%!TEX root=Band2.tex

\chapter{Grenzwerte}
\section{Grenzwert einer Funktion für $x \rightarrow x_0$}
\subsection{Definition des Grenzwertes einer Funktion für $x \rightarrow x_0$}

Im folgenden bedeutet "`Funktion"' stets "`reellwertige Funktion einer reellen Variablen"'.

Als Vorbereitung auf den Grenzwertbegriff für Funktionen behandeln wir das

\begin{beispiel}
	\label{bsp:2.1}
	An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ und den variablen Kurvenpunkt $P\left(x, x^2\right)$ gelegt (s. Bild \ref{fig:b2.2.1}). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$ :
\end{beispiel}
\begin{align}
	f(x)=\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} \quad\left(x \neq \frac{1}{2}\right)
\end{align}

\begin{figure}[h]
	\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
		\includegraphics[width=\linewidth]{Grafiken/B2_1.png}
		\caption{}\label{fig:b2.2.1}
	\end{minipage}
	\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
	\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
		\includegraphics[width=\linewidth]{Grafiken/B2_2.png}
		\caption{}\label{fig:b2.2.2}
	\end{minipage}
\end{figure}





Auf Grund der Anschauung wird man vermuten, daß bei "`Annäherung"' von $x$ an die Stelle $\frac{1}{2}$ die Sekante in eine gewisse "`Grenzlage"' übergeht, also auch ihr Anstieg (\ref{fig:b2.2.1}) einen gewissen "`Grenzwert"' annimmt. Betrachten wir also die Funktion $f$. An der Stelle $x=\frac{1}{2}$ ist $f$ nicht definiert. Für $x \neq \frac{1}{2}$ gilt

\begin{align}\label{eq:2.2}
	f(x)=\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}=x+\frac{1}{2} \quad\left(x \neq \frac{1}{2}\right) .
\end{align}

Die Bildkurve von $f$ ist in Bild \ref{fig:b2.2.2} dargestellt \footnote{In Bild \ref{fig:b2.2.2} soll der kleine Kreis um den Punkt $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ andeuten, daß dieser Punkt nicht zur Bildkurve von $f$ gehört. Analog wird in den folgenden Beispielen verfahren.}. Die Anschauung legt jetzt etwa die folgende Formulierung nahe: „Für $x$ gegen $\frac{1}{2}$ strebt $f(x)$ gegen 1.“

Unsere Aufgabe wird es nun sein, einer solchen Formulierung einen von der Anschauung unabhängigen, wohldefinierten Sinn zu geben.

Soll allgemein das Verhalten einer Funktion $f$ bei „Annäherung“ der unabhängigen Variablen $x$ an eine reelle Zahl $x_0$ untersucht werden, so ist es naheliegend, die Variable $x$ Zahlenfolgen $\left(x_n\right)$ mit folgenden Eigenschaften durchlaufen zu lassen:
\begin{description}
	\item[(E 1)]\ $x_n \in D(f)$\footnote{$D(f)$ bezeichnet den Definitionsbereich von $f$.} für alle $n \quad(n=1,2,3, \ldots)$,
	\item[(E 2)]$x_n \neq x_0 \quad$ für alle $n$,
	\item[(E 3)]$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$.
\end{description}

Die Eigenschaft (E2) bedeutet, daß das Verhalten von $f$ an der Stelle $x_0$ selbst nicht in Betracht gezogen wird. Daher braucht $f$ auch nur in einer sog.\textit{ punktierten Umgebung} von $x_0$ definiert zu sein. Das ist, mit einem $c>0$, die Menge aller $x$ mit
$$
	x_0-c<x<x_0+c \text { und } x \neq x_0 \quad \text { (s. Bild \ref{fig:b2.2.3}). }
$$

	\begin{figure}[h]
	\centering
%	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.3}
	%\frame{
		\input{Grafiken/B2_3.tikz}
		%}
	\caption{}
	\label{fig:b2.2.3}
\end{figure}


Das Verhalten von $f$ in einer punktierten Umgebung von $x_0$ wird nun durch das Verhalten der Folge der Funktionswerte $f\left(x_n\right)$ charakterisiert.

\begin{definition}\label{def:2.1} \marginpar[\textbf{D.2.1}]{\textbf{D.2.1}}Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einer punktierten Umgebung von $x_0$ definiert. Eine Zahl $g$ heißt \textbf{Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$}, in Zeichen
	$$
		\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g \text { oder } f(x) \rightarrow g \text { für } x \rightarrow x_0,
	$$
	wenn für je de Folge $\left(x_n\right)$ mit den Eigenschaften (E1), (E2), (E3) die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ gegen $g$ konvergiert.\end{definition}

Damit ist der Begriff des Grenzwertes einer Funktion auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt.

In Bild \ref{fig:b2.2.4} haben wir die ersten drei Glieder einer Folge $\left(x_n\right)$ und der zugehörigen Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ eingezeichnet.

\begin{figure}[h]
	\centering
	%\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.4}
	\input{Grafiken/B2_4.tikz}
	\caption{}
	\label{fig:b2.2.4}
\end{figure}

\begin{beispiel}\label{bsp:2.2}
	Gesucht ist der Grenzwert der Funktion

	\[
		f(x)=\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} \text { für } x \rightarrow \frac{1}{2} .
	\]

	Es sei $\left(x_n\right)$ eine beliebige Folge mit

	\begin{align}\label{eq:2.3}
		x_n \neq \frac{1}{2} \text { für alle } n \text { und } \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2} \text {. }
	\end{align}

	Unter Verwendung von (\ref{eq:2.2}) und bekannten Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen folgt dann
	\begin{align}\label{eq:2.4}
		\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 .
	\end{align}

	Die Gültigkeit von (\ref{eq:2.4}) wurde für eine beliebige und damit für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit den Eigenschaften (\ref{eq:2.3}) bewiesen. Daher gilt
	\[
		\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=1
	\]
	was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild \ref{fig:b2.2.2}).

\end{beispiel}

\begin{beispiel}
	Wir wollen den Grenzwert der Funktion

	\[
		f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
			\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2}, \\
			2                                     & \text { für } & x=\frac{1}{2}
		\end{array}\right.
	\]

	für $x \rightarrow \frac{1}{2}$ ermitteln (s. Bild \ref{fig:b2.2.5}).

	\begin{figure}[h]
		\centering
		%\includegraphics[width=0.5\linewidth]{B.2.5}
		\input{Grafiken/B2_5.tikz}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.5}
	\end{figure}


	Obwohl $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $\left(x_n\right)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2}$ betrachtet, für die $x_n \neq \frac{1}{2}$ für alle $n$ gilt \textcolor{red}{\textbf{[vgl. (E 2)]}}. Für jede solche Folge erhălt man wie in Beispiel \ref{bsp:2.2}
	$$
		\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n^2-\frac{1}{4}}{x_n-\frac{1}{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=1,
	$$
	also ist
	$$
		\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} f(x)=1 .
	$$
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}

	Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte:
	\begin{description}
		\item[a)] $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+2}{x-1}$,
		\item[b)] $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^2-4}{x+2}$.
	\end{description}
\end{aufgabe}

\begin{beispiel}
	Nun soll das Verhalten von $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x \neq 0)$ für $x \rightarrow 0$ untersucht werden. Die Bildkurve von $f$ (Bild \ref{fig:b2.2.6}) schwankt für $x \rightarrow 0$ ständig zwischen -1 und 1 , wobei die Scheitel immer dichter aufeinander folgen. Wir wollen zeigen, daß $f$ für $x \rightarrow 0$ keinen Grenzwert hat. Dazu genügt es, eine Folge $\left(x_n\right)$ mit

	\begin{align}\label{eq:2.5}
		x_n \neq 0 \text { für alle } n \text { und } \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0
	\end{align}
	anzugeben, für die die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ divergent ist. Setzen wir zum Beispiel $x_n=\frac{2}{(2 n-1) \pi}$, dann gilt $(2.5)$, aber wegen
	\[
		f\left(x_n\right)=\sin (n \pi-\pi / 2)=(-1)^{n+1}
	\]
	ist die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ (unbestimmt) divergent.

