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\chapter{Logik}
Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren.

Wir stellen zunächst mit den sogenannten Wahrheitstabellen ein einfaches Instrumentarium bereit, um festzustellen, ob der vorgelegte Sachverhalt eine wahre oder falsche Aussage darstellt. Dies sind die notwendigen Grundlagen zum Verständnis der logischen Schlüsse, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften, immer wieder benötigt werden.

Darüber hinaus findet die Logik in neuerer Zeit immer mehr auch Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik (digitale Rechentechnik, Neuronennetze, Technologie, Netzplantechnik, Steuerungsprobleme).

\section{Aussagen}
Gegenstand der Logik sind \textit{Aussagen}. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagesätzen formuliert. Eine Aussage drückt einen Tatbestand aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangssprache bekannten Fragesätze, Aufforderungssätze, Befehlssätze, Wunschsätze, Zweifelssätze usw. keine Aussagesätze. Speziell sind

\einrueckungm{35}{
	\begin{itemize}
		\item[-] Ist $10^{10}+1$ eine Primzahl?
		\item[-] Löse die Gleichung $x^2+4 x+10=0$ !
		\item[-] Rechts abbiegen!
		\item[-] Hoffentlich scheint morgen die Sonne.
		\item[-] Ich glaube nicht, daß morgen die Sonne scheint.
	\end{itemize}
}

keine Aussagesätze.

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Aussage "`$2 \cdot 2=4$"'. Diese Aussage kürzen wir mit $p$ ab und schreiben:

\einrueckungm{50}{
	$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"'}

Ebenso wird in den folgenden Beispielen verfahren.

\begin{beispiel}
	\label{B.3.1}
	\begin{itemize}
		\item[] $q=$ "`$10$ ist eine Primzahl"'
		\item[] $r=$ "`Die Sonne scheint"'
		\item[] $s=$ "`Am 10.10.1995 wird in Leipzig die Sonne scheinen"' 
		\item[] $t=$ "`Kolumbus hat 1492 Amerika entdeckt"'
	\end{itemize}
	
\end{beispiel}

Diese Beispiele zeigen, daß es sinnvoll ist, nach dem Wahrheitsgehalt der entsprechenden Aussagen zu fragen.

Die mit $p$ und $t$ abgekürzten Sätze stellen offenbar wahre Aussagen dar, dagegen ist $y$ falsch. Die Frage nach dem Wahrheitsgehalt der durch $r$ beschriebenen Aussage ist erst nach Kenntnis von Ort und Zeit mit "`wahr"' bzw. "`falsch"' entscheidbar. Für die durch $s$ beschriebene Aussage ist es sinnvoll, den Wahrheitsgehalt zu dem Zeitpunkt, an dem sie gemacht wird, durch eine Wahrscheinlichkeit zu präzisieren.

Diese Überlegungen veranlassen uns zunächst zur folgenden Erklärung:

\textit{$p$ heißt eine Aussage, wenn $p$ einen Tatbestand ausdrückt.}

Die Gesamtheit aller so definierten Aussagen $p$ fassen wir zu einer Menge $A_1$ zusammen: $A_1=\{p \mid p$ ist eine Aussage$\}$.

Wir benutzen bereits hier den Begriff der Menge, welcher in Abschnitt 7. ausführlicher behandelt wird.


Unter einer \textit{Menge} verstehen wir nach Cantor eine Gesamtheit (Zusammenfassung) bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von einem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.


Können wir die Objekte, die zur Menge gehören und \textit{Elemente} der Menge heißen, aufschreiben, so führen wir sie in geschweiften Klammern auf. So wird die Menge $M_1$ der natürlichen Zahlen, die größer als $2$ und kleiner als $10$ sind, wie folgt geschrieben: $M_1=\{3,4,5,6,7,8,9\}$. Die Tatsache, daß z.B. $5$ Element der Menge $M_1$ ist, beschreiben wir mit der Symbolik $5 \in M_1$, während $1 \notin M_1$ bedeutet, daß $1$ kein Element von $M_1$ ist. Wir werden auch generell für Mengen große lateinische Buchstaben zur Bezeichnung benutzen. Eine andere Schreibweise für eine Menge $M$ ist

\einrueckungm{35}{$M=\{x \mid E\}.$}

Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: "`M ist die Menge aller Elemente $x$, die Eigenschaft $E$ besitzen"'. Die oben erklärte Menge $A_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A_1=\{p \mid p \text{ ist eine Aussage }\}$. Die Menge $M_1$ kann mit Hilfe dieser Symbol als

\einrueckungm{35}{$
	M_1=\{x \mid x, \text { natürliche Zahl und } 2<x<10\}$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

geschrieben werden.
Schließlich sei bereits an dieser Stelle der Begriff der Teilmenge erklärt.
Die Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn jedes Element der Menge $A$ auch Element der Menge $B$ ist. Wir schreiben in diesem Fall: $A \subseteq B$.


