Berichtigungen Band 1

Band1/ZumEinfuegen.tex

@@ -119,7 +119,11 @@ Beim Beweisen mathematischer Aussagen steht häufig das Problem, daß nicht sofo
 Beispiel 4.1: Man beweise: Wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei gleiche Winkel über einer Strecke $\overline{P_1 P_2}$ sind, so geht der durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ bestimmte Kreis $K$ auch durch den Punkt $P_4$. (In Bild 4.1 ist zu sehen, daß der Winkel bei $P_3$ mit $\alpha$, der Winkel bei $P_4$ mit $\beta$ bezeichnet wird.)
 
 Mit den Hilfsmitteln, die in der Logik bereitgestellt werden, sind wir bereits in der Lage, die zu beweisende mathematische Aussage als Aussagenverbindung darzustellen. Bezeichnen nämlich
+
+
 $p="` \alpha$ und $\beta$ sind zwei gleiche Winkel über $\bar{P}_1 \overline{P_2}$ "'
+
+
 $q=$ "`$P_4$ liegt auf dem Kreis $K^{\text {“ }}$
 zweiwertige Aussagen, so haben wir zu beweisen, daß
 $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist.
@@ -174,7 +178,7 @@ sind wahre Aussagen.
 Aufgabe 4.1: Man beweise, daß $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind.
 Die Frage ist nun, wieso wir auf Grund dessen, da $\beta \bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind, darauf schließen können, daß auch $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. Der wesentliche Schritt hierbei ist, daß wir begründen :
 
-Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt „Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$ ", eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
+Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt \anf{Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$}, eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
 
 Die oben genannte Begründung kann man wie folgt formulieren:
 I. Es ist zu zeigen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ eine wahre Aussage ist.
@@ -307,20 +311,27 @@ Da dieses Vorgehen sehr aufwendig ist und darüber hinaus auch die Übersichtlic
 
 
 Tabelle 4.6. Schema logischer Schlußfiguren und Beispiel - indirekter Beweis
-Voraussetzung 1
-Voraussetzung $k$
-Behauptung 1
-Behauptung $l$
-$q$
-$\frac{\bar{p} \rightarrow \bar{q}}{p}$
 
-Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch „und“ also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das „Beweisen“ liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
+
+\[\begin{array}{cc}
+	\text { Voraussetzung 1 } & q\\
+	\vdots  \\
+	\text { Voraussetzung } k & \bar{p} \rightarrow \bar{q}  \\
+	\hline 
+		\text { Behauptung 1 } & p\\
+		\vdots \\
+		\text { Behauptung } l
+
+\end{array}\]
+
+
+Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch \anf{und} also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das \anf{Beweisen} liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
 
 Nachfolgend geben wir ausgehend von (4.1) bis (4.11) die entsprechenden logischen Schlußfiguren an.
 
 Im Abschnitt 4.2. werden wir die Anwendung dieser logischen Schlußfiguren auf einige Beispiele aus der Elementarmathematik zeigen.
 
-Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage ,Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?" zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.
+Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage \anf{Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?} zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.
 
 
 

Band2/Band2.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass[german,9.5pt,final,twoside,titlepage]{scrbook}
+
+
+
+\input{Definitions.tex}
+
+
+
+\begin{document}
+	
+\maketitle
+
+\input{Vorwort.tex}
+
+\tableofcontents
+
+\part{Differentialrechnung}
+
+\input{Problemstellung_und_Historisches.tex}
+
+\input{Grenzwert.tex}
+
+%\input{Tests.tex}
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+%%%idx extra erzeugen
+%
+%Ä\index{Ae@""A}
+%Ö\index{Oe@""O}
+%Ü\index{Ue@""U}
+
+
+% Index soll Stichwortverzeichnis heissen
+\newpage
+\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis}
+
+% Stichwortverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
+\addcontentsline{toc}{section}{Stichwortverzeichnis}
+
+% Stichwortverzeichnis endgueltig anzeigen
+\printindex
+
+
+
+\end{document}
+

Band2/Definitions.tex

@@ -0,0 +1,278 @@
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+
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+\usetikzlibrary{arrows.meta,bending,positioning,matrix,fit,arrows,backgrounds}
+\usepackage{circuitikz}
+%\usetikzlibrary{circuits.ee.IEC.relay}
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+% fuer Stichwortverzeichnis
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+% Stichwortverzeichnis erstellen
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+% ref packages
+%\usepackage{nameref}
+% folowing  must be in this order
+%\usepackage{varioref}
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+\usepackage[parfill]{parskip}
+%\newcommand{\anf}[1]{"`#1"'}
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+\newcommand{\anf}[1]{\glqq#1\grqq}
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+\usepackage{amsmath,amssymb}
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+
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+%https://www.grund-wissen.de/informatik/latex/seitenlayout.html
+\automark[section]{chapter}
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+\newcommand{\einrueckungm}[2]{\begin{addmargin}[#1pt]{0pt}
+		#2\end{addmargin}
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+
+\newcommand{\einrueckung}[1]{\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
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+
+%%%%Leerseite
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+\newcommand\myemptypage{
+	\null
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+
+%%%%Zahl linker Rand
+
+\newcommand{\liRa}[1]{\marginpar[\raggedleft\Huge{\textbf{#1}}]{\textbf{\Huge{#1}}}}
+
+%%%%Farbbox
+\newtcolorbox{mybox}[1][]{%
+	%enhanced,
+	%boxed title style={colback=red, sharp corners},
+	colframe = orange!20,
+	colback = orange!20,  
+	%	overlay = {\node[text=white, fill=red] at (frame.east) 
+		%		{$\clubsuit$};},
+	#1}
+
+%\usepackage{enumitem,calc}
+%\SetLabelAlign{myparleft}{\parbox[t]\textwidth{#1\par\mbox{}}}
+
+\usepackage{calc}
+\usepackage{enumitem} % für liste mit Klammern siehe 3.4
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}\usepackage{enumitem}
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}
+
+\newlength{\mylength}
+
+\newcommand{\ausrichtung}[1]{ % Befehl zur Berechnung der Wortlänge
+	\settowidth{\mylength}{#1} % Breite des Wortes berechnen und in Längenvariable speichern
+	\hspace{\mylength}} % wird die Klammer eine Zeile tiefer gesetzt, dann rutscht das nachfolgende um ? nach rechts
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\usepackage{amsthm}
+%\newtheorem{thm}{Theorem}[chapter]
+%\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
+%
+%\newtheoremstyle{theorem}
+%{10pt}
+%{0pt}
+%{}
+%{}
+%{\bfseries}
+%{}
+%{\newline}
+%{}
+%\theoremstyle{theorem}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%1. Beispiel
+%\newtheoremstyle{break}
+%{\topsep}{\topsep}%
+%{\itshape}{}%
+%{\bfseries}{}%
+%{\newline}{}%
+%\theoremstyle{break}
+%\newtheorem{theorem}{Theorem}
+%
+%\begin{document}
+%	
+%	\begin{theorem}[Some note]
+	%		\lipsum*[2]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%\end{document}
+
+%2. Beispiel
+%\newtheoremstyle{side}{}{}{\advance\leftskip3cm\relax\itshape}{}
+%{\bfseries}{}{0pt}{%
+	%	\makebox[0pt][r]{%
+		%		\smash{\parbox[t]{2.5cm}{\raggedright\thmname{#1}%
+				%				\thmnumber{\space #2}\thmnote{\newline (#3)}}}%
+		%		\hspace{.5cm}}}
+%
+%\theoremstyle{side}
+%\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
+%
+%\theoremstyle{definition}
+%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+%
+%\begin{document}
+%	
+%	\lipsum[1]
+%	
+%	\begin{theorem}
+	%		\lipsum[1]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{theorem}[Euclid]
+	%		\lipsum[2]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{theorem}[Very long name]
+	%		\lipsum[3]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{definition}
+	%		\lipsum[1]
+	%	\end{definition}
+%	
+%\end{document}
+
+
+
+
+\usepackage{pgfplots}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\newtheorem{thb}{Theorem}[chapter]
+\newtheorem{bsp}[thb]{Beispiel}
+
+%https://tex.stackexchange.com/questions/338209/remove-dot-after-theorem-with-amsthm-and-hyperref
+
+\usepackage{xpatch}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{\xpatchcmd{\@thm}{\thm@headpunct{.}}{\thm@headpunct{}}{}{}}
+\makeatother
+
+\numberwithin{equation}{chapter} %Numerierung der Formeln mit Kapitelnummer 
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Tabellenbreite
+
+\usepackage{tabulary}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+
+
+%%%%%%Neues Enviroment für Defintion
+%% https://tex.stackexchange.com/questions/43495/defining-a-custom-environment-with-per-section-numbering
+
+\newcounter{mydefcount}
+\newcounter{mybspcount}
+\newcounter{myaufgcount}
+\newcounter{mysatzcount}
+\newcounter{mybemcount}
+
+\newenvironment{definition}{%      define a custom environment
+%	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mydefcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Definition \themydefcount}: }{}  
+\numberwithin{mydefcount}{chapter}
+
+
+\newenvironment{satz}{%      define a custom environment
+	%	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mysatzcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Satz \themysatzcount}: }{}  
+\numberwithin{mysatzcount}{chapter}
+
+%%%%%%Neues Enviroment für Definition Ende
+
+\newenvironment{beispiel}{%      define a custom environment
+	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mybspcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Beispiel \themybspcount}:}{}
+\numberwithin{mybspcount}{chapter}
+
+
+\newenvironment{bemerkung}{%      define a custom environment
+	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mybemcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Bemerkung \themybemcount}}{}
+\numberwithin{mybemcount}{chapter}
+
+\newenvironment{aufgabe}{%      define a custom environment
+	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{myaufgcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{* Aufgabe \themyaufgcount}\mbox{}
+	\vspace*{-\baselineskip}
+	\newline
+	
+}{\par\bigskip}  %          create a vertical offset to following material
+\numberwithin{myaufgcount}{chapter}
+
+\title{Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen}
+
+%%%Pfeile
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\newcommand{\bglayer}[1]{%
+	\begin{pgfonlayer}{background}
+		\begin{scope}[every picture]
+			#1
+		\end{scope}
+	\end{pgfonlayer}
+}
+%%%Pfeile
+
+\everymath{\displaystyle}
+
+\usepackage[figurewithin=chapter,labelsep=space]{caption}
+
+%\usepackage[font=small,labelfont=bf,figurewithin=section,labelsep=space]{caption}
+
+%%%Caption in tabelle auch links
+%\usepackage[singlelinecheck=false % <-- important
+%]{caption}
+
+\usepackage{booktabs} 
+%\usepackage{floatrow} % um die caption nach rechts zu setzen
+
+%Abbildung nach Bild umbenennen
+\renewcaptionname{german}{\figurename}{Bild}
+
+\newcommand{\hhlline}[3]{\draw (#1-#2-1.south west) -- (#1-#2-#3.south east);}

Band2/Grafiken/B2.1.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+%!tikz editor 1.0
+\documentclass{article}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage[graphics, active, tightpage]{preview}
+\usepackage{circuitikz}
+\PreviewEnvironment{tikzpicture}
+
+%!tikz preamble begin
+\usepackage{pgfplots}
+%!tikz preamble end
+
+
+\begin{document}
+%!tikz source begin
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm,scale=3]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-2.5,
+xmax=2.5,
+ymin=-0.5,
+ymax=4,
+%ytick={1,2},
+%yticklabels={1,2},
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks={0.5},
+    extra x tick style={
+        tick label style={anchor=north}},
+    extra x tick labels={$\frac{1}{2}$},
+extra y ticks={0.25},
+     extra y tick style={
+        tick label style={anchor=east}},
+    extra y tick labels={$\frac{1}{4}$},
+enlargelimits = true,
+]
+
+
+
+\draw [thick, dashed] (axis cs: -0.05,1) -- (axis cs: 0.5,1);
+\draw [thick, dashed] (axis cs: 0.5,-0.05) -- (axis cs: 0.5,1);
+
+
+\addplot[domain=-2:2, blue, line width=1,samples=2000] {x^2};
+
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*}] coordinates {(0.5,2)};
+
+\draw [ultra thin, dashed] (axis cs: -.05,1/4) -- (axis cs: 1/2,1/4);
+\draw [thick, dashed] (axis cs: 0.5,1) -- (axis cs: 0.5,2);
+
+
+
+\scriptsize{ \node () at (axis cs:2.4,1.8) {$\displaystyle y=\left\{ \begin{array}{rl}
+\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text{für}\; x \neq \frac{1}{2}\\ \\
+2 & \text{für}\; x = \frac{1}{2}\\
+\end{array}
+\right .$};}
+
+% \draw[] (axis cs:1.3, 0.1) -- (axis cs:1.3, -0.1);
+% \node () at (axis cs:1.3,-0.25) {$x_0$};
+
+% \draw[] (axis cs:1.14,-0.05) -- (axis cs:1.14, 0.05);
+% \node () at (axis cs:0.33,-0.45) {$\frac{1}{\pi}$};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+%!tikz source end
+
+\end{document}

