#import "@preview/cetz:0.4.2" //Grafiken
#import "@preview/fletcher:0.5.8" as fletcher: diagram, node, edge

#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote

#import "@preview/itemize:0.2.0" as el

#import "deckblatt.typ": deckblatt

#import "abhaengigkeit.typ": abhaengigkeit

#let einruecken(abstand, inhalt) = pad(left: abstand, inhalt)

#let def-counter = counter("definition")

// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen


#let def-counter = counter("definition")

// Zähler bei jedem neuen Kapitel zurücksetzen
#show heading.where(level: 1): it => {
  it
  def-counter.update(0)
}

#let definition(title: none, body, label: none) = context {
  def-counter.step()
  
  let h1-num = counter(heading).at(here()).first()
  let d-num = def-counter.at(here()).first()
  let full-num = [#h1-num.#d-num]

  // Die Figure wird erstellt und das Label direkt angehängt
  [
    #figure(
      block(width: 100%, align(left)[
        *Definition #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
      ]),
      kind: "definition",
      supplement: [D.],
      numbering: _ => full-num,
    ) #label 
  ]
}

// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen
#show heading.where(level: 1): it => {
  it
  def-counter.update(1)
}


#let sn-base = sidenote



#let snr(it) = sn-base(side: right, padding: 1em)[
  #set text(size: 1.3em, weight: "bold")
  #it
]
#let snl(it) = sn-base(side: left, padding: 1em)[
  #set text(size: 1.3em, weight: "bold")
  #it
]



//#import "definitionen.typ": *

#set text(
  font: "Lato", //Serifenlose Schrift
  size: 8.5pt,
  lang: "de", //Deutsche Spracheinstellungen
)


#set page(
  width:162mm,
  height: 230mm,
  margin: 20mm,
  )

#set par(
  justify: true, //Blocksatz
  leading: 0.55em,
)
#let tt = "SIEBER \u{2219} SEBASTIAN \u{2219} ZEIDLER"
#let meinContent = [*Band 7* #sym.dot.c _Grundlagen_]
// Einfach die Funktion aufrufen
#deckblatt(bandnr: "1", autor: tt, titel: "Grundlagen der Mathematik,\nAbbildungen,\nFunktionen, Folgen")
#pagebreak()
//#abhaengigkeit()
#set page(
  //background: grid(columns: (1mm,) * 162, rows: (1mm,) * 230, stroke: 0.1mm),
  margin: (
  top: 2mm,
  bottom: 2mm,
  x: 10mm,
  ),
  width:162mm,
  height: 230mm,
  )
#heading(outlined: false)[Abhängigkeitsgraph]
/* #let mynode(pos, text1, text2, name) = {
  node(pos, [#text( size:1.7em, text2) \ #text1], name:name, stroke: 1pt, corner-radius: 0mm, 
       height: 3.5em, width:10em)
  /* Dashed separator from east to west */
  //edge(label(str(name)+".west"), label(str(name)+".east"),"-", stroke: 0.2mm, dash:(1mm, 0.8mm))
} */

#let mynode(pos, zahl, inhalt, name) = {

 node(
  name: name,
    pos,
    block(
      width: 36mm,   // Feste Breite
      height: 14mm,  // Feste Höhe
      {
        align(top + right, text(2.5em, fill: gray.darken(90%))[#zahl])
        place(bottom + left, inhalt) // Nutzt den Platz des Blocks
      }
    ),
    stroke: 1.25pt,
    corner-radius: 0pt
  )

}


#let myedge(start, end, type, ) = {
  let sep = 0.15em
  edge(start, end, type)
  edge(start, end)
}

#diagram(

  edge-stroke: 1.25pt,

  mark-scale: 55%, 
  mynode((0.25,1),"",[Vorbereitungsband], <A0>),
  mynode((1.8,1),"1", [Grundlagen], <A1>),
  mynode((2.925,1), "13",[Lineare Algebra], <A13>), 
  
  mynode((0.25,1.9),"3",[Unendliche Reihen], <A3>),
  mynode((1.8,1.9), "2",[Differential- und Integralrechnung], <A2>),
  mynode((2.925,1.9), "14",[Lineare Optimierung], <A14>),
  
  mynode((0.25,2.87), [7$#sub(text(0.5em)[1])$],[Gewöhnliche Differentialgleichungen], <A7_1>),
  mynode((1.8,2.87), "4",[Differentialrechnung mit mehreren Variablen], <A4>),
  mynode((2.925,2.87), "15",[Nichtlineare Optimierung], <A15>),

  mynode((0.25,3.87), [7$#sub(text(0.5em)[2])$],[Gewöhnliche Differentialgleichungen], <A7_2>),
  mynode((1.8,3.87), "5",[Integralrechnung mit mehreren Variablen], <A5>),
  mynode((2.925,3.87), "16",[Optimale Prozesse und Systeme], <A16>),
// --------------------
  mynode((0.25,4.87), "8",[Partielle Differentialgleichungen], <A8>),
  mynode((1.8,4.87), "6",[Differentialgeometrie], <A6>),
  mynode((2.925,4.87), "17",[Wahrscheinlichkeitsrechnung, math.Statistik], <A17>),

  mynode((0.25,5.87), "9",[Komplexe Funktionen], <A9>),  
  mynode((1.8,5.87), "10",[Operatorenrechnung], <A10>),
  mynode((2.925,5.87), [21$#sub(text(0.5em)[1])$],[Spieltheorie], <A21_1>),  

