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Sven Riwoldt
2024-02-13 19:15:10 +01:00
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68
Band2/Grenzwert.tex
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@@ -18,12 +18,12 @@ Als Vorbereitung auf den Grenzwertbegriff für Funktionen behandeln wir das
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{B.2.1}
\includegraphics[width=\linewidth]{Grafiken/B2_1.png}
\caption{}\label{fig:b2.2.1}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{B.2.2}
\includegraphics[width=\linewidth]{Grafiken/B2_2.png}
\caption{}\label{fig:b2.2.2}
\end{minipage}
\end{figure}
@@ -58,7 +58,7 @@ $$
\centering
% \includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.3}
%\frame{
\input{B2.3.tikz}
\input{Grafiken/B2_3.tikz}
%}
\caption{}
\label{fig:b2.2.3}
@@ -80,7 +80,7 @@ In Bild \ref{fig:b2.2.4} haben wir die ersten drei Glieder einer Folge $\left(x_
\begin{figure}[h]
\centering
%\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.4}
\input{B2.4.tikz}
\input{Grafiken/B2_4.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.4}
\end{figure}
@@ -126,7 +126,7 @@ In Bild \ref{fig:b2.2.4} haben wir die ersten drei Glieder einer Folge $\left(x_
\begin{figure}[h]
\centering
%\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.5}
\input{B2.5.tikz}
\input{Grafiken/B2_5.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.5}
\end{figure}
@@ -167,7 +167,7 @@ In Bild \ref{fig:b2.2.4} haben wir die ersten drei Glieder einer Folge $\left(x_
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.6.tikz}
\input{Grafiken/B2_6.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.6}
\end{figure}
@@ -231,7 +231,7 @@ Eine geometrische Deutung dieses Satzes gibt Bild \ref{fig:b2.2.7}. Mit den dort
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.7}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_7.png}
\caption{}
\label{fig:b2.2.7}
\end{figure}
@@ -254,7 +254,7 @@ um $y=g$ ein , $\delta$-Streifen" um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.8.tikz}
\input{Grafiken/B2_8.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.8}
\end{figure}
@@ -286,7 +286,7 @@ Für die Existenz des Grenzwertes $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ ist die V
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.9.tikz}
\input{Grafiken/B2_9.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.9}
\end{figure}
@@ -323,7 +323,7 @@ Das folgende Beispiel zeigt, daß der Begriff des einseitigen Grenzwertes auch f
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.10.tikz}
\input{Grafiken/B2_10.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.10}
\end{figure}
@@ -372,7 +372,7 @@ Geometrisch bedeutet $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g$, daß sich die Bildku
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.11.tikz}
\input{Grafiken/B2_11.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.11}
\end{figure}
@@ -393,7 +393,7 @@ Im Zusammenhang mit den folgenden Beispielen sei an die Bildkurven der jeweilige
\begin{figure}[h]
\centering
\input{B2.12.tikz}
\input{Grafiken/B2_12.tikz}
\caption{}
\label{fig:b2.2.12}
\end{figure}
@@ -432,8 +432,6 @@ Ist $x$ eine Variable für die Zeit, dann bedeutet die Existenz von $\lim _{x \r
Die Geschwindigkeit\footnote{In \textcolor{red}{4.2.2.} werden wir die Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung exakt definieren.} $v$ eines fallenden Körpers der Masse $m$ ist unter der Annahme eines geschwindigkeitsproportionalen Luftwiderstands (Proportionalitätsfaktor $k>0$ ) durch
\end{beispiel}
$$
v=\left(v_0-\frac{m \mathrm{~g}}{k}\right) \mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}+\frac{m \mathrm{~g}}{k} \quad(t \geqq 0)
$$
@@ -444,38 +442,46 @@ gegeben ( $t$ : Zeit, $v_0$ : Geschwindigkeit zur Zeit $t=0, \mathrm{~g}$ : Erdb
d.h., nach hinreichend langer Zeit $t$ hat die Geschwindigkeit $v$ nahezu den konstanten Wert $\frac{m \mathrm{~g}}{k}$. In Bild 2.13 haben wir $v$ als Funktion von $t$ für den Fall $v_0<\frac{m \mathrm{~g}}{k}$ dargestellt.