Band2/Grafiken/B2.9.tex

@@ -0,0 +1,79 @@
+%!tikz editor 1.0
+\documentclass{article}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage[graphics, active, tightpage]{preview}
+\usepackage{circuitikz}
+\PreviewEnvironment{tikzpicture}
+
+%!tikz preamble begin
+\usepackage{pgfplots}
+%!tikz preamble end
+
+
+%%%%%%%%%
+%%   convert -density 300 GW001.pdf -quality 100 GW001.png
+%%%%%%%%%
+
+\begin{document}
+%!tikz source begin
+\begin{tikzpicture}
+[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm,scale=1]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-0.5,
+xmax=3,
+ymin=-0.1,
+ymax=2.5,
+ytick=\empty,
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks  = {0.75, 1.25,1.75,2.25},
+extra x tick labels= {$x_0$,  $x_3$, $x_2$, $x_1$},
+extra y ticks  = {0.71232, 1.22314, 1.55962, 1.81093},
+extra y tick labels= {$g_r$,  $f(x_3)$, $f(x_2)$, $f(x_1)$}
+]
+
+%\addplot[domain=-2.7:-1.1, blue, line width=1,samples=500] {1/(x^2-1)}; 
+%\addplot[domain=1.1:2.7, blue, line width=1,samples=500] {1/(x^2-1)}; 
+\addplot[domain=0.75:2.65, blue, line width=1,samples=500] {1+ln(x)}; 
+
+
+\addplot[color=blue, only marks, fill=white] coordinates {(0.75,0.71232)};
+
+\draw [dashed, blue] (axis cs: 0.75,-0.05) -- (axis cs: 0.75,0.71232);
+
+\draw [dashed, blue] (axis cs: -0.05,0.71232) -- (axis cs: 0.75,0.71232);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(1.25,1.22314)};
+
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 1.25,0) -- (axis cs: 1.25,1.22314);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 0, 1.22314) -- (axis cs: 1.25,1.22314);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(1.75,1.55962)};
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 1.75,0) -- (axis cs: 1.75,1.55962);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 0, 1.55962) -- (axis cs: 1.75,1.55962);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(2.25,1.81093)};
+
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 2.25,0) -- (axis cs: 2.25,1.81093);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 0, 1.81093) -- (axis cs: 2.25,1.81093);
+
+\end{axis}
+
+
+\end{tikzpicture}
+%!tikz source end
+
+\end{document}

Band2/Grafiken/B2_10.tikz

@@ -0,0 +1,37 @@
+\begin{tikzpicture}
+
+\begin{axis}[
+ x=1cm,y=1cm,
+axis lines=middle,
+      axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        %enlarge x limits=0.15,
+        %enlarge y limits=0.15,
+        every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=north east},
+        every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=north east},
+xmin=-0.5,
+xmax=6.,
+ymin=-0.5,
+ymax=5,
+ytick={1,...,2},
+xtick={3},
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+]
+
+\addplot[domain=0.75:3, blue!80!black, line width=1,samples=50] {3/x};
+\addplot[domain=3:5, blue!80!black, line width=1,samples=50] {x-1};
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*, fill=white}] coordinates {(3,2)};
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*	}] coordinates {(3,1)};
+
+\draw [dashed, draw=black] (axis cs: -0.05,1) -- (axis cs: 3,1);
+\draw [dashed, draw=black] (axis cs: -0.05,2) -- (axis cs: 3,2);
+\draw [dashed, draw=black] (axis cs: 3,-0.05) -- (axis cs: 3,2);
+
+\node[] at (axis cs:4.5,4.5) {\footnotesize$y=\left\{\begin{array}{l}
+\frac{3}{x} \text { für } 0<x \leq 3 \\
+x-1 \text { für } x>3
+\end{array}\right.$};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_11.tikz

@@ -0,0 +1,33 @@
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=1.5cm,y=1.5cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-0.25,
+xmax=4.2,
+ymin=-0.25,
+ymax=3,
+ytick=\empty,
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra y ticks={1.5},
+ extra y tick style={
+        tick label style={anchor=east}},
+    extra y tick labels={$\displaystyle g$},
+enlargelimits = true,
+]
+\draw [thick, draw=blue!50!black] 
+        (axis cs: -0.05,1.5) -- (axis cs: 5.2,1.5);
+\node[] at (axis cs:2.5,2.5) {$y=f(x)$};
+
+\addplot[domain=1.1:4.4, green!50!black	, line width=1,samples=200] {1.5+(5*e^(-x))*(cos(deg(2*pi*x)))};
+
+\end{axis}
+
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_12.tikz

@@ -0,0 +1,24 @@
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
+\begin{axis}[
+x=1cm,y=1cm,
+axis lines=middle,
+xmin=-5,
+xmax=5,
+ymin=-1.4,
+ymax=5,
+ytick={-1,...,4},
+xtick={-3,...,3},
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+]
+
+
+\addplot[domain=0.5:4, blue, line width=1,samples=50] {1/(x^2)};
+\addplot[domain=-4:-0.5, blue, line width=1,samples=50] {1/(x^2)};
+
+\node[] at (axis cs:2.5,2.5) {$\displaystyle y=\frac{1}{x^2}\; (x \neq 0)$};
+\end{axis}
+
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_3.tikz

@@ -0,0 +1,27 @@
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.5},}
+\begin{axis}[
+        axis x line=middle,
+        x=3cm,
+        width=40mm,
+        height=20mm,
+        xmin=0.5,
+        xmax=3.5,
+        xtick = \empty,
+        x axis line style={thick,-latex},
+        xlabel style={anchor=north west},
+        axis y line=none,
+        anchor=left of origin,
+xlabel=$x$,
+extra x ticks={1, 2, 3},
+extra x tick labels={$x_0 - C$, $x_0$, $x_0+C$},
+]
+\draw [line width=2] (axis cs: 1,0) -- (axis cs: 3,0);
+\addplot[only marks, fill=white, thick] coordinates {(1,0)};
+\addplot[only marks, fill=white, thick] coordinates {(2,0)};
+\addplot[only marks, fill=white, thick] coordinates {(3,0)};
+\end{axis}
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_4.tikz

@@ -0,0 +1,53 @@
+\begin{tikzpicture}
+[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-0.75,
+xmax=3.75,
+ymin=-0.5,
+ymax=3.5,
+ytick=\empty,
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks={0.75, 2, 2.5,2.8},
+extra x tick labels={$x_1$, $x_3$, $x_0$, $x_2$},
+extra y ticks={0.64, 1.5, 2.0625, 2.46},
+extra y tick labels={$f(x_1)$, $f(x_3)$, $g$ , $f(x_2)$},
+]
+
+\addplot[domain=0.5:3.1, blue, line width=1,samples=500] {0.25*(x^2)+0.5};
+
+
+\draw [line width=0.1] (axis cs: 0.75,-0.05) -- (axis cs: 0.75,0.640625);
+\draw [line width=0.1] (axis cs: -0.05,0.640625) -- (axis cs: 0.75,0.640625);
+
+\draw [ultra thin] (axis cs: 2,-0.05) -- (axis cs: 2,1.5);
+\draw [ultra thin] (axis cs: -0.05,1.5) -- (axis cs: 2,1.5);
+
+\draw [loosely dashed, ultra thin] (axis cs: 2.5,-0.05) -- (axis cs: 2.5,2.0625);
+\draw [loosely dashed, thin] (axis cs: -0.05,2.0625) -- (axis cs: 2.5,2.0625);
+
+\draw [ultra thin] (axis cs: 2.8,-0.05) -- (axis cs: 2.8,2.46);
+\draw [ultra thin] (axis cs: -0.05,2.46) -- (axis cs: 2.8,2.46);
+
+
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*}] coordinates {(0.75,0.640625)};
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*}] coordinates {(2,1.5)};
+
+\addplot[color=blue, only marks, fill=white] coordinates {(2.5,2.0625)};
+
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*}] coordinates {(2.8,2.46)};
+
+
+\node () at (axis cs:2.5,2.8) {$\displaystyle y=\left(x\right)$};
+
+\end{axis}
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_5.tikz

@@ -0,0 +1,58 @@
+\begin{tikzpicture}
+[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-1,
+xmax=3,
+ymin=-0.5,
+ymax=2,
+ytick={1,2},
+yticklabels={1,2},
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks={0.5},
+    extra x tick style={
+        tick label style={anchor=north}},
+    extra x tick labels={$\frac{1}{2}$},
+enlargelimits = true,
+]
+
+
+
+\draw [thick, dashed] (axis cs: -0.05,1) -- (axis cs: 0.5,1);
+\draw [thick, dashed] (axis cs: 0.5,-0.05) -- (axis cs: 0.5,1);
+
+
+\addplot[domain=-1:0.5, blue, line width=1,samples=2000] {((x^2)-(1/4))/(x-(1/2)};
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*, fill=white}] coordinates {(0.5,1)};
+\addplot[domain=0.51:1.5, blue, line width=1,samples=2000] {((x^2)-(1/4))/(x-(1/2)};
+
+\addplot[color=blue!80!black, only marks, style={mark=*}] coordinates {(0.5,2)};
+
+\draw [thick, dashed] (axis cs: -0.05,2) -- (axis cs: 0.5,2);
+\draw [thick, dashed] (axis cs: 0.5,1) -- (axis cs: 0.5,2);
+
+
+
+\scriptsize{ \node () at (axis cs:2.4,1.8) {$\displaystyle y=\left\{ \begin{array}{rl}
+\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text{für}\; x \neq \frac{1}{2}\\ \\
+2 & \text{für}\; x = \frac{1}{2}\\
+\end{array}
+\right .$};}
+
+% \draw[] (axis cs:1.3, 0.1) -- (axis cs:1.3, -0.1);
+% \node () at (axis cs:1.3,-0.25) {$x_0$};
+
+% \draw[] (axis cs:1.14,-0.05) -- (axis cs:1.14, 0.05);
+% \node () at (axis cs:0.33,-0.45) {$\frac{1}{\pi}$};
+
+\end{axis}
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_6.tikz

@@ -0,0 +1,33 @@
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
+\begin{axis}[
+x=5cm,y=1.5cm,
+axis lines=middle,
+xmin=-1.2,
+xmax=1.2,
+ymin=-1.4,
+ymax=1.4,
+ytick={-1,...,1},
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+]
+
+
+\addplot[domain=0.05:3.8, red, line width=1,samples=5000] {sin(deg(1/(x)))};
+\addplot[domain=-3.8:-0.05, red,  line width=1,samples=5000] {sin(deg(1/(x)))};
+
+%\draw (-0.32,0.1) node[anchor=north west] {$-\frac{1}{\pi}$};
+%\draw (0.32,0.1) node[anchor=north west] {$\frac{1}{\pi}$};
+ \draw[] (axis cs:-0.32, 0.1) -- (axis cs:-0.32, -0.1);
+ \node () at (axis cs:-0.35,-0.45) {$-\frac{1}{\pi}$};
+
+  \draw[] (axis cs:0.32, 0.1) -- (axis cs:0.32, -0.1);
+ \node () at (axis cs:0.33,-0.45) {$\frac{1}{\pi}$};
+%\node[color=red, font=\footnotesize] at (-1,-0.25) {$f(x)=3x^3 - x^2 - 10x$};
+%\node[color=blue, font=\footnotesize] at (axis cs: 1.1,2.2) {$g(x)=- x^2 + 2x$};
+
+\end{axis}
+
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_8.tikz

