Band2 und 3
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Sven Riwoldt
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2. Reihen mit konstanten Gliedern
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2.1. Der Konvergenzbegriff bei unendlichen Reihen
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Wir denken uns eine Zahlenfolge $a_0, a_1, a_2, \ldots$ ( $a_v$ reell) gegeben und bilden daraus rein formal den Ausdruck
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a_0+a_1+a_2+\ldots \text {, }
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den wir mit Hilfe des Summenzeichens auch in der Form $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ schreiben. Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe). Die Zahlen $a_v$ werden Glieder der Reihe genannt, und die Summe aus den ersten $n+1$ Gliedern der Reihe ( $n$ fest),
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s_n=a_0+a_1+\ldots+a_n=\sum_{v=0}^n a_v,
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heißt $n$-te Teilsumme der Reihe.
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Definition 2.1: \textit{Eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ heißt konvergent, wenn die Folge $s_0, s_1, s_2, \ldots$ ihrer Teilsummen konvergiert; in diesem Fall heißt der Grenzwert $s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ Summe der Reihe. Eine Reihe heißt divergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen divergiert.}
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Dabei bedeutet die Konvergenz der Folge $\left\{s_n\right\}$ gegen $s$, daß zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß $\left|s-s_n\right|<\varepsilon$ für alle $n>N(\varepsilon)$ gilt (vgl. Band 1,10.4.) Bei einer konvergenten Reihe mit der Summe $s$ schreibt man $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s$ (anstelle von $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ), womit sowohl zum Ausdruck gebracht wird, daß die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ überhaupt konvergiert, als auch, daß $s$ ihre Summe ist. Das Zeichen $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v{ }^{\nu=0}$ steht also zugleich für die Reihensumme. Wir wollen nochmals unterstreichen, daß aus der Benennung „Summe“ für $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ nicht geschlossen werden darf, daß man mit einer unendlichen Reihe wie mit einer Summe aus endlich vielen Zahlen rechnen kann.
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Es sei darauf hingewiesen, daß das erste Reihenglied nicht etwa immer $a_0$ sein muß. So bezeichnet auch $\sum_{\nu=k}^{\infty} a_v$, wobei $k$ irgendeine natürliche Zahl sein kann, eine unendliche Reihe (mit $a_k$ als erstem Glied). Eine andere mögliche Schreibweise hierfür wäre $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_{v+k}$.
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Beispiel 2.1: Ein ganz elementares Beispiel einer unendlichen Reihe ist die geometrische Reihe
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1+q+q^2+q^3+\ldots=\sum_{\nu=0}^{\infty} q^\nu, \quad(q \text { reelle Zahl }) .
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Das in Abschnitt 1. angeführte Beispiel ist eine solche Reihe; dort ist $q=\frac{1}{2}$, und die Reihe beginnt erst mit dem Glied $q^1$. Die $n$-te Teilsumme der Reihe (2.3) ist
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s_n=1+q+q^2+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad q \neq 1
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(für $q=1$ ist offenbar $s_n=n+1$ ). Da $\lim _{n \rightarrow \infty} q^{n+1}=0$ für jedes $q$ mit $|q|<1$ gilt, konvergiert die Folge $\left\{s_n\right\}$ und damit die geometrische Reihe für diese $q$, und aus (2.4) folgt
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\sum_{v=0}^{\infty} q^v=\frac{1}{1-q}, \quad|q|<1 .
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Für jedes $q$ mit $|q| \geqq 1$ ist $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ nicht vorhanden und daher die geometrische Reihe divergent. Wie bei Zahlenfolgen unterscheidet man zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz. Bestimmte Divergenz liegt vor, wenn $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=+\infty$ oder $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=-\infty$ gilt; andernfalls spricht man von unbestimmter Divergenz. Die geometrische Reihe ist für $q \geqq 1$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ (man schreibt dafür $\sum_{v=0}^{\infty} q^v=\infty$ ); für $q \leqq-1$ ist sie dagegen unbestimmt divergent (man betrachte etwa den Fall $q=-1: 1-1+1-1+\ldots$, in dem die Teilsummen abwechselnd 1 und 0 sind).