Zum Beispiel
\einrueckungm{35}{$
	\{3,4,5\} \subseteqq M_1=\{3,4, \ldots, 9\},$}

aber

\einrueckungm{35}{
	$\{2,9\}$ ist keine Teilmenge von $M_1$.}


Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend gewisse Sachverhalte besser zu formulieren.

Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A_1$ beschränken.


\begin{definition}\label{D.3.1}Die Aussage $p$ heißt \marginpar[\textbf{D.3.1}]{\textbf{D.3.1}}\textbf{zweiwertige Aussage}, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.\end{definition}

Entsprechend $A_1$ bilden wir die Menge der zweiwertigen Aussagen $A_2$: 

\einrueckungm{35}{$A_2=\{p \mid p \text{ist eine zweiwertige Aussage}\}$}

Durch diese Definition scheiden wir Aussagen wie $s$ aus den weiteren Betrachtungen aus. Auch Aussagen über die Bewertungen einer Klausur, die man ja üblicherweise mit den Zensuren (Wahrheitswerten) $1$ bis $5$ vornimmt, sind in $A_2$ nicht enthalten.

Im Zusammenhang mit $A_2$ führen wir die \textit{Wahrheitswerte}


\einrueckungm{35}{
	\begin{itemize}
		\item[] "`wahr"', bezeichnet durch $W$, und
		\item[] "`falsch"', bezeichnet durch $F$,
	\end{itemize}
}


ein. Der Aussage $p, p \in A_2$, ist gemäß Definition \ref{D.3.1} eindeutig ein Wahrheitswert aus $\{W, F\}$ zugeordnet. Wir bezeichnen diese eindeutige Zuordnung mit $w(p)$, $w(p) \in\{W, F\}$ ; $w(p)-$ Wahrheitswert der Aussage $p$.

Wir wollen noch auf einen wichtigen Tatbestand aufmerksam machen. Das Wissen, daß $p \in A_2$ gilt, heißt noch nicht, daß man auch $w(p)$ kennt. Dazu zwei Beispiele:

\begin{beispiel}
	\label{B.3.2}	
	\begin{itemize}
		\item[]$p=\;$"`$10^{10}+1$ ist eine Primzahl"';
		
		\item[]$q=\;$"`Ist $n$ eine natürliche Zahl, die größer oder gleich drei ist, so gibt es keine ganzen, positiven Zahlen $x, y, z$ so, daß $x^n+y^n=z^n$ gilt"'.
	\end{itemize}
\end{beispiel}

Es ist sofort klar, daß $p \in A_2$ und $q \in A_2$ ist, $w(p)$ ist nicht ohne weiteres angebbar. Es gibt aber einen Algorithmus zur Ermittlung dieses Wahrheitswertes. Dagegen ist der Wahrheitswert von $q$ (großer Fermatscher Satz) bis heute unbekannt.

Die Ermittlung von Wahrheitswerten mathematischer Aussagen ist eine Aufgabe der Mathematik und keine spezielle Aufgabe der Logik.

\section{Variable und Aussageformen}

Wir betrachten eine Menge $X$ von beliebigen Elementen. Wir wollen $x$ eine Variable\index{Variable} nennen, wenn $x$ die Elemente von $X$ durchläuft. $X$ heißt dann Bereich\index{Bereich} der Variablen $x$. Die Sätze

\einrueckungm{35}{
	"`$x \text { ist eine Primzahl}$"', \qquad  "`$y \text{ ist eine Großstadt}$"' 
}


die wir mit $p(x)$ bzw. $q(y)$ abkürzen wollen, stellen zunächst keine Aussagen dar. Für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ und $y=y_1 \in Y$ gehen $p(x)$ und $q(y)$ jedoch in Aussagen aus $A_2$ über.

\begin{beispiel}
	\label{B.3.3}
	\einrueckungm{30}{
		$X=\left\lbrace 1,2, \ldots, 10\right\rbrace$, $Y=\left\lbrace \text{Moskau, Leipzig, Weimar} \right\rbrace $. 
		
