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Band2/Band2.typ

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 #deckblatt(bandnr: "2", autor: tt, titel: "Differential- und Integralrechnung\nfür Funktionen\nmit einer Variablen")
 
 
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@@ -430,11 +431,144 @@ Unter Verwendung von @eq22 und bekannten Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen folg
 
 Die Gültigkeit von @eq24 wurde für eine beliebige und damit für jede Folge $\(x_n)$ mit den Eigenschaften @eq23 bewiesen. Daher gilt
 
-/* $$
+/* 
+
+$$
 \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=1,
 $$
 
-was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild 2.2). */
+was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild 2.2).
+
+Beispiel 2.3: Wir wollen den Grenzwert der Funktion
+
+$$
+f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
+\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2} \\
+2 & \text { für } & x=\frac{1}{2}
+\end{array}\right.
+$$
+
+für $x \rightarrow \frac{1}{2}$ ermitteln (s. Bild 2.5).
+
+Obwohl $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $\left(x_n\right)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2}$ betrachtet, für die $x_n \neq \frac{1}{2}$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in Beispiel 2.2
+
+$$
+\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n^2-\frac{1}{4}}{x_n-\frac{1}{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=1,
+$$
+
+also ist
+
+$$
+\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} f(x)=1
+$$
+
+* Aufgabe 2.1: Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte:
+a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+2}{x-1}$,
+b) $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^2-4}{x+2}$.
+
+Beispiel 2.4: Nun soll das Verhalten von $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x \neq 0)$ für $x \rightarrow 0$ untersucht werden. Die Bildkurve von $f$ (Bild 2.6) schwankt für $x \rightarrow 0$ ständig zwischen -1 und 1 , wobei die Scheitel immer dichter aufeinander folgen. Wir wollen zeigen, daß $f$ für $x \rightarrow 0$ keinen Grenzwert hat. Dazu genügt es, eine Folge ( $x_n$ ) mit
+
+$$
+x_n \neq 0 \text { für alle } n \text { und } \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0
+$$
+
+anzugeben, für die die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ divergent ist. Setzen wir zum Beispiel $x_n=\frac{2}{(2 n-1) \pi}$, dann gilt (2.5), aber wegen
+
+$$
+f\left(x_n\right)=\sin (n \pi-\pi / 2)=(-1)^{n+1}
+$$
+
+ist die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ (unbestimmt) divergent.
+
+
+Man kann den Beweis auch dadurch führen, daß man zwei Folgen $\left(x_n\right)$ und $\left(\tilde{x}_n\right)$ mit den Eigenschaften (2.5) angibt, für die die Folgen $\left(f\left(x_n\right)\right)$ und $\left(f\left(\tilde{x}_n\right)\right)$ verschiedene Grenzwerte haben.
+
+Aufgabe 2.2: Führen Sie den Beweis in der soeben angedeuteten Weise durch!
+Beispiel 2.5: Abschließend betrachten wir noch die Funktion
+
+$$
+f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \quad(x>-1, x \neq 0) \text { für } \quad x \rightarrow 0 \text {. }
+$$
+
+
+Für die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=\frac{1}{n}$ gilt (vgl. Band 1, Abschnitt 10.7.)
+
+$$
+\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\mathrm{e} .
+$$
+
+
+Ohne Beweis ${ }^1$ ) sei mitgeteilt, daß (2.6) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
+
+$$
+\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}
+$$
+
+2.1.2. Die „ $\varepsilon-\delta$-Charakterisierung" des Grenzwertes
+
+Auf Grund der Anschauung wird man vermuten, daß man die Gleichung $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$ auch folgendermaßen interpretieren kann:
+,,Der Abstand zwischen $f(x)$ und $g($ also $|f(x)-g|)$ ist beliebig klein, wenn nur der Abstand zwischen $x$ und $x_0$ hinreichend klein, aber von null verschieden ist." In geeigneter Präzisierung ist das der Inhalt des folgenden Satzes, den wir ohne Beweis angeben.
+
+
+Satz 2.1: Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einer punktierten Umgebung der Stelle $x_0$
+S. 2.1 definiert. Genau dann gilt $\lim f(x)=g$, wenn $z u$ jeder (insbesondere jeder beliebig kleinen) Zahl $\varepsilon>0$ eine $\begin{gathered}\mathrm{Xahl} \quad \mathrm{Xax} \\ \text { Zahl }\end{gathered}=\delta(\varepsilon)>0$ existiert, so daß gilt
+
+$$
+|f(x)-g|<\varepsilon
+$$
+
+für alle $x$ mit
+
+$$
+0<\left|x-x_0\right|<\delta .
+$$
+
+
+Eine geometrische Deutung dieses Satzes gibt Bild 2.7. Mit den dort verwendeten Bezeichnungen bedeutet $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$, daß zu jedem (noch so schmalen) „ $\varepsilon$-Streifen“
+
+
+${ }^1$ ) Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].
+
+
+um $y=g$ ein „ $\delta$-Streifen" um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der Bildkurve von $f$, die in diesem " $\delta$-Streifen" - außer auf der Mittellinie $x=x_0{ }^1$ ) - liegen, auch dem vorgegebenen ,, $\varepsilon$-Streifen" angehören. Dabei ist offenbar $\delta$ im allgemeinen um so kleiner zu wählen, je kleiner $\varepsilon$ vorgegeben ist. Diesen Sachverhalt soll die Schreibweise $\delta=\delta(\varepsilon)$ zum Ausdruck bringen.
+
+Beispiel 2.6: Als Anwendung des Satzes wollen wir zeigen, daß
+
+$$
+\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}=\sqrt{x_0} \quad\left(x_0>0\right)
+$$
+
+gilt (Bild 2.8). Es sei ein beliebiges $\varepsilon>0$ gegeben. Gemäß (2.8) ist $\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|$ abzuschätzen. Wir erweitern mit $\sqrt{x}+\sqrt{x_0}$ und erhalten
+
+$$
+\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|=\frac{\left|x-x_0\right|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \leqq \frac{1}{\sqrt{x_0}}\left|x-x_0\right|<\varepsilon
+$$
+
+für alle $x \geqq 0$ mit $\left|x-x_0\right|<\sqrt{x_0} \varepsilon$. Daher setzen wir $\delta$ gleich der kleineren der beiden Zahlen $x_0$ und $\sqrt{x_0} \varepsilon$. Für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$ gilt dann $x \geqq 0$ (warum?) und (2.11).
+
+
+
+
+2.2 Einseitige Grenzwerte
+
+Für die Existenz des Grenzwertes $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ ist die Voraussetzung $x_0>0$ wesentlich (s. (2.10)), denn für $x_0 \leqq 0$ gibt es keine punktierte Umgebung von $x_0$, in der die Funktion $f(x)=\sqrt{x}(x \geqq 0)$ definiert ist. Im Falle $x_0 \leqq 0$ existiert $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ also nicht. Der Stelle $x_0=0$ kann man sich aber immerhin noch „von rechts nähern“, ohne den Definitionsbereich von $f$ zu verlassen. Diese Überlegung führt zum Begriff der einseitigen Grenzwerte.
+D. 2.2 Definition 2.2: Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einem Intervall ( $\left.x_0, x_0+c\right)^2$ ) $(c>0)$ definiert. Eine Zahl $g_{\mathrm{r}}$ heißt rechtsseitiger Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$, in Zeichen
+
+$$
+\left.\left.\lim _{x \rightarrow x_0+0} f(x)=g_r \quad \text { oder } \quad f(x) \rightarrow g_r \quad \text { für } \quad x \rightarrow x_0+0\right)^3\right),
+$$
+
+${ }^1$ ) Man beachte, daß $\left|x-x_0\right|>0$ äquivalent zu $x \neq x_0$ ist.
+${ }^2$ ) Ein solches Intervall nennt man auch punktierte rechtsseitige Umgebung von $x_0$.
+${ }^3$ ) Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$, für $x \rightarrow 0+0$ ) schreibt man kurz $\lim _{x \rightarrow+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$ für $x \rightarrow+0$ ).
+
+
+
+
+
+
+
+*/
 
 ]