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Beispiel 2.2: In Band 2, 6.3.4., ist die Taylorentwicklung der Funktion $f(x)=\mathrm{e}^x$ angegeben. Sie lautet $\mathrm{e}^x=\sum_{v=0}^n \frac{x^v}{v !}+R_n(x)$, wobei $R_n(x)$ das Restglied bezeichnet, das für jedes $x$ die Eigenschaft $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$ besitzt. Speziell für $x=1$ erhält man $\mathrm{e}=\sum_{v=0}^n \frac{1}{v !}+R_n(1), \lim _{n \rightarrow \infty} R_n(1) \stackrel{n \rightarrow \infty}{=} 0$. Das heißt aber gerade, daß die Zahlenfolge mit dem $n$-ten Glied $s_n=\sum_{v=0}^n \frac{1}{v !}$ für $n \rightarrow \infty$ gegen e strebt. Folglich ist e die Summe der unendlichen Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{v !}$ :
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\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{v !}=\mathrm{e} .
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Durch Definition 2.1 ist die Konvergenzuntersuchung von Reihen auf die von Zahlenfolgen zurückgeführt. Daher gewinnt man aus Konvergenzkriterien und anderen Sätzen über konvergente Zahlenfolgen auch entsprechende grundsätzliche Aussagen über unendliche Reihen. Jedoch ergibt sich eine große Zahl weiterer Konvergenzaussagen nicht aus den Eigenschaften der Glieder $s_n$ der Teilsummenfolge, sondern aus den Reihengliedern $a_v$ selbst. Hieraus folgt schon, daß den Reihen durchaus eine eigenständige Bedeutung zukommt. Es kann umgekehrt zweckmäßig sein, die Konvergenzuntersuchung einer Zahlenfolge auf die einer unendlichen Reihe zurückzuführen. Ist nämlich $b_0, b_1, b_2, \ldots$ eine vorgegebene Folge, so ist sie gerade die Teilsummenfolge der Reihe $b_0+\left(b_1-b_0\right)+\left(b_2-b_1\right)+\ldots$, denn für diese Reihe ist $s_n=b_0+\left(b_1-b_0\right)+\ldots+\left(b_n-b_{n-1}\right)+b_n$.
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Beispiel 2.3: Die Reihe $\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{v(v+1)}$ soll auf Konvergenz untersucht werden.
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\text { Wegen } \begin{aligned}
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a_v= & \frac{1}{v(v+1)}=\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}, \quad v=1,2,3, \ldots, \text { wird } \\
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s_n & =\sum_{v=1}^n \frac{1}{v(v+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\
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& =1-\frac{1}{n}
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\end{aligned}
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also ist $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=1$. Die Reihe konvergiert mit der Summe 1 .
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Wir erwähnen schließlich noch den Begriff des Reihenrests.
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Definition 2.2: Wenn $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$ eine gegebene Reihe ist, so nennt man die Reihe
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D. 2.2
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a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots=\sum_{v=n+1}^{\infty} a_v(n \text { fest })
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ihren n-ten Reihenrest.
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Die $m$-te Teilsumme des $n$-ten Reihenrests, $\sigma_m^{(n)}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+m}$ ( $m=1,2,3, \ldots$ ) ergibt sich offenbar als Differenz der Teilsummen $s_{n+m}$ und $s_n$ der gegebenen Reihe:
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$$
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\sigma_m^{(n)}=s_{n+m}-s_n \text {. }
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$$
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Aus (2.8) entnimmt man: Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ konvergiert und $s$ als Summe hat, d. h. $\lim _{m \rightarrow \infty} s_{n+m}=s$ gilt, so existiert, da $s_n$ von $m$ unabhängig ist, auch $\lim _{m \rightarrow \infty} \sigma_m^{(n)}=r_n$; es ist also
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r_n=s-s_n .
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Umgekehrt schließt man entsprechend aus der Konvergenz des $n$-ten Reihenrests auf die Konvergenz der Reihe selbst. Da $n$ beliebig ist, hat man folgendes Ergebnis:
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Satz 2.1: Wenn eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ konvergiert, so konvergiert auch jeder ihrer Reihenreste, und es gilt (2.9) für alle n. Umgekehrt folgt aus der Konvergenz eines einzigen Reihenrests die Konvergenz der Reihe selbst.