\end{beispiel}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\input{Grafiken/B2_6.tikz}
	\caption{}
	\label{fig:b2.2.6}
\end{figure}

%	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{B.2.6}


Man kann den Beweis auch dadurch führen, daß man zwei Folgen $\left(x_n\right)$ und $\left(\tilde{x}_n\right)$ mit den Eigenschaften (\ref{eq:2.5}) angibt, für die die Folgen $\left(f\left(x_n\right)\right)$ und $\left(f\left(\tilde{x}_n\right)\right)$ verschiedene Grenzwerte haben.

\pagebreak

\begin{aufgabe}
	Führen Sie den Beweis in der soeben angedeuteten Weise durch!
\end{aufgabe}


\begin{beispiel}
	Abschließend betrachten wir noch die Funktion
	\[
		f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \quad(x>-1, x \neq 0) \text { für } x \rightarrow 0 .
	\]


	Für die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=\frac{1}{n}$ gilt (vgl. Band 1, Abschnitt 10.7.)
	\begin{align}\label{eq:2.6}
		\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\mathrm{e} .
	\end{align}

	Ohne Beweis\footnote{\textcolor{red}{Beweise zu Teil 1 dieses Buches findet man, wenn nichts anderes gesagt ist, in [5] und [10].}} sei mitgeteilt, daß (\ref{eq:2.6}) sogar für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>-1, x_n \neq 0$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ gilt. Damit erhält man den für spätere Anwendungen wichtigen Grenzwert
	
	\begin{align}\label{eq:2.7}
		\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}
	\end{align}

\end{beispiel}



\subsection{Die "`$\varepsilon-\delta$-Charakterisierung"' des Grenzwertes}


Auf Grund der Anschauung wird man vermuten, daß man die Gleichung \linebreak$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$ auch folgendermaßen interpretieren kann:

"`Der Abstand zwischen $f(x)$ und $g$ (also $|f(x)-g|$ ) ist beliebig klein, wenn nur der Abstand zwischen $x$ und $x_0$ hinreichend klein, aber von null verschieden ist."' In geeigneter Präzisierung ist das der Inhalt des folgenden Satzes, den wir ohne Beweis angeben.


\begin{satz}
	Die Funktion $f$ sei (mindestens)\reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.1}]{\textbf{S.2.1}} \label{satz:2.1} in einer punktierten Umgebung der Stelle $x_0$ definiert. Genau dann gilt $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$, wenn zu jeder (insbesondere jeder beliebig kleinen) Zahl $\varepsilon>0$ eine Zahl $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ existiert, so daß gilt
	\begin{align}\label{eq:2.8}
		|f(x)-g|<\varepsilon
	\end{align}

	für alle $x$ mit

	\begin{align}\label{eq:2.8}
		0<\left|x-x_0\right|<\delta
	\end{align}

\end{satz}

Eine geometrische Deutung dieses Satzes gibt Bild \ref{fig:b2.2.7}. Mit den dort verwendeten Bezeichnungen bedeutet $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g$, daß zu jedem (noch so schmalen) "`E-Streifen"'

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_7.png}
	\caption{}
	\label{fig:b2.2.7}
\end{figure}

um $y=g$ ein "`$\delta$-Streifen"' um $x=x_0$ existiert, so daß alle Punkte der Bildkurve von $f$, die in diesem "`$\delta$-Streifen"' - außer auf der Mittellinie $x=x_0{ }\footnotemark$ \footnotetext{Man beachte, daß $\left|x-x_0\right|>0$ äquivalent zu $x \neq x_0$ ist.} - liegen, auch dem vorgegebenen "`$\varepsilon$-Streifen"' angehören. Dabei ist offenbar $\delta$ im allgemeinen um so kleiner zu wählen, je kleiner $\varepsilon$ vorgegeben ist. Diesen Sachverhalt soll die Schreibweise $\delta=\delta(\varepsilon)$ zum Ausdruck bringen.

\begin{beispiel}\label{bsp:2.6}
	Als Anwendung des Satzes wollen wir zeigen, daß
	\begin{align}\label{eq:2.10}
		\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}=\sqrt{x_0} \quad\left(x_0>0\right)
	\end{align}

gilt (Bild \ref{fig:b2.2.8}). Es sei ein beliebiges $\varepsilon>0$ gegeben. Gemäß (\ref{eq:2.8}) ist $\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|$ abzuschätzen. Wir erweitern mit $\sqrt{x}+\sqrt{x_0}$ und erhalten

\begin{align}\label{eq:2.11}
		\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|=\frac{\left|x-x_0\right|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \leqq \frac{1}{\sqrt{x_0}}\left|x-x_0\right|<\varepsilon
\end{align}

für alle $x \geqq 0$ mit $\left|x-x_0\right|<\sqrt{x_0} \varepsilon$. Daher setzen wir $\delta$ gleich der kleineren der beiden Zahlen $x_0$ und $\sqrt{x_0} \varepsilon$. Für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$ gilt dann $x \geqq 0$ (warum?) und (\ref{eq:2.11}).


\begin{figure}[h]
		\centering
		\input{Grafiken/B2_8.tikz}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.8}
	\end{figure}

\end{beispiel}


\section{Einseitige Grenzwerte}


Für die Existenz des Grenzwertes $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ ist die Voraussetzung $x_0>0$ wesentlich (s. (\ref{eq:2.10})), denn für $x_0 \leqq 0$ gibt es keine punktierte Umgebung von $x_0$, in der die Funktion $f(x)=\sqrt{x}(x \geqq 0)$ definiert ist. Im Falle $x_0 \leqq 0$ existiert $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}$ also nicht. Der Stelle $x_0=0$ kann man sich aber immerhin noch "`von rechts nähern"', ohne den Definitionsbereich von $f$ zu verlassen. Diese Überlegung führt zum Begriff der einseitigen Grenzwerte.

\begin{definition}\label{def:2.2} \reversemarginpar\marginpar[\textbf{D.2.2}]{\textbf{D.2.2}}

Die Funktion $f$ sei (mindestens) in einem Intervall $\left.\left(x_0, x_0+c\right)\footnotemark\right)$ $(c>0)$\footnotetext{Ein solches Intervall nennt man auch punktierte rechtsseitige Umgebung von $x_0$.} definiert. Eine Zahl $g_{\mathrm{r}}$ heißt rechtsseitiger Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$, in Zeichen

\[
\lim _{x \rightarrow x_0+0} f(x)=g_{\mathrm{r}} \quad \text { oder } f(x) \rightarrow g_{\mathrm{r}} \quad \text { für } \quad x \rightarrow x_0+0)\footnotemark,\]\footnotetext{\label{footnote:1} Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$, für $x \rightarrow 0+0$ ) schreibt man kurz $\lim _{x \rightarrow+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r$ für $x \rightarrow+0$ ).}

	wenn für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit den Eigenschaften
	\begin{description}
		\item[(E 1)]$x_n \in D(f)$ für alle $n$,
		\item[(E 2*)]$x_n>x_0$ für alle $n$,
		\item[(E 3)]$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$
	\end{description}

	die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ gegen $g_{\mathrm{r}}$ konvergiert (s. Bild \ref{fig:b2.2.9}).

