\section{Aussagenverbindungen}\label{s:Aussageverbindungen}
\subsection{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}\label{ss:Aussageverbindungen}

Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.

Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} zuordnen kann.


\begin{beispiel}
	\label{B.3.4}
	\einrueckungm{30}{
		Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
		\begin{itemize}
			\item[] $p= $ "`$3 \text { ist eine Primzahl}$"'
			\item[] $q= $ "`$10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar}$"'
		\end{itemize}
		
		
		
		Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:
		
		\begin{enumerate}[label={(}\arabic*{)},start=1]
			\item  $p_1=$ "`$3$  ist keine Primzahl“'
			\item $p_2=$  "`$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_3=$ "`$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_4=$ "`Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl"'
			\item $p_5=$ "`$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"'
			\item $p_6=$ "`Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
			\item $p_7=$ "`$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"'	
		\end{enumerate}
	}
\end{beispiel}


Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
$$
\begin{aligned}
	& w(p)=W, w(q)=F, \\
	& w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\
	& w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F .
\end{aligned}
$$
Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel \ref{B.3.4} verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.


\begin{table}[!h]
	\caption{\label{tab.3.1}Aussagenverbindungen}
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|l|l|l} 
			Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
			\hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
			2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
			3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
			4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
			5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz\index{Ae@""Aquivalenz} \\
			6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion\index{Disjunktion} \\
			7 & $p$ weil $q$ & - & -
		\end{tabular}	
	\end{center}
\end{table}

Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen\index{zweistellige Aussagenverbindungen}\index{Aussagenverbindungen!zweistellige}, da sie je zwei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung\index{einstellige Aussagenverbindung}\index{Aussagenverbindung!einstellige} aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion\index{Disjunktion} werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.

Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.



\begin{beispiel}\label{B.3.5}
	
	(Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):
	\begin{flalign}
		&(p  \wedge q) \rightarrow(r \vee s)  &&\\
		&((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
	\end{flalign}
	
	
	Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.	
\end{beispiel}



Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann \textit{$n$-stellige Aussagenverbindung} nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die \textit{logische Struktur} der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.

Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren. auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen

\begin{enumerate}
	\item von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen
	und
\end{enumerate}

und

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.
\end{enumerate}


Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen \textit{extensional} (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen \textit{intensionale} Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).

Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle \ref{tab.3.1} werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel "`weil"' eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].

\subsection{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}\label{ss:Wahrheitstabellen}
Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle \ref{tab.3.1} den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.2}Wahrheitstabelle der Negation}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cc} 
			$p$ & $F$ & $W$\\
			\hline 
			$\bar{p}$ & $W$ & $F$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}




In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, recht daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthäl links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gil $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.3}Wahrheitstabelle der Konjunktion}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}



Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten \textcolor{red}{(s. Abschnitt 6.)}. Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch \textit{und} verbundenen Teilaussagen wahr sind.
Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.4}Wahrheitstabelle der Alternative}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.5}Wahrheitstabelle der Implikation}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.6}Wahrheitstabelle der Äquivalenz}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}


\newpage
\begin{table}[!h]
	\begin{flushleft}
		\caption{\label{tab.3.7}Wahrheitstabelle der Disjunktion}\vspace*{1mm}
		
		\begin{tabular}{l|cccc} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
			\hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
		\end{tabular}			
	\end{flushleft}
	
\end{table}

\begin{aufgabe}\label{aufg:3.1}
	\einrueckungm{20}{Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!}
\end{aufgabe}


$\mathrm{Zu}$ diesen Tabellen sollen noch einige Bemerkungen gemacht werden. Der \textit{Implikation} wird nur dann der Wahrheitswert $F$ zugeordnet, wenn die erste Teilaussage $p$ (Voraussetzung) wahr, aber die zweite Teilaussage $q$ (Behauptung) falsch ist.


\begin{beispiel}\label{B.3.6}
	
	Die Aussage "`Wenn $3$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' ist offenbar falsch. Die Aussage "`Wenn $4$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' wird dagegen als wahr angesehen.
	
	
\end{beispiel}




Bemerkenswert ist auch der Unterschied zwischen \textit{Alternative} und \textit{Disjunktion}. Die Alternative stellt ein einschließendes, die Disjunktion ein ausschließendes oder dar.

\einrueckungm{10}{
	Betrachten wir noch die folgenden zwei Aussagen
	\einrueckungm{20}{	
		
		$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"' oder "`Berlin ist die Hauptstadt der UdSSR"'
		
		
		$q=$ Wenn "`$2 \cdot 2=5$"' ist, so "`ist die Erde ein Planet"'
}}

Aussagenverbindungen dieser Art sind häufig insbesondere philosophischer Kritik ausgesetzt. Im Sinne der Logik handelt es sich jedoch bei $p$ und $q$ um wahre Aussagen, obwohl diese Aussagenverbindungen rein inhaltlich gesehen völlig sinnlos sind. Im Sinne einer völligen Allgemeinheit der zur Aussagenverbindung zugelassenen Aussagen aus $A_2$ ist es aber legitim, auch Verbindungen der obigen Art zu bilden.

Es ist zweckmäßig, die Tabellen \ref{tab.3.1} bis \ref{tab.3.7} gut im Gedächtnis zu behalten, da sie Bausteine für nachfolgende Überlegungen sind.

\subsection{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}

Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen (siehe auch Abschnitt 8.), die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung

\begin{flalign}
	&(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3}
\end{flalign}

wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt.

Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen.


%%%%


\begin{table}[!h]
	\begin{center}
		\caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$}
		\begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} 
			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\
			q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ 
			r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
			$s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
			$t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
			$u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
			$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}




Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie


\einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'}

eine wahre Aussage.

Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ):

Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben.

\begin{aufgabe}
	\einrueckungm{20}{
		Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?}
	
\end{aufgabe}



\subsection{Verbindungen von Aussageformen}
Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.

\begin{beispiel}\label{B.3.7}
	
	$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
	
	\begin{enumerate}
		\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.
		
		Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
		
		\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.
		
		Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,
		$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
		
	\end{enumerate}
	
	Allgemein können wir folgendes feststellen:
	
	
	Man kann zum Beispiel durch
	$$
	\begin{aligned}
		& \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\
		& p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x)
	\end{aligned}
	$$
	
	Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden.
	
\end{beispiel}


\begin{aufgabe}
	\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung
		"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
\end{aufgabe}