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Band2 und 3

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Sven Riwoldt
2024-02-17 18:06:23 +01:00
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171
Band2/Grenzwert.tex
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@@ -192,12 +192,13 @@ Man kann den Beweis auch dadurch führen, daß man zwei Folgen $\left(x_n\right)
Für die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=\frac{1}{n}$ gilt (vgl. Band 1, Abschnitt 10.7.)
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:2.6}
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\mathrm{e} .
\end{align}
Ohne Beweis\footnote{Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].} sei mitgeteilt, daß (2.6) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
\begin{align}
Ohne Beweis\footnote{\textcolor{red}{Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].}} sei mitgeteilt, daß (\ref{eq:2.6}) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
\begin{align}\label{eq:2.7}
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}
\end{align}
@@ -215,13 +216,13 @@ Auf Grund der Anschauung wird man vermuten, daß man die Gleichung \linebreak$\l
\begin{satz}
Die Funktion $f$ sei (mindestens)\reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.1}]{\textbf{S.2.1}} \label{satz:2.1} in einer punktierten Umgebung der Stelle $x_0$ definiert. Genau dann gilt $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$, wenn zu jeder (insbesondere jeder beliebig kleinen) Zahl $\varepsilon>0$ eine Zahl $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ existiert, so daß gilt
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:2.8}
|f(x)-g|<\varepsilon
\end{align}
für alle $x$ mit
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:2.8}
0<\left|x-x_0\right|<\delta
\end{align}
@@ -236,7 +237,7 @@ Eine geometrische Deutung dieses Satzes gibt Bild \ref{fig:b2.2.7}. Mit den dort
\label{fig:b2.2.7}
\end{figure}
um $y=g$ ein , $\delta$-Streifen" um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der Bildkurve von $f$, die in diesem , $\delta$-Streifen“ - außer auf der Mittellinie $x=x_0{ }\footnotemark$ \footnotetext{Man beachte, daß $\left|x-x_0\right|>0$ äquivalent zu $x \neq x_0$ ist.} - liegen, auch dem vorgegebenen , $\varepsilon$-Streifen“" angehören. Dabei ist offenbar $\delta$ im allgemeinen um so kleiner zu wählen, je kleiner $\varepsilon$ vorgegeben ist. Diesen Sachverhalt soll die Schreibweise $\delta=\delta(\varepsilon)$ zum Ausdruck bringen.
um $y=g$ ein "`$\delta$-Streifen"' um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der Bildkurve von $f$, die in diesem "`$\delta$-Streifen"' - außer auf der Mittellinie $x=x_0{ }\footnotemark$ \footnotetext{Man beachte, daß $\left|x-x_0\right|>0$ äquivalent zu $x \neq x_0$ ist.} - liegen, auch dem vorgegebenen "`$\varepsilon$-Streifen"' angehören. Dabei ist offenbar $\delta$ im allgemeinen um so kleiner zu wählen, je kleiner $\varepsilon$ vorgegeben ist. Diesen Sachverhalt soll die Schreibweise $\delta=\delta(\varepsilon)$ zum Ausdruck bringen.
\begin{beispiel}\label{bsp:2.6}
Als Anwendung des Satzes wollen wir zeigen, daß
@@ -244,15 +245,16 @@ um $y=g$ ein , $\delta$-Streifen" um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der
\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}=\sqrt{x_0} \quad\left(x_0>0\right)
\end{align}
gilt (Bild 2.8). Es sei ein beliebiges $\varepsilon>0$ gegeben. Gemäß (2.8) ist $\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|$ abzuschätzen. Wir erweitern mit $\sqrt{x}+\sqrt{x_0}$ und erhalten
\begin{align}\label{eq:2.11}
gilt (Bild \ref{fig:b2.2.8}). Es sei ein beliebiges $\varepsilon>0$ gegeben. Gemäß (\ref{eq:2.8}) ist $\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|$ abzuschätzen. Wir erweitern mit $\sqrt{x}+\sqrt{x_0}$ und erhalten
\begin{align}\label{eq:2.11}
\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|=\frac{\left|x-x_0\right|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \leqq \frac{1}{\sqrt{x_0}}\left|x-x_0\right|<\varepsilon
\end{align}
\end{align}
für alle $x \geqq 0$ mit $\left|x-x_0\right|<\sqrt{x_0} \varepsilon$. Daher setzen wir $\delta$ gleich der kleineren der beiden Zahlen $x_0$ und $\sqrt{x_0} \varepsilon$. Für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$ gilt dann $x \geqq 0$ (warum?) und (\ref{eq:2.11}).