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\input{Grafiken/B2_9.tikz}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.9}
	\end{figure}

	Analog definiert man den \textbf{linksseitigen Grenzwert $\boldsymbol{g}_1$ von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen $\boldsymbol{x}_0$}, in Zeichen

	\[
		\lim _{x \rightarrow x_0-0} f(x)=g_1 \text { oder } f(x) \rightarrow g_1 \text { für } x \rightarrow x_0-0\footnotemark .
	\]

	\footnotetext{Vgl. \ref{footnote:1} }

\end{definition}

\begin{beispiel} \label{bsp:2.7}

	Es gilt (s. Bild \ref{fig:b2.2.8})
	\begin{align}
		\lim _{x \rightarrow+0} \sqrt{x}=0
	\end{align}\label{eq:2.12}
	denn für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n>0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ist $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{x_n}=0$ (s. Band 1, Abschnitt 10.5.).
\end{beispiel}

Das folgende Beispiel zeigt, daß der Begriff des einseitigen Grenzwertes auch für Funktionen von Bedeutung ist, die in einer (punktierten) Umgebung von $x_0$ definiert sind.


\begin{beispiel} \label{bsp:2.8}
	Es soll das Verhalten der Funktion
	\[
		f(x)= \begin{cases}\frac{3}{x} & \text { für } 0<x \leqq 3, \\ x-1 & \text { für } x>3\end{cases}
	\]

	bei "`Annäherung"' an die Stelle $x_0=3$ untersucht werden (s. Bild \ref{fig:b2.2.10}). Ist $\left(x_n\right)$ eine beliebige Folge mit $0<x_n<3$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=3$, dann gilt

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\input{Grafiken/B2_10.tikz}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.10}
	\end{figure}

	$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{x_n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} 3}{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}=1$

	Daher ist $\lim _{x \rightarrow 3-0} f(x)=1$. Analog erhält man $\lim _{x \rightarrow 3+0} f(x)=2$.

\end{beispiel}

Über den Zusammenhang zwischen den einseitigen Grenzwerten und dem Grenzwert (schlechthin) gilt der folgende Satz.

\begin{satz}

	Die Funktion \reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.2}]{\textbf{S.2.2}} \label{satz:2.2} $f$ hat genau dann für $x$ gegen $x_0$ einen Grenzwert, wenn die einseitigen Grenzwerte von $f$ für $x$ gegen $x_0$ existieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt
	$$
		\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0-0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0+0} f(x) .
	$$
\end{satz}

Nach diesem Satz hat also die in Beispiel \ref{bsp:2.8} betrachtete Funktion $f$ wegen $\lim _{x \rightarrow 3-0} f(x)$ $\neq \lim _{x \rightarrow 3+0} f(x)$ für $x \rightarrow 3$ keinen Grenzwert.

\begin{aufgabe}

	Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion
	$$
		f(x)=\frac{|x|}{x}(x \neq 0) \text { für } x \rightarrow+0, x \rightarrow-0 \text { und } x \rightarrow 0 .
	$$
\end{aufgabe}

\section{Grenzwert einer Funktion für $x \rightarrow+\infty$ und $x \rightarrow-\infty$}

Zur Charakterisierung des Verhaltens einer Funktion bei unbegrenztem Zunehmen oder Abnehmen der unabhängigen Variablen geben wir die folgende

\begin{definition}\label{def:2.3}
\textit{Die Funktion $f$ sei (mindestens)}\marginpar[\textbf{D.2.3}]{\textbf{D.2.3}} in einem Intervall $(a,+\infty)$ definiert. Eine Zahl $g$ heißt \textbf{Grenzwert von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x}$ gegen} $+\infty$, in Zeichen

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g \text { oder } f(x) \rightarrow g \text { für } x \rightarrow+\infty,
$$

wenn für je de Folge $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ gegen g konvergiert.
\end{definition}

Geometrisch bedeutet $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g$, daß sich die Bildkurve von $f$ mit wachsendem $x$ immer mehr der Geraden $y=g$ annähert. Dabei braucht $f$ nicht monoton zu sein (s. Bild \ref{fig:b2.2.11}).

\begin{figure}[h]
	\centering
	\input{Grafiken/B2_11.tikz}
	\caption{}
	\label{fig:b2.2.11}
\end{figure}

Analog definiert man
$$
	\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=g.
$$
Im Zusammenhang mit den folgenden Beispielen sei an die Bildkurven der jeweiligen Funktion erinnert.

\begin{beispiel} \label{bsp:2.9}
	Es gilt
	\begin{align}\label{eq:2.13}
		\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^k}=0 \quad \text { und } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^k}=0 \quad(k>0, \text { ganz }),
	\end{align}

	denn ist $\left(x_n\right)$ irgendeine gegen $+\infty$ oder $-\infty$ bestimmt divergente Folge mit $x_n \neq 0$ für alle $n$, dann ist, wie man zeigen kann, auch die Folge $\left(x_n^k\right)_{n=1,2, \ldots}$ bestimmt divergent und daher die Folge $\left(\frac{1}{x_n^k}\right)_{n=1,2, \ldots}$ eine Nullfolge (s. Bild \ref{fig:b2.2.12} für $k=2$ ).

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\input{Grafiken/B2_12.tikz}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.12}
	\end{figure}


\end{beispiel}



\begin{beispiel} \label{bsp:2.10}
Wir wollen die Grenzwertaussage

	\begin{align}\label{eq:2.14}
		\lim _{x \rightarrow-\infty} a^x=0 \quad(a>1)
	\end{align}

beweisen. Es sei also $\left(x_n\right)$ eine beliebige Folge mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $n_0=n_0(\varepsilon)$, so daß gilt
	$$
		x_n<\log _a \varepsilon \text { für alle } n \geqq n_0 .
	$$
 
 Da die Funktion $f(x)=a^x(a>1)$ streng monoton wachsend ist, folgt
	$$
		\left|a^{x_n}-0\right|=a^{x_n}<\varepsilon \text { für alle } n \geqq n_0 \text {. }
	$$
Folglich ist $\lim _{n \rightarrow \infty} a^{x_n}=0$. Da die Folge $\left(x_n\right)$ beliebig war, ist die Behauptung bewiesen. Ersetzt man $x$ durch $-x$, so geht (\ref{eq:2.14}) über in
	\begin{align}
		\lim _{x \rightarrow+\infty} a^{-x}=0 \quad(a>1) .
	\end{align}

Ist $x$ eine Variable für die Zeit, dann bedeutet die Existenz von $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=g$, daß sich die zeitabhängige Größe $y=f(x)$ mit zunehmender Zeit immer mehr dem stationären (d. h. zeitunabhängigen) Wert $g$ nähert.