\section{Bestimmte und unbestimmte Divergenz}
Besitzt eine Funktion $f$ für eine der "`Bewegungen"'
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.13}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_13.png}
\caption{}
\label{fig:b2.2.13}
\end{figure}
\end{beispiel}
\section{Bestimmte und unbestimmte Divergenz}
HIERHIERHIERHIERHIER
Besitzt eine Funktion $f$ für eine der "`Bewegungen"'
\begin{align}
x \rightarrow x_0 ; \quad x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty
\end{align}
einen Grenzwert, dann heißt sie für diese „Bewegung“ konvergent, andernfalls divergent. Wie für Zahlenfolgen kann man auch für Funktionen zwei Arten der Divergenz unterscheiden.
einen Grenzwert, dann heißt sie für diese "`Bewegung"' konvergent, andernfalls divergent. Wie für Zahlenfolgen kann man auch für Funktionen zwei Arten der Divergenz unterscheiden.
\begin{definition}\label{def:2.4}
Die Funktion $f$ heißt bestimmt\marginpar[\textbf{D.2.4}]{\textbf{D.2.4}} divergent gegen $+\infty(\text{bzw.}-\infty)$ für eine der
Die Funktion $f$ heißt\textbf{ bestimmt}\marginpar[\textbf{D.2.4}]{\textbf{D.2.4}} \textbf{divergent gegen} $+\infty(\text{bzw.}-\infty)$ für eine der "`Bewegungen"' (2.17) der unabhängigen Variablen $x$, wenn für jede diese "`Bewegung"' realisierende Folge\footnote{Man sagt z. B., die Folge $\left(x_n\right)$ \textit{realisiere} die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0+0$, wenn $x_n>x_0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt.} $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty($ bzw. $-\infty)$ ist.
Ist $f$ für eine der "`Bewegungen"' (2.17) weder konvergent noch bestimmt divergent, so heißt $f$ für diese "`Bewegung"' \textbf{unbestimmt divergent}.
\end{definition}
„Bewegungen“ (2.17) der unabhängigen Variablen $x$, wenn für jede diese „Bewegung“ realisierende Folge $\left.{ }^1\right)\left(x_n\right)$ in $D(f)$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty($ bzw. $-\infty)$ ist.
Ist $f$ für eine der „Bewegungen“ (2.17) weder konvergent noch bestimmt divergent, so heißt $f$ für diese „Bewegung“ unbestimmt divergent.
Ist $f$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ für $x \rightarrow x_0$, so schreibt man
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=+\infty
$$
und sagt auch, $f$ habe für $x \rightarrow x_0$ den uneigentlichen Grenzwert $+\infty$. Analoge Schreibund Sprechweisen sind in den anderen Fällen bestimmter Divergenz üblich.
und sagt auch, $f$ habe für $x \rightarrow x_0$ den \textit{uneigentlichen Grenzwert} $+\infty$. Analoge Schreib- und Sprechweisen sind in den anderen Fällen bestimmter Divergenz üblich.
\begin{beispiel} \label{bsp:2.12}
\end{beispiel}
HIERHIERHIERHIERHIER
@@ -489,7 +495,7 @@ Beispiel 2.13: Es soll die Grenzwertaussage
$$
\lim _{x \rightarrow+0} \ln x=-\infty
$$
bewiesen werden. Es sei $\left(x_n\right)$ eine Nullfolge mit $x_n>0$ für alle $n$. Zu jeder (insbeson\footnote{Man sagt z. B., die Folge $\left(x_n\right)$ realisiere die "Bewegung“ $x \rightarrow x_0+0$, wenn $x_n>x_0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt.}
bewiesen werden. Es sei $\left(x_n\right)$ eine Nullfolge mit $x_n>0$ für alle $n$. Zu jeder (insbeson
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -742,7 +748,7 @@ Mit dem Begriff der Stetigkeit einer Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ will man
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{B.2.17}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_17.png}
\caption{}
\label{fig:b}
\end{figure}
@@ -802,7 +808,7 @@ Beispiel 3.3: Die geradlinige Bewegung einer Punktmasse wird durch die Weg-ZeitF
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{B.2.18}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_18.png}
\caption{}
\label{fig:b}
\end{figure}
@@ -842,7 +848,7 @@ Da auch $f(0)=0$ gilt, ist $f$ an der Stelle $x=0$ stetig. Das Bild von $f$ best
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{B2.19}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_19.png}
\caption{}
\label{fig:b2}
\end{figure}
@@ -1081,9 +1087,9 @@ $\left\{\begin{array}{l}x^n: \quad a_n=b_{n-1}, \\ x^{n-1}: a_{n-1}=b_{n-2}-x_0
%\end{tikzpicture}
%\tracingmacros=2 \tracingcommands=2
\newpage
\newpage
\input{Horner01.tikz}
\input{Grafiken/Horner01.tikz}
\newpage
\input{Horner02.tikz}
\input{Grafiken/Horner02.tikz}