@@ -0,0 +1,56 @@
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-0.5,
+xmax=3,
+ymin=-0.5,
+ymax=2,
+ytick=\empty,
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks={1.3},
+    extra x tick style={
+        tick label style={anchor=north}},
+    extra x tick labels={$x_0$},
+ extra y ticks={1.14},
+ extra y tick style={
+        tick label style={anchor=east}},
+    extra y tick labels={$\displaystyle \sqrt{x_0}$},
+enlargelimits = true,
+]
+  \draw [thick, dashed] 
+        (axis cs: -0.05,1.14) -- (axis cs: 1.3,1.14);
+  \draw [thick, dashed] 
+        (axis cs: 1.3,-0.05) -- (axis cs: 1.3,1.14);
+\node[label={180:{}},circle,fill,inner sep=1.5] at (axis cs:1.3,1.14) {};
+\node[label={300:{$0$}},circle,fill,inner sep=1.5] at (axis cs:0,0) {};
+ %       node[pos=0.5, above] {$y=12$};
+ %  \addplot coordinates { (0,1.14) (1.3,1.14) };
+ %   \addplot coordinates { (1,4) (2,6) };
+  %  \draw (axis cs:2,3) -- node[left]{Text} (axis cs:2,6);
+
+\addplot[domain=0:2, blue, line width=1,samples=5000] {sqrt(x)};
+%\addplot[domain=-3.8:-0.05, red,  line width=1,samples=5000] {sin(deg(1/(x)))};
+
+
+\begin{scriptsize}
+ \node () at (axis cs:2.2,1.7) {$\displaystyle y=\sqrt{x}\;(x \neq 0)$};
+\end{scriptsize}
+
+% \draw[] (axis cs:1.3, 0.1) -- (axis cs:1.3, -0.1);
+% \node () at (axis cs:1.3,-0.25) {$x_0$};
+
+% \draw[] (axis cs:1.14,-0.05) -- (axis cs:1.14, 0.05);
+% \node () at (axis cs:0.33,-0.45) {$\frac{1}{\pi}$};
+
+\end{axis}
+
+
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/B2_9.tikz

@@ -0,0 +1,56 @@
+\begin{tikzpicture}
+[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm,scale=1]
+\tikzset{
+        every pin/.style={fill=yellow!50!white,rectangle,rounded corners=3pt,font=\tiny},
+        small dot/.style={fill=black,circle,scale=0.3},}
+\begin{axis}[
+x=2cm,y=2cm,
+axis lines=middle,
+axis line style = {-latex},
+xmin=-0.5,
+xmax=3,
+ymin=-0.1,
+ymax=2.5,
+ytick=\empty,
+xtick=\empty,
+xlabel=$x$,
+ylabel=$y$,
+extra x ticks  = {0.75, 1.25,1.75,2.25},
+extra x tick labels= {$x_0$,  $x_3$, $x_2$, $x_1$},
+extra y ticks  = {0.71232, 1.22314, 1.55962, 1.81093},
+extra y tick labels= {$g_r$,  $f(x_3)$, $f(x_2)$, $f(x_1)$}
+]
+
+%\addplot[domain=-2.7:-1.1, blue, line width=1,samples=500] {1/(x^2-1)}; 
+%\addplot[domain=1.1:2.7, blue, line width=1,samples=500] {1/(x^2-1)}; 
+\addplot[domain=0.75:2.65, blue, line width=1,samples=500] {1+ln(x)}; 
+
+
+\addplot[color=blue, only marks, fill=white] coordinates {(0.75,0.71232)};
+
+\draw [dashed, blue] (axis cs: 0.75,-0.05) -- (axis cs: 0.75,0.71232);
+
+\draw [dashed, blue] (axis cs: -0.05,0.71232) -- (axis cs: 0.75,0.71232);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(1.25,1.22314)};
+
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 1.25,-0.05) -- (axis cs: 1.25,1.22314);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: -0.05, 1.22314) -- (axis cs: 1.25,1.22314);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(1.75,1.55962)};
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 1.75,-0.05) -- (axis cs: 1.75,1.55962);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: -0.05, 1.55962) -- (axis cs: 1.75,1.55962);
+
+\addplot[color=blue, only marks] coordinates {(2.25,1.81093)};
+
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: 2.25,-0.05) -- (axis cs: 2.25,1.81093);
+
+\draw [ blue, thin] (axis cs: -0.05, 1.81093) -- (axis cs: 2.25,1.81093);
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}

Band2/Grafiken/Horner01.tikz

@@ -0,0 +1,203 @@
+%!TEX root=Band2.tex
+
+%\begin{tikzpicture}[>=latex]
+%
+%\draw[cyan, densely dotted] (-2,0) grid (12,14);
+%\useasboundingbox (-2,0) rectangle (12,14);
+%
+%%nodes=draw,
+%\matrix (m1) [anchor=west,draw,row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 6/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 12)
+%{
+%\phantom{a} & $3$  & $0$\footnotemark & $1$ & $-5 $ & $2$ \\
+%\phantom{a}  & \phantom{a} & $6$ & $12$ & $26$ & $42$\\
+%$2$ & $3$ & $6$ & $13$ & $21$ & $44=g(2)$\\
+%};
+%
+%\matrix (m2) [anchor=west,draw,row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 5/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 9)
+%	{
+%\phantom{a} & \phantom{a} & $6$ & $24$ & $74$\\
+%	$2$ & $3$ &	$12$ & $37$ & $95=g'(2)$ \\
+%};
+%
+%\matrix (m3) [anchor= west,draw,row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 4/.style={anchor=base west} , left delimiter=\{] at (1, 6.5)
+%{
+%\phantom{a} & \phantom{a} & $6$ & $36$\\
+%	$2$ & $3$ &	$18$ &  $73=\frac{g''(2)}{2!}$ \phantom{a}\\
+%};
+%
+%\matrix (m4) [anchor= west,draw,row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 3/.style={anchor=base west} , left delimiter=\{] at (1, 4)
+%{
+%\phantom{a} & \phantom{a} & $6$\\
+%	$2$ & $3$ &	  $24=\frac{g'''(2)}{3!}$ \phantom{a}\\
+%};
+%
+%\matrix (m5) [anchor= west,draw,row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 4/.style={anchor=base west} , left delimiter=\{] at (1, 2)
+%{
+%\phantom{a} &$3=\frac{g^{4}(2)} {4!}$ \\
+%};
+%
+%\draw ([xshift=.1cm]m1-1-1.north east) -- ([xshift=.1cm,yshift=-0.3cm]m5-1-1.south east);
+%
+%\draw ([yshift=-.25cm]m1-2-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=1.2cm]m1-2-6.south east);
+%
+%\draw ([yshift=-.25cm]m2-1-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=1.3cm]m2-1-5.south east);
+%
+%\draw ([yshift=-.25cm]m3-1-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=16mm]m3-1-4.south east);
+%
+%\draw ([yshift=-.25cm]m4-1-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=18mm]m4-1-3.south east);
+%
+%%\draw ([yshift=-.25cm]m5-1-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=3mm]m5-1-2.south east);
+%%\draw ([yshift=2mm]m1-3-6.north west) -- ([yshift=-1mm]m1-3-6.south west);
+%	
+%	%\draw ([yshift=-.25cm]m1-2-6.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=4mm]m1-2-6.south east);
+%	
+%%	\draw ([yshift=-.15cm]m1-3-6.south west) -- 	([yshift=-.15cm]m1-3-6.south east);
+%	
+%
+%\node[circle,draw] (del-left-1) at ($0.5*(m1-3-1.south west)+0.5*(m1-1-1.north west)$){};
+%\node[circle,draw] (del-left-2) at ($0.5*(m2-2-1.south west)+0.5*(m2-1-1.north west)$){};
+%\node[circle,draw] (del-left-3) at ($0.5*(m3-2-1.south west)+0.5*(m3-1-1.north west)$){};
+%\node[circle,draw] (del-left-4) at ($0.5*(m4-2-1.south west)+0.5*(m4-1-1.north west)$){};
+%\node[circle,draw] (del-left-5) at ($0.5*(m5-1-1.south west)+0.5*(m5-1-1.north west)$){};
+%\node[left=10pt] at (del-left-1.west) {1. Schritt};
+%\node[left=10pt] at (del-left-2.west) {2. Schritt};
+%\node[left=10pt] at (del-left-3.west) {3. Schritt};
+%\node[left=10pt] at (del-left-4.west) {4. Schritt};
+%\node[left=10pt] at (del-left-5.west) {5. Schritt};
+%
+%%\draw ($(m1-2-5.north east)!0.5!(m1-2-5.north west)$) -- ($(m1-2-5.south east)!0.5!(m2-2-2.south west)$);
+%%\draw($(m1-2-5.north east)!50!(m1-2-6.north west)$)--($(m1-3-5.south east)!50!(m1-3-6.south west)$);
+%%\draw([yshift=3mm]m1-3-6.north west)--(m1-3-6.south west);
+%
+%\hhlline{m5}{1}{2};
+%
+%%	\node[rectangle,draw] (del-left-2) at ($(m2-2-1)-(m2-1-1)$) {\tikz{\path (m2-2-2.north east) rectangle (m2-2-1.south west);}};
+%
+%
+%
+% %\mymatrixbracetop{2}{6}{$E'$}
+%
+%%\node[font=\color{red}] at (m2.center){X};
+%
+%%\foreach \xy in {$1*(m2-1-1)$, $1*(m2-2-1)$}{
+%%    \node at (\xy) {\xy};
+%%}
+%
+%\end{tikzpicture} \footnotetext{Man beachte, ...}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex]
+	
+%\draw[cyan, densely dotted] (-2,0) grid (8.5,9.5);
+\useasboundingbox (-2,0) rectangle (8.5,9.5);
+	
+%nodes=draw,
+\matrix (m1) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 6/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 8.4)
+{
+	\phantom{a} & 3  & 0\footnotemark & 1 & -5  & 2 \\
+	\phantom{a}  & \phantom{a} & 6 & 12 & 26 & 42\\
+	2 & 3 & 6 & 13 & 21 & 44=g(2)\\
+};
+	
+\matrix (m2) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes, column 5/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 6.4)
+{
+	\phantom{a} & \phantom{a} & 6 & 24 & 74\\
+	2 & 3 &	12 & 37 & 95=g'(2) \\
+};
+	
+\matrix (m3) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 4/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 4.5)
+{
+	\phantom{a} & \phantom{a} & 6 & 36\\
+	2 & 3 &	18 &  73=\frac{g''(2)}{2!} \\
+};
+	
+\matrix (m4) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 3/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 2.4)
+{
+	\phantom{a} & \phantom{a} & 6\\
+	2 & 3 &	 24=\frac{g'''(2)}{3!} \\
+};
+
+\matrix (m5) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 2/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ] at (1, 0.7)
+{
+	\phantom{a} &  3=\frac{g^{(4)}(2)}{4!} \\
+};
+	
+\node[circle] (del-left-1) at ($0.5*(m1-3-1.south west)+0.5*(m1-1-1.north west)$){};
+\node[left=10pt] at (del-left-1.west) {1. Schritt};
+	
+	%\draw ($(m1-2-5.north east)!0.5!(m1-2-5.north west)$) -- ($(m1-2-5.south east)!0.5!(m2-2-2.south west)$);
+	%\draw($(m1-2-5.north east)!50!(m1-2-6.north west)$)--($(m1-3-5.south east)!50!(m1-3-6.south west)$);
+	%\draw([yshift=3mm]m1-3-6.north west)--(m1-3-6.south west);
+%\draw ([yshift=-3mm]m1-2-1.south west) -- ([yshift=-3mm,xshift=10mm]m1-2-6.south east);
+
+\draw ($0.5*(m1-2-1.south west)+0.5*(m1-3-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m1-2-6.south east)+0.5*(m1-3-6.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m1-3-6.north west) -- (m1-3-6.south west);
+\draw (m1-3-6.south west) -- (m1-3-6.south east);
+
+\draw ($0.5*(m2-1-1.south west)+0.5*(m2-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m2-1-5.south east)+0.5*(m2-2-5.north east)$);
+
+%Ende Zeile 2 
+%vert
+\draw ([yshift=1mm]m2-2-5.north west) -- (m2-2-5.south west);
+%horiz
+\draw (m2-2-5.south west) -- (m2-2-5.south east);
+
+
+%Trennlinie
+\draw ([yshift=1.5mm]$0.5*(m3-1-1.south west)+0.5*(m3-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m3-1-4.south east)+0.5*(m3-2-4.north east)$);
+\node[circle] (del-left-2) at ($0.5*(m2-2-1.south west)+0.5*(m2-1-1.north west)$){};
+\node[left=10pt] at (del-left-2.west) {2. Schritt};
+
+\node[circle] (del-left-3) at ([yshift=-1mm]$0.5*(m3-1-1.south west)+0.5*(m3-2-1.north west)$){};
+\node[left=10pt] at (del-left-3.west) {3. Schritt};
+
+\draw ([yshift=1mm]m3-2-4.north west) -- (m3-2-4.south west);
+\draw (m3-2-4.south west) -- (m3-2-4.south east);
+
+%\draw ([yshift=-3mm,thick]m2-1-1.south west) -- ([yshift=-3mm,xshift=10mm]m2-1-5.south east);	
+
+\draw ([yshift=1.5mm]$0.5*(m4-1-1.south west)+0.5*(m4-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m4-1-3.south east)+0.5*(m4-2-3.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m4-2-3.north west) -- (m4-2-3.south west);
+\draw (m4-2-3.south west) -- (m4-2-3.south east);
+
+
+\node[circle] (del-left-4) at ([yshift=-1mm]$0.5*(m4-1-1.south west)+0.5*(m4-2-1.north west)$){};
+\node[left=10pt] at (del-left-4.west) {4. Schritt};
+
+\draw ($0.5*(m1-2-1.south west)+0.5*(m1-3-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m1-2-6.south east)+0.5*(m1-3-6.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m1-3-6.north west) -- (m1-3-6.south west);
+\draw (m1-3-6.south west) -- (m1-3-6.south east);
+
+\draw ($0.5*(m2-1-1.south west)+0.5*(m2-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m2-1-5.south east)+0.5*(m2-2-5.north east)$);
+
+
+\draw ([yshift=1mm]m3-2-4.north west) -- (m3-2-4.south west);
+\draw (m3-2-4.south west) -- (m3-2-4.south east);
+
+%\draw ([yshift=-3mm,thick]m2-1-1.south west) -- ([yshift=-3mm,xshift=10mm]m2-1-5.south east);	
+
+\node[circle] (del-left-5) at ([yshift=1mm]$0.5*(m5-1-1.south west)+0.5*(m5-1-1.north west)$){};
+\node[left=10pt] at (del-left-5.west) {5. Schritt};
+
+	
+\draw (m5-1-2.north west) -- (m5-1-2.south west);
+\draw (m5-1-2.south west) -- (m5-1-2.south east);
+	
+	
+\draw ([yshift=5.5mm]m5-1-1.north west)-- ([yshift=1mm]m5-1-2.north east);
+
+\draw(m1-1-1.north east)--([yshift=-2mm]m5-1-1.south east);
+
+	%\mymatrixbracetop{2}{6}{$E'$}
+	
+	%\node[font=\color{red}] at (m2.center){X};
+	
+	%\foreach \xy in {$1*(m2-1-1)$, $1*(m2-2-1)$}{
+		%    \node at (\xy) {\xy};
+		%}
+	
+\end{tikzpicture} \footnotetext{Man beachte, ...}
+
+\newpage