  mynode((0.25,6.87), "12",[Spezielle Funktionen], <A12>),   
  mynode((1.8,6.87), "11",[Tensoralgebra und -analysis], <A11>),   
  mynode((2.925,6.87), [21$#sub(text(0.5em)[2])$],[Graphentheorie], <A21_2>),  


  mynode((0.25,7.87), [18],[Numerische Methoden], <A18>), 
  mynode((1.8,7.87), [20],[Simulation], <A20>), 
  mynode((2.925,7.87), [19$#sub(text(0.5em)[1])$],[Stochastische Prozesse und Modelle], <A19_1>),  

  mynode((0.25,8.87), [22],[Funktionalanalysis], <A22>), 
  mynode((1.8,8.87), [23],[Symmetriegruppen], <A23>), 
  mynode((2.925,8.87), [19$#sub(text(0.5em)[2])$],[Statistische Versuchsplanung], <A19_2>),  
/*  
  
  
  
  
 
   

  mynode((-1,5.85), [7$#sub(text(0.5em)[2])$],[Gewöhnliche Differentialgleichungen], <A12>),
  mynode((-1,6.85), [7$#sub(text(0.5em)[2])$],[Gewöhnliche Differentialgleichungen], <A18>),
  mynode((-1,7.85), [7$#sub(text(0.5em)[2])$],[Gewöhnliche Differentialgleichungen], <A22>), */
  //mynode((-3,1), [Unendliche Reihen], <A4>),
  //mynode((-1,1), [Differential- und Integralrechnung], <A5>),
  // mynode((2,2), [Harold], $A_3$, <A3>),
  // mynode((0,2), [Ian], $A_4$, <A4>),
  
  
  myedge(<A0.east>,<A1.west>,"-|>"),
  myedge(<A1.south>,<A2.north>,"-|>"),
  myedge(<A2.west>,<A3.east>,"-|>"),
  myedge(<A13.south>,<A14.north>,"-|>"),
  myedge(<A2.south>,<A4.north>,"-|>"),
  myedge(<A14.south>,<A15.north>,"-|>"),
  // myedge(<A3.west>,<A4.east>,"-|>", $1$, $6$),
  // myedge(<A4.north>,<A1.south>,"-|>", $8$, $4$),
  

  edge(
    (rel: (0pt, -5mm), to: <A13.west>),

    (rel: (-0.05, 0.)),  
    //(rel: (0.1, -0.2), to: <A4.east>),
    (rel: (0.1,-0.2), to: <A4.east>),
    (rel: (0.,-0.2), to: <A4.east>),
    //<A4.east>,  
    //<A4.east>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,


  ),

  edge(
  (rel: (0pt, 5mm), to: <A1.east>),
  
  (rel: (0.1, 0.)), 

  (rel: (0pt, 5mm), to: <A13.west>), 
  "-|>",
  corner-radius: 0pt ,
  stroke: 1.25pt ,
),

  edge(
  (rel: (0pt, -5mm), to: <A4.east>),
  
  (rel: (0.1, 0.)), 

  (rel: (0pt, -5mm), to: <A15.west>), 
  "-|>",
  corner-radius: 0pt ,
  stroke: 1.25pt ,
),

  edge(
   <A5.east>,
  
  (rel: (0.07, 0.)), 
  (rel: (0, 0.5)), 

  (rel: (0pt, 10pt), to: <A17.north>), 
  <A17.north>,
  "-|>",
  corner-radius: 0pt ,
  stroke: 1.25pt ,
),


edge(
  (rel: (0pt, 5mm), to: <A4.west>),
  
  (rel: (-0.1, 0.)), 

  (rel: (0pt, 5mm), to: <A7_1.east>), 
  "-|>",
  corner-radius: 0pt ,
  stroke: 1.25pt ,
),

 edge(
    (<A3.west>),
            // Startpunkt
    (rel: (-0.6, 0.)),    // 1. Punkt: 0.5 Einheiten nach links (bleibt auf gleicher Höhe wie Start)

    (rel: (-0.6, 0.), to: <A7_2.west>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A7_2.west>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),

 edge(
    (<A16.east>),
            // Startpunkt
    (rel: (0.2, 0)),    // 1. Punkt: 0.5 Einheiten nach links (bleibt auf gleicher Höhe wie Start)

    (rel: (0.2, 0.), to: <A19_1.east>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A19_1.east>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),

 edge(
    (<A16.east>),
            // Startpunkt
    (rel: (0.2, 0)),    // 1. Punkt: 0.5 Einheiten nach links (bleibt auf gleicher Höhe wie Start)

    (rel: (0.2, 0.), to: <A19_2.east>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A19_2.east>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),

 edge(
    (<A15.east>),
            // Startpunkt
    (rel: (0.3, 0)),    // 1. Punkt: 0.5 Einheiten nach links (bleibt auf gleicher Höhe wie Start)

    (rel: (0.3, 0.), to: <A21_1.east>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A21_1.east>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),
 edge(
    (<A15.east>),
            // Startpunkt
    (rel: (0.3, 0)),    // 1. Punkt: 0.5 Einheiten nach links (bleibt auf gleicher Höhe wie Start)