für alle $x \geqq 0$ mit $\left|x-x_0\right|<\sqrt{x_0} \varepsilon$. Daher setzen wir $\delta$ gleich der kleineren der beiden Zahlen $x_0$ und $\sqrt{x_0} \varepsilon$. Für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$ gilt dann $x \geqq 0$ (warum?) und (\ref{eq:2.11}).
\begin{figure}[h]
\begin{figure}[h]
\centering
\input{Grafiken/B2_8.tikz}
\caption{}
@@ -269,11 +271,10 @@ Für die Existenz des Grenzwertes $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ ist die V
\begin{definition}\label{def:2.2} \reversemarginpar\marginpar[\textbf{D.2.2}]{\textbf{D.2.2}}
Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einem Intervall $\left.\left(x_0, x_0+c\right)\footnotemark\right)$ $(c>0)$\footnotetext{Ein solches Intervall nennt man auch punktierte rechtsseitige Umgebung von $x_0$.} definiert. Eine Zahl $g_{\mathrm{r}}$ heißt rechtsseitiger Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$, in Zeichen
Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einem Intervall $\left.\left(x_0, x_0+c\right)\footnotemark\right)$ $(c>0)$\footnotetext{Ein solches Intervall nennt man auch punktierte rechtsseitige Umgebung von $x_0$.} definiert. Eine Zahl $g_{\mathrm{r}}$ heißt rechtsseitiger Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$, in Zeichen
\[
\lim _{x \rightarrow x_0+0} f(x)=g_{\mathrm{r}} \quad \text { oder } f(x) \rightarrow g_{\mathrm{r}} \quad \text { für } \quad x \rightarrow x_0+0)\footnotemark,
\]\footnotetext{\label{footnote:1} Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$, für $x \rightarrow 0+0$ ) schreibt man kurz $\lim _{x \rightarrow+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$ für $x \rightarrow+0$ ).}
\[
\lim _{x \rightarrow x_0+0} f(x)=g_{\mathrm{r}} \quad \text { oder } f(x) \rightarrow g_{\mathrm{r}} \quad \text { für } \quad x \rightarrow x_0+0)\footnotemark,\]\footnotetext{\label{footnote:1} Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$, für $x \rightarrow 0+0$ ) schreibt man kurz $\lim _{x \rightarrow+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$ für $x \rightarrow+0$ ).}
wenn für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit den Eigenschaften
\begin{description}
@@ -404,22 +405,22 @@ Im Zusammenhang mit den folgenden Beispielen sei an die Bildkurven der jeweilige
\begin{beispiel} \label{bsp:2.10}
Wir wollen die Grenzwertaussage
Wir wollen die Grenzwertaussage
\begin{align}\label{eq:2.14}
\lim _{x \rightarrow-\infty} a^x=0 \quad(a>1)
\end{align}
beweisen. Es sei also $\left(x_n\right)$ eine beliebige Folge mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $n_0=n_0(\varepsilon)$, so daß gilt
beweisen. Es sei also $\left(x_n\right)$ eine beliebige Folge mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $n_0=n_0(\varepsilon)$, so daß gilt
$$
x_n<\log _a \varepsilon \text { für alle } n \geqq n_0 .
