Berichtigungen Band 1

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@@ -119,7 +119,11 @@ Beim Beweisen mathematischer Aussagen steht häufig das Problem, daß nicht sofo
 Beispiel 4.1: Man beweise: Wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei gleiche Winkel über einer Strecke $\overline{P_1 P_2}$ sind, so geht der durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ bestimmte Kreis $K$ auch durch den Punkt $P_4$. (In Bild 4.1 ist zu sehen, daß der Winkel bei $P_3$ mit $\alpha$, der Winkel bei $P_4$ mit $\beta$ bezeichnet wird.)
 
 Mit den Hilfsmitteln, die in der Logik bereitgestellt werden, sind wir bereits in der Lage, die zu beweisende mathematische Aussage als Aussagenverbindung darzustellen. Bezeichnen nämlich
+
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 $p="` \alpha$ und $\beta$ sind zwei gleiche Winkel über $\bar{P}_1 \overline{P_2}$ "'
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 $q=$ "`$P_4$ liegt auf dem Kreis $K^{\text {“ }}$
 zweiwertige Aussagen, so haben wir zu beweisen, daß
 $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist.
@@ -174,7 +178,7 @@ sind wahre Aussagen.
 Aufgabe 4.1: Man beweise, daß $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind.
 Die Frage ist nun, wieso wir auf Grund dessen, da $\beta \bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind, darauf schließen können, daß auch $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. Der wesentliche Schritt hierbei ist, daß wir begründen :
 
-Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt „Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$ ", eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
+Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt \anf{Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$}, eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
 
 Die oben genannte Begründung kann man wie folgt formulieren:
 I. Es ist zu zeigen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ eine wahre Aussage ist.
@@ -307,20 +311,27 @@ Da dieses Vorgehen sehr aufwendig ist und darüber hinaus auch die Übersichtlic
 
 
 Tabelle 4.6. Schema logischer Schlußfiguren und Beispiel - indirekter Beweis
-Voraussetzung 1
-Voraussetzung $k$
-Behauptung 1
-Behauptung $l$
-$q$
-$\frac{\bar{p} \rightarrow \bar{q}}{p}$
 
-Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch „und“ also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das „Beweisen“ liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
+
+\[\begin{array}{cc}
+	\text { Voraussetzung 1 } & q\\
+	\vdots  \\
+	\text { Voraussetzung } k & \bar{p} \rightarrow \bar{q}  \\
+	\hline 
+		\text { Behauptung 1 } & p\\
+		\vdots \\
+		\text { Behauptung } l
+
+\end{array}\]
+
+
+Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch \anf{und} also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das \anf{Beweisen} liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
 
 Nachfolgend geben wir ausgehend von (4.1) bis (4.11) die entsprechenden logischen Schlußfiguren an.
 
 Im Abschnitt 4.2. werden wir die Anwendung dieser logischen Schlußfiguren auf einige Beispiele aus der Elementarmathematik zeigen.
 
-Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage ,Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?" zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.
+Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage \anf{Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?} zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.