Band 4 erweitert

Band4/Band4.typ

@@ -0,0 +1,229 @@
+#import "@preview/biz-report:0.3.1": authorwrap, dropcappara, infobox, report  
+
+#show text: set text(spacing: 100%) // Erhöht den Abstand zwischen den Wörtern/Zeilen
+// ODER (effektiver):
+#show par: set par(leading: 1em)
+
+/*#set page(
+  paper: "iso-b5"
+)*/
+
+#show: report.with(
+  title: "Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen",
+  publishdate: {},
+  mycolor: rgb("#1300a7"),
+  myfont: "DejaVu Sans"
+)
+
+
+#set par(
+  leading: 1.5em,     // Zeilenabstand
+  spacing: 2em,       // Abstand zwischen Absätzen
+  justify: true       // Blocksatz (sieht im Report meist besser aus)
+)
+
+//Formelnummerierung
+#set math.equation(numbering: "(1.1)")
+
+
+// 1. Die Bezeichnung auf "Bild" ändern
+#set figure(supplement: [Bild])
+#set figure.caption(separator: [ ])
+//#set par(leading: 1.5em)
+
+
+// 2. Die Nummerierung manuell berechnen
+#show figure.where(kind: image): set figure(numbering: (..nums) => {
+  // Holt die aktuelle Nummerierung der Überschriften
+  let h-nums = counter(heading).at(here())
+  
+  // Wenn wir mindestens in einer Sektion (Ebene 2) sind
+  if h-nums.len() >= 2 {
+    // Gibt Kapitel.Sektion.Bildnummer zurück
+    return str(h-nums.at(0)) + "." + str(h-nums.at(1)) + "." + str(nums.pos().last())
+  } else if h-nums.len() == 1 {
+    // Falls nur ein Kapitel existiert: Kapitel.Bildnummer
+    return str(h-nums.at(0)) + "." + str(nums.pos().last())
+  } else {
+    // Falls gar keine Überschrift existiert
+    return str(nums.pos().last())
+  }
+})
+
+// 3. Optional: Den Bild-Zähler bei jeder neuen Sektion (==) zurücksetzen
+#show heading.where(level: 2): it => {
+  it
+  counter(figure.where(kind: image)).update(0)
+}
+
+
+
+//#set figure(supplement: [Bild])
+
+
+//#dropcappara(firstline: "Welcome to this report.")[#lorem(50)]
+
+
+
+
+/*#set text(
+  font: "TeX Gyre Heros",
+  size: 10pt
+)*/
+#set par(
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+
+= Vorwort
+
+//#title[Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen]
+/*#{
+    set page(numbering: {})
+    set align(center)
+    show heading: set block(above: 8 * 1.65em, below: 1.65em)
+    show heading(level: 1): set text(2em)
+    show heading(level: 2): set text(weight: "regular", style: "italic")
+}*/
+
+
+Der vorliegende Band der Lehrbuchreihe „Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte" gehört mit den ersten drei Bänden zu denen, auf welchen alle weiteren Bände wesentlich aufbauen. Der Band 4 ist einerseits eine unmittelbare Fortsetzung des Bandes 2 „Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen“ und bereitet andererseits den Band 5 „Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen" direkt vor. Bei der Übertragung der gewöhnlichen Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen auf den Fall von Funktionen, die von mehreren Veränderlichen abhängen, ergeben sich eine ganze Reihe grundlegender qualitativer Unterschiede in Begriffen, Sätzen und Methoden, so daß ein gesonderter Band speziell über die Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen berechtigt erscheint.
+
+Wie im Band 2 wurden schwierige Beweise im allgemeinen weggelassen und mehr Gewicht auf die anschauliche Interpretation und Anwendung der dargestellten Methoden und Zusammenhänge gelegt.
+
+Für wertvolle Hinweise bei der Vorbereitung der dritten Auflage danken wir vor allem dem Herausgeber, Herrn Prof. Dr. K. Manteuffel (TH Magdeburg) und Herrn Dr. R. Kuhrt (HU Berlin).
+
+#align(left + bottom)[
+   Dresden, März 1980 \
+   \
+  K. Harbarth \
+  T. Riedrich
+]
+
+#pagebreak()
+
+= Vorwort zur vierten Auflage
+
+Im Juli 1981 verstarb plötzlich der Mitautor dieses Bandes, Dozent Dr. rer. nat. Klaus Harbarth. An seiner Stelle wird von nun an Dr. sc. nat. W. Schirotzek als Mitautor tätig sein. Wir werden das Buch im Sinne des Verstorbenen weiterführen und auch damit unserem Kollegen ein bleibendes Andenken bewahren.