$$
Da die Funktion $f(x)=a^x(a>1)$ streng monoton wachsend ist, folgt
Da die Funktion $f(x)=a^x(a>1)$ streng monoton wachsend ist, folgt
$$
\left|a^{x_n}-0\right|=a^{x_n}<\varepsilon \text { für alle } n \geqq n_0 \text {. }
$$
Folglich ist $\lim _{n \rightarrow \infty} a^{x_n}=0$. Da die Folge $\left(x_n\right)$ beliebig war, ist die Behauptung bewiesen. Ersetzt man $x$ durch $-x$, so geht (\ref{eq:2.14}) über in
Folglich ist $\lim _{n \rightarrow \infty} a^{x_n}=0$. Da die Folge $\left(x_n\right)$ beliebig war, ist die Behauptung bewiesen. Ersetzt man $x$ durch $-x$, so geht (\ref{eq:2.14}) über in
\begin{align}
\lim _{x \rightarrow+\infty} a^{-x}=0 \quad(a>1) .
\end{align}
@@ -514,7 +515,7 @@ Die Funktion $f(x)=\sin x$ ist für $x \rightarrow+\infty$ unbestimmt divergent.
In diesem Abschnitt werden einige Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen angegeben. Da der Grenzwertbegriff für Funktionen auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt wurde, kann man diese Regeln leicht aus den entsprechenden Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen ableiten. Wir verzichten auf eine Durchführung der Beweise.
\begin{bemerkung}
\begin{bemerkung}\label{bem:2.1}
Die folgenden für die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0$ formulierten Sätze gelten sinngemäß \footnote{1) Wird z. B. statt $x \rightarrow x_0$ die "`Bewegung"' $x \rightarrow+\infty$ betrachtet, so ist in den folgenden Sätzen ,"`punktierte Umgebung von $x_0$ "' durch "`Intervall $(a,+\infty)$"' zu ersetzen. Analog ist in den anderen Fällen zu verfahren.} auch für die "`Bewegungen"'
$$
@@ -529,26 +530,74 @@ $$
$$
Dann gilt
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]=g_1+g_2, \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]=g_1-g_2, \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[c f_1(x)\right]=c g_1 \quad(c \text { eine Konstante }), \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x) \cdot f_2(x)\right]=g_1 \cdot g_2 .
\end{aligned}
$$
\begin{align}
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]=g_1+g_2, \label{eq:2.18} \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]=g_1-g_2, \label{eq:2.19} \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[c f_1(x)\right]=c g_1 \quad(c \text { eine Konstante }), \label{eq:2.20} \\
& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x) \cdot f_2(x)\right]=g_1 \cdot g_2. \label{eq:2.21}
\end{align}
Ist außerdem $f_2(x) \neq 0$ für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ und $g_2 \neq 0$, dann gilt auch
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{g_1}{g_2} .
$$
\begin{align}
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{g_1}{g_2}. \label{eq:2.22}
\end{align}
\end{satz}
\pagebreak
\begin{beispiel} \label{bsp:2.15}
Gesucht ist der Grenzwert
$$
\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})
$$
Wegen $\lim _{x \rightarrow 2} x=2, \lim _{x \rightarrow 2} 3=3, \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}(\operatorname{vgl}$. (2.10)) folgt mit (2.21) und (2.19)
$$
\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})=2(3-\sqrt{2}) .
$$
\end{beispiel}
\begin{beispiel} \label{bsp:2.16}
Es soll der Grenzwert
\begin{align}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1}\label{eq:2.23}
\end{align}
berechnet werden. Da $f_1(x)=2 x^2+5 x$ (und auch $f_2(x)=3 x^2-4 x+1$ ) für $x \rightarrow-\infty$ divergent ist, kann man (\ref{eq:2.22}) nicht unmittelbar auf (\ref{eq:2.23} anwenden. Wir formen daher zunächst um und erhalten dann unter Verwendung von Satz \ref{satz:2.3} und (\ref{eq:2.13})
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1} & =\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2+\frac{5}{x}}{3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \\
& =\frac{2+0}{3-0+0}=\frac{2}{3} .
