Bis 2.5 Grenzwerte
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Sven Riwoldt
@@ -196,7 +196,7 @@ Man kann den Beweis auch dadurch führen, daß man zwei Folgen $\left(x_n\right)
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\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\mathrm{e} .
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\end{align}
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Ohne Beweis \footnote{Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].} sei mitgeteilt, daß (2.6) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
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Ohne Beweis\footnote{Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].} sei mitgeteilt, daß (2.6) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
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\begin{align}
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\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}
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\end{align}
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@@ -454,17 +454,17 @@ d.h., nach hinreichend langer Zeit $t$ hat die Geschwindigkeit $v$ nahezu den ko
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Besitzt eine Funktion $f$ für eine der "`Bewegungen"'
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\begin{align}
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x \rightarrow x_0 ; \quad x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty
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\begin{align}\label{eq:2.17}
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x \rightarrow x_0 ; \quad x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty
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\end{align}
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einen Grenzwert, dann heißt sie für diese "`Bewegung"' konvergent, andernfalls divergent. Wie für Zahlenfolgen kann man auch für Funktionen zwei Arten der Divergenz unterscheiden.
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einen Grenzwert, dann heißt sie für diese "`Bewegung"' \textit{konvergent}, andernfalls \textit{divergent}. Wie für Zahlenfolgen kann man auch für Funktionen zwei Arten der Divergenz unterscheiden.
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\begin{definition}\label{def:2.4}
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Die Funktion $f$ heißt\textbf{ bestimmt}\marginpar[\textbf{D.2.4}]{\textbf{D.2.4}} \textbf{divergent gegen} $+\infty(\text{bzw.}-\infty)$ für eine der "`Bewegungen"' (2.17) der unabhängigen Variablen $x$, wenn für jede diese "`Bewegung"' realisierende Folge\footnote{Man sagt z. B., die Folge $\left(x_n\right)$ \textit{realisiere} die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0+0$, wenn $x_n>x_0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt.} $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty($ bzw. $-\infty)$ ist.
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Die Funktion $f$ heißt\textbf{ bestimmt}\marginpar[\textbf{D.2.4}]{\textbf{D.2.4}} \textbf{divergent gegen} $+\infty(\text{bzw.}-\infty)$ für eine der "`Bewegungen"' (\ref{eq:2.17}) der unabhängigen Variablen $x$, wenn für jede diese "`Bewegung"' realisierende Folge\footnote{Man sagt z. B., die Folge $\left(x_n\right)$ \textit{realisiere} die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0+0$, wenn $x_n>x_0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt.} $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty($ bzw. $-\infty)$ ist.
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Ist $f$ für eine der "`Bewegungen"' (2.17) weder konvergent noch bestimmt divergent, so heißt $f$ für diese "`Bewegung"' \textbf{unbestimmt divergent}.
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Ist $f$ für eine der "`Bewegungen"' (\ref{eq:2.17}) weder konvergent noch bestimmt divergent, so heißt $f$ für diese "`Bewegung"' \textbf{unbestimmt divergent}.
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\end{definition}
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@@ -476,70 +476,98 @@ und sagt auch, $f$ habe für $x \rightarrow x_0$ den \textit{uneigentlichen Gren
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\begin{beispiel} \label{bsp:2.12}
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Es gilt
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\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}=+\infty
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(s. Bild \ref{fig:b2.2.12}), denn in Band 1, Beispiel 10.11, wurde gezeigt, daß für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n \neq 0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ die Folge $\left(\frac{1}{x_n^2}\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
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\end{beispiel}
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\begin{beispiel} \label{bsp:2.13}
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Es soll die Grenzwertaussage
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$$
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\lim _{x \rightarrow+0} \ln x=-\infty
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$$
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bewiesen werden. Es sei $\left(x_n\right)$ eine Nullfolge mit $x_n>0$ für alle $n$. Zu jeder (insbesondere beliebig großen) Zahl $K>0$ existiert dann eine natürliche Zahl $n_0=n_0(K)$, so daß gilt
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$$
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\begin{array}{lll}
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&x_n=\left|x_n-0\right|<\mathrm{e}^{-K} & \text { für alle } n \geqq n_0, \\
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\text{also } & &\\
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&\ln x_n<-K & \text { für alle } n \geqq n_0 .
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\end{array}
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$$
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Daraus folgt $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln x_n=-\infty$, und die Behauptung ist bewiesen.
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\end{beispiel}
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\begin{beispiel} \label{bsp:2.14}
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Die Funktion $f(x)=\sin x$ ist für $x \rightarrow+\infty$ unbestimmt divergent. Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=n \pi-\frac{\pi}{2}(n=1$, $2, \ldots)$ : Offenbar gilt $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$, aber wegen $f\left(x_n\right)=(-1)^{n+1}$ ist die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ unbestimmt divergent. Ganz entsprechend hatten wir bereits in Beispiel 2.4 gezeigt, daß die Funktion $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x \neq 0$ ) für $x \rightarrow 0$ unbestimmt divergent ist.