+
+In der vierten Auflage wurden nur kleinere Berichtigungen und Ergänzungen angebracht.
+
+#align(left + bottom)[
+   Dresden, im März 1983 \
+   \
+  T. Riedrich \
+  W. Schirotzek
+]
+
+#pagebreak()
+
+= Elemente der Theorie der Punktmengen
+== Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen
+=== Definition des $R^n$; Abstand im $R^n$
+
+In der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen werden alle Überlegungen in der Menge der reellen Zahlen als Grundmenge durchgeführt. Es bezeichne wie bisher $bold{R}$ oder $R^1$ die Menge der reellen Zahlen. Wir rechnen im $R^1$ nach den üblichen Regeln. Als Abstand $d(x_1, x_2)$ zweier reeller Zahlen $x_1$ und $x_2$ verwenden wir die Zahl
+
+$ d(x_1, x_2)=abs(x_1-x_2) $
+
+Für eine Ausdehnung der Theorie auf Funktionen von *mehreren* unabhängigen Veränderlichen ist es erforderlich, neue Grundmengen heranzuziehen. Wir betrachten zunächst Paare von reellen Zahlen und legen für je zwei reelle Zahlen $a, b$ eine Reihenfolge fest. Soll $a$ die erste und $b$ die zweite Zahl sein, so schreiben wir $x_1=a$ und $x_2=b$ und fassen beide Zahlen durch Klammern in der Weise zu einem Paar zusammen, daß wir innerhalb der Klammern $x_1$ an die erste und $x_2$ an die zweite Stelle setzen. Wir schreiben also ( $x_1, x_2$ ) und bezeichnen ( $x_1, x_2$ ) als *geordnetes Zahlenpaar*. Die Zahlen 3 und -1 können also zu dem Paar $(3,-1)$ oder zu dem Paar $(-1,3)$ zusammengefaßt werden. Zwei geordnete Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ) und ( $y_1, y_2$ ) nennen wir gleich, wenn innerhalb der Klammern an der jeweils entsprechenden Stelle die gleiche Zahl steht. Wir setzen also $(x_1, x_2)=(y_1, y_2)$ genau dann, wenn $x_1=y_1$ und $x_2=y_2$ gilt. Somit ist $(3,-1) \neq(-1,3)$ und auch $(3,-1) \neq(3,0)$ wegen $-1 \neq 0$.
+
+Eine geometrische Veranschaulichung von geordneten Zahlenpaaren ist in einer mit einem kartesischen Koordinatensystem versehenen Ebene möglich. Man erkennt an Bild 1.1, daß man das Zahlenpaar ( $x_1, x_2$ ) durch den Punkt $X$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ oder durch den Vektor $bold{x}$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ 
+
+#figure(
+  image("Band4_1.1.png", width: 60%),
+  caption: [
+  ],
+)
+
+veranschaulichen kann. Gleichbedeutend sprechen wir in diesem Zusammenhang also von dem *geordneten Zahlenpaar* ( $x_1, x_2$ ), dem *Punkt* $X(x_1, x_2)$ oder dem *Vektor* $bold{x}=x_1 bold{e}_1+x_2 bold{e}_2$. Eine Menge von geordneten Zahlenpaaren nennen wir demzufolge auch eine Punktmenge. Unter dem $R^2$ verstehen wir die Menge aller geordneten Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ).
+Sind $X(x_1, x_2)$ und $Y(y_1, y_2)$ zwei beliebige Punkte des $R^2$, so bezeichnet man unter Beachtung des Satzes von Pythagoras die Zahl
+
+$ d(X, Y)=sqrt((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2) $
+
+#figure(
+  image("Band4_1.2.png", width: 65%),
+  caption: [
+  ],
+)
+<Bild_1.2>
+
+als Abstand der Punkte $X$ und $Y$ (vgl. Bild 1.2). Bei Benutzung der Vektorschreibweise $bold{x}=x_1 bold{e}_1+x_2 bold{e}_2$ und $bold{y}=y_1 bold{e}_1+y_2 bold{e}_2$ bzw. der Koordinatenschreibweise hätte man zu formulieren:
+
+​#h(1cm)$ d(x,y)=sqrt((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2)$
+
+bzw.