    (rel: (0.3, 0.), to: <A21_2.east>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A21_2.east>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),



 edge(
    (<A13.east>),
            // Startpunkt
    (rel:(0.4,0)), 
    (4., 9.6),
    (1.8, 9.6),
    //(rel: (0.6, 0.), to: <A21_2.east>), // 2. Punkt: Direkt über dem Ziel (gleiches X wie A4.north)
    <A23.south>,          // Zielpunkt
    "-|>",
    corner-radius: 0pt ,
    stroke: 1.25pt,  // WICHTIG: Auf 0pt setzen für harte Ecken

  ),

)

#show heading: it => {
  set block(below: if it.level == 1 { 2em } else { 1em })
  it
}

#counter(page).update(1) 
#pagebreak()
#set text(font: "Atkinson Hyperlegible Next")

#set text(
  font: "Atkinson Hyperlegible Next", //Serifenlose Schrift
  size: 9pt,
  lang: "de", //Deutsche Spracheinstellungen
)
#set par(
  justify: true,
  leading: 0.55em,
)

#set page(
  //background: grid(columns: (1mm,) * 162, rows: (1mm,) * 230, stroke: 0.1mm),
  margin: (
  top: 18mm,
  bottom: 20mm,
  x: 15mm,
  ),
  width:162mm,
  height: 230mm,
  
  )
#set heading(numbering: "1.1.")

#set outline(indent: auto)


#outline()
#pagebreak()

/* #set page(
  header: context {
    // 1. Prüfen, ob ein Kapitel (Ebene 1) auf dieser Seite startet
    let h1_on_page = query(heading.where(level: 1))
      .any(it => it.location().page() == here().page())
    
    // Wenn Kapitelstart: Header komplett leer lassen
    if h1_on_page { return none }
    
    let page_num = here().page()
    
    // 2. Die aktuell gültigen Überschriften finden (vor oder auf dieser Seite)
    let h1_current = query(heading.where(level: 1))
      .filter(it => it.location().page() <= page_num)
      .at(-1, default: none)
      
    let h2_current = query(heading.where(level: 2))
      .filter(it => it.location().page() <= page_num)
      .at(-1, default: none)

    // 3. Header-Inhalt zusammenbauen
    if calc.even(page_num) {
      // Gerade Seite: Seitenzahl links, Überschrift 1 rechts
      grid(
        columns: (20%, 1fr),
        align(left)[#page_num],
        align(right)[#if h1_current != none { h1_current.body }]
      )
    } else {
      // Ungerade Seite: Überschrift 2 links, Seitenzahl rechts
      grid(
        columns: (1fr, 20%),
        align(left)[#if h2_current != none { h2_current.body }],
        align(right)[#page_num]
      )
    }
    
    // Optionale Trennlinie unter dem Header
    v(0.5em)
    line(length: 100%, stroke: 0.5pt + gray)
  },
  header-ascent: 20%,
) */

#set page(
  header: context {
    // 1. Kapitelstart-Check (wie zuvor)
    let h1_on_page = query(heading.where(level: 1))
      .any(it => it.location().page() == here().page())
    if h1_on_page { return none }
    
    let page_num = here().page()
    
    // 2. Aktuelle Überschriften finden
    let h1_current = query(heading.where(level: 1))
      .filter(it => it.location().page() <= page_num).at(-1, default: none)
    let h2_current = query(heading.where(level: 2))
      .filter(it => it.location().page() <= page_num).at(-1, default: none)

    // Hilfsfunktion: Nummer + Text zusammenfügen
    let format-head(h) = {
      if h != none {
        // Falls die Überschrift eine Nummerierung hat, diese anzeigen
        if h.numbering != none {
          numbering(h.numbering, ..counter(heading).at(h.location()))
          [ ] // Kleiner Abstand
        }
        h.body
      }
    }

    // 3. Layout (Zahlen außen, Text innen oder wie gewünscht)
    set text(size: 9pt, style: "italic") // Header dezent formatieren
    
    if calc.even(page_num) {
      // Gerade Seite: [Seite] [Kapitelnummer Text]
      grid(
        columns: (20pt, 1fr),
        align(left)[#page_num],
        align(right)[#format-head(h1_current)]
      )
    } else {
      // Ungerade Seite: [Unterkapitelnummer Text] [Seite]
      grid(
        columns: (1fr, 20pt),
        align(left)[#format-head(h2_current)],
        align(right)[#page_num]
      )
    }
  }
  
)

#set heading(numbering: "1.1.")


= Zum Anliegen des Bandes

Der vorliegende Band 1 des Lehrwerkes behandelt einige allgemeine Grundlagen, die für den Aufbau und das Verständnis weiterer mathematischer Gebiete und somit für die Inhalte der folgenden Bände notwendig sind. Auswahl und Umfang dieser Grundlagen leiten sich in erster Linie aus den Erfordernissen ab, wichtige Begriffe, Methoden und Ergebnisse zur fundierten Darstellung mathematischer Disziplinen bereitzustellen.

Dabei ist berücksichtigt, daß nach der Neugestaltung des Mathematikunterrichtes in den allgemeinbildenden Schulen für moderne Auffassungen in der mathematischen Ausbildung günstige Vorbedingungen geschaffen sind. Ausreichende Kenntnisse und Fertigkeiten in der Bruch-, Potenz-, Wurzel- und Logarithmenrechnung sowie in der elementaren Geometrie und der Trigonometrie werden zudem vorausgesetzt. Selbstverständlich ist bei der Darlegung der Grundlagengebiete für Inhalt und Form die Zielstellung des Gesamtlehrwerkes maßgebend, der mathematischen Unterrichtung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern, Ökonomen und Landwirten an Hochschulen zu entsprechen. Deshalb wird für die naturgemäß in den Grundlagengebieten besonders zahlreich auftretenden abstrakten Begriffe der Erkenntnisprozeß durch anschauliche Entwicklung unterstützt, ohne die erforderliche Strenge und Exaktheit zu verletzen. Auch sind zahlreiche anwendungsbezogene Beispiele im Text und bei den Übungsaufgaben enthalten.