Band2/Grafiken/Horner02.tikz

@@ -0,0 +1,56 @@
+%!TEX root=Band2.tex
+\begin{tikzpicture}[>=latex]
+	
+%\draw[cyan, densely dotted] (-2,0) grid (12,14);
+\useasboundingbox (-2,0) rectangle (12,14);
+	
+%nodes=draw,
+\matrix (m1) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 7/.style={anchor=base west}] at (1, 12)
+	{
+		\phantom{a} & 1  & 3 & 5 & 7  & 6 & 2 \\
+		\phantom{a}  & \phantom{a} & -1 & -2 & -3 & -4 & -2\\
+		-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 0=g(-1)\\
+	};
+	
+\matrix (m2) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes, column 6/.style={anchor=base west}] at (1, 10)
+	{
+		\phantom{a} & \phantom{a} & -1 & -1 & -2 & -2\\
+		-1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0=g'(-1) \\
+	};
+	
+\matrix (m3) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 5/.style={anchor=base west}] at (1, 8.1)
+{
+	\phantom{a} & \phantom{a} & -1 & 0 & -2\\
+	-1 & 1 & 0 & 2 & 0=\frac{g''(-1)}{2!} \\
+};
+	
+\matrix (m4) [anchor=west,row sep=2mm,column sep=5mm,matrix of math nodes,column 4/.style={anchor=base west}] at (1, 6)
+{
+	\phantom{a} & \phantom{a} & -1 & 1\\
+	-1 & 1 & -1 &	 3=\frac{g'''(-1)}{3!} \neq 0 \\
+};
+
+
+\draw ($0.5*(m1-2-1.south west)+0.5*(m1-3-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m1-2-7.south east)+0.5*(m1-3-7.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m1-3-7.north west) -- (m1-3-7.south west);
+\draw (m1-3-7.south west) -- (m1-3-7.south east);
+
+\draw ($0.5*(m2-1-1.south west)+0.5*(m2-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m2-1-6.south east)+0.5*(m2-2-6.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m2-2-6.north west) -- (m2-2-6.south west);
+\draw (m2-2-6.south west) -- (m2-2-6.south east);
+
+\draw ([yshift=1.5mm]$0.5*(m3-1-1.south west)+0.5*(m3-2-1.north west)$) -- ([xshift=5mm]$0.5*(m3-1-5.south east)+0.5*(m3-2-5.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m3-2-5.north west) -- (m3-2-5.south west);
+\draw (m3-2-5.south west) -- (m3-2-5.south east);
+
+\draw ([yshift=1.5mm]$0.5*(m4-1-1.south west)+0.5*(m4-2-1.north west)$) -- ([xshift=12mm]$0.5*(m4-1-4.south east)+0.5*(m4-2-4.north east)$);
+
+\draw ([yshift=1mm]m4-2-4.north west) -- (m4-2-4.south west);
+\draw (m4-2-4.south west) -- (m4-2-4.south east);
+
+\draw([xshift=2mm]m1-1-1.north east)--([xshift=2mm,yshift=-2mm]m4-2-1.south east);
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Problemstellung_und_Historisches.tex

@@ -0,0 +1,11 @@
+\chapter{Problemstellung und Historisches}
+
+Zur mathematischen Beschreibung von Naturvorgängen, aber auch von technischen und ökonomischen Prozessen ist die Differentialrechnung ein unentbehrliches Hilfsmittel. Es ist daher nicht verwunderlich, daß gerade von Naturforschern entscheidende Anstöße zu ihrer Entwicklung ausgingen. Wichtige Vorarbeiten wurden im 16. und 17. Jahrhundert geleistet. Die eigentlichen Urheber dieser Disziplin sind aber Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), die die Differential- (und Integral-) Rechnung etwa gleichzeitig und voneinander unabhängig zu einem Kalkül entwickelten. Newton schuf seine ,,Fluxionsrechnung“ bei der Ableitung des Gravitationsgesetzes aus den Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung. Leibniz, der auch das Symbol $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ einführte, ging von dem Problem aus, an eine Kurve in einem vorgegebenen Kurvenpunkt die Tangente zu legen (,,Tangentenproblem“). Die Arbeiten dieser genialen Forscher lösten eine außerordentlich rasche Entwicklung der Mathematik aus, die ihrerseits in hohem Maße befruchtend auf andere Wissenschaften wirkte. Entscheidenden Anteil an dieser Entwicklung hatten die Brüder Jakob und Johann Bernoulli (1654-1705 bzw. 1667-1748), auf deren Vorlesungen auch das erste, 1696 erschienene Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung des Marquis de l'Hospital (1661-1704) basiert.
+
+Wie wir noch sehen werden, beruht die Differentialrechnung, ebenso wie die Integralrechnung, auf dem Begriff des \textit{Grenzwertes}. Zeitlich ging jedoch die kalkülmäßige Entwicklung der Differential- und Integralrechnung der strengen Begriffsdefinition voran. Daraus entstanden immer häufiger Schwierigkeiten und Unstimmigkeiten, die sich zunächst nicht überwinden ließen. Schließlich führte Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) den Grenzwertbegriff in die Mathematik ein. Doch erst Bernard Bolzano (1781-1848) und Augustin Louis Cauchy (1789-1857) wendeten diesen Begriff konsequent an und stellten damit die Infinitesimalrechnung (zu der man neben der Differential- und Integralrechnung auch die Theorie der unendlichen Reihen zählt) auf ein solides Fundament.
+
+Vor einem Aufbau der Differentialrechnung ist also der Grenzwertbegriff für Funktionen zu behandeln. Zwangsläufig wird man damit zum Begriff der \textit{Stetigkeit} geführt. Die eigentliche Differentialrechnung beginnt mit der Definition der \textit{Ableitung} einer Funktion.
+
+Alle drei Begriffe werden zur exakten Beschreibung bestimmter Sachverhalte in den unterschiedlichsten Gebieten herangezogen. So kann man mit dem Grenzwertbegriff z. B. das Verhalten einer zeitabhängigen Größe, ,, nach sehr langer Zeit " charakterisieren, mit dem Begriff der Stetigkeit bzw. Unstetigkeit den ,,kontinuierlichen“ bzw. ,,sprunghaften“ Ablauf eines Vorgangs erfassen und mit der Ableitung die ,,Änderungsgeschwindigkeit" eines Prożesses beschreiben.
+
+Die mathematischen Möglichkeiten reichen jedoch über die unmittelbare Anwendbarkeit dieser Begriffe weit hinaus. So werden wir unter Verwendung der Differentialrechnung u. a. Näherungsformeln für (nichtrationale) Funktionen herleiten, Methoden zur Ermittlung von Extremwerten angeben und Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungen behandeln. Dem „Praktiker" werden damit Hilfsmittel zur Verfügung gestellt, auf die er fortlaufend zurückgreifen muß.