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Aus (2.9) ergibt sich weiter, daß für eine konvergente Reihe $\lim _{n \rightarrow \infty} r_n=0$ gilt. Daher kann die Summe $s$ einer konvergenten unendlichen Reihe näherungsweise durch eine Teilsumme $s_n$ (mit hinreichend großem $n$ ) ersetzt werden; der dabei begangene Fehler ist wegen (2.9) gleich $r_n$. So ergibt sich aus Beispiel 2.2 mit $n=6$ :
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\mathrm{e} \approx s_6=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\frac{1}{5 !}+\frac{1}{6 !} .
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Auf fünf Dezimalen genau ist $s_6=2,71806$ (zum Vergleich: e $=2,71828 \ldots$ ).
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2.2. Einige elementare Eigenschaften unendlicher Reihen
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Wir wollen nun erste elementare Eigenschaften kennenlernen, die wir für den Umgang mit unendlichen Reihen benötigen.
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Satz 2.2: Wenn man in einer Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ endlich viele Glieder wegläßt oder hinzufügt
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S. 2.2
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oder durch andere ersetzt, so bleibt die Eigenschaft der Konvergenz bzw. Divergenz erhalten.
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Auf eine etwas knappere Form gebracht, besagt der Satz, daß endlich viele Glieder keinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe haben.
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Beweis: Da nur an endlich vielen Gliedern Änderungen vorgenommen werden, gibt es einen Index $n$ der Art, daß alle Glieder $a_v$ der vorgelegten Reihe mit $v>n$ unver-
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ändert bleiben. Nach Satz 2.1 ist der zu diesem Index $n$ gehörende Reihenrest konvergent oder divergent, je nachdem, ob die Reihe selbst konvergiert oder divergiert. Dieser Reihenrest ist aber auch ein Reihenrest der abgeänderten Reihe (eventuell mit einem anderen Index), und daher folgt, wieder nach Satz 2.1, daß die abgeänderte Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie der $n$-te Reihenrest der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$, also wie diese selbst hat.
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Wenn man in einer konvergenten Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ jeweils eine endliche Anzahl aufeinanderfolgender Glieder zu einem neuen Glied zusammenfaßt (kurz: wenn man Klammern setzt), etwa $\left(a_0+a_1+\ldots+a_{k_0}\right)+\left(a_{k_0+1}+a_{k_0+2}+\ldots+a_{k 1}\right)+\ldots$, so entsteht eine neue Reihe. Über deren Konvergenzverhalten gilt
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S. 2.3 Satz 2.3: Es sei $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=$ s. Ist $k_0, k_1, k_2, \ldots$ eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und wird
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\begin{aligned}
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& b_0=a_0+\ldots+a_{k_0}, \\
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& b_1=a_{k_0+1}+\ldots+a_{k_1}, \\
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& \ldots \ldots \ldots \ldots
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\end{aligned}
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$$
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gesetzt, so ist auch $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ konvergent und hat die Summe $s$.
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Der Inhalt dieses Satzes kann kurz wie folgt zusammengefaßt werden: In einer konvergenten Reihe dürfen Klammern gesetzt werden.
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Beweis: Die Folge der Teilsummen der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ bildet eine Teilfolge der Folge der Teilsummen $s_n$ der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ und hat daher denselben Grenzwert wie $\left\{s_n\right\}$ (vgl. Band 1, 10.5.).
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Die Umkehrung von Satz 2.3 ist falsch, d. h., man darf nicht ohne weiteres Klammern weglassen. Das lehrt das folgende einfache Gegenbeispiel. Die Reihe $(1-1)$ $+(1-1)+\ldots$ konvergiert und hat die Summe 0, aber die Reihe $1-1+1-1+\ldots$ divergiert (vgl. Beispiel 1.1). Hier haben wir ein erstes Beispiel dafür, daß man mit unendlichen Reihen nicht so rechnen darf wie mit gewöhnlichen Summen.
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S. 2.4 Satz 2.4: Es sei $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s$, und c sei eine beliebige Konstante. Dann konvergiert auch die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v{ }_{\infty}^{\nu=0}$ und hat die Summe cs.
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Es gilt also $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_\nu=c \sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$, d. h., ein konstanter Faktor kann bei einer konvergenten Reihe vor das Summenzeichen gezogen werden.