		Die Aussagen $p(2)$, $p(3)$, $p(5)$, $p(7)$ sind wahre Aussagen, dagegen sind $p(1)$, $p(4)$, $p(6)$, $p(8)$, $p(9)$ und $p(10)$ falsche Aussagen. 
		Setzen wir im Satz $q(y)$ für die Variable $y$ die Elemente ihres Bereiches ein, so entstehen die wahren Aussagen "`Moskau ist eine Großstadt"',
		"`Leipzig ist eine Großstadt"' und die falsche Aussage "`Weimar ist eine Großstadt"'.}
\end{beispiel}


Für solche Sätze, die eine Variable enthalten, wollen wir einen Namen einführen. Wir definieren:

\pagebreak
\begin{definition}\label{D.3.2}Eine Formulierung $p(x)$ mit der Variablen $x \in X$ heißt \marginpar[\textbf{D.3.2}]{\textbf{D.3.2}} eine \textbf{Aussageform}\index{Aussageform}, wenn $p(x)$ bei Einsetzen jedes konkreten Wertes $x=x_1 \in X$ in eine zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} übergeht. Die Menge der so entstehenden Aussagen heißt Bereich der Aussageform.	\end{definition}

Eine Aussageform ist weder wahr noch falsch. Sie ist selbst keine Aussage, sondern stellt eine Vorschrift zur Gewinnung von Aussagen dar.

Die Sätze der Mathematik und anderer Wissenschaften sind Aussagen bzw. Aussageformen, die eventuell auch von mehr als einer Variablen abhängen. Diese Aussagen bzw. Aussageformen treten nun aber häufig verknüpft durch Bindewörter, verneint oder auf andere Weise modifiziert auf. Mit solchen \textit{Aussagenverbindungen} wollen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

\section{Aussagenverbindungen}\label{s:Aussageverbindungen}
\subsection{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}\label{ss:Aussageverbindungen}

Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.

Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} zuordnen kann.


\begin{beispiel}
	\label{B.3.4}
	\einrueckungm{30}{
		Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
		\begin{itemize}
			\item[] $p= $ "`$3 \text { ist eine Primzahl}$"'
			\item[] $q= $ "`$10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar}$"'
		\end{itemize}
		
		
		
		Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:
		
		\begin{enumerate}[label={(}\arabic*{)},start=1]
			\item  $p_1=$ "`$3$  ist keine Primzahl“'
			\item $p_2=$  "`$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_3=$ "`$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_4=$ "`Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl"'
			\item $p_5=$ "`$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"'
			\item $p_6=$ "`Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_7=$ "`$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"'	
		\end{enumerate}
	}
\end{beispiel}


Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
$$
\begin{aligned}
	& w(p)=W, w(q)=F, \\
	& w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\
	& w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F .
\end{aligned}
$$
Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel \ref{B.3.4} verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.

\captionsetup[table]{position=top}
\begin{table}[ht]
	\centering
	\caption{\label{tab.3.1}Aussagenverbindungen}
		\begin{tabular}{l|l|l|l} 
			Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
			\hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
			2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
			3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
			4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
			5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz\index{Ae@""Aquivalenz} \\
			6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion\index{Disjunktion} \\
			7 & $p$ weil $q$ & - & -
		\end{tabular}	
\end{table}

Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen\index{zweistellige Aussagenverbindungen}\index{Aussagenverbindungen!zweistellige}, da sie je zwei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung\index{einstellige Aussagenverbindung}\index{Aussagenverbindung!einstellige} aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion\index{Disjunktion} werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.

Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.



\begin{beispiel}\label{B.3.5}
	
	(Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):
	\begin{flalign}
		&(p  \wedge q) \rightarrow(r \vee s)  &&\\
		&((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
	\end{flalign}
	
	
	Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.	
\end{beispiel}



Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann \textit{$n$-stellige Aussagenverbindung} nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die \textit{logische Struktur} der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.

Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren. auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen

\begin{enumerate}
	\item von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen
	und
\end{enumerate}

und

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.
\end{enumerate}


Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen \textit{extensional} (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen \textit{intensionale} Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).

Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle \ref{tab.3.1} werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel "`weil"' eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].

\subsection{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}\label{ss:Wahrheitstabellen}
Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle \ref{tab.3.1} den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.2}Wahrheitstabelle der Negation}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cc} 
			$p$ & $F$ & $W$\\
			\hline 
			$\bar{p}$ & $W$ & $F$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}




In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, recht daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthäl links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gil $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.


\begin{table}[!ht]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.3}Wahrheitstabelle der Konjunktion}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}



Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten \textcolor{red}{(s. Abschnitt 6.)}. Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch \textit{und} verbundenen Teilaussagen wahr sind.
Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.4}Wahrheitstabelle der Alternative}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.5}Wahrheitstabelle der Implikation}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.6}Wahrheitstabelle der Äquivalenz}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\newpage
\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.7}Wahrheitstabelle der Disjunktion}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}

\begin{aufgabe}\label{aufg:3.1}
	\einrueckungm{20}{Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!}
\end{aufgabe}


$\mathrm{Zu}$ diesen Tabellen sollen noch einige Bemerkungen gemacht werden. Der \textit{Implikation} wird nur dann der Wahrheitswert $F$ zugeordnet, wenn die erste Teilaussage $p$ (Voraussetzung) wahr, aber die zweite Teilaussage $q$ (Behauptung) falsch ist.

\begin{beispiel}\label{B.3.6}
	
	Die Aussage "`Wenn $3$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' ist offenbar falsch. Die Aussage "`Wenn $4$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' wird dagegen als wahr angesehen.
	