Band2/Tests.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex]
+
+\draw[cyan, densely dotted] (-5,-5) grid (5,5);
+	\useasboundingbox (-5,5) rectangle (5,5);
+	\matrix (m1) [row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 6/.style={anchor=base west}, left delimiter=\{ ]
+	{\phantom{a} & $3$  & $0$ & $1$ & $-5 $ & $2$ & \phantom{a}\\
+		\phantom{a}  & \phantom{a} & $6$ & $12$ & $26$ & $42$ & \phantom{a}\\
+		$2$ & $3$ & $6$ & $13$ & $21$ & $44=g(2)$\\
+};
+
+
+	\matrix (m2) [below=of m1.south west, anchor= north west,yshift=6mm, row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 5/.style={anchor=base west} , left delimiter=\{]
+	{
+
+	\phantom{a} & \phantom{a} & $6$ & $24$ & $74$ & \phantom{a}\\
+	$2$ & $3$ &	$12$ & $37$ & $95=g'(2)$ \phantom{a}\\
+};
+
+	\matrix (m3) [below=of m2.south west, anchor= north west,yshift=6mm, row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes,column 4/.style={anchor=base west} , left delimiter=\{]
+	{
+\phantom{a} & \phantom{a} & $6$ & $36$ &  \phantom{a}\\
+	$2$ & $3$ &	$18$ &  $73=g''(2)$ \phantom{a}\\
+};
+
+
+	\draw ([xshift=.1cm]m1-1-1.north east) -- ([xshift=.1cm]m2-2-1.south east);
+
+	\draw ([yshift=-.25cm]m1-2-1.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=1cm]m1-2-6.south east);
+	
+	\draw ([yshift=2mm]m1-3-6.north west) -- ([yshift=-1mm]m1-3-6.south west);
+	
+	%\draw ([yshift=-.25cm]m1-2-6.south west) -- ([yshift=-.25cm,xshift=4mm]m1-2-6.south east);
+	
+	\draw ([yshift=-.15cm]m1-3-6.south west) -- 
+	([yshift=-.15cm]m1-3-6.south east);
+	
+
+	\node[circle] (del-left-1) at ($0.5*(m1-3-1.south west)+0.5*(m1-1-1.north west)$){};
+%	\node[draw,rectangle,left delimiter=\{] (del-left-1) at (m1-2-1) {\tikz{\path (m1-1-1.north east) rectangle (m1-3-1.south west);}};
+	\node[left=10pt] at (del-left-1.west) {1. Schritt};
+
+%\draw ($(m2-1-1.north east)!0.5!(m2-1-2.north west)$) -- ($(m2-2-1.south east)!0.5!(m2-2-2.south west)$);
+
+	\node[circle] (del-left-2) at ($0.5*(m2-2-1.south west)+0.5*(m2-1-1.north west)$){};
+
+\node[left=10pt] at (del-left-2.west) {2. Schritt};
+
+%	\node[rectangle,draw] (del-left-2) at ($(m2-2-1)-(m2-1-1)$) {\tikz{\path (m2-2-2.north east) rectangle (m2-2-1.south west);}};
+%	\node[left=10pt] at (del-left-2.west) {2. Schritt};
+ %\mymatrixbracetop{2}{6}{$E'$}
+
+%\node[font=\color{red}] at (m2.center){X};
+
+%\foreach \xy in {$1*(m2-1-1)$, $1*(m2-2-1)$}{
+%    \node at (\xy) {\xy};
+%}
+
+\end{tikzpicture}

Band2/Vorwort.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\chapter*{Vorwort}
+
+Dem vorliegenden Band 2 dieser Lehrbuchreihe kommt ebenso wie dem Band 1 insofern eine besondere Bedeutung innerhalb des gesamten Lehrwerkes zu, als nahe$\mathrm{zu}$ alle anderen Bände darauf auf bauen.
+
+Ein Teil der in diesem Buch behandelten Gegenstände ist auch im Lehrplan unserer Oberschulen enthalten. Ein Weglassen des dort bereits Dargebotenen hätte aber zu einer unzusammenhängenden Darstellung des Gebietes geführt; außerdem wäre nicht gewährleistet, daß alle Leser mit den gleichen Voraussetzungen die weiteren Bände studieren können.
+
+Eine korrekte Anwendung mathematischer Methoden setzt die genaue Kenntnis der zugrunde liegenden Begriffe voraus. Es muß dem Leser daher dringend nahegelegt werden, sich um ein volles Verständnis der eingeführten Begriffe zu bemühen. Anhand von vielen Beispielen wird gezeigt, wie mathematische Begriffe in den Anwendungen zu interpretieren sind. Ein gründliches Studium des Textes und das selbständige Lösen der über 100 Übungsaufgaben sollte den Leser in die Lage versetzen, die spezifische Anwendbarkeit der behandelten Begriffe und Methoden in seinem Fachgebiet selbst zu erkennen.
+
+Im Interesse einer straffen Darstellung mußte auf eine Reihe von Beweisen verzichtet werden. Alle Aussagen werden aber erläutert und - soweit möglich - geometrisch interpretiert.
+
+Für wertvolle Hinweise danken wir vor allem dem Herausgeber, Herrn Prof. Dr. O. Greuel (Mittweida), den Gutachtern, Herrn Prof. Dr. W. Dück (Berlin) und Herrn Prof. Dr. H. Goering (Magdeburg), sowie Herrn Prof. Dr. G. Opitz (Dresden). Besonderer Dank gebührt Frau I. Kamenz für das sorgfältige Schreiben des Manuskripts. Dem Verlag sei für die gute Zusammenarbeit herzlich gedankt.
+
+
+Dresden, Januar 1973\hfill E. A. Pforr
+
+\hfill W. Schirotzek
+
+\chapter*{Vorwort zur 6. Auflage}
+In dieser Auflage wurden gegenüber der vorangegangenen an zwei Stellen inhaltliche Veränderungen größeren Umfangs vorgenommen. Im Hinblick auf den Einsatz von elektronischen Rechnern, insbesondere auch von Taschenrechnern, war die Darstellung der Näherungsverfahren (Abschnitt 7.7.) zu überarbeiten. Der algorithmische Aspekt wurde stärker herausgearbeitet, auf die Formulierung von Algorithmen in einer Programmiersprache jedoch verzichtet. Außerdem wurde der Abschnitt über elliptische Integrale (9.3.5.) erweitert.
+
+Für die wertvolle Unterstützung bei der Überarbeitung von Abschnitt 7.7. sei Herrn Dr. sc. nat. S. Dietze (Dresden) herzlich gedankt.
+
+Dresden, Juli 1985\hfill E. A. Pforr
+
+\hfill W. Schirotzek
+
+
+

Band3/Abschnitt1.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\chapter{Zum Gegenstand und zur Bedeutung unendlicher Reihen}
+
+Die Theorie der unendlichen Reihen ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis. Sie befaßt sich mit der Konv́ergenzuntersuchung von Reihen, der Ermittlung ihrer Summen (im Konvergenzfall) und den Rechenoperationen mit unendlichen Reihen. Ihre Anwendungen erstrecken sich auf nahezu alle Teile der Analysis. Viele Untersuchungen werden durch Heranziehung unendlicher Reihen wesentlich vereinfacht oder überhaupt érst ermöglicht.
+
+Anhand eines Beispiels wollen wir uns zunächst eine Vorstellung von einer unendlichen Reihe und dem Konvergenzbegriff geben. Wir gehen von der Zahlenfolge $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$ aus und bilden die Summen $s_n$ der ersten $n$ Glieder $(n=1,2,3, \ldots)$. Dabei erhalten wir, wie man durch vollständige Induktion sofort bestätigen kann,
+$$
+s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
+$$
+
+Am Ergebnis ist erkennbar, daß die Summen $s_n$ mit wachsendem $n$ gegen 1 streben. Wenn wir nun die Summe $s_n$ als $n$-tes Glied einer neuen Zahlenfolge auffassen, so heißt das gerade, daß diese konvergiert und den Grenzwert 1 hat. Auf Grund dieses Verhaltens der Summen $s_n$ sagt man, daß die unendliche Reihe $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ konvergiert und die Summe (auch: den Wert) 1 hat.
+
+Die Konvergenz einer unendlichen Reihe wird also mittels der Konvergenz einer Zahlenfolge definiert, die so beschaffen ist, daß ihr $n$-tes Glied $s_n$ die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen, gegebenen Zahlenfolge ist. Insofern erscheint die Reihe gewissermaßen als Summe aus den unendlich vielen Gliedern dieser. anderen Zahlenfolge, und diese Vorstellung verband sich mit dem Reihenbegriff bei seiner Entstehung und noch geraume Zeit danach. Aber eine Summe aus unendlich vielen Zahlen ist kein mathematisch sinnvolles Objekt, und daher sei von vornherein vor einer solchen falschen Vorstellung von einer unendlichen Reihe gewarnt. Wenn man im obigen Beispiel trotzdem davon spricht, daß die unendliche Reihe $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ die Summe 1 hat, so hat das historische Gründe; es handelt sich nicht um eine Summe im Sinne des Ergebnisses einer Addition. „Summe" ist in unserem Beispiel nichts anderes als eine Benennung für den Grenzwert der Zahlenfolge $\left\{\sum_{\nu=1}^n \frac{1}{2^v}\right\}$ für $n \rightarrow \infty$. Wie wir noch sehen werden, darf man mit einer Reihensumme im allgemeinen Wenn wir jedoch eine konvergente Reihe nach $n$ Gliedern ( $n$ hinreichend groß) abbrechen, d. h. die (echte) Summe aus den ersten $n$ Gliedern bilden, so ist diese ein Näherungswert für die Reihensumme, und die Abweichung beider voneinander läßt sich im Prinzip beliebig klein machen, indem man $n$ groß genug wählt. Diese Tatsache nutzt man bei der praktischen Anwendung unendlicher Reihen aus.
+
+Die Bedeutung der unendlichen Reihen erwächst daraus, daß außer solchen Reihen, deren Glieder Zahlen sind (wir sprechen hier von Reihen mit konstanten Gliedern), hauptsächlich Reihen benutzt werden, deren Glieder Funktionen einer unabhängigen Variablen sind (Funktionenreihen). Dabei beschränken wir uns auf Funktionen einer reellen Variablen; die sehr wichtige Ausdehnung auf den Fall komplexer Variabler ist nicht Gegenstand dieses Bandes (vgl. Band 9).
+
+Die Summe einer konvergenten reellen Funktionenreihe ist selbst eine Funktion einer reellen Variablen. Somit kann eine konvergente Funktionenreihe als eine Darstellung einer Funktion (nämlich ihrer Summenfunktion) angesehen werden. Sehr wichtig ist das Problem, eine in einer anderen Form gegebene Funktion $f(x)$ in eine Funktionenreihe zu entwickeln, d. h. sie durch eine solche Reihe darzustellen. Insbesondere interessieren Entwicklungen in Potenz- bzw. Fourierreihen, die die wichtigsten Vertreter der Funktionenreihen sind. So kann man für eine komplizierte Funktion aus ihrer Potenzreihenentwicklung - innerhalb gewisser Intervalle gut brauchbare - Näherungspolynome erhalten, indem man die Entwicklung nach endlich vielen Gliedern abbricht. Beispielsweise entnimmt man aus der Potenzreihenentwicklung
+$$
+\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\ldots
+$$
+daß $\mathrm{e}^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ für alle $x$ mit hinreichend kleinem Betrag gilt. Wenn $|x| \leqq 0,1$ gilt, ist der Fehler, der bei Ersetzung von $f(x)=\mathrm{e}^x$ durch das Polynom $g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ entsteht, kleiner als $10^{-5}$. Durch Hinzunahme weiterer Glieder der Reihe zu dem Polynom wird die Annäherung weiter verbessert, und die eben angegebene Genauigkeit wird noch für $x$-Werte mit einem größeren Betrag als 0,1 erreicht.
+
+Fourierreihen lassen die Zusammensetzung periodischer Funktionen (bzw. der durch sie beschriebenen zeitlich abhängigen periodischen Vorgänge) aus Sinus- und Kosinusfunktionen erkennen. Zum Beispiel kann eine periodisch sich wiederholende Folge von Dreiecksimpulsen der Dauer $2 \pi$ und der Höhe 1 durch die Fourierreihe
+$$
+\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\left(\cos x+\frac{\cos 3 x}{3^2}+\frac{\cos 5 x}{5^2}+\ldots\right)
+$$
+wiedergegeben werden (vgl. Beispiel 5.4).
+
+Mit den Funktionenreihen können auch gewisse Rechenoperationen ausgeführt werden. Insbesondere können sie unter gewissen Voraussetzungen Glied für Glied integriert und differenziert werden. Daraus ergibt sich z. B. die Möglichkeit, Stammfunktionen von solchen Funktionen durch Funktionenreihen (insbesondere Potenzreihen) auszudrücken, die sich einer geschlossenen Darstellung mit Hilfe elementarer Funktionen entziehen. In Verallgemeinerung dessen bilden die Potenzreihen ein Hilfsmittel bei der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, für die die elementaren Integrationsmethoden nicht anwendbar sind. Diese wenigen Beispiele mögen genügen, um dem Leser einen ersten Eindruck von der Bedeutung der unendlichen Reihen zu vermitteln.