\end{beispiel}

\begin{beispiel} \label{bsp:2.11}

Die Geschwindigkeit\footnote{In \textcolor{red}{4.2.2.} werden wir die Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung exakt definieren.} $v$ eines fallenden Körpers der Masse $m$ ist unter der Annahme eines geschwindigkeitsproportionalen Luftwiderstands (Proportionalitätsfaktor $k>0$ ) durch

$$
	v=\left(v_0-\frac{m \mathrm{~g}}{k}\right) \mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}+\frac{m \mathrm{~g}}{k} \quad(t \geqq 0)
$$
gegeben ( $t$ : Zeit, $v_0$ : Geschwindigkeit zur Zeit $t=0, \mathrm{~g}$ : Erdbeschleunigung). In der Lösung zu Aufgabe \textcolor{red}{2.4} wird gezeigt, daß gilt
\begin{align}
	\lim _{t \rightarrow+\infty} v=\frac{m \mathrm{~g}}{k},
\end{align}

d.h., nach hinreichend langer Zeit $t$ hat die Geschwindigkeit $v$ nahezu den konstanten Wert $\frac{m \mathrm{~g}}{k}$. In Bild 2.13 haben wir $v$ als Funktion von $t$ für den Fall $v_0<\frac{m \mathrm{~g}}{k}$ dargestellt.

	\begin{figure}[ht]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_13.png}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.13}
	\end{figure}
\end{beispiel}

\section{Bestimmte und unbestimmte Divergenz}

Besitzt eine Funktion $f$ für eine der "`Bewegungen"'

\begin{align}\label{eq:2.17}
x \rightarrow x_0 ; \quad x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty 
\end{align}

einen Grenzwert, dann heißt sie für diese "`Bewegung"' \textit{konvergent}, andernfalls \textit{divergent}. Wie für Zahlenfolgen kann man auch für Funktionen zwei Arten der Divergenz unterscheiden.

\begin{definition}\label{def:2.4}
Die Funktion $f$ heißt\textbf{ bestimmt}\marginpar[\textbf{D.2.4}]{\textbf{D.2.4}} \textbf{divergent gegen} $+\infty(\text{bzw.}-\infty)$ für eine der "`Bewegungen"' (\ref{eq:2.17}) der unabhängigen Variablen $x$, wenn für jede diese "`Bewegung"' realisierende Folge\footnote{Man sagt z. B., die Folge $\left(x_n\right)$ \textit{realisiere} die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0+0$, wenn $x_n>x_0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt.} $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty($ bzw. $-\infty)$ ist.


Ist $f$ für eine der "`Bewegungen"' (\ref{eq:2.17}) weder konvergent noch bestimmt divergent, so heißt $f$ für diese "`Bewegung"' \textbf{unbestimmt divergent}.
\end{definition}


Ist $f$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ für $x \rightarrow x_0$, so schreibt man
$$
	\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=+\infty
$$
und sagt auch, $f$ habe für $x \rightarrow x_0$ den \textit{uneigentlichen Grenzwert} $+\infty$. Analoge Schreib- und Sprechweisen sind in den anderen Fällen bestimmter Divergenz üblich.

\begin{beispiel} \label{bsp:2.12}

Es gilt
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}=+\infty
$$
(s. Bild \ref{fig:b2.2.12}), denn in Band 1, Beispiel 10.11, wurde gezeigt, daß für jede Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n \neq 0$ für alle $n$ und $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ die Folge $\left(\frac{1}{x_n^2}\right)$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.

\end{beispiel}

\begin{beispiel} \label{bsp:2.13}

Es soll die Grenzwertaussage
$$
\lim _{x \rightarrow+0} \ln x=-\infty
$$
bewiesen werden. Es sei $\left(x_n\right)$ eine Nullfolge mit $x_n>0$ für alle $n$. Zu jeder (insbesondere beliebig großen) Zahl $K>0$ existiert dann eine natürliche Zahl $n_0=n_0(K)$, so daß gilt 
$$
\begin{array}{lll}
	&x_n=\left|x_n-0\right|<\mathrm{e}^{-K} & \text { für alle } n \geqq n_0,  \\
	\text{also } & &\\
	&\ln x_n<-K                             & \text { für alle } n \geqq n_0 .
\end{array}
$$
Daraus folgt $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln x_n=-\infty$, und die Behauptung ist bewiesen.

\end{beispiel}

\begin{beispiel} \label{bsp:2.14}

Die Funktion $f(x)=\sin x$ ist für $x \rightarrow+\infty$ unbestimmt divergent. Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir die Folge $\left(x_n\right)$ mit $x_n=n \pi-\frac{\pi}{2}(n=1$, $2, \ldots)$ : Offenbar gilt $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$, aber wegen $f\left(x_n\right)=(-1)^{n+1}$ ist die Folge $\left(f\left(x_n\right)\right)$ unbestimmt divergent. Ganz entsprechend hatten wir bereits in Beispiel 2.4 gezeigt, daß die Funktion $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x \neq 0$ ) für $x \rightarrow 0$ unbestimmt divergent ist.
	
\end{beispiel}


\section{Grenzwertsätze}

In diesem Abschnitt werden einige Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen angegeben. Da der Grenzwertbegriff für Funktionen auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückgeführt wurde, kann man diese Regeln leicht aus den entsprechenden Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen ableiten. Wir verzichten auf eine Durchführung der Beweise.
	
	
\begin{bemerkung}\label{bem:2.1}
 Die folgenden für die "`Bewegung"' $x \rightarrow x_0$ formulierten Sätze gelten sinngemäß \footnote{1) Wird z. B. statt $x \rightarrow x_0$ die "`Bewegung"' $x \rightarrow+\infty$ betrachtet, so ist in den folgenden Sätzen ,"`punktierte Umgebung von $x_0$ "' durch "`Intervall $(a,+\infty)$"' zu ersetzen. Analog ist in den anderen Fällen zu verfahren.} auch für die "`Bewegungen"'
 
$$
x \rightarrow x_0+0, x \rightarrow x_0-0 ; \quad x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty .
$$
\end{bemerkung}

\begin{satz}
Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ seien\reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.3}]{\textbf{S.2.3}} \label{satz:2.3}  für $x \rightarrow x_0$ konvergent mit 
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f_1(x)=g_1, \quad \lim _{x \rightarrow x_0} f_2(x)=g_2 .
$$	

Dann gilt

\begin{align}
	& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]=g_1+g_2,     \label{eq:2.18}                       \\
	& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]=g_1-g_2,     \label{eq:2.19}                        \\
	& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[c f_1(x)\right]=c g_1 \quad(c \text { eine Konstante }),  \label{eq:2.20} \\
	& \lim _{x \rightarrow x_0}\left[f_1(x) \cdot f_2(x)\right]=g_1 \cdot g_2. \label{eq:2.21} 
\end{align}