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\end{beispiel}
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\section{Grenzwertsätze}
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In diesem Abschnitt werden einige Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen angegeben. Da der Grenzwertbegriff für Funktionen auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt wurde, kann man diese Regeln leicht aus den entsprechenden Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen ableiten. Wir verzichten auf eine Durchführung der Beweise.
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\begin{bemerkung}
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Die folgenden für die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0$ formulierten Sätze gelten sinngemäß \footnote{1) Wird z. B. statt $x \rightarrow x_0$ die "`Bewegung"' $x \rightarrow+\infty$ betrachtet, so ist in den folgenden Sätzen ,"`punktierte Umgebung von $x_0$ "' durch "`Intervall $(a,+\infty)$"' zu ersetzen. Analog ist in den anderen Fällen zu verfahren.} auch für die "`Bewegungen"'
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x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty .
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}
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Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ seien\reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.3}]{\textbf{S.2.3}} \label{satz:2.3} für $x \rightarrow x_0$ konvergent mit
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$$
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\lim _{x \rightarrow x_0} f_1(x)=g_1, \quad \lim _{x \rightarrow x_0} f_2(x)=g_2 .
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Dann gilt
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$$
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\begin{aligned}
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]=g_1+g_2, \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]=g_1-g_2, \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[c f_1(x)\right]=c g_1 \quad(c \text { eine Konstante }), \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x) \cdot f_2(x)\right]=g_1 \cdot g_2 .
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\end{aligned}
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$$
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Ist außerdem $f_2(x) \neq 0$ für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ und $g_2 \neq 0$, dann gilt auch
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$$
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\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{g_1}{g_2} .
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$$
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\end{satz}
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\begin{beispiel} \label{bsp:2.15}
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\end{beispiel}
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HIERHIERHIERHIERHIER
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Beispiel 2.12: Es gilt
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$$
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\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}=+\infty
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$$
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(s. Bild 2.12), denn in Band 1, Beispiel 10.11, wurde gezeigt, daß für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n \neq 0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ die Folge $\left(\frac{1}{x_n^2}\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
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Beispiel 2.13: Es soll die Grenzwertaussage
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$$
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\lim _{x \rightarrow+0} \ln x=-\infty
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$$
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bewiesen werden. Es sei $\left(x_n\right)$ eine Nullfolge mit $x_n>0$ für alle $n$. Zu jeder (insbeson
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dere beliebig großen) Zahl $K>0$ existiert dann eine natürliche Zahl $n_0=n_0(K)$, so daß gilt also
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\begin{array}{ll}
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x_n=\left|x_n-0\right|<\mathrm{e}^{-K} & \text { für alle } n \geqq n_0, \\
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\ln x_n<-K & \text { für alle } n \geqq n_0 .
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\end{array}
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Daraus folgt $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln x_n=-\infty$, und die Behauptung ist bewiesen.
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Beispiel 2.14: Die Funktion $f(x)=\sin x$ ist für $x \rightarrow+\infty$ unbestimmt divergent. Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=n \pi-\frac{\pi}{2}(n=1$, $2, \ldots)$ : Offenbar gilt $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$, aber wegen $f\left(x_n\right)=(-1)^{n+1}$ ist die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ unbestimmt divergent. Ganz entsprechend hatten wir bereits in Beispiel 2.4 gezeigt, daß die Funktion $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x \neq 0$ ) für $x \rightarrow 0$ unbestimmt divergent ist.
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2.5. Grenzwertsätze
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In diesem Abschnitt werden einige Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen angegeben. Da der Grenzwertbegriff für Funktionen auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt wurde, kann man diese Regeln leicht aus den entsprechenden Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen ableiten. Wir verzichten auf eine Durchführung der Beweise.
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Bemerkung 2.1: Die folgenden für die ,,Bewegung“ $x \rightarrow x_0$ formulierten Sätze gelten sinngemä $\beta^1$ ) auch für die ,,Bewegungen“
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x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty .
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Satz 2.3: Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ seien für $x \rightarrow x_0$ konvergent mit
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S. 2.3
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\lim _{x \rightarrow x_0} f_1(x)=g_1, \quad \lim _{x \rightarrow x_0} f_2(x)=g_2 .
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Dann gilt
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]=g_1+g_2, \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]=g_1-g_2, \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[c f_1(x)\right]=c g_1 \quad(c \text { eine Konstante }), \\
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& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x) \cdot f_2(x)\right]=g_1 \cdot g_2 .
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\end{aligned}
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Ist außerdem $f_2(x) \neq 0$ für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ und $g_2 \neq 0$, dann gilt auch
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\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{g_1}{g_2} .
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1) Wird z. B. statt $x \rightarrow x_0$ die „Bewegung“ $x \rightarrow+\infty$ betrachtet, so ist in den folgenden Sätzen ,,punktierte Umgebung von $x_0$ " durch „Intervall $(a,+\infty)$ " zu ersetzen. Analog ist in den anderen Fällen zu verfahren.
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Beispiel 2.15: Gesucht ist der Grenzwert
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