Der Sinn mathematischer Betrachtungen besteht allerdings nicht allein im Bereitstellen von Ergebnissen und Sätzen. Er liegt gleichermaßen in den besonderen Formen des Denkens und Schließens zur strengen Herleitung allgemeingültiger Resultate aus exakt formulierten Voraussetzungen. Es ist ein weiteres Anliegen dieses Lehrabschnittes, den Lernenden besonders an exaktes und logisches Denken zu gewöhnen.

In den Abschnitten 3. und 4. beschäftigen wir uns deshalb mit Begriffen der Logik und den aus ihnen abgleiteten Beweisprinzipien. Für die Gewinnung mathematischer Ergebnisse und Tatsachen ist es charakteristisch, daß sie logisch einwandfrei aus Voraussetzungen abzuleiten sind. Deshalb ist die Kenntnis strenger Beweisführung notwendig und das sorgfältige Studium dieser Abschnitte dringend anzuraten.

Im Abschnitt über die Zahlenbereiche wird bei der Darstellung der reellen Zahlen und der Rechengesetze, denen sie genügen, ein axiomatisches Vorgehen erläutert. Die komplexen Zahlen dagegen werden anschaulich eingeführt und auf Grund ihrer Bedeutung in physikalischen und technischen Anwendungen ausführlich behandelt. Bei vielen mathematischen Untersuchungen treten Fragen der Auswahl, der Anordnung oder der Zusammenstellung verschiedenartiger Elemente auf. Sie werden im Kapitel über Kombinatorik näher untersucht.

Eine zentrale Stellung innerhalb der Mathematik nimmt die Mengenlehre ein. Mit ihren Begriffen lassen sich die mathematischen Disziplinen begründen und die objektiv gegebenen Sachverhalte verschiedener Wissensgebiete erfassen.

Zwei weitere Abschnitte befassen sich mit den in fast allen Anwendungsgebieten bedeutsamen Begriffen der Abbildung bzw. der Funktion, die mengentheoretisch definiert werden. Der letzte Abschnitt schließlich ist den Zahlenfolgen gewidmet und stellt den wichtigen Grenzwertbegriff bereit.
#pagebreak()

= Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehung zur Praxis
== Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik

Die Geschichte der Mathematik ist eng mit der der menschlichen Gesellschaft verknüpft. Ferner bestimmen einige bedeutende Mathematiker durch ihre richtungweisenden Ideen und Entdeckungen die Entwicklung der Mathematik entscheidend. Die Mathematik gehört - neben Philosophie, Medizirn und Astronomie - zu den ältesten Wissenschaften. Sie erreichte schon im 2. Jahrtausend v. u. Z. in Ägypten und Mesopotamien, aber auch im alten China und Indien einen beachtlichen Reifegrad. Die verwendeten Zahlensysteme standen im engen Zusammenhang mit kommerziellen und militärischen Interessen sowie mit Verwaltungsproblemen. Man kannte Verfahren zur Lösung von Gleichungen, sogar höheren Grades. Die Geometrie diente dem Errichten von Bauwerken, der Feldvermessung und der Orientierung am Himmel. Doch handelte es sich um eine rezeptartige, noch nicht auf Beweisen von explizit angeführten Sätzen aufbauende Mathematik.

Erst mit der Herausbildung der antiken Sklavenhaltergesellschaft im alten Griechenland wurde die Mathematik im 6.-5. Jh. v. u. Z. zu einer selbständigen Wissenschaft mit eigenen Methoden und Beweisverfahren; auf dieser Grundlage schuf Euklid (365?-300? v. u. Z.) mit seinen „Elementen“ (um 325 v. u. Z.) eine bewunderungswürdige Darstellung des damaligen mathematischen Kenntnisstandes. Mit Archimedes ( 287 ?- 212 v. u. Z.), dem in Geometrie und Mechanik große Entdeckungen gelangen, erreichte die Mathematik der Antike während der hellenistischen Periode ihren Höhepunkt.

Zur Zeit der Herrschaft der Römer und in der feudalistischen Gesellschaft gab es in Europa keine nennenswerten mathematischen Entwicklungen, während die Mathematik vor allem in Indien und in den Ländern des Islam zu einer hohen Blüte gelangte; viele Teilergebnisse - darunter die indisch-arabischen Ziffern - gelangten seit dem 12./13. Jh. in die Länder des europäischen Feudalismus, in denen bis dahin nur ein sehr bescheidenes wissenschaftliches, darunter auch mathematisches Niveau geherrscht hatte.

Erst mit der Entwicklung von Elementen des Frühkapitalismus in Europa bildeten sich, insbesondere seit dem 16. Jh., günstige Bedingungen für die Übernahme des antiken mathematischen Erbes und für dessen selbständige Weiterentwicklung durch die Europäer heraus. Die Trigonometrie entwickelte sich zu einer selbständigen mathematischen Disziplin. Die Durchbildung der Rechenmethoden machte große Fortschritte; von den sog. Rechenmeistern wurde in Deutschland A. Ries (1492-1559) am bekanntesten, der im Erzgebirge wirkte. Reichlich ein Jahrhundert später wurden die ersten Maschinen für die Grundrechenarten entwickelt (Schickard (1592-1635), Pascal (1623-1662), Leibniz (1646-1716)).