Ist außerdem $f_2(x) \neq 0$ für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ und $g_2 \neq 0$, dann gilt auch

\begin{align}
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{g_1}{g_2}. \label{eq:2.22} 
\end{align}

\end{satz}

\pagebreak

\begin{beispiel} \label{bsp:2.15}

Gesucht ist der Grenzwert
	$$
		\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})
	$$
	Wegen $\lim _{x \rightarrow 2} x=2, \lim _{x \rightarrow 2} 3=3, \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}(\operatorname{vgl}$. (2.10)) folgt mit (2.21) und (2.19)
	$$
		\lim _{x \rightarrow 2} x(3-\sqrt{x})=2(3-\sqrt{2}) .
	$$	
	
\end{beispiel}


\begin{beispiel} \label{bsp:2.16}

Es soll der Grenzwert
	\begin{align}
	    \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1}\label{eq:2.23}
	\end{align}
		
berechnet werden. Da $f_1(x)=2 x^2+5 x$ (und auch $f_2(x)=3 x^2-4 x+1$ ) für $x \rightarrow-\infty$ divergent ist, kann man (\ref{eq:2.22}) nicht unmittelbar auf (\ref{eq:2.23} anwenden. Wir formen daher zunächst um und erhalten dann unter Verwendung von Satz \ref{satz:2.3} und (\ref{eq:2.13})

\begin{aligned}
			\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^2+5 x}{3 x^2-4 x+1} & =\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2+\frac{5}{x}}{3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \\
			                                                           & =\frac{2+0}{3-0+0}=\frac{2}{3} .
		\end{aligned}
	
\end{beispiel}


\begin{satz}

Es sei \reversemarginpar\marginpar[\textbf{S.2.4}]{\textbf{S.2.4}} \label{satz:2.4}
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0,
$$
und für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ gelte
$$
f(x)>0 \quad \text { bzw. } \quad f(x)<0 .
$$

Dann ist
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=+\infty \quad \text { bzw. } \quad \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=-\infty .
$$

\end{satz}



HIERHIERHIERHIERHIER





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



	Beispiel 2.17: Die Abbildung durch einen sphärischen Hohlspiegel der Brennweite $f>0$ wird bei Beschränkung auf Paraxialstrahlen durch die Gleichung
	$$
		\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{\prime}}=\frac{1}{f}
	$$
	beschrieben. Dabei ist $a$ bzw. $a^{\prime}$ die Gegenstands- bzw. Bildweite (s. Bild 2.14).
	
		\begin{figure}[ht]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/B2_14.png}
		\caption{}
		\label{fig:b2.2.14}
	\end{figure}
\end{beispiel}
    

	Aus dieser Gleichung ergibt sich $a^{\prime}$ als Funktion $\varphi$ von $a$ zu
	$$
		\left.a^{\prime}=\varphi(a)=\frac{a \cdot f}{a-f} \quad(a>0, a \neq f)^1\right) .
	$$
	Mit Satz \ref{satz:2.3} folgt unmittelbar
	$$
		\begin{aligned}
			 & \lim _{a \rightarrow+0} \varphi(a)=\frac{0}{-f}=0,                                                             \\
			 & \lim _{a \rightarrow+\infty} \varphi(a)=\lim _{a \rightarrow+\infty} \frac{f}{1-\frac{f}{a}}=\frac{f}{1-0}=f .
		\end{aligned}
	$$
	Ferner gilt
	$$
		\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{1}{\varphi(a)}=\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{a-f}{a \cdot f}=\frac{0}{f^2}=0
	$$


	Ferner gilt
	$$
		\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{1}{\varphi(a)}=\lim _{a \rightarrow f+0} \frac{a-f}{a \cdot f}=\frac{0}{f^2}=0,
	$$
	und für alle $a>f$ ist $\frac{1}{\varphi(a)}>0$. Daraus folgt nach Satz \ref{satz:2.4} unter Beachtung von Bemerkung \ref{bem:2.1} die Aussage $\lim _{a \rightarrow f+0} \varphi(a)=+\infty$. Entsprechend findet man $\lim _{a \rightarrow f-0} \varphi(a)=-\infty$.
	In Bild 2.15 ist die Funktion $\varphi$ dargestellt. (Für $a>f$, also $a^{\prime}>0$, erhält man ein reelles Bild; für $0<a<f$, also $a^{\prime}<0$, ein virtuelles Bild.)

	Satz 2.5: Es sei
	S. 2.5
	$$
		\lim _{x \rightarrow x_0} f_1(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} f_2(x)=g,
	$$
	und für alle $x$ einer punktierten Umgebung von $x_0$ gelte
	$$
		f_1(x) \leqq f(x) \leqq f_2(x) .
	$$
	Dann gilt auch
	$$
		\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=g .
	$$
${ }^1$ ) In diesem Beispiel bezeichnet $f$ also eine Konstante und $a$ die unabhängige Variable (der Funktion $\varphi$ ).

	Beispiel 2.18: Mit Hilfe von Satz 2.5 wollen wir den Grenzwert
	$$
		\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}
	$$
	berechnen. Aus Bild 2.16 liest man ab: Der Flächeninhalt des Dreiecks $O P_1 P_2$ ist kleiner als der des Kreissektors $O P_1 P_2$, und dieser ist kleiner als der des Dreiecks $O P_1 P_3$, d. h., es gilt
	$$
		\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x<\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x<\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x \text { für } x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) .
	$$
	Wegen $\sin x>0$ für $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ und der ersten Ungleichung in (2.24) gilt
	$$
		0<\sin x<x \quad \text { für } \quad\left(x \in 0, \frac{\pi}{2}\right) \text {. }
	$$

	$$
		0<\sin x<x \text { für } \quad\left(x \in 0, \frac{\pi}{2}\right) \text {. }
	$$
	Wegen $\lim _{x \rightarrow+0} 0=0, \lim _{x \rightarrow+0} x=0$ folgt aus (2.25) durch sinngemäße Anwendung von Satz 2.5 auf die ,,Bewegung“" $x \rightarrow+0$
	$$
		\lim _{x \rightarrow+0} \sin x=0
	$$
	und daraus
	$$
		\lim _{x \rightarrow-0} \sin x=\lim _{x \rightarrow+0} \sin (-x)=-\lim _{x \rightarrow+0} \sin x=0 .
	$$
	Wegen (2.26) und (2.27) gilt nach Satz 2.2
	$$
		\lim _{x \rightarrow 0} \sin x=0
	$$
	und damit
	$$
		\lim _{x \rightarrow 0} \cos x=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)=1
	$$

	Multipliziert man die 2. Ungleichung in (2.24) mit $\frac{2}{\sin x}$ und bildet anschließend den Kehrwert, so erhält man für $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
	$$
		\cos x<\frac{\sin x}{x}<1
	$$
	Wegen $\cos (-x)=\cos x, \sin (-x)=-\sin x$ gilt (2.30) auch für $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, also in einer punktierten Umgebung von $x=0$. Nach Satz 2.5 folgt daher aus (2.29) und (2.30) schließlich
	$$
		\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \text {. }
	$$
	* Aufgabe 2.4: Beweisen Sie die Formel (2.16).

