%!TEX root=Band1.tex

\einrueckungm{-100}{\[
\begin{array}{ll} 
	& p \wedge(p \vee q) \text { und } p \\
		\text { bzw. }\\
  & p \vee(q \wedge r) \text { und }(p \vee q) \wedge(p \vee r)
\end{array}
\]}

besitzen die gleichen Wahrheitstabellen, realisieren also logisch gleichwertige Aussagenverbindungen. Das hat zur Folge, daß die Wahrheitswerttabellen der Aussagenverbindungen


\einrueckungm{-100}{

\begin{align}
& p \wedge(p \vee q) \leftrightarrow p \\
&	p \vee(q \wedge r) \leftrightarrow(p \vee q) \wedge(p \vee r)
\end{align}}


in der letzten Zeile jeweils nur das Symbol $W$ besitzen, also immer wahre Aussagen darstellen. (Wir werden in Abschnitt  \textcolor{red}{\textbf{\textbf{4.1.1}}}. auf diese wichtige Klasse der Aussagenverbindungen, die Tautologien, ausführlich zu sprechen kommen.)


\begin{table}[htb]
	\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={left,top},capbesidewidth=4cm}}]{table}[\FBwidth]
{\caption{}\label{tab.3.9}}
	{
	\begin{tabular}{p{1.8cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}}
		$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
		$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ \hline
		$r=p \vee q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
		$s=p \wedge r$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W \leftarrow$\\
		$p$ & $F$ & W & $F$ & $W \leftarrow$\\ \hline
		$(p \wedge r) \leftrightarrow p$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\
	\end{tabular}
}
\end{table}



\begin{table}[htb]
	\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={left,top},capbesidewidth=2cm}}]{table}[\FBwidth]
	{\caption{}\label{tab.3.10}}
	{
		\begin{tabular}{p{2cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}}
			p & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ \hline
			$s=q \wedge r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\ \hline
			$p \vee s$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W \leftarrow$ \\ \hline
			$t=p \vee r$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
			$u=p \vee q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\ \hline 
			$t \wedge u$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W \leftarrow$ \\ \hline
			$p \vee s \leftrightarrow t \wedge u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
		\end{tabular}
	}
\end{table}

\textcolor{red}{\textbf{HIER HIER HIER}}








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%









%\begin{figure}[H]
%	\centering
%	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/3.4.png}
%	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \wedge(p \vee q), p$}
%	\label{fig:3}
%\end{figure}

Somit können wir die betrachteten Aussageverbindungen durch Schaltungen realisieren, die jeweils dasselbe leisten (siehe Bild 3.4 und 3.5). Man braucht sicherlich nicht gesondert zu erwähnen, welches die jeweils einfachere Schaltung ist.

%\begin{figure}[H]
%	\centering
%	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{3.5}
%	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \vee(q \wedge r),(p \vee q) \wedge(p \vee r)$}
%	\label{fig:3}
%\end{figure}



Gelegentlich vereinfacht man die Schreibweise von Ausdrücken der Form wie z. B.
$$
p \vee(q \wedge r)
$$
indem man sogenannte Vorrang- oder Klammereinsparungsregeln vereinbart. So hat die Konjunktion $\wedge$ Vorrang vor $\vee$, d. h. man kann anstelle (3.5) auch
$$
p \vee q \wedge r
$$
schreiben.
Es sei noch bemerkt, daß Relaiskontaktschaltungen nicht die einzigen technischen Realisierungen der Wahrheitswertfunktion sind.



Die Anwendung der Logik beschränkt sich heute keineswegs mehr auf die Schaltalgebra, d. h. die mathematische Beschreibung, Analyse, Synthese und Optimierung von technischen Schaltungen. Es ist zweckmäßig, die Aussagenlogik auch zur Beschreibung anderer Sachverhalte aus verschiedenen Wissenschaften anzuwenden.