Das Gedankengut der rationalistischen philosophischen Systeme und der Aufklärung sowie die bürgerliche Revolution brachten im 16. und 17. Jahrhundert mit der Überwindung der feudalistischen Gesellschaftsordnung und der diese Ordnung rechtfertigenden Ideologien auch den Naturwissenschaften und der Mathematik wieder Geltung und Bedeutung. Descartes (1596-1650) begründete den modernen Rationalismus auf der mathematischen Grundlage der von Galilei (1564-1642) geformten Naturwissenschaften. Er gilt auch als Begründer der analytischen Geometrie.

Die Herausbildung der infinitesimalen Methoden erfolgte in engem Zusammenhang mit der geistigen Bewältigung des Bewegungsproblems in Physik (G. Galilei) und Himmelsmechanik (J. Kepler). Im Anschluß an die Ergebnisse von Archimedes und durch sehr mühsame Gedankenarbeit im 16. und zu Anfang des 17. Jahrhunderts vermochten es I. Newton (1643-1727) und G. W. Leibniz im letzten Drittel des 17. Jahrhunderts, unabhängig voneinander die Methoden der Differential- und Integralrechnung durchzubilden. Während Newton, der als einer der bedeutendsten Forscher auf den Gebieten der Mathematik, Mechanik und Astronomie gilt, mit Hilfe dieses neu entwickelten mathematischen Werkzeuges den Aufbau der klassischen Mechanik und seine „Mathematischen Prinzipien der Naturwissenschaften“ (1687) vollenden konnte, setzten sich die geschickteren Bezeichnungen von Leibniz rasch durch. Die „Infinitesimalmathematik“ wurde im 18. Jh. in den Händen der Gebrüder Johann (1667-1748) und Jakob Bernoulli (1645-1705) und L. Eulers (1707-1783), der in Berlin und Petersburg wirkte, zu einem weitreichenden Mittel zur Bewältigung schwieriger Probleme der Mechanik, der Himmelsmechanik, der Optik, des Artilleriewesens, der Seeschiffahrt und vieler anderer praktischer Anwendungen.

Die neue Geltung und Anerkennung der Mathematik und der Naturwissenschaften kam u. a. auch bei J. L. d'Alembert (1717-1783) und in der großen französischen Encyclopédie zum Ausdruck.

Nach der französischen bürgerlichen Revolution (1789) setzte insbesondere in den von der industriellen Revolution erfaßten Ländern Europas ein bedeutender Aufschwung in der Mathematik ein. Bei der Grundlegung der Analysis, in Algebra, in darstellender, analytischer und projektiver Geometrie sowie bei der Nutzbarmachung der Mathematik für Anwendungen in Technik und Naturwissenschaften wurden bedeutende Fortschritte erzielt. J. Lagrange (1736-1813), P. S. Laplace (1749-1827), A. Legendre (1752-1833), G. Monge (1746-1818), J. Fourier (1768-1830), A. Cauchy (1789-1857), J. V. Poncelet (1788-1867) u. a. leisteten hier und auf anderen mathematischen Gebieten Hervorragendes; viele Mathematiker nahmen aktiv am gesellschaftlichen Leben ihrer bewegten Zeit teil. Sie haben zudem große Verdienste bei der Neugestaltung der mathematischen Ausbildung.

Der deutsche Mathematiker C. F. Gauß (1777-1855) lieferte am Ende des 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts hervorragende Beiträge zur Entwicklung der Mathematik. Er bereicherte sie um zahlreiche neue Verfahren und Theorien und überwand viele ungelöste Probleme. Seine Forschungen waren dabei an Anwendungen in der Geodäsie, der Astronomie und der mathematischen Physik orientiert.

Von der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Ausbruch des ersten Weltkrieges traten insbesondere die Mathematiker aus den Ländern hervor, in denen sich Kapitalismus und Industrialisierung am weitesten entwickelt hatten. Genannt seien: G. Boole (1815-1869), A. Cayley (1821-1895) und R. Hamilton (1805-1865) in Großbritannien, C. Jordan (1838-1922) und H. Poincaré (1854-1912) aus Frankreich, K. Weierstraß (1815-1897), B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831 bis 1916) und F. Klein (1849-1925) aus Deutschland, S. Lie (1842-1899) aus Norwegen, E. Beltrami (1835-1900) und G. Peano (1858-1932) aus Italien, Ch. S. Peirce (1839-1914) aus den USA sowie N. I. Lobatschewski (1792-1856) und P. L. Tschebyscheff (1821-1894) aus Rußland. Für die Begründung wichtiger Gebiete und Auffassungen in der modernen Mathematik sind die grundlegenden Ideen von G. Cantor (1845-1918) und D. Hilbert (1862-1943) aus Deutschland sowie die des polnischen Mathematikers St. Banach (1892-1945) zu großer Bedeutung gelangt.

Nach der Großen Sozialistischen Oktoberrevolution (1917) nahmen die mathematischen Forschungen in der Sowjetunion einen ungeheuren Aufschwung. Die gesellschaftliche und wirtschaftliche Entwicklung in diesem Lande ermöglichte es, daß heute die sowjetischen Mathematiker zu den führenden in der ganzen Welt zählen und ihre Ergebnisse und Leistungen Entwicklungsrichtungen der modernen Mathematik bestimmen. Auch in der DDR wurde die Bedeutung der Mathematik durch die Partei- und Staatsführung erkannt, was sich in einer großzügigen Förderung der mathematischen Forschung und Ausbildung äußert.