	* Aufgabe 2.5: Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
	a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x^2-1}$,
	b) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+2}{x^2-1}$,

	c) $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^2-3 x}{x^3+7}+\frac{4 x^3-5}{2 x^3+3 x}\right)$
	d) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+3}{x+2}$
	e) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}$
	f) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{x}$.
	Aufgabe 2.6: Beweisen Sie: Ist $f$ eine echt gebrochen rationale Funktion, so gilt $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow+\infty$ und für $x \rightarrow-\infty$ (vgl. Aufgabe $2.5 \mathrm{~b}$ ).
	2.6. Die Landauschen Ordnungssymbole
	Zum Vergleich des Grenzverhaltens zweier Funktionen erweisen sich die Landauschen $^1$ ) Ordnungssymbole $o$ und $O$ (lies ,,klein-o“ bzw. ,groß-o“) als nützlich.



2.6. Die Landauschen Ordnungssymbole

Zum Vergleich des Grenzverhaltens zweier Funktionen erweisen sich die Landauschen $^1$ ) Ordnungssymbole $o$ und $O$ (lies ,,klein-o“ bzw. ,groß-o“) als nützlich.

Definition 2.5: Die Funktionen $f$ und $\varphi$ seien (mindestens) in einer punktierten Um- D. 2.5 gebung $U$ von $x_0$ definiert, und $\varphi$ sei dort von null verschieden. Gilt
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)}=0
$$
so schreibt man
$$
f(x)=o(\varphi(x)) \text { für } x \rightarrow x_0 .
$$

Ist $\frac{f}{\varphi}$ auf U beschränkt, d.h., gibt es eine positive Zahl m mit
$$
\left|\frac{f(x)}{\varphi(x)}\right| \leqq m \text { für alle } x \in U,
$$
so schreibt man
$$
f(x)=O(\varphi(x)) \text { für } x \rightarrow x_0 .
$$

Die Symbole
$$
\begin{array}{llll}
	f(x)=o(\varphi(x)) & \text { für } & x \rightarrow+\infty, & \\
	f(x)=O(\varphi(x)) & \text { für } & x \rightarrow x_0-0 \quad \text { usw. }
\end{array}
$$
werden analog definiert (vgl. Fußnote auf Seite 19). Geht aus dem Zusammenhang unmißverständlich hervor, welche ,Bewegung“ der unabhängigen Variablen $x$ betrachtet wird, so läßt man deren Angabe häufig weg, schreibt also z. B. nur $f(x)=o(\varphi(x))$. Konvergieren $f$ und $\varphi$ für eine bestimmte ,,Bewegung“" von $x$ gegen null, so bedeutet $f(x)=o(\varphi(x))$, daß $f$,,schneller" - ,, von höherer Ordnung" - gegen null konvergiert als $\varphi$. Entsprechend bedeutet $f(x)=O(\varphi(x))$, daß $f$, mindestens so schnell" - ,,von mindestens gleicher Ordnung" - gegen null konvergiert wie $\varphi$. Schließlich sei noch erwähnt, daß man statt $$
\begin{aligned}
	& f(x)-g(x)=o(\varphi(x)) \\
	& f(x)=g(x)+o(\varphi(x))
\end{aligned}
$$
auch
$$
f(x)=g(x)+o(\varphi(x))
$$
schreibt; analog für $O$.
$\left.{ }^1\right)$ Edmund Landau (1877-1938), deutscher Mathematiker.

Beispiel 2.19: Nach (2.30) und der darauffolgenden Bemerkung gilt in einer punktierten Umgebung von $x_0=0$
$$
\left|\frac{\sin x}{x}\right|<1 \text {. }
$$

Daher ist $\sin x=O(x)$ für $x \rightarrow 0$. Weiter ist (2.31) äquivalent mit
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x}=0,
$$
und dafür schreiben wir $\sin x-x=o(x)$ für $x \rightarrow 0$ oder
$$
\sin x=x+o(x) \text { für } x \rightarrow 0 .
$$

Später werden wir sehen, daß sogar gilt
$$
\sin x=x+O\left(x^3\right) \text { für } x \rightarrow 0 .
$$
* Aufgabe 2.7: Was bedeutet Formel (2.32) definitionsgemäß?


3. Stetigkeit
3.1. Der Begriff der Stetigkeit

Mit dem Begriff der Stetigkeit einer Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ will man die Vorstellung, daß das Bild von $f$ an dieser Stelle ,nicht abreißt" (Bild 3.1), mathematisch einfangen. Es ist naheliegend, dazu den Grenzwert von $f$ für $x \rightarrow x_0$ mit dem Funktionswert $f\left(x_0\right)$ zu vergleichen. Demnach muß $f$ außer in einer punktierten Umgebung von $x_0$ nun auch an der Stelle $x_0$ selbst, also in einer vollen Umgebung von $x_0$, definiert sein.


\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_17.png}
	\caption{}
	\label{fig:b}
\end{figure}


Definition 3.1: Eine in einer Umgebung von $x_0$ definierte Funktion $f$ heißt an der Stelle
D. 3.1 $x_0$ stetig, wenn gilt
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right) .
$$

Führt man durch die Substitution $x=x_0+h$ die neue unabhängige Variable $h$ ein, so kann man für (3.1) offenbar auch schreiben
$$
\lim _{h \rightarrow 0} f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right) .
$$

Beispiel 3.1: Nach (2.29) gilt
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \cos x=1=\cos 0,
$$
folglich ist $f(x)=\cos x$ an der Stelle $x=0$ stetig.

Beispiel 3.2: Für die Funktion
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
	\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2}, \\
	2 & \text { für } & x=\frac{1}{2}
\end{array}\right.
$$
gilt (s. Beispiel 2.3)
$$
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} f(x)=1 \neq 2=f\left(\frac{1}{2}\right) .
$$

Daher ist $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ nicht stetig (s. Bild 2.5). Für jedes $x \neq \frac{1}{2}$ ist $f$ offenbar stetig.

Unter Beachtung der Definition des Grenzwertes einer Funktion erhält man die folgende ausführliche Formulierung von Definition 3.1:



D. 3.1* Definition 3.1* : Eine in einer Umgebung von $x_0$ definierte Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn für jede Folge $\left(x_n\right)$ in $D(f)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ gilt $^1$ )
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_n\right) .
$$

Die ,, $\varepsilon-\delta$-Charakterisierung“ des Grenzwertes einer Funktion (s. Satz 2.1) liefert eine entsprechende Charakterisierung der Stetigkeit:
S. 3.1 Satz 3.1: Die Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $x_0$ definiert. Genau dann ist $f$ an der Stelle $x_0$ stetig, wenn zu jeder (insbesondere jeder beliebig kleinen) Zahl $\varepsilon>0$ eine Zahl $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ existiert, so daß gilt
$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon
$$
für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$.


Zur Veranschaulichung dieses Satzes ist in Bild 2.7 nur $g$ durch $f\left(x_0\right)$ zu ersetzen. Auf Grund von Satz 3.1 wollen wir den Begriff der Stetigkeit noch an einem Beispiel aus der Physik interpretieren.