Band3/Abschnitt2.tex

@@ -0,0 +1,234 @@
+2. Reihen mit konstanten Gliedern
+2.1. Der Konvergenzbegriff bei unendlichen Reihen
+
+Wir denken uns eine Zahlenfolge $a_0, a_1, a_2, \ldots$ ( $a_v$ reell) gegeben und bilden daraus rein formal den Ausdruck
+$$
+a_0+a_1+a_2+\ldots \text {, }
+$$
+den wir mit Hilfe des Summenzeichens auch in der Form $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ schreiben. Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe). Die Zahlen $a_v$ werden Glieder der Reihe genannt, und die Summe aus den ersten $n+1$ Gliedern der Reihe ( $n$ fest),
+$$
+s_n=a_0+a_1+\ldots+a_n=\sum_{v=0}^n a_v,
+$$
+heißt $n$-te Teilsumme der Reihe.
+Definition 2.1: \textit{Eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ heißt konvergent, wenn die Folge $s_0, s_1, s_2, \ldots$ ihrer Teilsummen konvergiert; in diesem Fall heißt der Grenzwert $s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ Summe der Reihe. Eine Reihe heißt divergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen divergiert.}
+
+Dabei bedeutet die Konvergenz der Folge $\left\{s_n\right\}$ gegen $s$, daß zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß $\left|s-s_n\right|<\varepsilon$ für alle $n>N(\varepsilon)$ gilt (vgl. Band 1,10.4.) Bei einer konvergenten Reihe mit der Summe $s$ schreibt man $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s$ (anstelle von $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ), womit sowohl zum Ausdruck gebracht wird, daß die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ überhaupt konvergiert, als auch, daß $s$ ihre Summe ist. Das Zeichen $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v{ }^{\nu=0}$ steht also zugleich für die Reihensumme. Wir wollen nochmals unterstreichen, daß aus der Benennung „Summe“ für $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ nicht geschlossen werden darf, daß man mit einer unendlichen Reihe wie mit einer Summe aus endlich vielen Zahlen rechnen kann.
+
+Es sei darauf hingewiesen, daß das erste Reihenglied nicht etwa immer $a_0$ sein muß. So bezeichnet auch $\sum_{\nu=k}^{\infty} a_v$, wobei $k$ irgendeine natürliche Zahl sein kann, eine unendliche Reihe (mit $a_k$ als erstem Glied). Eine andere mögliche Schreibweise hierfür wäre $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_{v+k}$.
+
+Beispiel 2.1: Ein ganz elementares Beispiel einer unendlichen Reihe ist die geometrische Reihe
+$$
+1+q+q^2+q^3+\ldots=\sum_{\nu=0}^{\infty} q^\nu, \quad(q \text { reelle Zahl }) .
+$$
+
+Das in Abschnitt 1. angeführte Beispiel ist eine solche Reihe; dort ist $q=\frac{1}{2}$, und die Reihe beginnt erst mit dem Glied $q^1$. Die $n$-te Teilsumme der Reihe (2.3) ist
+$$
+s_n=1+q+q^2+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad q \neq 1
+$$
+(für $q=1$ ist offenbar $s_n=n+1$ ). Da $\lim _{n \rightarrow \infty} q^{n+1}=0$ für jedes $q$ mit $|q|<1$ gilt, konvergiert die Folge $\left\{s_n\right\}$ und damit die geometrische Reihe für diese $q$, und aus (2.4) folgt
+$$
+\sum_{v=0}^{\infty} q^v=\frac{1}{1-q}, \quad|q|<1 .
+$$
+
+Für jedes $q$ mit $|q| \geqq 1$ ist $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ nicht vorhanden und daher die geometrische Reihe divergent. Wie bei Zahlenfolgen unterscheidet man zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz. Bestimmte Divergenz liegt vor, wenn $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=+\infty$ oder $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=-\infty$ gilt; andernfalls spricht man von unbestimmter Divergenz. Die geometrische Reihe ist für $q \geqq 1$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ (man schreibt dafür $\sum_{v=0}^{\infty} q^v=\infty$ ); für $q \leqq-1$ ist sie dagegen unbestimmt divergent (man betrachte etwa den Fall $q=-1: 1-1+1-1+\ldots$, in dem die Teilsummen abwechselnd 1 und 0 sind).
+
+Beispiel 2.2: In Band 2, 6.3.4., ist die Taylorentwicklung der Funktion $f(x)=\mathrm{e}^x$ angegeben. Sie lautet $\mathrm{e}^x=\sum_{v=0}^n \frac{x^v}{v !}+R_n(x)$, wobei $R_n(x)$ das Restglied bezeichnet, das für jedes $x$ die Eigenschaft $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$ besitzt. Speziell für $x=1$ erhält man $\mathrm{e}=\sum_{v=0}^n \frac{1}{v !}+R_n(1), \lim _{n \rightarrow \infty} R_n(1) \stackrel{n \rightarrow \infty}{=} 0$. Das heißt aber gerade, daß die Zahlenfolge mit dem $n$-ten Glied $s_n=\sum_{v=0}^n \frac{1}{v !}$ für $n \rightarrow \infty$ gegen e strebt. Folglich ist e die Summe der unendlichen Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{v !}$ :
+$$
+\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{v !}=\mathrm{e} .
+$$
+
+Durch Definition 2.1 ist die Konvergenzuntersuchung von Reihen auf die von Zahlenfolgen zurückgeführt. Daher gewinnt man aus Konvergenzkriterien und anderen Sätzen über konvergente Zahlenfolgen auch entsprechende grundsätzliche Aussagen über unendliche Reihen. Jedoch ergibt sich eine große Zahl weiterer Konvergenzaussagen nicht aus den Eigenschaften der Glieder $s_n$ der Teilsummenfolge, sondern aus den Reihengliedern $a_v$ selbst. Hieraus folgt schon, daß den Reihen durchaus eine eigenständige Bedeutung zukommt. Es kann umgekehrt zweckmäßig sein, die Konvergenzuntersuchung einer Zahlenfolge auf die einer unendlichen Reihe zurückzuführen. Ist nämlich $b_0, b_1, b_2, \ldots$ eine vorgegebene Folge, so ist sie gerade die Teilsummenfolge der Reihe $b_0+\left(b_1-b_0\right)+\left(b_2-b_1\right)+\ldots$, denn für diese Reihe ist $s_n=b_0+\left(b_1-b_0\right)+\ldots+\left(b_n-b_{n-1}\right)+b_n$.
+Beispiel 2.3: Die Reihe $\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{v(v+1)}$ soll auf Konvergenz untersucht werden.
+$$
+\text { Wegen } \begin{aligned}
+a_v= & \frac{1}{v(v+1)}=\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}, \quad v=1,2,3, \ldots, \text { wird } \\
+s_n & =\sum_{v=1}^n \frac{1}{v(v+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\
+& =1-\frac{1}{n}
+\end{aligned}
+$$
+
+also ist $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=1$. Die Reihe konvergiert mit der Summe 1 .
+Wir erwähnen schließlich noch den Begriff des Reihenrests.
+Definition 2.2: Wenn $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$ eine gegebene Reihe ist, so nennt man die Reihe
+D. 2.2
+$$
+a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots=\sum_{v=n+1}^{\infty} a_v(n \text { fest })
+$$
+ihren n-ten Reihenrest.
+Die $m$-te Teilsumme des $n$-ten Reihenrests, $\sigma_m^{(n)}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+m}$ ( $m=1,2,3, \ldots$ ) ergibt sich offenbar als Differenz der Teilsummen $s_{n+m}$ und $s_n$ der gegebenen Reihe:
+$$
+\sigma_m^{(n)}=s_{n+m}-s_n \text {. }
+$$
+
+Aus (2.8) entnimmt man: Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ konvergiert und $s$ als Summe hat, d. h. $\lim _{m \rightarrow \infty} s_{n+m}=s$ gilt, so existiert, da $s_n$ von $m$ unabhängig ist, auch $\lim _{m \rightarrow \infty} \sigma_m^{(n)}=r_n$; es ist also
+$$
+r_n=s-s_n .
+$$
+
+Umgekehrt schließt man entsprechend aus der Konvergenz des $n$-ten Reihenrests auf die Konvergenz der Reihe selbst. Da $n$ beliebig ist, hat man folgendes Ergebnis:
+
+Satz 2.1: Wenn eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ konvergiert, so konvergiert auch jeder ihrer Reihenreste, und es gilt (2.9) für alle n. Umgekehrt folgt aus der Konvergenz eines einzigen Reihenrests die Konvergenz der Reihe selbst.
+
+Aus (2.9) ergibt sich weiter, daß für eine konvergente Reihe $\lim _{n \rightarrow \infty} r_n=0$ gilt. Daher kann die Summe $s$ einer konvergenten unendlichen Reihe näherungsweise durch eine Teilsumme $s_n$ (mit hinreichend großem $n$ ) ersetzt werden; der dabei begangene Fehler ist wegen (2.9) gleich $r_n$. So ergibt sich aus Beispiel 2.2 mit $n=6$ :
+$$
+\mathrm{e} \approx s_6=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\frac{1}{5 !}+\frac{1}{6 !} .
+$$
+
+Auf fünf Dezimalen genau ist $s_6=2,71806$ (zum Vergleich: e $=2,71828 \ldots$ ).
+2.2. Einige elementare Eigenschaften unendlicher Reihen
+
+Wir wollen nun erste elementare Eigenschaften kennenlernen, die wir für den Umgang mit unendlichen Reihen benötigen.
+
+Satz 2.2: Wenn man in einer Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ endlich viele Glieder wegläßt oder hinzufügt
+S. 2.2
+oder durch andere ersetzt, so bleibt die Eigenschaft der Konvergenz bzw. Divergenz erhalten.
+
+Auf eine etwas knappere Form gebracht, besagt der Satz, daß endlich viele Glieder keinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe haben.
+Beweis: Da nur an endlich vielen Gliedern Änderungen vorgenommen werden, gibt es einen Index $n$ der Art, daß alle Glieder $a_v$ der vorgelegten Reihe mit $v>n$ unver-
+
+ändert bleiben. Nach Satz 2.1 ist der zu diesem Index $n$ gehörende Reihenrest konvergent oder divergent, je nachdem, ob die Reihe selbst konvergiert oder divergiert. Dieser Reihenrest ist aber auch ein Reihenrest der abgeänderten Reihe (eventuell mit einem anderen Index), und daher folgt, wieder nach Satz 2.1, daß die abgeänderte Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie der $n$-te Reihenrest der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$, also wie diese selbst hat.
+
+Wenn man in einer konvergenten Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ jeweils eine endliche Anzahl aufeinanderfolgender Glieder zu einem neuen Glied zusammenfaßt (kurz: wenn man Klammern setzt), etwa $\left(a_0+a_1+\ldots+a_{k_0}\right)+\left(a_{k_0+1}+a_{k_0+2}+\ldots+a_{k 1}\right)+\ldots$, so entsteht eine neue Reihe. Über deren Konvergenzverhalten gilt
+
+S. 2.3 Satz 2.3: Es sei $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=$ s. Ist $k_0, k_1, k_2, \ldots$ eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und wird
+$$
+\begin{aligned}
+& b_0=a_0+\ldots+a_{k_0}, \\
+& b_1=a_{k_0+1}+\ldots+a_{k_1}, \\
+& \ldots \ldots \ldots \ldots
+\end{aligned}
+$$
+gesetzt, so ist auch $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ konvergent und hat die Summe $s$.
+Der Inhalt dieses Satzes kann kurz wie folgt zusammengefaßt werden: In einer konvergenten Reihe dürfen Klammern gesetzt werden.
+
+Beweis: Die Folge der Teilsummen der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ bildet eine Teilfolge der Folge der Teilsummen $s_n$ der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ und hat daher denselben Grenzwert wie $\left\{s_n\right\}$ (vgl. Band 1, 10.5.).
+
+Die Umkehrung von Satz 2.3 ist falsch, d. h., man darf nicht ohne weiteres Klammern weglassen. Das lehrt das folgende einfache Gegenbeispiel. Die Reihe $(1-1)$ $+(1-1)+\ldots$ konvergiert und hat die Summe 0, aber die Reihe $1-1+1-1+\ldots$ divergiert (vgl. Beispiel 1.1). Hier haben wir ein erstes Beispiel dafür, daß man mit unendlichen Reihen nicht so rechnen darf wie mit gewöhnlichen Summen.
+
+S. 2.4 Satz 2.4: Es sei $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s$, und c sei eine beliebige Konstante. Dann konvergiert auch die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v{ }_{\infty}^{\nu=0}$ und hat die Summe cs.
+Es gilt also $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_\nu=c \sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$, d. h., ein konstanter Faktor kann bei einer konvergenten Reihe vor das Summenzeichen gezogen werden.
+Beweis: Mit $s_n=\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ wird die $n$-te Teilsumme der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v$ gleich $\sum_{\nu=0}^{\infty} c a_v=c s_n$, und es gilt
+$$
+\lim _{n \rightarrow \infty} c s_n=c \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} s_n=c s
+$$
+
+S. 2.5 Satz 2.5: Es seien $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s, \sum_{\nu=0}^{\infty} b_v=t$. Dann konvergieren auch die Reihen $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(a_v+b_v\right)$ bzw. $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(a_v-b_v\right)$ und haben die Summen $s+t$ bzw. $s-t$.
+