Dieser kurze Abriß zeigt, daß vorwiegend in den fortschrittlichen Gesellschaftsordnungen einer Epoche die Mathematik durch bedeutende Entdeckungen erweitert und bereichert wird.

== Zu den Anwendungen der Mathematik

Die klassische Mathematik fand ihre Anwendung vorwiegend in Physik, Mechanik, Astronomie und Geodäsie. Die mathematische Durchdringung dieser Wissenschaften wirkte sich andererseits befruchtend auf die Entwicklung der Mathematik und ihrer Methoden aus. Auch die technischen Wissenschaften bedienen sich seit ihrer Entstehung in starkem Maße des mathematischen Instrumentariums.

Die Begriffe der Mathematik sind Abbild von für den Gegenstand mathematischer Betrachtungen wesentlichen Eigenschaften der Realität in unserem Bewußtsein. Von realen Erscheinungen läßt sich ein abstraktes mathematisches Modell aufbauen, das ihre Haupteigenschaften widerspiegelt und einfacher ist. Dieses Modell kann mit mathematischen Methoden untersucht werden, und es können dabei neue Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten der realen Erscheinungen entdeckt werden.

Aber auch umgekehrt lassen sich zu mathematischen Strukturen Realisierungen finden, deren Anwendungen von großem Nutzen für den wissenschaftlichen Fortschritt sind. Dieses Vorgehen wird in der Astronomie, der modernen Physik oder bei der Entwicklung von Computern erfolgreich praktiziert.

Auf dieser Grundlage erklären sich die engen Wechselbeziehungen zwischen der gesellschaftlichen Praxis und der Mathematik. Heutzutage werden mathematische Methoden besonders in der Wirtschaft, der Chemie, der Geologie, der Biologie, der Medizin und der Landwirtschaft, in der Pädagogik und in den Sprachwissenschaften angewendet. Diese Mathematisierung der Wissenschaften ist eine der bedeutendsten Erscheinungsformen der wissenschaftlich-technischen Revolution. Die Mathematik entwickelt sich somit zum Bindeglied verschiedener Disziplinen und beeinflußt aktiv die Entwicklung der Wissenschaften und der Praxis.

Besondere Bedeutung besitzen algorithmische Darstellungen und numerische Methoden im Hinblick auf die Nutzung der Computer zur Beschreibung und Lösung der Modelle. Da vielen Vorgängen Zufallserscheinungen innewohnen, ergibt sich eine starke Beachtung der stochastischen Betrachtungsweise. Sehr intensiv sind mathematische Probleme der Planung und Leitung, der Prozeßsteuerung, der Produktionskontrolle, der Versuchsplanung und der Zuverlässigkeit von Systernen zu betrachten. Häufig sind diese Fragen im Zusammenhang mit Optimierungen zu sehen. Aus der gewachsenen Leistungsfähigkeit der Computer ergeben sich zudem neue Gesichtspunkte für die Anwendung mathematischer Methoden in den An-passungs- und Lernprozessen oder den Problemen der nichtnumerischen Informationsverarbeitung.

Die Mathematik trägt auch dadurch in hervorragendem Maße zum gesellschaftlichen Fortschritt bei, indem sie das Formalisieren und Quantifizieren, die strenge Begriffsbildung, die Entwicklung von Ordnungsprinzipien und das logische Denken in hohem Maße fördert.
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= Logik

Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren.
Wir stellen zunächst mit den sogenannten Wahrheitstabellen ein einfaches Instrumentarium bereit, um festzustellen, ob der vorgelegte Sachverhalt eine wahre oder falsche Aussage darstellt. Dies sind die notwendigen Grundlagen zum Verständnis der logischen Schlüsse, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften, immer wieder benötigt werden.

Darüber hinaus findet die Logik in neuerer Zeit immer mehr auch Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik (digitale Rechentechnik, Neuronennetze, Technologie, Netzplantechnik, Steuerungsprobleme).

== Aussagen

Gegenstand der Logik sind Aussagen. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagesätzen formuliert. Eine Aussage drückt einen _Tatbestand_ aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangssprache bekannten Fragesätze, Aufforderungssätze, Befehlssätze, Wunschsätze, Zweifelssätze usw. keine Aussagesätze. Speziell sind


#einruecken(15mm)[
  - Ist $10^{10}+1$ eine Primzahl?
  - Löse die Gleichung $x^2+4 x+10=0$ !
  - Rechts abbiegen!
  - Hoffentlich scheint morgen die Sonne.
  - Ich glaube nicht, daß morgen die Sonne scheint.
  ]

keine Aussagesätze.

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Aussage "$2 dot 2=4$". Diese Aussage kürzen wir mit $p$ ab und schreiben:

#einruecken(15mm)[
$p= $ "$2 dot 2=4$"
]

Ebenso wird in den folgenden Beispielen verfahren.

_Beispiel 3.1:_
#einruecken(15mm)[
$q= $ "$10$ ist eine Primzahl"

$r= $ „Die Sonne scheint"

$s= $ „Am 10. 10. 1995 wird in Leipzig die Sonne scheinen"

$t= $ „Kolumbus hat 1492 Amerika entdeckt"
]
Diese Beispiele zeigen, daß es sinnvoll ist, nach dem _Wahrheitsgehalt_ der entsprechenden Aussagen zu fragen.