Beispiel 3.3: Die geradlinige Bewegung einer Punktmasse wird durch die Weg-ZeitFunktion $s=s(t)^2$ ) beschrieben. Zur Zeit $t_0$ befindet sich die Punktmasse also am Ort $s\left(t_0\right)$; diesem Ort wird sie noch beliebig nahe sein, wenn man sie nur zu einer Zeit $t$ beobachtet, die hinreichend nahe bei $t_0$ gelegen ist (s. Bild 3.2). Mathematisch bedeutet das: Die Funktion $s=s(t)$ ist an der (beliebigen) Stelle $t_0$ stetig.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_18.png}
	\caption{}
	\label{fig:b}
\end{figure}



Beispiel 3.4: Unter Verwendung des Satzes 3.1 wollen wir zeigen, daß die Funktion $f(x)=|x|$ an jeder Stelle $x_0$ stetig ist. Es sei ein beliebiges $\varepsilon>0$ gegeben. Dann gilt
$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|=|| x|-| x_0 \| \leqq\left|x-x_0\right|<\varepsilon
$$
für alle $x$ mit $\left|x-x_0\right|<\delta$, falls $\delta=\varepsilon$ gesetzt wird. Damit ist zu jedem $\varepsilon>0$ ein geeignetes $\delta>0$ gefunden, also die Behauptung bewiesen, d. h., es gilt
$$
\lim _{x \rightarrow x_0}|x|=\left|x_0\right| \quad\left(x_0\right. \text { beliebig). }
$$

Beispiel $3.5^3$ ): Die Funktion
$$
f(x)= \begin{cases}0 & \text { für } \quad x=0, \\ \frac{1}{k+1} & \text { für } \quad \frac{1}{k+1}<|x| \leqq \frac{1}{k} \quad(k=1,2, \ldots)\end{cases}
$$
${ }^1$ ) Die Voraussetzung ,, $x_n \neq x_0$ für alle $n$ " ist jetzt offenbar entbehrlich.
${ }^2$ ) In den Anwendungen bezeichnet man häufig die abhängige Variable und das Funktionssymbol mit demselben Buchstaben (hier $s$ ).
$\left.{ }^3\right)$ Dieses Beispiel ist [10] entnommen.


soll auf Stetigkeit an der Stelle $x=0$ untersucht werden. Offenbar gilt
$$
0 \leqq f(x) \leqq|x| \quad(-1 \leqq x \leqq 1)
$$

Wegen $\lim _{x \rightarrow 0} 0=0$ und $\lim _{x \rightarrow 0}|x|=|0|=0$ (letzteres nach (3.4) mit $x_0=0$ ) folgt aus (3.5) nach Satz 2.5
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0 .
$$

Da auch $f(0)=0$ gilt, ist $f$ an der Stelle $x=0$ stetig. Das Bild von $f$ besteht aus zur $x$-Achse parallelen Geradenstücken, die für $x \rightarrow 0$ immer kürzer werden und der $x$-Achse immer näher kommen (Bild 3.3). Das Verhalten von $f$ in einer (sehr kleinen) Umgebung von $x=0$ ist anschaulich nur unvollkommen zu erfassen. Dieses Beispiel zeigt also, daß der durch Definition 3.1 exakt festgelegte Begriff der Stetigkeit doch wesentlich über das der Anschauung Zugängliche hinausreicht.


\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/B2_19.png}
	\caption{}
	\label{fig:b2}
\end{figure}

	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\newpage
$\left\{\begin{array}{l}x^n: \quad a_n=b_{n-1}, \\ x^{n-1}: a_{n-1}=b_{n-2}-x_0 b_{n-1}, \\ \cdots \cdots \cdots \\ x^1: a_1=b_0-x_0 b_1, \\ x^0: a_0=g\left(x_0\right)-x_0 b_0,\end{array}\right\}$ also $\left\{\begin{array}{l}b_{n-1}=a_n, \\ b_{n-2}=a_{n-1}+x_0 b_{n-1}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ b_0=a_1+x_0 b_1, \\ g\left(x_0\right)=a_0+x_0 b_0 .\end{array}\right\}$



\begin{tikzpicture}[>=latex]
	\useasboundingbox (-5,-4) rectangle (5,4);
	\matrix (m) [row sep=1cm,column sep=1cm,matrix of nodes]
	{
		3           & 9           & 0           & 2           & 6           & -8          \\
		-1          & \phantom{a} & -3          & 6           & \phantom{a} & \phantom{a} \\
		2           & \phantom{a} & \phantom{a} & -1          & -2          & \phantom{a} \\
		\phantom{a} & \phantom{a} & \phantom{a} & \phantom{a} & -3          & 6           \\
		\phantom{a} & 3           & -1          & 3           & 1           & -2          \\
		\phantom{a} & $x^2$       & $x$         & T.I         & $x$         & T.I         \\
	};
	\draw ([xshift=.2cm]m-1-1.north east) -- ([xshift=.2cm]m-6-1.south east);
	\draw[dashed] ([yshift=.2cm]m-1-5.north east) -- ([yshift=.2cm]m-6-5.south east);
	\draw ([yshift=-.2cm]m-1-1.south west) -- ([yshift=-.2cm]m-1-6.south east);
	\draw ([yshift=-.2cm]m-4-1.south west) -- ([yshift=-.2cm]m-4-6.south east);
	\node[fit=(m-1-2),draw,circle,inner sep=1pt] (a) {};
	\node[draw,fit=(m-1-3)(m-2-3)] (b) {};
	\node[draw,fit=(m-1-4)(m-3-4)] (c) {};
	\draw[->] (a) --+ (0,-1.1) --+ (-.5,-.6);
	\draw[->] (b) --+ (0,-2) --+ (-.5,-1.5);
	\draw[->] (c) --+ (0,-3) --+ (-.5,-2.5);
\end{tikzpicture}
\newpage

\begin{tikzpicture}[>=latex]
	\useasboundingbox (-5,0) rectangle (5,4);
	\matrix (m) [row sep=6mm,column sep=5mm,matrix of nodes]
	{\phantom{a} & $a_n$       & $a_{n-1}$     & $a_{n-2}$     & $\ldots $ & $a_2$     & $a_1$     & $a_0$      \\
	         \phantom{a} & \phantom{a} & $x_0 b_{n-1}$ & $x_0 b_{n-2}$ & $\ldots $ & $x_0 b_2$ & $x_0 b_1$ & $x_0 b_0$           \\
	         $x_0$       & $b_{n-1}$   & $b_{n-2}$     & $b_{n-3}$     & $\ldots$  & $b_1$     & $b_0$     & $g\left(x_0\right)$ \\
	};
	\draw ([xshift=.2cm]m-1-1.north east) -- ([xshift=.1cm]m-3-1.south east);
	\draw ([yshift=-.25cm]m-2-1.south west) -- ([yshift=-.25cm]m-2-8.south east);

	\draw ([yshift=-.25cm]m-3-8.south west) --
	([yshift=-.25cm]m-3-8.south east);

	\draw ([xshift=-.15cm,yshift=-0.1cm]m-2-8.north west) -- ([xshift=-.05cm,yshift=-0.25cm]m-3-8.south west);

	%        \draw ([yshift=-.2cm]m-4-1.south west) -- ([yshift=-.2cm]m-4-6.south east);
	%    \node[fit=(m-1-2),draw,circle,inner sep=1pt] (a) {};
	%    \node[draw,fit=(m-1-3)(m-2-3)] (b) {};
	%    \node[draw,fit=(m-1-4)(m-3-4)] (c) {};
	\draw[->] (m-1-2) -- (m-3-2); %<name> - zeile - spalte
	\draw[->] (m-3-2) -- (m-2-3);
	\draw[->] (m-2-3) -- (m-3-3);