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Beweis: Mit $s_n=\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ wird die $n$-te Teilsumme der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v$ gleich $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v=c s_n$, und es gilt
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$$
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\lim _{n \rightarrow \infty} c s_n=c \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} s_n=c s
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S. 2.5 Satz 2.5: Es seien $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s, \sum_{\nu=0}^{\infty} b_v=t$. Dann konvergieren auch die Reihen $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(a_v+b_v\right)$ bzw. $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(a_v-b_v\right)$ und haben die Summen $s+t$ bzw. $s-t$.
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Konvergente Reihen dürfen also gliedweise addiert bzw. subtrahiert werden.
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Beweis: Wenn $s_n=\sum_{v=0}^n a_v, t_n=\sum_{\nu=0}^n b_v$ ist, so sind die Teilsummen der durch gliedweise Addition bzw. Subtraktion entstehenden Reihen gleich $s_n+t_n$ bzw. $s_n-t_n$. Aus $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n \pm t_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n \pm \lim _{n \rightarrow \infty} t_n=s \pm t$ folgt die Behauptung.
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Folgerung: $A u s \sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s, \sum_{v=0}^{\infty} b_v=t$ folgt nach den Sätzen 2.4 und 2.5, daß jede Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(\alpha a_v+\beta b_v\right)^{\nu=0}$ mit (reellen) Konstanten $\alpha, \beta$ ebenfalls konvergiert und $\alpha s+\beta$ t zur Summe hat. Das Entsprechende gilt, wenn man aus $m$ konvergenten Reihen $(m>2)$ durch eine Linearkombination der Glieder mit gleichem Index eine neue Reihe bildet.
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2.3. Das Cauchysche Konvergenzkriterium
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In den Beispielen 2.1, 2.3 konnten wir die Teilsummen geschlossen ausdrücken und dadurch unmittelbar ihr Verhalten für $n \rightarrow \infty$ untersuchen. Diese direkte Methode der Konvergenzuntersuchung einer unendlichen Reihe, die im Konvergenzfall zugleich die Reihensumme liefert, gelingt nur in wenigen Beispielen. Im allgemeinen geht es zunächst um die Feststellung der Konvergenz oder Divergenz einer Reihe. Dazu bedient man sich gewisser Konvergenzkriterien, von denen in diesem und den beiden folgenden Unterabschnitten einige wichtige angegeben werden. Diese Kriterien liefern im Konvergenzfall keine Methode zur Berechnung der Reihensumme; dieses Problem muß gesondert gelöst werden.
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Von Band 1, Abschnitt 10.6., her ist das Cauchysche Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen bekannt. Dieses Kriterium läßt sich auf Grund von Definition 2.1 auf unendliche Reihen übertragen. Es ist von grundsätzlicher theoretischer Bedeutung, weil es eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe enthält.
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Satz 2.6 (Cauchysches Konvergenzkriterium): Eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist genau
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S. 2.6
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dann konvergent, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß
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\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|<\varepsilon
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für alle $n>N(\varepsilon)$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt.
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Beweis: Eine Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist nach Definition 2.1 und dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen genau dann konvergent, wenn zu jedem positiven $\varepsilon$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß für alle $m>N(\varepsilon)$ und $n>N(\varepsilon)$
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\left|s_m-s_n\right|<\varepsilon
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gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man $m>n$ annehmen (für $m=n$ ist (2.11) trivialerweise erfüllt) und daher $m=n+p$ setzen, wobei $p$ eine positive ganze Zahl ist. Dann geht (2.11) über in
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$$
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\left|s_{n+p}-s_n\right|<\varepsilon \text {. }
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Nun ist aber
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\begin{aligned}
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s_{n+p}-s_n & =\left(a_0+a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}\right)-\left(a_0+a_1+\ldots+a_n\right) \\
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& =a_{n+1}+\ldots+a_{n+p} ;
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\end{aligned}
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d. h., (2.12) ist mit (2.10) äquivalent.
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Bei Konvergenz der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist (2.10) insbesondere für $p=1$ erfüllt, d. h., für jedes $\varepsilon>0$ muß $\left|a_{n+1}\right|<\varepsilon$ von einem gewissen $n$ an gelten. Damit hat man ein notwendiges Konvergenzkriterium:
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S. 2.7 Satz 2.7: Wenn eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} \dot{a}_\nu$ konvergiert, so gilt
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\lim _{v \rightarrow \infty} a_v=0
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$$
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Die Bedingung (2.13) ist jedoch nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe. Wir zeigen das an einem Gegenbeispiel.