	
\end{beispiel}

Bemerkenswert ist auch der Unterschied zwischen \textit{Alternative} und \textit{Disjunktion}. Die Alternative stellt ein einschließendes, die Disjunktion ein ausschließendes oder dar.

\einrueckungm{10}{
	Betrachten wir noch die folgenden zwei Aussagen
	\einrueckungm{20}{	
		
		$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"' oder "`Berlin ist die Hauptstadt der UdSSR"'
		
		
		$q=$ Wenn "`$2 \cdot 2=5$"' ist, so "`ist die Erde ein Planet"'
}}

Aussagenverbindungen dieser Art sind häufig insbesondere philosophischer Kritik ausgesetzt. Im Sinne der Logik handelt es sich jedoch bei $p$ und $q$ um wahre Aussagen, obwohl diese Aussagenverbindungen rein inhaltlich gesehen völlig sinnlos sind. Im Sinne einer völligen Allgemeinheit der zur Aussagenverbindung zugelassenen Aussagen aus $A_2$ ist es aber legitim, auch Verbindungen der obigen Art zu bilden.

Es ist zweckmäßig, die Tabellen \ref{tab.3.1} bis \ref{tab.3.7} gut im Gedächtnis zu behalten, da sie Bausteine für nachfolgende Überlegungen sind.

\subsection{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}

Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen \textcolor{red}{(siehe auch Abschnitt 8.)}, die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung
\begin{flalign}
	&(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3}
\end{flalign}

wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt.

Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen.


%%%%


\begin{table}[!h]
	\begin{center}
		\caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$}
		\begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\
			q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ 
			r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
			$s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
			$t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
			$u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
			$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}

%%%%%%%%%%%%% Ende 17 ###########


Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie


\einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'}

eine wahre Aussage.

Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ):

Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben.

\begin{aufgabe}
	\einrueckungm{20}{
		Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?}
	
\end{aufgabe}


\subsection{Verbindungen von Aussageformen}
Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.

\begin{beispiel}\label{B.3.7}
	
	$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
	
	\begin{enumerate}
		\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.\\
		Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
		\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.\\
		Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,\\
		$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
		
	\end{enumerate}
	
	Allgemein können wir folgendes feststellen:
	
	
	Man kann zum Beispiel durch
	$$
	\begin{aligned}
		& \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\
		& p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x)
	\end{aligned}
	$$
	
	Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden.
	
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}
	\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung

		\einrueckungm{30}{"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"'}

mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
\end{aufgabe}

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\section{Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung}
\subsection{Logische Zeichen}

Wir haben bereits in 3.3.1. einige wesentliche Kurzzeichen, die in der Logik zur Beschreibung von Aussagenverbindungen benutzt werden, angegeben.

Wir wiederholen:
$$
\begin{array}{|ll}
\bar{p} & - \text { nicht } p \\
p \wedge q & -p \text { und } q \\
p \vee q & -p \text { oder } q \\
p \rightarrow q & - \text { wenn } p, \text { so } q \\
p \leftrightarrow q & -p \text { genau dann, wenn } q
\end{array}
$$

Die Zeichen ${ }^{-}, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ sind die Kurzzeichen (Funktoren) der Aussagenlogik. Darüber hinaus gibt es jedoch einige Zeichen, die insbesondere für mathematische Aussagen von Bedeutung sind. Dazu betrachten wir noch einmal eine Aussageform $p(x)$ mit dem Bereich $X$ der Variablen $x$.

Es gibt außer der schon behandelten Möglichkeit, von der Aussageform $p(x)$ zu Aussagen überzugehen (einsetzen konkreter $x=x_1 \in X$ ), noch eine andere Möglichkeit, Aussagen mit Hilfe von $p(x)$ zu bilden. Diese Möglichkeit ergibt sich aus der Tatsache, daß beim Einsetzen spezieller $x=x_1 \in X$ in die Aussageform die drei folgenden Fälle eintreten können:
1. Alle entstehenden Aussagen sind wahr,
2. mindestens eine der entstehenden Aussagen ist wahr und mindestens eine ist falsch,
3. alle entstehenden Aussagen sind falsch.

Entsprechend definieren wir:


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.

Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen

bzw.
$$
p \wedge(p \vee q) \text { und } p
$$
$$
p \vee(q \wedge r) \text { und }(p \vee q) \wedge(p \vee r)
$$
besitzen die gleichen Wahrheitstabellen, realisieren also logisch gleichwertige Aussagenverbindungen. Das hat zur Folge, daß die Wahrheitswerttabellen der Aussagenverbindungen