\chapter{Einige Beweisprinzipien}
Die nachfolgenden Ausführungen enthalten einige wichtige logische Schlüsse und die Methode der vollständigen Induktion als Beweisprinzipien. Die logischen Schlüsse, welche zuerst behandelt werden, knüpfen unmittelbar an die Grundbegriffe der Ĺogik aus Abschnitt 3. an und sind selbst ein wesentlicher Bestandteil der Logik. Wir werden sie hier an Beispielen erläutern.
\section{Logische Schlüsse}
Beim Beweisen mathematischer Aussagen steht häufig das Problem, daß nicht sofort eine Beweisidee vorhanden ist oder ein direkter Beweis entweder nur schwer oder nicht möglich ist. Betrachten wir zur Erläuterung folgendes


Beispiel 4.1: Man beweise: Wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei gleiche Winkel über einer Strecke $\overline{P_1 P_2}$ sind, so geht der durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ bestimmte Kreis $K$ auch durch den Punkt $P_4$. (In Bild 4.1 ist zu sehen, daß der Winkel bei $P_3$ mit $\alpha$, der Winkel bei $P_4$ mit $\beta$ bezeichnet wird.)

Mit den Hilfsmitteln, die in der Logik bereitgestellt werden, sind wir bereits in der Lage, die zu beweisende mathematische Aussage als Aussagenverbindung darzustellen. Bezeichnen nämlich
$p="` \alpha$ und $\beta$ sind zwei gleiche Winkel über $\bar{P}_1 \overline{P_2}$ "'
$q=$ "`$P_4$ liegt auf dem Kreis $K^{\text {“ }}$
zweiwertige Aussagen, so haben wir zu beweisen, daß
$p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist.
Ein direkter Beweis dieser Implikation gelingt nicht ohne weiteres, und deshalb wird der Beweis mit Hilfe einer Methode des indirekten Beweisens geführt. Man zeigt:

  \begin{minipage}{\linewidth}
	\centering
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\begin{figure}[H]
			\input{4.1.tikz}
			\caption{This is the first figure}
		\end{figure}
	\end{minipage}
	\hspace{0.05\linewidth}
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\begin{figure}[H]
			\input{4.2.tikz}
			\caption{This is the second figure}
		\end{figure}
	\end{minipage}
\end{minipage}



\begin{figure}[ht]
	\caption{}\label{bild:b04}
\input{4.1.tikz}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
	\caption{}\label{bild:b05}
	\input{4.2.tikz}
\end{figure}


Wenn der Punkt $P_4$ nicht auf dem Kreis $K$ liegt, so ist $\alpha$ ungleich $\beta$. Wie Bild 4.2 zeigt, zerfällt die Aussage $\bar{q}={ }_{,} P_4$ liegt nicht auf dem Kreis $K^{\circ}$ in zwei Fälle:
$$
\begin{aligned}
	& \bar{q}_1={ }_{,} P_4 \text { liegt außerhalb } K^{\circ} \\
	& \bar{q}_2={ }_{,} P_4 \text { liegt innerhalb } K^{\prime},
\end{aligned}
$$
d. h. es gilt
$$
\bar{q}=\text { entweder } \bar{q}_1 \text { oder } \bar{q}_2 \text {. }
$$

In jedem dieser beiden Fälle kann man beweisen (der Beweis wird unter Verwendung des Peripheriewinkelsatzes und eines Satzes über Außenwinkel am Dreieck geführt), da $\beta \alpha$ ungleich $\beta$ ist, d. h.
$$
\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p} \quad \text { und } \quad \bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}
$$
sind wahre Aussagen.
Aufgabe 4.1: Man beweise, daß $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind.
Die Frage ist nun, wieso wir auf Grund dessen, da $\beta \bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind, darauf schließen können, daß auch $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. Der wesentliche Schritt hierbei ist, daß wir begründen :

Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt „Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$ ", eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.