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Beispiel 2.4: Die sogenannte harmonische Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{1}{v}$ soll auf Konvergenz untersucht werden. Die Bedingung (2.13) ist hier erfüllt: es ist $\lim _{\nu=\infty} \frac{1}{v}=0$. Trotzdem ist die Reihe divergent. Mit $n=2^k, p=2^k, k=0,1,2, \ldots$, wird nämlich
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$$
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\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|=\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}} .
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$$
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Da jeder der vorhergehenden Summanden auf der rechten Seite größer als der letzte ist und die Anzahl der Summanden $p=2^k$ ist, folgt $\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right| \geqq 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}}$ $=\frac{1}{2}$. Wählt man nun $\varepsilon<\frac{1}{2}$, so ist (2.10) offenbar nicht erfüllbar.
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Die Konvergenzuntersuchung einer Reihe mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium ist meist etwas schwerfällig. Man greift gern auf leichter zu handhabende Kriterien zurück, wobei es praktisch ausreicht, daß diese nur hinreichende Bedingungen für Konvergenz oder Divergenz enthalten.
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2.4. Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
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Die in diesem Unterabschnitt angegebenen Konvergenzkriterien gelten für Reihen mit positiven Gliedern. Unter einer Reihe mit positiven Gliedern verstehen wir dabei eine Reihe, deren Glieder nicht negativ sind und die unendlich viele positive Glieder enthält. Auf Grund von Satz 2.2 kann man die Kriterien auch anwenden, wenn in einer Reihe neben unendlich vielen positiven Gliedern noch endlich viele negative Glieder vorkommen, da man diese bei der Konvergenzuntersuchung unberücksichtigt lassen kann. In 2.6. wird gezeigt, daß man einige der folgenden Kriterien nach gewissen Modifizierungen auch auf Reihen mit Gliedern beliebigen Vorzeichens anwenden kann.
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2.4.1. Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium
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S. 2.8 Satz 2.8: Eine Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern ist genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen eine beschränkte Zahlenfolge ist.
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Hinweis. In diesem Fall gilt sicher für die Reihensumme $s$ die Beziehung $s>s_n$, $n=0,1,2, \ldots$
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Beweis: Wegen $a_v \geqq 0$ bilden die Teilsummen $s_n=\sum_{v=0}^n a_v$ eine monoton wachsende
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Folge. Da eine beschränkte monotone Zahlenfolge konvergiert (vgl. Band 1, 10.6.), ist die Beschränktheit der Teilsummenfolge im Fall $a_v \geqq 0$ für die Konvergenz der Reihe hinreichend. Die Notwendigkeit ergibt sich aus dem Satz, daß jede konvergente Zahlenfolge beschränkt ist (vgl. Band 1, 10.5.).
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2.4.2. Vergleichskriterien
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Satz 2.9: (Vergleichskriterium, 1. Teil): Eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern ist S. 2.9 konvergent, wenn zwischen ihren Gliedern und den Gliedern einer als konvergent bekannten Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ von einem gewissen $v$ an die Beziehung $a_v \leqq b_v$ gilt.
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Beweis: Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert zu jedem $\varepsilon>0$ ein $N(\varepsilon)$, so daß $\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}\right|<\varepsilon$ für alle $n>N(\varepsilon)$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt. Wählt man nun außerdem $n$ so groß, daß $a_v \leqq b_v$ für $v>n$ erfüllt ist, so folgt, da $b_v \geqq 0$ für diese $v$ ist, daß
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$$
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\begin{aligned}
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& \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p} \\
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& \leqq b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}=\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}\right|<\varepsilon
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\end{aligned}
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$$
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von einem gewissen $n \mathrm{ab}$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt. Daher ist die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konvergent.
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Die zum Vergleich benutzte konvergente Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ nennt man eine Majorante zur Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$ und daher Satz 2.9 auch Majorantenkriterium.
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Satz 2.10 (Vergleichskriterium,'2. Teil): Eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ ist divergent, wenn zwischen
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S. 2.10
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ihren Gliedern und den Gliedern einer als divergent bekannten Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ mit positiven Gliedern von einem gewissen $v$ an die Beziehung $a_v \geqq b_v$ gilt.
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Beweis: Wenn man annimmt, daß die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ konvergent ist, so müßte nach dem. eben bewiesenen Satz 2.9 auch die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_\nu{ }_\nu$ konvergieren. Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung.