+
+​#h(1cm)$d((x_1, x_2),(y_1, y_2))=sqrt((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2) .$
+
+Speziell für $X(-1,3)$ und $Y(5,-4)$ erhält man
+
+​#h(1cm)$d(X, Y)=sqrt((-1-5)^2+(3+4)^2)=sqrt(36+49)=sqrt(85).$
+
+
+Je zwei Punkten $X$ und $Y$ ist also eine nichtnegative reelle Zahl $d(X, Y)$ als Abstand zwischen $X$ und $Y$ zugeordnet. Man sagt für diesen Sachverhalt auch, daß im $R^2$ eine *Abstandsfunktion* oder *Metrik* erklärt ist. Man erkennt leicht, daß die Metrik im $R^2$ die von der Abstandsfunktion (1.1) im $R^1$ her bekannten drei Eigenschaften erfüllt:
+
+
+/*#figure(
+  grid(
+    columns: (auto, 1fr), // Strich nimmt so viel Platz wie nötig, Formel den Rest
+    column-gutter: 2em,   // Abstand zwischen Strich und Formel
+    align: horizon,       // Vertikal zentrieren
+    
+    // Linke Seite: Der vertikale Strich
+    line(angle: 90deg, length: 4cm, stroke: 5pt + gray),
+    
+    // Rechte Seite: Die Formel
+    + $ d(X, Y) \geqq 0 \text{ für beliebige }X, Y \in R^2 \text{ und } d(X, Y)=0 \text{ genau dann, wenn }X=Y $;
+    + $ d(X, Y)=d(Y, X)$ für beliebige $X, Y \in R^2$;
+     $ d(X, Z) \leqq d(X, Y)+d(Y, Z)$ für beliebige $X, Y, Z \in R^2$.
+  ),
+)*/
+
+#figure(
+  grid(
+    columns: (auto, 1fr),
+    column-gutter: 2em,
+    align: horizon,
+    
+    line(angle: 90deg, length: 25mm, stroke: 3.5pt),
+    
+    {
+      // Diese Regel wirkt nur innerhalb dieser Grid-Zelle:
+      set math.equation(block: true)
+      show math.equation: set align(left)
+      
+      enum(
+        spacing: 1.5em,
+        [$ d(X, Y) >= " für beliebige " X, Y in R^2 " und " d(X, Y)= 0 " genau dann, wenn " X=Y $],
+        [$ d(X, Y) = d(Y, X)" für beliebige "X, Y in R^2 $],
+        [$ d(X, Z) <= d(X, Y)+d(Y, Z) "für beliebige" X, Y, Z in R^2 $ <eq1.5>]
+      )
+    }
+  ),
+  )
+
+
+Eigenschaft (@eq1.5) heißt Dreiecksungleichung. Der Name wird deutlich, wenn man z. B. die Abstände in dem in Bild (@Bild_1_3) gezeichneten Dreieck betrachtet.
+
+
+
+#figure(
+  image("Band4_1.3.png", width: 65%),
+  caption: [
+  ],
+)
+<Bild_1_3>
+
+
+Zusammen mit der Metrik (1.2) bezeichnet man den $R^2$ auch als zweidimensionalen euklidischen Raum.
+
+Alle angestellten Überlegungen können wörtlich zur Definition des dreidimensionalen euklidischen Raumes $R^3$ bzw. allgemein zur Definition des $n$-dimensionalen euklidischen Raumes $R^n$ übernommen werden. Der $R^n$ ist also die Menge aller geordneten $n$-Tupel von reellen Zahlen; wir bezeichnen sie mit $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. 
+
+
+
+
+/*Der Index gibt die Stelle an, an welcher die betreffende Zahl angeordnet werden soll. Für zwei $n$-Tupel gilt die Gleichheit $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right)$ genau dann, wenn zugleich $x_1=y_1, x_2=y_2, \ldots, x_n=y_n$ erfüllt ist. Für die Verschiedenheit zweier $n$-Tupel reicht also aus, daß an mindestens einer Stelle innerhalb der beiden $n$-Tupel verschiedene reelle Zahlen stehen. Die geordneten $n$-Tupel bezeichnen wir auch als Punkte eines $n$-dimensionalen Raumes und die Zahlen innerhalb der $n$-Tupel dann als Koordinaten der Punkte. Punkte im $R^2$ bzw. $R^3$ bezeichnet man gelegentlich auch durch $(x, y)$ oder $(a, b)$ oder $\left(x_0, y_0\right)$ bzw. durch $(x, y, z)$ oder $(a, b, c)$ oder $\left(x_0, y_0, z_0\right)$; d.h., man verzichtet hier auch gelegentlich auf die konsequente Verwendung der Indexschreibweise ( $x_1, x_2$ ) bzw. ( $x_1, x_2, x_3$ ) zur Kennzeichnung der Anordnung innerhalb der Paare bzw. Tripel. Unter dem Abstand zweier Punkte $X\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ und $Y\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right)$ versteht man die nichtnegative Zahl
+
+$$
+d(X, Y)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-y_n\right)^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n\left(x_k-y_k\right)^2} .
+$$*/