Die oben genannte Begründung kann man wie folgt formulieren:
I. Es ist zu zeigen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ eine wahre Aussage ist.
II. Die Aussagenverbindung
$$
(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q)
$$
ist immer eine wahre Aussage, ganz gleich welche konkreten (wahren oder falschen) Aussagen $p$ und $q$ darstellen (Beweis s. Tabelle 4.1).
III. Demzufolge ist auch $(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \wedge((\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q))$ als Konjunktion zweier wahrer Aussagen, wiederum wahr (Tabelle 3.3).
IV. Weil die Aussage
$$
(s \wedge(s \rightarrow t)) \rightarrow t
$$
unabhängig davon, welche konkreten (wahren oder falschen) Aussagen $s, t$ in diese Verbindung eingehen, immer wahr ist, können wir mit $s=\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ und $t=p \rightarrow q$ auf die Wahrheit.der Aussage $p \rightarrow q$ schließen (Beweis siehe Tabelle 4.2). (Auf Grund der Wahrheitstabelle der Implikation (Tabelle 3.5) muß bei Richtigkeit der Voraussetzung und der Implikation auch die Behauptung wahr sein.)


Sicherlich ist diese Begründung beim ersten Lesen schwer zu verstehen. Andererseits stellt sie aber das Muster für das Verständnis aller logischen Schlüsse dar und sollte deshalb gut durchdacht werden. In den Punkten II. und IV. sind zwei Behauptungen formuliert, die die entscheidende Rolle für die Stichhaltigkeit unserer Begründung spielen.

Wir behaupten, daß die Aussagenverbindungen (4.1) und (4.2) immer wahre Aussagen darstellen. Den Beweis dafür können wir leicht mit Hilfe der Wahrheitstabellen führen.

In der letzten Zeile dieser Wahrheitstabellen steht jeweils nur das Symbol $W$, d. h. die Aussagenverbindungen sind immer wahr, ganz gleich ob $p, q, r, s$ wahr oder falsch sind.

Tabelle 4.1. Kontraposition
\begin{tabular}{l|llll}
	$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline $\bar{p}$. & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ \\
	$\bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ \\
	$u=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	$v=\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline$v \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

Tabelle 4.2. Abtrennungsregel
\begin{tabular}{l|llll}
	$s$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$t$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline$s \rightarrow t$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	$z=s \wedge(s \rightarrow t)$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
	\hline$z \rightarrow t$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

Die Begründung einer richtigen logischen Schlußweise liegt also offenbar in der Existenz von Aussagenverbindungen der oben betrachteten Art. Deshalb liegt es nahe, daß wir uns zunächst etwas genauer mit dieser Klasse der immer wahren Aussagenverbindungen beschäftigen.
4.1.1. Tautologien


D.4.1 Definition 4.1: Eine Aussagenverbindung heißt Tautologie, wenn die Wahrheitswertfunktion nur den Wert $W$ annimmt, d. h. wenn die letzte Zeile der Wahrheitstabelle nur den Wert $W$ besitzt. (Anstelle von Tautologie ist auch der Begriff Identität gebräuchlich.)

Wir haben damit eine sehr wesentliche Klasse von Aussagenverbindungen definiert, die allein auf Grund ihrer logischen Struktur stets nur wahre Aussagen enthält. Uns interessiert diese Klasse von Aussagenverbindungen im Hinblick auf weitere logische Schlußfiguren. Deshalb stellen wir nachfolgend einige besonders wichtige Tautologien zusammen und führen den Nachweis über die entsprechenden Wahrheitstabellen. Tautologien sind beispielsweise:


1) Abtrennungsregel
2) Indirekter Beweis
3) Fallunterscheidung
4) Kettenschluß
5) Schluß auf eine Äquivalenz
6) Kontraposition
7) Doppelte Verneinung
8) de Morgansche Regeln
$$
\begin{aligned}
	& s \wedge(s \rightarrow t) \rightarrow t \\
	& (q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p \\
	& ((p \vee q) \wedge(p \rightarrow r) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow r \\
	& ((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow(p \rightarrow r)
\end{aligned}
$$
$((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p)) \rightarrow(p \leftrightarrow q)$
$(p \rightarrow q) \rightarrow(\bar{q} \rightarrow \bar{p})$
$$
(\bar{q} \rightarrow \bar{p}) \rightarrow(p \rightarrow q)
$$
$$
p \leftrightarrow \overline{\bar{p}}
$$
$$
\begin{aligned}
	& \overline{p \wedge q} \leftrightarrow(\bar{p} \vee \bar{q}) \\
	& \overline{p \vee q} \leftrightarrow(\bar{p} \wedge \bar{q})
\end{aligned}
$$
Mit den Tabellen 4.3, 4.4 und 4.5 zeigen wir für drei besonders wichtige dieser Aussagenverbindungen, daß es sich tatsächlich um Tautologien handelt.


