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Band4/Band4.md

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 T. Riedrich
 W. Schirotzek
 
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+## 1. Elemente der Theorie der Punktmengen
+### 1.1. Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen
+#### 1.1.1. Definition des $R^n$; Abstand im $R^n$
 
-1. Elemente der Theorie der Punktmengen
+In der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen werden alle Überlegungen in der Menge der reellen Zahlen als Grundmenge durchgeführt. Es bezeichne wie bisher $\mathbb{R}$ oder $R^1$ die Menge der reellen Zahlen. Wir rechnen im $R^1$ nach den üblichen Regeln. Als Abstand $d\left(x_1, x_2\right)$ zweier reeller Zahlen $x_1$ und $x_2$ verwenden wir die Zahl
-1.1. Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen
-1.1.1. Definition des $R^n$; Abstand im $R^n$
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-In der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen werden alle Überlegungen in der Menge der reellen Zahlen als Grundmenge durchgeführt. Es bezeichne wie bisher $\mathbf{R}$ oder $R^1$ die Menge der reellen Zahlen. Wir rechnen im $R^1$ nach den üblichen Regeln. Als Abstand $d\left(x_1, x_2\right)$ zweier reeller Zahlen $x_1$ und $x_2$ verwenden wir die Zahl
 
 $$
 d\left(x_1, x_2\right)=\left|x_1-x_2\right|
 $$
 
 
-Für eine Ausdehnung der Theorie auf Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen ist es erforderlich, neue Grundmengen heranzuziehen. Wir betrachten zunächst Paare von reellen Zahlen und legen für je zwei reelle Zahlen $a, b$ eine Reihenfolge fest. Soll $a$ die erste und $b$ die zweite Zahl sein, so schreiben wir $x_1=a$ und $x_2=b$ und fassen beide Zahlen durch Klammern in der Weise zu einem Paar zusammen, daß wir innerhalb der Klammern $x_1$ an die erste und $x_2$ an die zweite Stelle setzen. Wir schreiben also ( $x_1, x_2$ ) und bezeichnen ( $x_1, x_2$ ) als geordnetes Zahlenpaar. Die Zahlen 3 und -1 können also zu dem Paar $(3,-1)$ oder zu dem Paar $(-1,3)$ zusammengefaßt werden. Zwei geordnete Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ) und ( $y_1, y_2$ ) nennen wir gleich, wenn innerhalb der Klammern an der jeweils entsprechenden Stelle die gleiche Zahl steht. Wir setzen also $\left(x_1, x_2\right)=\left(y_1, y_2\right)$ genau dann, wenn $x_1=y_1$ und $x_2=y_2$ gilt. Somit ist $(3,-1) \neq(-1,3)$ und auch $(3,-1) \neq(3,0)$ wegen $-1 \neq 0$.
+Für eine Ausdehnung der Theorie auf Funktionen von *mehreren* unabhängigen Veränderlichen ist es erforderlich, neue Grundmengen heranzuziehen. Wir betrachten zunächst Paare von reellen Zahlen und legen für je zwei reelle Zahlen $a, b$ eine Reihenfolge fest. Soll $a$ die erste und $b$ die zweite Zahl sein, so schreiben wir $x_1=a$ und $x_2=b$ und fassen beide Zahlen durch Klammern in der Weise zu einem Paar zusammen, daß wir innerhalb der Klammern $x_1$ an die erste und $x_2$ an die zweite Stelle setzen. Wir schreiben also ( $x_1, x_2$ ) und bezeichnen ( $x_1, x_2$ ) als **geordnetes Zahlenpaar**. Die Zahlen 3 und -1 können also zu dem Paar $(3,-1)$ oder zu dem Paar $(-1,3)$ zusammengefaßt werden. Zwei geordnete Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ) und ( $y_1, y_2$ ) nennen wir gleich, wenn innerhalb der Klammern an der jeweils entsprechenden Stelle die gleiche Zahl steht. Wir setzen also $\left(x_1, x_2\right)=\left(y_1, y_2\right)$ genau dann, wenn $x_1=y_1$ und $x_2=y_2$ gilt. Somit ist $(3,-1) \neq(-1,3)$ und auch $(3,-1) \neq(3,0)$ wegen $-1 \neq 0$.
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+Eine geometrische Veranschaulichung von geordneten Zahlenpaaren ist in einer mit einem kartesischen Koordinatensystem versehenen Ebene möglich. Man erkennt an Bild 1.1, daß man das Zahlenpaar ( $x_1, x_2$ ) durch den Punkt $X$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ oder durch den Vektor $\mathbf{x}$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ veranschaulichen
 
-Eine geometrische Veranschaulichung von geordneten Zahlenpaaren ist in einer mit einem kartesischen Koordinatensystem versehenen Ebene möglich. Man erkennt an Bild 1.1, daß man das Zahlenpaar ( $x_1, x_2$ ) durch den Punkt $X$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ oder durch den Vektor $\mathbf{x}$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ veranschauli-