Die mit $p$ und $t$ abgekürzten Sätze stellen offenbar wahre Aussagen dar, dagegen ist $q$ falsch. Die Frage nach dem Wahrheitsgehalt der durch $r$ beschriebenen Aussage ist erst nach Kenntnis von Ort und Zeit mit „wahr“ bzw. „falsch“ entscheidbar. Für die durch $s$ beschriebene Aussage ist es sinnvoll, den Wahrheitsgehalt zu dem Zeitpunkt, an dem sie gemacht wird, durch eine Wahrscheinlichkeit zú präzisieren.


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Diese Überlegungen veranlassen uns zunächst zur folgenden Erklärung:

_$p$ heißt eine Aussage, wenn $p$ einen Tatbestand ausdrückt._

Die Gesamtheit aller so definierten Aussagen $p$ fassen wir zu einer Menge $A_1$ zusammen: $A_1={p mid(|) p$ ist eine Aussage $}$.

Wir benutzen bereits hier den Begriff der Menge, welcher in Abschnitt 7. ausführlicher behandelt wird.

Unter einer Menge verstehen wir nach Cantor eine Gesamtheit (Zusammenfassung) bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von einem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Können wir die Objekte, die zur Menge gehören und Elemente der Menge heißen, aufschreiben, so führen wir sie in geschweiften Klammern auf. So wird die Menge $M_1$ der natürlichen Zahlen, die größer als $2$ und kleiner als $10$ sind, wie folgt geschrieben: $M_1={3,4,5,6,7,8,9}$. Die Tatsache, daß z. B. $5$ Element der Menge $M_1$ ist, beschreiben wir mit der Symbolik $5 in M_1$, während $1 in.not M_1$ bedeutet, daß $1$ kein Element von $M_1$ ist. Wir werden auch generell für Mengen große lateinische Buchstaben zur Bezeichnung benutzen. Eine andere Schreibweise für eine Menge $M$ ist

#einruecken(15mm)[$M={ x mid(|) E}$.]

Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: "$M$ ist die Menge aller Elemente $x$, die die Eigenschaft $E$ besitzen". Die oben erklärte Menge $A_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A_1={p mid(|) p$ ist eine Aussage $}$. Die Menge $M_1$ kann mit Hilfe dieser Symbolik als

$M_1={x mid(|) x$, natürliche Zahl und $2<x<10}$

geschrieben werden.
Schließlich sei bereits an dieser Stelle der Begriff der Teilmenge erklärt.
Die Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn jedes Element der Menge $A$ auch Element der Menge $B$ ist. Wir schreiben in diesem Fall: $A subset.eq B$.

Zum Beispiel

#einruecken(15mm)[${3,4,5} subset.eq M_1={3,4, dots.h, 9},$]

aber

#einruecken(15mm)[${2,9}$ ist keine Teilmenge von $M_1 .$]


Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend gewisse Sachverhalte besser zu formulieren.

Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A_1$ beschränken.

#definition(label: <D.31>)[Die #snl([@D.31]) Aussage $p$ heißt *zweiwertige Aussage*, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.]

Entsprechend $A_1$ bilden wir die Menge der zweiwertigen Aussagen $A_2$ : $A_2={p mid(|) p$ ist eine zweiwertige Aussage $}$

Durch diese Definition scheiden wir Aussagen wie $s$ aus den weiteren Betrachtungen aus. Auch Aussagen über die Bewertungen einer Klausur, die man ja üblicherweise mit den Zensuren (Wahrheitswerten) $1$ bis $5$ vornimmt, sind in $A_2$ nicht enthalten.
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Im Zusammenhang mit $A_2$ führen wir die _Wahrheitswerte_

#einruecken(15mm)[
„wahr“, bezeichnet durch $W$, und

„falsch“, bezeichnet durch $F$,]

ein. Der Aussage $p, p in A_2$, ist gemäß @D.31 eindeutig ein Wahrheitswert aus ${W, F}$ zugeordnet. Wir bezeichnen diese eindeutige Zuordnung mit $w(p)$, $w(p) in{W, F}; w(p)$ - Wahrheitswert der Aussage $p$.

Wir wollen noch auf einen wichtigen Tatbestand aufmerksam machen. Das Wissen, daß $p in A_2$ gilt, heißt noch nicht, daß man auch $w(p)$ kennt. Dazu zwei Beispiele:

_Beispiele 3.2:_

$p=, 10^{10}+1$ ist eine Primzahl";
$q=$ „Ist $n$ eine natürliche Zahl, die größer oder gleich drei ist, so gibt es keine ganzen, positiven Zahlen $x, y, z$ so, daß $x^n+y^n=z^n$ gilt".

Es ist sofort klar, da $\beta p \in A_2$ und $q \in A_2$ ist, $w(p)$ ist nicht ohne weiteres angebbar. Es gibt aber einen Algorithmus zur Ermittlung dieses Wahrheitswertes. Dagegen ist der Wahrheitswert von $q$ (großer Fermatscher Satz) bis heute unbekannt.

Die Ermittlung von Wahrheitswerten mathematischer Aussagen ist eine Aufgabe der Mathematik und keine spezielle Aufgabe der Logik.