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Die hier zum Vergleich verwendete divergente Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ heißt eine Minorante zur Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$, und den Satz 2.10 nennt man deshalb Minorantenkriterium. Man muß natürlich eine gewisse Anzahl von möglichen Vergleichsreihen - also Reihen, deren Konvergenzverhalten man kennt - zur Verfügung haben, wenn man die Sätze 2.9 und 2.10 anwenden will.
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Beispiel 2.5: Wir untersuchen die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v^2}$ und ziehen die in Beispiel 2.3 als konvergent erkannte Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v(v+1)}$ als Vergleichsreihe heran; es ist also $a_v=\frac{1}{v^2}$, $b_v=\frac{1}{v(v+1)}, v=1,2, \ldots$ Zwischen entsprechenden Gliedern beider Reihen be-
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steht die Relation $\frac{1}{v^2}>\frac{1}{v(v+1)}$, aus der man jedoch nichts über das Konvergenzverhalten der Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v^2}$ folgern kann. Schreibt man die zu untersuchende Reihe jedoch in der Form $\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{(v+1)^2}$, so besteht zwischen den Gliedern $a_v=\frac{1}{(v+1)^2}$ dieser Reihe und den Gliedern $b_v$ der Vergleichsreihe für $v \geqq 1$ die Beziehung $\frac{1}{(v+1)^2}<\frac{1}{v(v+1)}$, und nun folgt nach Satz 2.9, daß die vorgelegte Reihe konvergiert. In Beispiel 5.5 wird gezeigt, daß ihre Summe $\frac{\pi^2}{6}$ ist.
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Beispiel 2.6: Wir untersuchen die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{v}}$ und verwenden die divergente harmonische Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v}$ (Beispiel 2.4) zum Vergleich. Da $\frac{1}{\sqrt{v}} \geqq \frac{1}{v}$ für alle $v$ gilt, ist nach Satz 2.10 auch die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{v}}$ divergent. Allgemeiner ergibt sich auf diese Weise die Divergenz für alle Reihen $\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{v^\alpha}$ mit $\alpha<1$. Der Fall $\alpha>1$ wird in 2.4.4., Beispiel 2.11, betrachtet.
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2.4.3. Quotienten- und Wurzelkriterium
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Wenn man im Majorantenkriterium die geometrische Reihe als Vergleichsreihe heranzieht, kommt man zu zwei weiteren Konvergenzkriterien, die sehr häufig verwendet werden: dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium (auch: Kriterium von d'Alembert bzw. von Cauchy).
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S. 2.11 Satz 2.11 (Quotientenkriterium): Wenn für eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern von einem gewissen $v$ an $a_v>0$ und
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\frac{a_{v+1}}{a_v} \leqq q, \quad 0<q<1,
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$$
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gilt, so ist die Reihe konvergent. Gilt jedoch von einem gewissen $v$ an $\frac{a_{v+1}}{a_v} \geqq 1$, so ist die Reihe divergent.
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Beweis: Es sei (2.14) für $v \geqq n$ erfüllt. Dann gilt
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$$
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a_{n+1} \leqq q a_n, a_{n+2} \leqq q a_{n+1}, a_{n+3} \leqq q a_{n+2}, \ldots
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$$
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Durch Einsetzen der ersten Ungleichung in die zweite usf. folgt
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$$
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a_{n+1} \leqq q a_n, a_{n+2} \leqq q^2 a_n, a_{n+3} \leqq q^3 a_n, \ldots
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$$
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Das heißt aber, daß die geometrische Reihe $a_n \sum_{\nu=0}^{\infty} q^\nu$, die wegen $0<q<1$ konvergiert, eine Majorante zur Reihe $\sum_{\nu=n}^{\infty} a_\nu$ ist. Nach Satz 2.1 konvergiert dann auch $\sum_{\nu=n}^{\infty} a_v$.
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Gilt dagegen von einem gewissen $v$ ab $\frac{a_{v+1}}{a_v} \geqq 1$, so ist $a_{v+1} \geqq a_v$, die Folge $\left\{a_v\right\}$ mit positiven Gliedern ist also monoton wachsend. Daher ist die nach Satz 2.7 notwendige Konvergenzbedingung $\lim _{\nu \rightarrow \infty} a_v=0$ nicht erfüllt.
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---Beginn 17 ---
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