diff --git a/Band2/Band2.typ b/Band2/Band2.typ index b67d7d0..57e33c4 100644 --- a/Band2/Band2.typ +++ b/Band2/Band2.typ @@ -16,23 +16,26 @@ #import "@preview/marge:0.1.0": sidenote -#import "@preview/itemize:0.2.0" as el #import "@preview/eqalc:0.1.3": * #import "grafiken.typ": * -#import "deckblatt.typ": deckblatt - -#import "abhaengigkeit.typ": abhaengigkeit - #let einruecken(abstand, inhalt) = pad(left: abstand, inhalt) #let def-counter = counter("definition") -#let bsp-counter = counter("besipiel") +#let bsp-counter = counter("beispiel") + +#let aufg-counter = counter("aufgabe") // Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen +#show math.equation: it => { + if it.body.fields().at("size", default: none) != "display" { + return math.display(it) + } + it +} #let hrule = line(length: 100%) @@ -41,6 +44,7 @@ it def-counter.update(1) bsp-counter.update(1) + aufg-counter.update(1) } #let definition(title: none, body, label: none) = context { @@ -74,17 +78,36 @@ [ #figure( block(width: 100%, align(left)[ - #hrule + //#hrule *Beispiel #full-num*: #if title != none [(#title)] #body - #hrule]), + //#hrule + ]), kind: "beispiel", - supplement: [B.], + supplement: [Beispiel], numbering: _ => full-num, ) #label ] } +#let aufgabe(title: none, body, label: none) = context { + aufg-counter.step() + + let h1-num = counter(heading).at(here()).first() + let b-num = aufg-counter.at(here()).first() + let full-num = [#h1-num.#b-num] + // Die Figure wird erstellt und das Label direkt angehängt + [ + #figure( + block(width: 100%, align(left)[ + #h(-2.8mm)$ast.op$ *Aufgabe #full-num*: #if title != none [(#title)] #body + ]), + kind: "beispiel", + supplement: [Aufgabe], + numbering: _ => full-num, + ) #label + ] +} // Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen #show heading.where(level: 1): it => { @@ -334,7 +357,7 @@ Im folgenden bedeutet "Funktion" stets "reellwertige Funktion einer reellen Vari Als Vorbereitung auf den Grenzwertbegriff für Funktionen behandeln wir das -#beispiel[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$: +#beispiel(label: )[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$: #table( columns: (1fr, 1fr), @@ -375,7 +398,7 @@ Soll allgemein das Verhalten einer Funktion $f$ bei "Annäherung" der unabhängi #set math.equation(numbering: none) $ & ("E 1") &quad& x_n in D(f) ^#footnote[$D(f)$ bezeichnet den Definitionsbereich von $f$.] &quad& " für alle" n &quad& (n=1,2,3,dots) \ -& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \ +& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \ & ("E 3") && lim_(x->n)x_n = x_0 $]) @@ -413,7 +436,7 @@ In @abb4 haben wir die ersten drei Glieder einer Folge ( $x_n$ ) und der zugehö caption: [], ) -#beispiel[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion +#beispiel(label: )[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion #math.equation( block: true, numbering: none, @@ -431,30 +454,51 @@ Unter Verwendung von @eq22 und bekannten Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen folg Die Gültigkeit von @eq24 wurde für eine beliebige und damit für jede Folge $\(x_n)$ mit den Eigenschaften @eq23 bewiesen. Daher gilt -/* -$$ -\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=1, -$$ +#einruecken(15mm)[ +$display(lim_(x->1/2) (x^2-1/4)/(x-1/2) = 1)$,] -was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild 2.2). +was in Einklang mit der Anschauung steht (@abb2). +] -Beispiel 2.3: Wir wollen den Grenzwert der Funktion +#beispiel(label: )[Wir wollen den Grenzwert der Funktion -$$ -f(x)=\left\{\begin{array}{lll} -\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2} \\ -2 & \text { für } & x=\frac{1}{2} -\end{array}\right. -$$ -für $x \rightarrow \frac{1}{2}$ ermitteln (s. Bild 2.5). -Obwohl $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $\left(x_n\right)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2}$ betrachtet, für die $x_n \neq \frac{1}{2}$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in Beispiel 2.2 +#einruecken(15mm)[$display(y = cases( + (x^2 - 1/4)/(x- 1/2) &text("für")& x eq.not 1/2, + 2 &text("für")& x= 1/2, +))$] + +für $display(x->1/2)$ ermitteln (s. @abb5). + +#figure( + { + set math.equation(numbering: none) + scale(x: 50%, y: 50%, reflow: true, b2_5) + }, + caption: [], +) + +Obwohl $f$ an der Stelle $x=1/2$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $(x_n)$ mit $lim_(n->infinity)x_n=1/2$ betrachtet, für die $x_n eq.not 1/2$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in @Bsp22. + +#einruecken(15mm)[$lim_(x->infinity)f(x_n)=lim_(n->infinity)(x_n^2-1/4)/(x_n-1/2)=lim_(x->infinity)(x_n+1/2)=1$,] + +also ist + +#einruecken(15mm)[$lim_(x->1/2)f(x)=1$.] +] + + + +#beispiel(label: )[] + + +#aufgabe(label: )[] + + +/* -$$ -\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n^2-\frac{1}{4}}{x_n-\frac{1}{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=1, -$$ also ist @@ -570,7 +614,7 @@ ${ }^3$ ) Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r */ -] + diff --git a/Band2/grafiken.typ b/Band2/grafiken.typ index 908df69..ec8a5bf 100644 --- a/Band2/grafiken.typ +++ b/Band2/grafiken.typ @@ -210,6 +210,61 @@ }) content("plot.F", text(0.85em)[$y=x^2$], anchor: "west", name: "pt") - - + }) + +#let b2_5 = cetz.canvas({ + + import cetz.draw: * + set-style( + axes: ( + // Basisstil beibehalten + stroke: (thickness: 0.5pt), + // x-Achse: stealth-Pfeil am Ende + x: (mark: (end: "stealth", fill: black)), + // y-Achse: stealth-Pfeil am Ende + y: (mark: (end: "stealth", fill: black)), + ), + ) + plot.plot( + name: "plot", + size: (5, 8), + x-tick-step: none, + y-tick-step: none, + axis-style: "school-book", + x-label: $x$, + y-label: $y$, + x-ticks: ((0.5, $1/2$),), + y-ticks: ((1, $1$),(2, $2$)), + + //definitionen + { + let f = x => if x != 0.5 { (calc.pow(x, 2) - 0.25) / (x - 0.5) } else { none } + let x0 = 0.5 + let y0 = 1 + let y1 = 2 + let domain_end_x = 1.75 + let domain_end_y = f(1.75) + plot.add(f, domain: (-0.6, domain_end_x), style: (stroke: blue)) + + plot.add(((x0, 0), (x0, y0)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt))) + + plot.add(((x0, y0), (x0, y1)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt))) + + plot.add(((0, y0), (x0, y0)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt))) + + plot.add(((0, y1), (x0, y1)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt))) + + plot.add(((x0, y0),), mark: "o") + plot.add(((x0, y1),), mark: "o") + + plot.add-anchor("F1", (domain_end_x,domain_end_y)) + + } + ) + content("plot.F1",padding: (left: 2mm, bottom: 0mm), text(1em)[$ y = cases( + (x^2 - 1/4)/(x- 1/2) &text("für")& x eq.not 1/2, + 2 &text("für")& x= 1/2, +) $], anchor: "mid-west", name: "pt") + +}) \ No newline at end of file