	\draw[->] (m-3-3) -- (m-2-4);
	\draw[->] (m-2-4) -- (m-3-4);

	\draw[->] (m-3-3) -- (m-2-4);
	\draw[->] (m-2-4) -- (m-3-4);

	%\draw[->] (m-3-3) -- (m-2-4);
	\draw[->] (m-2-6) -- (m-3-6);
	\draw[->] (m-3-6) -- (m-2-7);

	\draw[->] (m-2-7) -- (m-3-7);
	\draw[->] (m-3-7) -- (m-2-8);

	\draw[->] (m-2-8) -- (m-3-8);
\end{tikzpicture}





%https://tex.stackexchange.com/questions/15825/how-to-specify-two-level-row-and-column-labels-of-a-matrix-by-braces


%https://tex.stackexchange.com/questions/655962/coloring-brackets-in-tikz-matrices
%\begin{tikzpicture}
%	\path[every left delimiter/.style={red}] 
%	(0,0)  node[matrix of math nodes,left delimiter=\{] (m1) {1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6\\};
%%	\path[every left delimiter/.style={blue}] 
%%	(m1)+(1,-1) node[matrix of math nodes,left delimiter=\{] (m2) {3 & 4\\};
%%	\path[every left delimiter/.style={orange}] 
%%	(m2)+(-.5,-1) node[matrix of math nodes,left delimiter=[] (m3) {5 & 6\\};
%\end{tikzpicture}


%\newpage
%\begin{tikzpicture}[
%	baseline,
%	label distance=10pt % added
%	]
%	
%	
%	\matrix [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=),row sep=0.1cm,column sep=0.1cm] (m) {
%		1 & *     &   *  & \dots & *   & 0 & \dots & 0 \\
%		0 & \pm 1 &   *  & \dots & *   & 0 & \dots & 0 \\
%		0 & 0     &\pm 1 & \dots & *   & 0 & \dots & 0 \\
%		\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
%		0 &  0    & 0    &   \dots   &\pm 1& 0 & \dots & 0 \\
%		0 &  0    & 0    &  \dots   & 0  & * & \dots & * \\
%		\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
%		0 &  0    & 0    &   0   & 0   & * & \dots & *\\ };
%	
%	\draw[dashed] ($0.5*(m-1-5.north east)+0.5*(m-1-6.north west)$) -- ($0.5*(m-8-6.south east)+0.5*(m-8-5.south west)$);
%	
%	\draw[dashed] ($0.5*(m-5-1.south west)+0.5*(m-6-1.north west)$) -- ($0.5*(m-5-8.south east)+0.5*(m-6-8.north east)$);
%	
%	\node[
%	fit=(m-1-1)(m-1-5),
%	inner xsep=0,
%	above delimiter=\{,
%	label=above:$k_1$
%	] {};
%	
%	\node[
%	fit=(m-1-6)(m-1-8),
%	inner xsep=0,
%	above delimiter=\{,
%	label=above:$k-k_1$
%	] {};
%	
%	\node[
%	fit=(m-1-8)(m-5-8),
%	inner xsep=15pt,inner ysep=0,
%	right delimiter=\},
%	label=right:$k_1$
%	] {};
%	
%	\node[
%	fit=(m-6-8)(m-8-8),
%	inner xsep=15pt,inner ysep=0,
%	right delimiter=\},
%	label=right:$k-k_1$
%	] {};
%	
%\end{tikzpicture} 


%\begin{tikzpicture}
%	\matrix [column sep={1cm,between origins}]
%	{
%		\node(a) {123}; & \node (b) {1};   & [1cm]\node {1}; \\
%		\node    {12};  & \node     {12};  & \node {1}; \\
%		\node    {1};   & \node     {123}; & \node {1}; \\
%	};
%	\draw [<->,red,thick] (a.center) -- (b.center) node [above,midway] {1cm};
%\end{tikzpicture}
%
%
%
%\begin{tikzpicture}[
%	node distance=1cm and 0.5cm,
%	matrixlabel/.style={text depth=3pt,above},
%	matrixnodes/.style={inner sep=0pt,text width=.5cm,align=center,minimum height=.5cm}]
%	
%	\matrix (center) 
%	[matrix of nodes,
%	nodes={matrixnodes}]{
%		5 & 0 & 3 \\
%		3 & 4 & 5 \\
%		3 & 1 & 1 \\
%	};
%	\node [matrixlabel] at (center.north) {Center};
%	
%	\matrix (right)
%	[matrix of nodes,
%	nodes={matrixnodes},
%	right=of center]  {
%		|[red]| {3} & |[red]| 3 & |[red]| 1 \\
%		|[red]| 0 & |[red]| 2 & |[red]| 0 \\
%		|[red]| 1 & |[red]| 3 & |[red]| 4 \\
%	};
%	\node [matrixlabel] at (right.north) {Right};
%	
%	\matrix (left)
%	[matrix of nodes,
%	nodes={matrixnodes},
%	left=of center] {
%		0 & 2 & 0 \\
%		3 & 7 & 3 \\
%		1 & 1 & 3 \\
%	};
%	\node [matrixlabel] at (left.north) {Left};
%	
%	\matrix (template)
%	[matrix of nodes,
%	nodes={matrixnodes},
%	above=of left.north west,
%	anchor=south west] {
%		2 & 5 & 5 \\
%		4 & 0 & 7 \\
%		7 & 5 & 9 \\
%	};
%	\node[matrixlabel] at (template.north) {Template};
%	
%	\matrix (search) 
%	[matrix of nodes,
%	nodes={matrixnodes},
%	above=of right.north east,
%	anchor=south east] {
%		2 & 7 & |[red]| 5 & |[red]| 8 & |[red]| 6 \\
%		1 & 7 & |[red]| 4 & |[red]| 2 & |[red]| 7 \\
%		8 & 4 & |[red]| 6 & |[red]| 8 & |[red]| 5 \\
%	};
%	\node[matrixlabel] at (search.north) {Search Image};
%	
%	
%	\matrix (sad) 
%	[matrix of nodes,
%	below=of center]  {
%		20 & 25 & |[red]| 17 \\
%	};
%	\node[matrixlabel] at (sad.north) {SAD};
%	
%	\begin{scope}[on background layer,lightgray]
%		\foreach \mat in {template, left, center, right} {
%			\foreach \i in {1,2,3} {
%				\draw  (\mat-\i-1.west) -- (\mat-\i-3.east);
%				\draw  (\mat-1-\i.north) -- (\mat-3-\i.south);
%			}
%		}
%		
%		\foreach \i in {1,2,...,5}
%		\draw  (search-1-\i.north) -- (search-3-\i.south);
%		\foreach \i in {1,2,3}
%		\draw  (search-\i-1.west) -- (search-\i-5.east);
%	\end{scope}
%	
%	
%\end{tikzpicture}

%\tracingmacros=2 \tracingcommands=2
\newpage    


\input{Grafiken/Horner01.tikz}
\newpage
\input{Grafiken/Horner02.tikz}