+Konvergente Reihen dürfen also gliedweise addiert bzw. subtrahiert werden.
+Beweis: Wenn $s_n=\sum_{v=0}^n a_v, t_n=\sum_{\nu=0}^n b_v$ ist, so sind die Teilsummen der durch gliedweise Addition bzw. Subtraktion entstehenden Reihen gleich $s_n+t_n$ bzw. $s_n-t_n$. Aus $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n \pm t_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n \pm \lim _{n \rightarrow \infty} t_n=s \pm t$ folgt die Behauptung.
+
+Folgerung: $A u s \sum_{\nu=0}^{\infty} a_v=s, \sum_{v=0}^{\infty} b_v=t$ folgt nach den Sätzen 2.4 und 2.5, daß jede Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty}\left(\alpha a_v+\beta b_v\right)^{\nu=0}$ mit (reellen) Konstanten $\alpha, \beta$ ebenfalls konvergiert und $\alpha s+\beta$ t zur Summe hat. Das Entsprechende gilt, wenn man aus $m$ konvergenten Reihen $(m>2)$ durch eine Linearkombination der Glieder mit gleichem Index eine neue Reihe bildet.
+
+
+
+2.3. Das Cauchysche Konvergenzkriterium
+
+In den Beispielen 2.1, 2.3 konnten wir die Teilsummen geschlossen ausdrücken und dadurch unmittelbar ihr Verhalten für $n \rightarrow \infty$ untersuchen. Diese direkte Methode der Konvergenzuntersuchung einer unendlichen Reihe, die im Konvergenzfall zugleich die Reihensumme liefert, gelingt nur in wenigen Beispielen. Im allgemeinen geht es zunächst um die Feststellung der Konvergenz oder Divergenz einer Reihe. Dazu bedient man sich gewisser Konvergenzkriterien, von denen in diesem und den beiden folgenden Unterabschnitten einige wichtige angegeben werden. Diese Kriterien liefern im Konvergenzfall keine Methode zur Berechnung der Reihensumme; dieses Problem muß gesondert gelöst werden.
+
+Von Band 1, Abschnitt 10.6., her ist das Cauchysche Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen bekannt. Dieses Kriterium läßt sich auf Grund von Definition 2.1 auf unendliche Reihen übertragen. Es ist von grundsätzlicher theoretischer Bedeutung, weil es eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe enthält.
+Satz 2.6 (Cauchysches Konvergenzkriterium): Eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist genau
+S. 2.6
+dann konvergent, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß
+$$
+\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|<\varepsilon
+$$
+für alle $n>N(\varepsilon)$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt.
+Beweis: Eine Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist nach Definition 2.1 und dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen genau dann konvergent, wenn zu jedem positiven $\varepsilon$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so daß für alle $m>N(\varepsilon)$ und $n>N(\varepsilon)$
+$$
+\left|s_m-s_n\right|<\varepsilon
+$$
+
+
+gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man $m>n$ annehmen (für $m=n$ ist (2.11) trivialerweise erfüllt) und daher $m=n+p$ setzen, wobei $p$ eine positive ganze Zahl ist. Dann geht (2.11) über in
+$$
+\left|s_{n+p}-s_n\right|<\varepsilon \text {. }
+$$
+
+Nun ist aber
+$$
+\begin{aligned}
+s_{n+p}-s_n & =\left(a_0+a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}\right)-\left(a_0+a_1+\ldots+a_n\right) \\
+& =a_{n+1}+\ldots+a_{n+p} ;
+\end{aligned}
+$$
+d. h., (2.12) ist mit (2.10) äquivalent.
+
+
+Bei Konvergenz der Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ ist (2.10) insbesondere für $p=1$ erfüllt, d. h., für jedes $\varepsilon>0$ muß $\left|a_{n+1}\right|<\varepsilon$ von einem gewissen $n$ an gelten. Damit hat man ein notwendiges Konvergenzkriterium:
+S. 2.7 Satz 2.7: Wenn eine unendliche Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} \dot{a}_\nu$ konvergiert, so gilt
+$$
+\lim _{v \rightarrow \infty} a_v=0
+$$
+
+Die Bedingung (2.13) ist jedoch nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe. Wir zeigen das an einem Gegenbeispiel.
+Beispiel 2.4: Die sogenannte harmonische Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{1}{v}$ soll auf Konvergenz untersucht werden. Die Bedingung (2.13) ist hier erfüllt: es ist $\lim _{\nu=\infty} \frac{1}{v}=0$. Trotzdem ist die Reihe divergent. Mit $n=2^k, p=2^k, k=0,1,2, \ldots$, wird nämlich
+$$
+\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|=\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}} .
+$$
+
+Da jeder der vorhergehenden Summanden auf der rechten Seite größer als der letzte ist und die Anzahl der Summanden $p=2^k$ ist, folgt $\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right| \geqq 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}}$ $=\frac{1}{2}$. Wählt man nun $\varepsilon<\frac{1}{2}$, so ist (2.10) offenbar nicht erfüllbar.
+
+Die Konvergenzuntersuchung einer Reihe mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium ist meist etwas schwerfällig. Man greift gern auf leichter zu handhabende Kriterien zurück, wobei es praktisch ausreicht, daß diese nur hinreichende Bedingungen für Konvergenz oder Divergenz enthalten.
+
+2.4. Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
+
+Die in diesem Unterabschnitt angegebenen Konvergenzkriterien gelten für Reihen mit positiven Gliedern. Unter einer Reihe mit positiven Gliedern verstehen wir dabei eine Reihe, deren Glieder nicht negativ sind und die unendlich viele positive Glieder enthält. Auf Grund von Satz 2.2 kann man die Kriterien auch anwenden, wenn in einer Reihe neben unendlich vielen positiven Gliedern noch endlich viele negative Glieder vorkommen, da man diese bei der Konvergenzuntersuchung unberücksichtigt lassen kann. In 2.6. wird gezeigt, daß man einige der folgenden Kriterien nach gewissen Modifizierungen auch auf Reihen mit Gliedern beliebigen Vorzeichens anwenden kann.
+2.4.1. Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium
+S. 2.8 Satz 2.8: Eine Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern ist genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen eine beschränkte Zahlenfolge ist.
+Hinweis. In diesem Fall gilt sicher für die Reihensumme $s$ die Beziehung $s>s_n$, $n=0,1,2, \ldots$
+Beweis: Wegen $a_v \geqq 0$ bilden die Teilsummen $s_n=\sum_{v=0}^n a_v$ eine monoton wachsende
+
+
+Folge. Da eine beschränkte monotone Zahlenfolge konvergiert (vgl. Band 1, 10.6.), ist die Beschränktheit der Teilsummenfolge im Fall $a_v \geqq 0$ für die Konvergenz der Reihe hinreichend. Die Notwendigkeit ergibt sich aus dem Satz, daß jede konvergente Zahlenfolge beschränkt ist (vgl. Band 1, 10.5.).
+2.4.2. Vergleichskriterien
+
+Satz 2.9: (Vergleichskriterium, 1. Teil): Eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern ist S. 2.9 konvergent, wenn zwischen ihren Gliedern und den Gliedern einer als konvergent bekannten Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ von einem gewissen $v$ an die Beziehung $a_v \leqq b_v$ gilt.
+Beweis: Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert zu jedem $\varepsilon>0$ ein $N(\varepsilon)$, so daß $\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}\right|<\varepsilon$ für alle $n>N(\varepsilon)$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt. Wählt man nun außerdem $n$ so groß, daß $a_v \leqq b_v$ für $v>n$ erfüllt ist, so folgt, da $b_v \geqq 0$ für diese $v$ ist, daß
+$$
+\begin{aligned}
+& \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p} \\
+& \leqq b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}=\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\ldots+b_{n+p}\right|<\varepsilon
+\end{aligned}
+$$
+von einem gewissen $n \mathrm{ab}$ und für jedes $p \geqq 1$ gilt. Daher ist die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konvergent.
+
+Die zum Vergleich benutzte konvergente Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ nennt man eine Majorante zur Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu$ und daher Satz 2.9 auch Majorantenkriterium.
+
+Satz 2.10 (Vergleichskriterium,'2. Teil): Eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ ist divergent, wenn zwischen
+S. 2.10
+ihren Gliedern und den Gliedern einer als divergent bekannten Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_v$ mit positiven Gliedern von einem gewissen $v$ an die Beziehung $a_v \geqq b_v$ gilt.
+Beweis: Wenn man annimmt, daß die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} a_v$ konvergent ist, so müßte nach dem. eben bewiesenen Satz 2.9 auch die Reihe $\sum_{\nu=0}^{\infty} b_\nu{ }_\nu$ konvergieren. Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung.
+
+Die hier zum Vergleich verwendete divergente Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} b_v$ heißt eine Minorante zur Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$, und den Satz 2.10 nennt man deshalb Minorantenkriterium. Man muß natürlich eine gewisse Anzahl von möglichen Vergleichsreihen - also Reihen, deren Konvergenzverhalten man kennt - zur Verfügung haben, wenn man die Sätze 2.9 und 2.10 anwenden will.
+Beispiel 2.5: Wir untersuchen die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v^2}$ und ziehen die in Beispiel 2.3 als konvergent erkannte Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v(v+1)}$ als Vergleichsreihe heran; es ist also $a_v=\frac{1}{v^2}$, $b_v=\frac{1}{v(v+1)}, v=1,2, \ldots$ Zwischen entsprechenden Gliedern beider Reihen be-
+
+
+steht die Relation $\frac{1}{v^2}>\frac{1}{v(v+1)}$, aus der man jedoch nichts über das Konvergenzverhalten der Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v^2}$ folgern kann. Schreibt man die zu untersuchende Reihe jedoch in der Form $\sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{(v+1)^2}$, so besteht zwischen den Gliedern $a_v=\frac{1}{(v+1)^2}$ dieser Reihe und den Gliedern $b_v$ der Vergleichsreihe für $v \geqq 1$ die Beziehung $\frac{1}{(v+1)^2}<\frac{1}{v(v+1)}$, und nun folgt nach Satz 2.9, daß die vorgelegte Reihe konvergiert. In Beispiel 5.5 wird gezeigt, daß ihre Summe $\frac{\pi^2}{6}$ ist.
+Beispiel 2.6: Wir untersuchen die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{v}}$ und verwenden die divergente harmonische Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{v}$ (Beispiel 2.4) zum Vergleich. Da $\frac{1}{\sqrt{v}} \geqq \frac{1}{v}$ für alle $v$ gilt, ist nach Satz 2.10 auch die Reihe $\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{v}}$ divergent. Allgemeiner ergibt sich auf diese Weise die Divergenz für alle Reihen $\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{v^\alpha}$ mit $\alpha<1$. Der Fall $\alpha>1$ wird in 2.4.4., Beispiel 2.11, betrachtet.
+2.4.3. Quotienten- und Wurzelkriterium
+
+Wenn man im Majorantenkriterium die geometrische Reihe als Vergleichsreihe heranzieht, kommt man zu zwei weiteren Konvergenzkriterien, die sehr häufig verwendet werden: dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium (auch: Kriterium von d'Alembert bzw. von Cauchy).
+
+
+S. 2.11 Satz 2.11 (Quotientenkriterium): Wenn für eine Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} a_v$ mit positiven Gliedern von einem gewissen $v$ an $a_v>0$ und
+$$
+\frac{a_{v+1}}{a_v} \leqq q, \quad 0<q<1,
+$$
+gilt, so ist die Reihe konvergent. Gilt jedoch von einem gewissen $v$ an $\frac{a_{v+1}}{a_v} \geqq 1$, so ist die Reihe divergent.
+Beweis: Es sei (2.14) für $v \geqq n$ erfüllt. Dann gilt
+$$
+a_{n+1} \leqq q a_n, a_{n+2} \leqq q a_{n+1}, a_{n+3} \leqq q a_{n+2}, \ldots
+$$
+
+Durch Einsetzen der ersten Ungleichung in die zweite usf. folgt
+$$
+a_{n+1} \leqq q a_n, a_{n+2} \leqq q^2 a_n, a_{n+3} \leqq q^3 a_n, \ldots
+$$
+
+Das heißt aber, daß die geometrische Reihe $a_n \sum_{\nu=0}^{\infty} q^\nu$, die wegen $0<q<1$ konvergiert, eine Majorante zur Reihe $\sum_{\nu=n}^{\infty} a_\nu$ ist. Nach Satz 2.1 konvergiert dann auch $\sum_{\nu=n}^{\infty} a_v$.
+
+Gilt dagegen von einem gewissen $v$ ab $\frac{a_{v+1}}{a_v} \geqq 1$, so ist $a_{v+1} \geqq a_v$, die Folge $\left\{a_v\right\}$ mit positiven Gliedern ist also monoton wachsend. Daher ist die nach Satz 2.7 notwendige Konvergenzbedingung $\lim _{\nu \rightarrow \infty} a_v=0$ nicht erfüllt.
+
+
+---Beginn 17 ---
+