\end{aligned}
\end{beispiel}
\begin{satz}
Es sei \reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.4}]{\textbf{S.2.4}} \label{satz:2.4}
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0,
$$
und für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ gelte
$$
f(x)>0 \quad \text { bzw. } \quad f(x)<0 .
$$
Dann ist
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=+\infty \quad \text { bzw. } \quad \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=-\infty .
$$
\end{satz}
HIERHIERHIERHIERHIER
@@ -560,60 +609,26 @@ HIERHIERHIERHIERHIER
Beispiel 2.15: Gesucht ist der Grenzwert
$$
\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})
$$
Wegen $\lim _{x \rightarrow 2} x=2, \lim _{x \rightarrow 2} 3=3, \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}(\operatorname{vgl}$. (2.10)) folgt mit (2.21) und (2.19)
$$
\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})=2(3-\sqrt{2}) .
$$
Beispiel 2.16: Es soll der Grenzwert
$$
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1}
$$
berechnet werden. $\mathrm{Da} f_1(x)=2 x^2+5 x$ (und auch $f_2(x)=3 x^2-4 x+1$ ) für $x \rightarrow-\infty$ divergent ist, kann man (2.22) nicht unmittelbar auf (2.23) anwenden. Wir formen daher zunächst um und erhalten dann unter Verwendung von Satz 2.3 und (2.13)
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1} & =\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2+\frac{5}{x}}{3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \\
& =\frac{2+0}{3-0+0}=\frac{2}{3} .
\end{aligned}
$$
S. 2.4 Satz 2.4: Es sei
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0,
$$
und für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ gelte
$$
f(x)>0 \quad \text { bzw. } f(x)<0 .
$$
Dann ist
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=+\infty \quad \text { bzw. } \quad \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=-\infty .
$$
Beispiel 2.17: Die Abbildung durch einen sphärischen Hohlspiegel der Brennweite $f>0$ wird bei Beschränkung auf Paraxialstrahlen durch die Gleichung
$$
\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{\prime}}=\frac{1}{f}
$$
beschrieben. Dabei ist $a$ bzw. $a^{\prime}$ die Gegenstands- bzw. Bildweite (s. Bild 2.14).
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_14.png}
\caption{}
\label{fig:b2.2.14}
\end{figure}
\end{beispiel}
Aus dieser Gleichung ergibt sich $a^{\prime}$ als Funktion $\varphi$ von $a$ zu
$$
\left.a^{\prime}=\varphi(a)=\frac{a \cdot f}{a-f} \quad(a>0, a \neq f)^1\right) .
$$
Mit Satz 2.3 folgt unmittelbar
Mit Satz \ref{satz:2.3} folgt unmittelbar
$$
\begin{aligned}
& \lim _{a \rightarrow+0} \varphi(a)=\frac{0}{-f}=0, \\
@@ -630,7 +645,7 @@ HIERHIERHIERHIERHIER
$$
\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{1}{\varphi(a)}=\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{a-f}{a \cdot f}=\frac{0}{f^2}=0,
$$
und für alle $a>f$ ist $\frac{1}{\varphi(a)}>0$. Daraus folgt nach Satz 2.4 unter Beachtung von Bemerkung 2.1 die Aussage $\lim _{a \rightarrow f+0} \varphi(a)=+\infty$. Entsprechend findet man $\lim _{a \rightarrow f-0} \varphi(a)=-\infty$.
und für alle $a>f$ ist $\frac{1}{\varphi(a)}>0$. Daraus folgt nach Satz \ref{satz:2.4} unter Beachtung von Bemerkung \ref{bem:2.1} die Aussage $\lim _{a \rightarrow f+0} \varphi(a)=+\infty$. Entsprechend findet man $\lim _{a \rightarrow f-0} \varphi(a)=-\infty$.
In Bild 2.15 ist die Funktion $\varphi$ dargestellt. (Für $a>f$, also $a^{\prime}>0$, erhält man ein reelles Bild; für $0<a<f$, also $a^{\prime}<0$, ein virtuelles Bild.)
Satz 2.5: Es sei