== Variable und Aussageformen

Wir betrachten eine Menge $X$ von beliebigen Elementen. Wir wollen $x$ eine _Variable_ nennen, wenn $x$ die Elemente von $X$ durchläuft. $X$ heißt dann _Bereich_ der Variablen $x$.

Die Sätze
#einruecken(15mm)["$x$ ist eine Primzahl", "$y$ ist eine Großstadt",]

die wir mit $p(x)$ bzw. $q(y)$ abkürzen wollen, stellen zunächst keine Aussagen dar. Für jedes konkrete $x=x_1 in X$ und $y=y_1 in Y$ gehen $p(x)$ und $q(y)$ jedoch in Aussagen aus $A_2$ über.

_Beispiel 3.3:_

 $X={1,2, dots.h , 10}$, $Y={$ Moskau, Leipzig, Weimar $}$. Die Aussagen $p(2), p(3), p(5), p(7)$ sind wahre Aussagen, dagegen sind $p(1), p(4), p(6), p(8), p(9)$ und $p(10)$ falsche Aussagen. Setzen wir im Satz $q(y)$ für die Variable $y$ die Elemente ihres Bereiches ein, so entstehen die wahren Aussagen "Moskau ist eine Großstadt“, "Leipzig ist eine Großstadt" und die falsche Aussage "Weimar ist eine Großstadt".

 Für solche Sätze, die eine Variable enthalten, wollen wir einen Namen einführen. Wir definieren:


 #definition(label: <D.32>)[Eine #snr([@D.32]) Formulierung $p(x)$ mit der Variablen $x in X$ heißt eine *Aussageform*, wenn $p(x)$ bei Einsetzen jedes konkreten Wertes $x=x_1 \in X$ in eine zweiwertige Aussage übergeht. Die Menge der so entstehenden Aussagen heißt Bereich der Aussageform.]

Eine Aussageform ist weder wahr noch falsch. Sie ist selbst keine Aussage, sondern stellt eine Vorschrift zur Gewinnung von Aussagen dar.

Die Sätze der Mathematik und anderer Wissenschaften sind Aussagen bzw. Aussageformen, die eventuell auch von mehr als einer Variablen abhängen. Diese Aussagen bzw. Aussageformen treten nun aber häufig verknüpft durch Bindewörter, verneint oder auf andere Weise modifiziert auf. Mit solchen _Aussagenverbindungen_ wollen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

== Aussagenverbindungen
===   Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen

Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.

_Beispiel 3.4:_ Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen

#einruecken(15mm)[
$p=$ "$3$ ist eine Primzahl"

$q=$ "$10$ ist durch $3$ teilbar" ]

Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:


#let resuming-enum(doc) = el.default-enum-list(
  auto-resuming: auto,
  auto-label-width: auto,
  // debug
  // body-format: (
  //   inner: (
  //     stroke: (left: 1pt + blue) ,
  //     outset: it => {
  //       if it.n < it.n-last or it.level >= 2 {
  //         (bottom: 2em + it.n * 5em)
  //       }
  //     }
  //   ),
  // ),
  el.auto-resume-enum(auto-resuming: true, el.auto-label-item(form: (none, "all"), doc)),
)
#set enum(numbering: "(1)")
#resuming-enum[
  + $p_1=$ "3 ist keine Primzahl“
  + $p_2=$ "$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"
  + $p_3=$ "$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"
  + $p_4=$ "Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl“
  + $p_5=$ "$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"
  + $p_6=$ "Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar“
  + $p_7=$ "$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"
]

 Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
 
#einruecken(15mm)[
$w(p)=W, w(q)=F$,

$w(p_1=F, w(p_2)=F, w(p_3=W, w(p_4=W, w(p_5)=F,$

& $w(p_6)=W, w(p_7)=F$.
]




// Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel 3.4 verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.

// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.1. Aussagenverbindungen}
// \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
// \hline Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
// \hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
// \hline 2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
// \hline 3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
// \hline 4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
// \hline 5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz \\
// \hline 6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion \\
// \hline 7 & $p$ weil $q$ & - & - \\
// \hline
// \end{tabular}
// \end{table}

// Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen, da sie je 7wei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.

// Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.

// Beispiel 3.5 (Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):

// $$
// \begin{aligned}
// & (p \wedge q) \rightarrow(r \vee s) \\
// & ((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
// \end{aligned}
// $$


// Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.

// Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann n-stellige Aussagenverbindung nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die logische Struktur der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.

// Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren, auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen
// 1. von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen und
// 2. von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.

// Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen extensional (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen intensionale Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).

// Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle 3.1 werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel „weil“ eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].

// 3.3.2 Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen

// Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle 3.1 den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.
// 1. Wahrheitstabelle für die Negation

// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.2. Wahrheitstabelle der Negation}
// \begin{tabular}{l|ll}
// $p$ & $F$ & $W$ \\
// \hline $\bar{p}$ & $W$ & $F$
// \end{tabular}
// \end{table}

// In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, rechts daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthält links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gilt $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.
// 2. Wahrheitstabelle für die Konjunktion

// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.3. Wahrheitstabelle der Konjunktion}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}

// Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten (s. Abschnitt 6.). Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch und verbundenen Teilaussagen wahr sind.

// Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.

// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.4. Wahrheitstabelle der Alternative}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}

// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.5. Wahrheitstabelle der Implikation}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}

// Tabelle 3.6. Wahrheitstabelle der Äquivalenz

// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
// \end{tabular}

// Tabelle 3.7. Wahrheitstabelle der Disjunktion

// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
// \end{tabular}
// * Aufgabe 3.1: Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!