Band3/Band3.tex

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+\usepackage{calc}
+\usepackage{enumitem} % für liste mit Klammern siehe 3.4
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}\usepackage{enumitem}
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}
+
+\newlength{\mylength}
+
+\newcommand{\ausrichtung}[1]{ % Befehl zur Berechnung der Wortlänge
+	\settowidth{\mylength}{#1} % Breite des Wortes berechnen und in Längenvariable speichern
+	\hspace{\mylength}} % wird die Klammer eine Zeile tiefer gesetzt, dann rutscht das nachfolgende um ? nach rechts
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\usepackage{amsthm}
+%\newtheorem{thm}{Theorem}[chapter]
+%\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
+%
+%\newtheoremstyle{theorem}
+%{10pt}
+%{0pt}
+%{}
+%{}
+%{\bfseries}
+%{}
+%{\newline}
+%{}
+%\theoremstyle{theorem}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%1. Beispiel
+%\newtheoremstyle{break}
+%{\topsep}{\topsep}%
+%{\itshape}{}%
+%{\bfseries}{}%
+%{\newline}{}%
+%\theoremstyle{break}
+%\newtheorem{theorem}{Theorem}
+%
+%\begin{document}
+%	
+%	\begin{theorem}[Some note]
+	%		\lipsum*[2]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%\end{document}
+
+%2. Beispiel
+%\newtheoremstyle{side}{}{}{\advance\leftskip3cm\relax\itshape}{}
+%{\bfseries}{}{0pt}{%
+	%	\makebox[0pt][r]{%
+		%		\smash{\parbox[t]{2.5cm}{\raggedright\thmname{#1}%
+				%				\thmnumber{\space #2}\thmnote{\newline (#3)}}}%
+		%		\hspace{.5cm}}}
+%
+%\theoremstyle{side}
+%\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
+%
+%\theoremstyle{definition}
+%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+%
+%\begin{document}
+%	
+%	\lipsum[1]
+%	
+%	\begin{theorem}
+	%		\lipsum[1]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{theorem}[Euclid]
+	%		\lipsum[2]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{theorem}[Very long name]
+	%		\lipsum[3]
+	%	\end{theorem}
+%	
+%	\begin{definition}
+	%		\lipsum[1]
+	%	\end{definition}
+%	
+%\end{document}
+
+
+
+
+\usepackage{pgfplots}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\newtheorem{thb}{Theorem}[chapter]
+\newtheorem{bsp}[thb]{Beispiel}
+
+%https://tex.stackexchange.com/questions/338209/remove-dot-after-theorem-with-amsthm-and-hyperref
+
+\usepackage{xpatch}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{\xpatchcmd{\@thm}{\thm@headpunct{.}}{\thm@headpunct{}}{}{}}
+\makeatother
+
+\numberwithin{equation}{chapter} %Numerierung der Formeln mit Kapitelnummer 
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Tabellenbreite
+
+\usepackage{tabulary}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+
+
+%%%%%%Neues Enviroment für Defintion
+%% https://tex.stackexchange.com/questions/43495/defining-a-custom-environment-with-per-section-numbering
+
+\newcounter{mydefcount}
+\newcounter{mybspcount}
+\newcounter{myaufgcount}
+\newcounter{mysatzcount}
+
+\newenvironment{definition}{%      define a custom environment
+%	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mydefcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Definition \themydefcount}: }{}  
+\numberwithin{mydefcount}{chapter}
+
+
+\newenvironment{satz}{%      define a custom environment
+	%	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mysatzcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Satz \themysatzcount}: }{}  
+\numberwithin{mysatzcount}{chapter}
+
+%%%%%%Neues Enviroment für Definition Ende
+
+\newenvironment{beispiel}{%      define a custom environment
+	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{mybspcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{Beispiel \themybspcount}:}{}
+\numberwithin{mybspcount}{chapter}
+
+
+\newenvironment{aufgabe}{%      define a custom environment
+	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
+	\refstepcounter{myaufgcount}% increment the environment's counter
+	\textbf{* Aufgabe \themyaufgcount}\mbox{}
+	\vspace*{-\baselineskip}
+	\newline
+	
+}{\par\bigskip}  %          create a vertical offset to following material
+\numberwithin{myaufgcount}{chapter}
+
+\title{Unendliche Reihen}
+
+%%%Pfeile
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\newcommand{\bglayer}[1]{%
+	\begin{pgfonlayer}{background}
+		\begin{scope}[every picture]
+			#1
+		\end{scope}
+	\end{pgfonlayer}
+}
+%%%Pfeile
+
+\everymath{\displaystyle}
+
+\usepackage[figurewithin=chapter,labelsep=space]{caption}
+
+%\usepackage[font=small,labelfont=bf,figurewithin=section,labelsep=space]{caption}
+
+%%%Caption in tabelle auch links
+%\usepackage[singlelinecheck=false % <-- important
+%]{caption}
+
+\usepackage{booktabs} 
+%\usepackage{floatrow} % um die caption nach rechts zu setzen
+
+%Abbildung nach Bild umbenennen
+\renewcaptionname{german}{\figurename}{Bild}
+
+\newcommand{\hhlline}[3]{\draw (#1-#2-1.south west) -- (#1-#2-#3.south east);}

Band3/Vorwort.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\chapter{Vorwort}
+Der vorliegende 3. Band der Lehrbuchreihe für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte ist den unendlichen Reihen (im Reellen) gewidmet. Er gibt eine Einführung in ihre Theorie und stellt solche Anwendungsmöglichkeiten der unendlichen Reihen dar, die für einen großen Teil des Benutzerkreises von Wichtigkeit sind.
+
+Das Buch gliedert sich in sechs Abschnitte. Dem einführenden Abschnitt folgen zwei Abschnitte, die den Leser mit grundsätzlichen Fragen zur Konvergenz von unendlichen Reihen und zum Rechnen mit ihnen bekannt machen sollen; einer davon behandelt Reihen mit konstanten Gliedern, der andere Funktionenreihen. In ihnen steht die Theorie stärker im Vordergrund als in den folgenden Teilen des Buches. Die nächsten beiden Abschnitte sind den Potenzreihen und den Fourierreihen gewidmet. Hierin werden insbesondere die Anwendungsmöglichkeiten breit dargestellt. Am Ende steht ein Abschnitt über Fourierintegrale, die eigentlich gar nicht zum Gegenstand des Buches gehören, aber wegen ihres engen Zusammenhanges zu den Fourierreihen in Ergänzung und Verallgemeinerung des 5. Abschnittes mit aufgenommen wurden.
+
+Entsprechend der Zielstellung der Lehrbuchreihe wird die Theorie nicht lückenlos entwickelt. So sind im wesentlichen nur solche Beweise aufgenommen worden, die erforderlich oder geeignet sind, um bei einem Studierenden, der Mathematik als Nebenfach betreibt, zu einem vertieften mathematischen Verständnis beizutragen. In den Text sind viele ausführlich durchgerechnete Beispiele eingefügt, die das Durcharbeiten erleichtern und den Studenten, insbesondere den Fernstudenten, beim Selbststudium eine Hilfe sein sollen. Eine Auswahl von Übungsaufgaben, mit deren Lösung sich der Studierende die erforderlichen Fertigkeiten im Umgang mit Reihen aneignen sollte, findet sich jeweils am Ende eines Abschnittes. Die Lösungen sind am Ende des Buches zusammengestellt.
+
+Das erfolgreiche Studium des vorliegenden Bandes setzt beim Leser die Kenntnis des Stoffes voraus, der in den Bänden 1 (Grundlagen) und 2 (Differential- und Integralrechnung) behandelt wird. Innerhalb dieses Buches sind die Abschnitte 2. und 3.1. grundlegend für das Verständnis aller folgenden. Die weiteren Abschnitte können z. T. unabhängig voneinander durchgearbeitet werden; im einzelnen ist das der Übersicht auf Seite 3 zu  entnehmen.
+
+\begin{center}
+	
+\begin{adjustbox}{max width=0.8\textwidth}
+	\input{tree}
+	\label{fig:tree}
+\end{adjustbox}
+\end{center}
+
+Für wertvolle Ratschläge und Verbesserungen bei der Durchsicht des Manuskripts danke ich den Herren Prof. Dr. K. Manteuffel (Technische Hochschule Magdeburg), Dr. W. Schirotzek (Technische Universität Dresden) und W. Riemenschneider. Frau M. Graupner danke ich für das sorgsame Schreiben des Manuskripts. Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Verlag für sein verständnisvolles Entgegenkommen.
+
+Karl-Marx-Stadt, im Juli 1973 \hfill H.-J. Schell
+
+\chapter{Vorwort zur 5. Auflage}
+
+Auf Grund der günstigen Aufnahme des Buches ist bisher von größeren Änderungen abgesehen worden. In der vorliegenden 5. Auflage wurde, entsprechend der wachsenden Bedeutung numerischer Methoden für den Ingenieur, ein Abschnitt „,Numerische harmonische Analyse“ neu aufgenommen. Neu gestaltet wurde der Abschnitt 5.10. Hier werden jetzt verallgemeinerte Fourierreihen eingeführt, und es wird die Approximation im quadratischen Mittel durch Teilsummen solcher Reihen behandelt. Dadurch wird eine übersichtlichere Darstellung möglich. Um den Umfang des Buches nicht zu vergrößern, wurden geringfügige Kürzungen vorgenommen und die Beweise einiger Sätze weggelassen, die für die Ausbildung der Studenten, auf die diese Reihe zielt, ohnehin am Rande liegen.
+
+Karl-Marx-Stadt, im Februar 1984\hfill H.-J. Schell

Band3/tree.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+
+\begin{tikzpicture}[
+   edge from parent fork down,
+   auto
+]
+\tikzset{ 
+   treenode/.style={align=center}, 
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