren mit den Arbeiten von Shannon. Es entstand die \textit{Schaltalgebra} als mathematische Grundlage für die logischen Schaltungen und speziell für die digitalen Rechenautomaten.
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Betrachten wir einen Stromkreis, der durch Schalter geöffnet werden kann. Dann läßt sich leicht die folgende zweiwertige Aussage definieren
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\einrueckungm{30}{
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$p=$ "`Der Stromkreis ist geschlossen"' $=$ "`Es fließt Strom"'}
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Dabei ist $w(p) \in\{W, F\}$, wobei $W$ dem geschlossenen, $F$ dem geöffneten Stromkreis entspricht.
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Wir wollen jetzt die Wahrheitstabellen (Wahrheitswertfunktionen) der grundlegenden Verknüpfungen (Aussagenverbindungen) durch Schaltungen technisch realisieren.
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In Bild \ref{bild:b01} und Bild \ref{bild:b02} haben wir jeweils zwei Schalter, wobei
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\einrueckungm{30}{
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$p_1=$"`Der Schalter $1$ ist geschlossen"',
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$p_2=$"`Der Schalter $2$ ist geschlossen"'
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}
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wie oben zweiwertige Aussagen sind. Eine Glühlampe $G$ zeigt an, ob der Stromkreis geschlossen oder offen ist. Für die Schaltung aus Bild \ref{bild:b01} gilt
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$$
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w(p)=\left\{\begin{array}{l}
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W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { oder } w\left(p_2\right)=W \\
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F \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=F \text { und } w\left(p_2\right)=F .
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\end{array}\right.
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$$
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Damit ist $p$ also eine Aussagenverbindung von $p_1, p_2$, deren Wahrheitsverhalten mit dem der "`\textit{oder}"'-\textit{Verbindung} (\textit{Alternative}) übereinstimmt. Die \textit{Parallelschaltung} aus Bild \ref{bild:b01} realisiert die Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $p=p_1 \vee p_2$.
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\begin{figure}[ht]
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\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
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{\caption{$p=p_1 \vee p_2$ (Alternative)}\label{bild:b01}}
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{\input{Grafiken/Band1G01.tikz}}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht]
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\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
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{\caption{$p=p_1 \wedge p_2($ Konjunktion $)$}\label{bild:b02}}
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{\input{Grafiken/Band1G02.tikz}}
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\end{figure}
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Für die Reihenschaltung der Schalter $1$ und $2$ aus Bild \ref{bild:b02} können wir uns leicht überlegen, daß der Wahrheitswert der Aussage $p=$"`Der Stromkreis ist geschlossen"'
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$$
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w(p)=\left\{\begin{array}{l}
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W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { und } w\left(p_2\right)=W \\
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F \text { sonst }
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\end{array}\right.
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$$
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ist. Wir sehen also Übereinstimmung mit der Wahrheitstabelle der Konjunktion, und deshalb realisiert die Reihenschaltung aus Bild \ref{bild:b02} die Wahrheitstabelle einer Konjunktion,
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\einrueckungm{30}
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{$p=p_1 \wedge p_2.$
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}
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Das Wahrheitsverhalten der \textit{Negation}, also einer einstelligen Aussagenverbindung, läßt sich schaltungstechnisch durch einen \textit{Ruhekontakt} (Bild \ref{bild:b03}) realisieren.
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\begin{figure}[ht]
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\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
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{\caption{$p=\bar{q}$ (Negation)}\label{bild:b03}}
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{\input{Grafiken/Band1G03.tikz}}
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\end{figure}
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Durch Betrachtung von Bild \ref{bild:b03} sehen wir, der Stromkreis mit der Glühlampe $G$ ist geschlossen, falls der Schalter 1 geöffnet ist und umgekehrt. Es ist also
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$$
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w(p)= \begin{cases}W, & \text { falls } w(q)=F \\ F, & \text { falls } w(q)=W .\end{cases}
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$$
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Deshalb gilt: $p=\bar{q}$.
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Für die Konstruktion von komplizierten elektronischen Schaltungen ist es notwendig, die Wahrheitstabellen $n$-stelliger Aussagenverbindungen schaltungstechnisch zu realisieren, insbesondere auch die der anderen Aussagenverbindungen Implikation, Äquivalénz, Entweder-oder-Verbindung, Sheffersche und Nicodsche Funktion. Ohne auf die Theorie hier näher einzugehen, wollen wir ein grundlegendes und für die Technik äußerst wichtiges Ergebnis formulieren, welches sich im Rahmen der mathematischen Logik beweisen läßt.
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Jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion (Wahrheitstabelle) läßt sich aus den Wahrheitswertfunktionen der Negation, Konjunktion und Alternative (Tabellen \ref{tab.3.2}, \ref{tab.3.3}, \ref{tab.3.4}) durch gewisse Operationen gewinnen. Es ist darüber hinaus sogar möglich, allein mit Hilfe der Wahrheitswertfunktion der Shefferschen bzw. der Nicodschen Funktion (Aufgabe \ref{aufg:3.1}) jede beliebige andere $n$-stellige Wahrheitswertfunktion darzustellen.
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Da sich die Operationen, die für die Darstellungen notwendig sind, schaltungstechnisch gut realisieren lassen, bedeutet dies, daß wir allein mit den drei angegebenen Grundschaltungen (Bilder \ref{bild:b01}, \ref{bild:b02}, \ref{bild:b03}) als Bausteine jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion technisch realisieren können.
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Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.
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Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen
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