* Aufgabe 4.2: Man weise nach, daß die Aussagenverbindungen (4.10), (4.11) Tautologien sind!

Tabelle 4.3. Kettenschluß
\begin{tabular}{l|llllllll}
	$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	$r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
	\hline$u=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	$v=q \rightarrow r$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
	$w=p \rightarrow r$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
	$x=u \wedge v$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline$x \rightarrow w$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

Tabelle 4.4. Indirekter Beweis
\begin{tabular}{l|llll}
	$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline $\bar{p}$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ \\
	$\bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ \\
	$r=\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$s=q \wedge r$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
	\hline$s \rightarrow p$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

Tabelle 4.5. Schluß auf Äquivalenz
\begin{tabular}{l|llll}
	$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	\hline$r=p \rightarrow q$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
	$s=q \rightarrow p$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
	$t=r \wedge s$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
	$u=p \leftrightarrow q$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
	\hline$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
\end{tabular}

4.1.2. Logische Schlußfiguren
Die oben angegebenen Tautologien haben spezielle Bezeichnungen erhalten, die in der Regel mit dem Namen des logischen Schlusses identisch sind, dessen Grundlage sie bilden. Eine Sonderrolle nimmt die Abtrennungsregel (4.2) ein. Streng genommen benötigt man jeweils die Abtrennungsregel, um aus den anderen Tautologien logische Schlüsse aufzubauen, wie wir das mit den Punkten I. bis IV. für ein Beispiel getan haben. Am Beispiel des indirekten Beweises wollen wir noch einmal das Zusammenwirken einer speziellen Tautologie mit der Abtrennungsregel demonstrieren.

I. Man betrachtet eine Aussage $q$, von der man weiß, daß sie wahr ist, und beweist, daß die Implikation $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ eine wahre Aussage darstellt.
II. Nach Tabelle 4.4 ist $(q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p$ eine Tautologie, also eine stets wahre Aussage.
III. Demzufolge ist auch $(q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \wedge((q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})) \rightarrow p)$ als Konjunktion wahrer Aussagen wiederum wahr.
IV. Auf Grund der Abtrennungsregel [Tautologie (4.2)] können wir mit $s=$ $q \wedge(\bar{p} \rightarrow \bar{q})$ und $t=p$ auf die Wahrheit der Aussage $p$ schließen.

Da dieses Vorgehen sehr aufwendig ist und darüber hinaus auch die Übersichtlichkeit bei komplizierteren Schlüssen nicht mehr gegeben ist, hat man ein Schema entwickelt, mit dem man die logischen Schlüsse übersichtlich darstellen kann. In der Darstellung dieses Schemas sprechen wir von logischen Schlußfiguren, die wie folgt aufgebaut werden (Tabelle 4.6):


Tabelle 4.6. Schema logischer Schlußfiguren und Beispiel - indirekter Beweis
Voraussetzung 1
Voraussetzung $k$
Behauptung 1
Behauptung $l$
$q$
$\frac{\bar{p} \rightarrow \bar{q}}{p}$

Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch „und“ also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das „Beweisen“ liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.

Nachfolgend geben wir ausgehend von (4.1) bis (4.11) die entsprechenden logischen Schlußfiguren an.

Im Abschnitt 4.2. werden wir die Anwendung dieser logischen Schlußfiguren auf einige Beispiele aus der Elementarmathematik zeigen.

Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage ,Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?" zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%\begin{aligned}
%	&\text { Tabelle } 3.9\\
%	&\begin{array}{l|llll}
	%		
	%	
	%		
	%		
	%		\\
	%		\hline & \leftarrow \\
	%		\hline & W
	%	\end{array}
%\end{aligned}


%\begin{aligned}
%	&\text { Tabelle } 3.10\\
%	&\begin{array}{l|llllllll}
	%	
	%		
 %
	%		 
	%		\hline 
	%		
	%		\hline 
	%		\hline 
	%	\end{array}
%\end{aligned}
